第一節(jié) 不定積分的定義和性質(zhì),一、原函數(shù)與不定積分的概念 二、基本積分表 三、不定積分的性質(zhì) 四、小結(jié),例,一、原函數(shù)與不定積分的概念,定義1 設(shè)函數(shù) 在某區(qū)間上有定義，如果存在函數(shù) ， 對(duì)于該區(qū)間上任一點(diǎn) ，使,則稱(chēng)函數(shù) 是已知函數(shù) 在該區(qū)間上的一個(gè)原函數(shù)。,原函數(shù)存在定理：,簡(jiǎn)言之：連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù).,例,（ 為任意常數(shù)）,如果函數(shù) 在區(qū)間 內(nèi)連續(xù)，那么在區(qū)間 內(nèi)存在可導(dǎo) 函數(shù) ，,使 都有,關(guān)于原函數(shù)的說(shuō)明：,（1）若 ，則對(duì)于任意常數(shù) ，,（2）若 和 都是 的原函數(shù)，則,（ 為任意常數(shù)）,證：,（ 為任意常數(shù)）,都是 的原函數(shù)。,不定積分的定義：,在區(qū)間 內(nèi)，函數(shù) 的帶有任意常數(shù)項(xiàng)的原函數(shù) 稱(chēng)為 在區(qū)間 內(nèi)的不定積分，記為 。,積分號(hào),被積函數(shù),積分變量,積分常數(shù),即：,求不定積分的中心問(wèn)題是 尋求被積函數(shù) 的一個(gè) 原函數(shù)。,例1 求,解:,解:,例2 求,由不定積分的定義，可知,結(jié)論：,微分運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.,二、不定積分的基本性質(zhì),實(shí)例:,結(jié)論：,既然積分運(yùn)算和微分運(yùn)算是互逆的， 因此可以根據(jù)求導(dǎo)公式得出積分公式.,說(shuō)明：,基本積分表,有一個(gè)導(dǎo)數(shù)公式就相應(yīng)地有一個(gè)不定積分公式。,例3 求積分,解,例4 求積分,解,對(duì)被積函數(shù)稍加變形，化為指數(shù)函數(shù)形式。據(jù)公式（13）,現(xiàn)證(1),等式成立.,（此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況）,三、不定積分的性質(zhì),例5 求積分,解:,例6 求積分,解：,例7 求積分,解,例8 求積分,解,它對(duì)應(yīng)的圖形是一族積分曲線，稱(chēng)為積分曲線族。,四、不定積分的幾何意義,若 是 的一個(gè)原函數(shù)，則稱(chēng) 的圖形是 的積分曲線。,積分曲線族 的特點(diǎn)是：,（1）積分曲線族中任意一條曲線，可由其中某一條，例如，曲線 沿y軸平行移 位而得到。當(dāng) 時(shí)向上移動(dòng)；當(dāng) 時(shí)，向下移動(dòng)。,（2）由于 ，即橫坐標(biāo)相同點(diǎn) 處，每條積分曲線上相應(yīng)點(diǎn)的切線斜率相等，都等于 ，從而使相應(yīng)點(diǎn)的切線平行。,例9：設(shè)曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率 等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.,解：,設(shè)曲線方程為,根據(jù)題意知,由曲線通過(guò)點(diǎn)（1，2）,所求曲線方程為,即 是 的一個(gè)原函數(shù)。,基本積分表