回扣9計數(shù)原理1分類加法計數(shù)原理完成一件事，可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種方法，在第二類辦法中有m2種方法，在第n類辦法中有mn種方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種方法(也稱加法原理)2分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要經(jīng)過n個步驟，缺一不可，做第一步有m1種方法，做第二步有m2種方法，做第n步有mn種方法，那么完成這件事共有Nm1m2mn種方法(也稱乘法原理)3排列(1)排列的定義：從n個不同元素中取出m(mn)個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列(2)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示(3)排列數(shù)公式：An(n1)(n2)(nm1)(4)全排列：n個不同元素全部取出的一個排列，叫做n個元素的一個全排列，An(n1)(n2)21n！.排列數(shù)公式寫成階乘的形式為A，這里規(guī)定0！1.4組合(1)組合的定義：從n個不同元素中取出m(mn)個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用C表示(3)組合數(shù)的計算公式：C，由于0！1，所以C1.(4)組合數(shù)的性質(zhì)：CC；CCC.5二項式定理(ab)nCanCan1b1CankbkCbn(nN*)這個公式叫做二項式定理，右邊的多項式叫做(ab)n的二項展開式，其中的系數(shù)C(k0,1,2，n)叫做二項式系數(shù)式中的Cankbk叫做二項展開式的通項，用Tk1表示，即展開式的第k1項：Tk1Cankbk.6二項展開式形式上的特點(diǎn)(1)項數(shù)為n1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式的系數(shù)從C，C，一直到C，C.7二項式系數(shù)的性質(zhì)(1)對稱性：與首末兩端“等距離”的兩個二項式系數(shù)相等，即CC.(2)增減性與最大值：二項式系數(shù)C，當(dāng)k時，二項式系數(shù)是遞增的；當(dāng)k時，二項式系數(shù)是遞減的當(dāng)n是偶數(shù)時，那么其展開式中間一項的二項式系數(shù)最大當(dāng)n是奇數(shù)時，那么其展開式中間兩項和的二項式系數(shù)相等且最大(3)各二項式系數(shù)的和(ab)n的展開式的各個二項式系數(shù)的和等于2n，即CCCCC2n.二項展開式中，偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即CCCCCC2n1.1關(guān)于兩個計數(shù)原理應(yīng)用的注意事項(1)分類加法和分步乘法計數(shù)原理，都是關(guān)于做一件事的不同方法的種數(shù)的問題，區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對“分類”問題，其中各種方法相互獨(dú)立，用其中任何一種方法都可以做完這件事；分步乘法計數(shù)原理針對“分步”問題，各個步驟相互依存，只有各個步驟都完成了才算完成這件事(2)混合問題一般是先分類再分步(3)分類時標(biāo)準(zhǔn)要明確，做到不重復(fù)不遺漏(4)要恰當(dāng)畫出示意圖或樹狀圖，使問題的分析更直觀、清楚，便于探索規(guī)律2對于有附加條件的排列、組合應(yīng)用題，通常從三個途徑考慮：(1)以元素為主考慮，即先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素(2)以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置(3)先不考慮附加條件，計算出排列數(shù)或組合數(shù)，再減去不合要求的排列數(shù)或組合數(shù)3排列、組合問題的求解方法與技巧(1)特殊元素優(yōu)先安排(2)合理分類與準(zhǔn)確分步(3)排列、組合混合問題先選后排(4)相鄰問題捆綁處理(5)不相鄰問題插空處理(6)定序問題排除法處理(7)分排問題直排處理(8)“小集團(tuán)”排列問題先整體后局部(9)構(gòu)造模型(10)正難則反，等價條件4對于二項式定理應(yīng)用時要注意(1)區(qū)別“項的系數(shù)”與“二項式系數(shù)”，審題時要仔細(xì)項的系數(shù)與a，b有關(guān)，可正可負(fù)，二項式系數(shù)只與n有關(guān)，恒為正(2)運(yùn)用通項求展開的一些特殊項，通常都是由題意列方程求出k，再求所需的某項；有時需先求n，計算時要注意n和k的取值范圍及它們之間的大小關(guān)系(3)賦值法求展開式中的系數(shù)和或部分系數(shù)和，常賦的值為0，1.(4)在化簡求值時，注意二項式定理的逆用，要用整體思想看待a，b.1從8名女生和4名男生中，抽取3名學(xué)生參加某檔電視節(jié)目，如果按性別比例分層抽樣，則不同的抽取方法數(shù)為()A224 B112C56 D28答案B解析根據(jù)分層抽樣，從8名女生中抽取2人，從4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生1名男生的方法數(shù)為CC112.25人站成一排，甲、乙兩人必須站在一起的不同排法有()A12種B24種C48種D60種答案C解析可先排甲、乙兩人，有A2(種)排法，再把甲、乙兩人與其他三人進(jìn)行全排列，有A24(種)排法，由分步乘法計數(shù)原理，得共有22448(種)排法，故選C.3從5位男教師和4位女教師中選出3位教師，派到3個班擔(dān)任班主任(每班1位班主任)，要求這3位班主任中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有()A210種B420種C630種D840種答案B解析因為要求3位班主任中男、女教師都要有，所以共有兩種情況，1男2女或2男1女若選出的3位教師是1男2女，則共有CCA180(種)不同的選派方法；若選出的3位教師是2男1女，則共有CCA240(種)不同的選派方法，所以共有180240420(種)不同的方案，故選B.4將甲、乙等5位同學(xué)分別保送到北京大學(xué)、清華大學(xué)、浙江大學(xué)三所大學(xué)就讀，則每所大學(xué)至少保送一人的不同保送方法有()A150種B180種C240種D540種答案A解析先將5個人分成三組，(3,1,1)或(1,2,2)，分組方法有CC25(種)，再將三組全排列有A6(種)，故總的方法數(shù)有256150(種)5(2016四川)用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A24 B48C60 D72答案D解析由題可知，五位數(shù)要為奇數(shù)，則個位數(shù)只能是1,3,5.分為兩步：先從1,3,5三個數(shù)中選一個作為個位數(shù)有C種選法，再將剩下的4個數(shù)字排列有A種排法，則滿足條件的五位數(shù)有CA72(個)故選D.6.如圖，花壇內(nèi)有5個花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個花池內(nèi)只能種一種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案的種數(shù)為()A180 B240C360 D420答案D解析若5個花池栽了5種顏色的花卉，方法有A種，若5個花池栽了4種顏色的花卉，則2,4兩個花池栽同一種顏色的花，或3,5兩個花池栽同一種顏色的花，方法有2A種；若5個花池栽了3種顏色的花卉，方法有A種，所以最多有A2AA420(種)7某天連續(xù)有7節(jié)課，其中語文、英語、物理、化學(xué)、生物5科各1節(jié)，數(shù)學(xué)2節(jié)在排課時，要求生物課不排第1節(jié)，數(shù)學(xué)課要相鄰，英語課與數(shù)學(xué)課不相鄰，則不同排法的種數(shù)為()A408 B480C552 D816答案A解析數(shù)學(xué)在第(1,2)節(jié)，從除英語外的4門課中選1門安排在第3節(jié)，剩下的任意排，故有CA96(種)排法；數(shù)學(xué)在第(2,3)節(jié)，從除英語、生物外的3門課中選1門安排在第1節(jié)，從除英語外剩下的3門課中再選1門安排在第4節(jié)，剩下的任意排，故有CCA54(種)排法；數(shù)學(xué)在(3,4)，(4,5)，(5,6)情況一樣，當(dāng)英語在第1節(jié)時，其他任意排，故有A24(種)排法，當(dāng)英語不在第1節(jié)時，從除英語，生物外的3門課中選一門安排在第1節(jié)，再從除英語外剩下的3門中選2門放在數(shù)學(xué)課前1節(jié)和后1節(jié)，剩下的任意排，有CAA36(種)排法，故共有3(2436)180(種)排法；數(shù)學(xué)在第(6,7)節(jié)時，當(dāng)英語在第一節(jié)時，其他任意排，故有A24(種)排法，當(dāng)英語不在第1節(jié)，從除英語，生物外的3門課中選一門安排在第1節(jié)，再從除英語外的剩下的3門中選1門放在第5節(jié)，剩下的任意排，有CCA54(種)排法，故有245478(種)排法，根據(jù)分類加法計數(shù)原理，共有965418078408(種)排法故選A.8設(shè)i為虛數(shù)單位，則(xi)6的展開式中含x4的項為()A15x4B15x4C20ix4D20ix4答案A解析由題可知，含x4的項為Cx4i215x4.故選A.9在二項式n的展開式中，所有二項式系數(shù)的和是32，則展開式中各項系數(shù)的和為()A32 B32C0 D1答案C解析依題意得所有二項式系數(shù)的和為2n32，解得n5.因此，令x1，則該二項展開式中的各項系數(shù)的和等于50，故選C.10已知(1x)(1x)2(1x)3(1x)na0a1xa2x2anxn，且a0a1a2an126，那么n的展開式中的常數(shù)項為()A15 B15C20 D20答案D解析令x1得a0a1a2an2222n22n121262n11282n127n6，又Tk1C()6kkC(1)kx3k，所以由3k0，得常數(shù)項為C20.故選D.11已知等比數(shù)列an的第5項是二項式4展開式中的常數(shù)項，則a3a7_.答案36解析4的展開式的通項為Tk1Cx42k，令42k0，得k2，常數(shù)項為C6，即a56.an為等比數(shù)列，a3a7a6236.12書架上原來并排放著5本不同的書，現(xiàn)要再插入3本不同的書，那么不同的插入方法共有_種答案336解析由題意得3本不同的書，插入到原來的5本不同的書中，可分為三步，第一步：先插入第一本，插入到原來5本不同的書排成的一排所形成的6個間隔中，有A6(種)方法；第二步：再插入第二本，插入到原來6本不同的書排成的一排所形成的7個間隔中，有A7(種)方法；第三步：再插入第三本，插入到原來7本不同的書排成的一排所形成的8個間隔中，有A8(種)方法，共有678336(種)不同的插入方法13某大學(xué)的8名同學(xué)準(zhǔn)備拼車去旅游，其中大一、大二、大三、大四每個年級各2名，分別乘甲、乙兩輛汽車，每車限坐4名同學(xué)(乘同一輛車的4名同學(xué)不考慮位置)，其中大一的孿生姐妹需乘同一輛車，則乘坐甲車的4名同學(xué)中恰有2名同學(xué)是來自同一年級的乘坐方式共有_種答案24解析分類討論，有2種情形孿生姐妹乘坐甲車，則有CCC12(種)乘車方式；孿生姐妹不乘坐甲車，則有CCC12(種)乘車方式根據(jù)分類加法計數(shù)原理可知，共有24種乘車方式14已知(12x)6a0a1xa2x2a6x6，則|a0|a1|a2|a6|_.(用數(shù)字作答)答案729解析|a0|a1|a2|a6|相當(dāng)于(12x)6的展開式中各項系數(shù)絕對值的和，令x1，得|a0|a1|a2|a6|36729.15如果n的展開式中各項系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是_答案21解析n的展開式中各項系數(shù)之