第1課時(shí)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義.2.能借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)畫(huà)出指數(shù)函數(shù)的圖象.3.初步掌握指數(shù)函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)知識(shí)鏈接1arasars；(ar)sars；(ab)rarbr.其中a0，b0，r，sR.2在初中，我們知道有些細(xì)胞是這樣分裂的：由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，.1個(gè)這樣的細(xì)胞分裂x次后，第x次得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與x之間構(gòu)成的函數(shù)關(guān)系為y2x，x0,1,2，預(yù)習(xí)導(dǎo)引1函數(shù)yax叫作指數(shù)函數(shù)，其中a是不等于1的正實(shí)數(shù)，函數(shù)的定義域是R.2從圖象可以“讀”出的指數(shù)函數(shù)yax(a1)的性質(zhì)有：(1)圖象總在x軸上方，且圖象在y軸上的射影是y軸正半軸(不包括原點(diǎn))由此，函數(shù)的值域是R；(2)圖象恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，用式子表示就是a01；(3)函數(shù)是區(qū)間(，)上的遞增函數(shù)，由此有：當(dāng)x0時(shí)，有axa01；當(dāng)x0時(shí)，有0axa01.3如果底數(shù)a(0,1)，那么，它的倒數(shù)1，yaxx，它的圖象和yx的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可以類似地得到函數(shù)yax(0a1)的性質(zhì)：(1)圖象總在x軸上方，且圖象在y軸上的射影是y軸正半軸(不包括原點(diǎn))由此，函數(shù)的值域是R；(2)圖象恒過(guò)點(diǎn)(0,1)，用式子表示就是a01；(3)函數(shù)是區(qū)間(，)上的遞減函數(shù)，由此有：當(dāng)x0時(shí)，有0axa01；當(dāng)x0時(shí)，有axa01.要點(diǎn)一指數(shù)函數(shù)的概念例1給出下列函數(shù)：y23x；y3x1；y3x；yx3；y(2)x.其中，指數(shù)函數(shù)的個(gè)數(shù)是()A0B1C2D4答案B解析中，3x的系數(shù)是2，故不是指數(shù)函數(shù)；中，y3x1的指數(shù)是x1，不是自變量x，故不是指數(shù)函數(shù)；中，3x的系數(shù)是1，冪的指數(shù)是自變量x，且只有3x一項(xiàng)，故是指數(shù)函數(shù)；中，yx3的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)，故不是指數(shù)函數(shù)中，底數(shù)20，不是指數(shù)函數(shù)規(guī)律方法1.指數(shù)函數(shù)的解析式必須具有三個(gè)特征：(1)底數(shù)a為大于0且不等于1的常數(shù)；(2)指數(shù)位置是自變量x；(3)ax的系數(shù)是1.2求指數(shù)函數(shù)的關(guān)鍵是求底數(shù)a，并注意a的限制條件跟蹤演練1若函數(shù)y(43a)x是指數(shù)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)答案a|a，且a1解析y(43a)x是指數(shù)函數(shù)，需滿足：解得a且a1.故a的取值范圍為a|a，且a1要點(diǎn)二指數(shù)函數(shù)的圖象例2如圖是指數(shù)函數(shù)yax，ybx，ycx，ydx的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系是()Aab1cdBba1dcC1abcdDab1dc答案B解析方法一在y軸的右側(cè)，指數(shù)函數(shù)的圖象由下到上，底數(shù)依次增大由指數(shù)函數(shù)圖象的升降，知cd1，ba1.ba1dc.方法二作直線x1，與四個(gè)圖象分別交于A、B、C、D四點(diǎn)，由于x1代入各個(gè)函數(shù)可得函數(shù)值等于底數(shù)的大小，所以四個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)越大，則底數(shù)越大，由圖可知ba1dc.故選B.規(guī)律方法1.無(wú)論指數(shù)函數(shù)的底數(shù)a如何變化，指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖象與直線x1相交于點(diǎn)(1，a)，由圖象可知：在y軸右側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由小變大2處理指數(shù)函數(shù)的圖象：抓住特殊點(diǎn)，指數(shù)函數(shù)圖象過(guò)點(diǎn)(0,1)；巧用圖象平移變換；注意函數(shù)單調(diào)性的影響跟蹤演練2(1)函數(shù)y|2x2|的圖象是()(2)直線y2a與函數(shù)y|ax1|(a0且a1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，則a的取值范圍是_答案(1)B(2)(0，)解析(1)y2x2的圖象是由y2x的圖象向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的，故y|2x2|的圖象是由y2x2的圖象在x軸上方的部分不變，下方部分對(duì)折到x軸的上方得到的(2)當(dāng)a1時(shí)，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)y2a和y|ax1|的圖象(如圖(1)由圖象可知兩函數(shù)圖象只能有一個(gè)公共點(diǎn)，此時(shí)無(wú)解當(dāng)0a1時(shí)，作出函數(shù)y2a和y|ax1|的圖象(如圖(2)若直線y2a與函數(shù)y|ax1|(a0且a1)的圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)，由圖象可知02a1，所以0a.要點(diǎn)三指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域例3求下列函數(shù)的定義域和值域：(1)y2；(2)y；(3)y解(1)由x40，得x4，故y2的定義域?yàn)閤|xR，且x4又0，即21，故y2的值域?yàn)閥|y0，且y1(2)由12x0，得2x1，x0，y的定義域?yàn)?，0由02x1，得12x0，012x1，y的值域?yàn)?,1)(3)y的定義域?yàn)镽.x22x3(x1)244，x22x3416.又0，故函數(shù)y的值域?yàn)?0,16規(guī)律方法對(duì)于yaf(x)(a0，且a1)這類函數(shù)，(1)定義域是使f(x)有意義的x的取值范圍；(2)值域問(wèn)題，應(yīng)分以下兩步求解：由定義域求出uf(x)的值域；利用指數(shù)函數(shù)yau的單調(diào)性求得此函數(shù)的值域跟蹤演練3(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?)A(3,0 B(3,1C(，3)(3,0 D(，3)(3,1(2)函數(shù)f(x)x1，x1,2的值域?yàn)開(kāi)答案(1)A(2)，2解析(1)由題意，得自變量x應(yīng)滿足解得3x0.(2)1x2，x3，x12，值域?yàn)?1下列各函數(shù)中，是指數(shù)函數(shù)的是()Ay(3)xBy3xCy3x1Dyx答案D解析由指數(shù)函數(shù)的定義知a0且a1，故選D.2函數(shù)yx的圖象可能是()答案C解析01且過(guò)點(diǎn)(0,1)，故選C.3函數(shù)y2x，x1，)的值域是()A1，) B2，)C0，) D(0，)答案B解析y2x在R上是增函數(shù)，且212，故選B.4函數(shù)f(x)ax的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,4)，則f(3)的值是_答案解析由題意知4a2，所以a2，因此f(x)2x，故f(3)23.5函數(shù)y的值域是_答案(0,2解析x211，y12，又y0，函數(shù)值域?yàn)?0,21.指數(shù)函數(shù)的定義域?yàn)?，)，值域?yàn)?0，)，且f(0)1.2當(dāng)a1時(shí)，a的值越大，圖象越靠近y軸，遞增速度越快當(dāng)0a1時(shí)，a的值越小，圖象越靠近y軸，遞減的速度越快一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1y2x1的定義域是()A(，)B(1，)C1，) D(0,1)(1，)答案A解析不管x取何值，函數(shù)式都有意義，故選A.2已知集合M1,1，N，則MN等于()A1,1B1C0D1,0答案B解析2x14，212x122，1x12，2x1.又xZ，x0或x1，即N0，1，MN13函數(shù)y2x1的圖象是()答案A解析當(dāng)x0時(shí)，y2，且函數(shù)單調(diào)遞增，故選A.4當(dāng)x2,2)時(shí)，y3x1的值域是()A(，8 B，8C(，9) D，9答案A解析y3x1，在x2,2)上是減函數(shù)，321y321，即y8.5指數(shù)函數(shù)y(2a)x在定義域內(nèi)是減函數(shù)，則a的取值范圍是_答案(1,2)解析由題意可知，02a1，即1a2.6函數(shù)yax51(a0)的圖象必經(jīng)過(guò)點(diǎn)_答案(5,2)解析指數(shù)函數(shù)的圖象必過(guò)點(diǎn)(0,1)，即a01，由此變形得a5512，所以所求函數(shù)圖象必過(guò)點(diǎn)(5,2)7已知函數(shù)f(x)ax1(x0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2，)，其中a0且a1.(1)求a的值；(2)求函數(shù)yf(x)(x0)的值域解(1)因?yàn)閒(x)的圖象過(guò)點(diǎn)(2，)，所以a21，則a.(2)由(1)知，f(x)()x1，x0.由x0，得x11，于是0()x1()12，所以函數(shù)yf(x)(x0)的值域?yàn)?0,2二、能力提升8函數(shù)y5|x|的圖象是()答案D解析當(dāng)x0時(shí)，y5|x|5x()x，又原函數(shù)為偶函數(shù)，故選D.9已知函數(shù)f(x)若f(a)f(1)0，則實(shí)數(shù)a的值等于()A3B1C1D3答案A解析依題意，f(a)f(1)212，2x0，a0，f(a)a12，故a3，所以選A.10方程|2x1|a有唯一實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是_答案a|a1或a0解析作出y|2x1|的圖象，如圖，要使直線ya與圖象的交點(diǎn)只有一個(gè)，a1或a0.11求函數(shù)y()(0x3)的值域解令tx22x2，則y()t，又tx22x2(x1)21，0x3，當(dāng)x1時(shí)，tmin1，當(dāng)x3時(shí)，tmax5.故1t5，()5y()1，故所求函數(shù)的值域，三、探究與創(chuàng)新12函數(shù)f(x)ax(a0，且a1)在區(qū)間1,2上的最大值比最小值大，求a的值解(1)若a1，則f(x)是增函數(shù)，f(x)在1,2上的最大值為f(2)，最小值為f(1)f(2)f(1)，即a2a.解得a.(2)若0a1，則f(x)是減函數(shù)，f(x)在1,2上的