77立體幾何中的向量方法重點(diǎn)保分 兩級(jí)優(yōu)選練A級(jí)一、選擇題1已知點(diǎn)A(2，5,1)，B(2，2,4)，C(1，4,1)，則向量與的夾角為()A30 B45 C60 D90答案C解析由已知得(0,3,3)，(1,1,0)，cos，.向量與的夾角為60.故選C.2(2018伊寧期末)三棱錐ABCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2，若n1，n2，則二面角ABDC的大小為()A. B. C.或 D.或答案C解析二面角的范圍是0，且n1，n2，二面角ABDC的大小為或.故選C.3(2017太原期中)已知直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，AA12AB，E為AA1的中點(diǎn)，則異面直線BE與CD1所成角的余弦值為()A. B. C. D.答案C解析如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)AA12AB2，則B(1,1,0)，E(1,0,1)，C(0,1,0)，D1(0,0,2)(0，1,1)，(0，1,2)cos，.故選C.4如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別在A1D，AC上，且A1EA1D，AFAC，則()AEF至多與A1D，AC之一垂直BEFA1D，EFACCEF與BD1相交DEF與BD1異面答案B解析以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示設(shè)正方體棱長為1，則A1(1,0,1)，D(0,0,0)，A(1,0,0)，C(0,1,0)，E，F(xiàn)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，(1，0，1)，(1,1,0)，(1，1,1)，0，從而EFBD1，EFA1D，EFAC.故選B.5(2018河南模擬)如圖所示，直三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長為3，底面邊長A1C1B1C11，且A1C1B190，D點(diǎn)在棱AA1上且AD2DA1，P點(diǎn)在棱C1C上，則的最小值為()A. B C. D答案B解析建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，則D(1,0,2)，B1(0,1,3)，設(shè)P(0,0，z)(0z3)，則(1,0,2z)，(0,1,3z)，00(2z)(3z)2，故當(dāng)z時(shí)，取得最小值為.故選B.6(2018滄州模擬)如圖所示，在正方體ABCDABCD中，棱長為1，E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，且BECFa(0a0)，(1,0，a)設(shè)平面EBD的法向量為n(x，y，z)，則有即令z1，則n(2,0,1)，由題意得sin45|cos，n|，解得a3或.由a0，得a3，(1,0,3)，(1，2)，cos，故異面直線OF與BE所成的角的余弦值為.16(2014全國卷)如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為矩形，PA平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)(1)證明：PB平面AEC；(2)設(shè)二面角DAEC為60，AP1，AD，求三棱錐EACD的體積解(1)證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接EO.因?yàn)锳BCD為矩形，所以O(shè)為BD的中點(diǎn)又E為PD的中點(diǎn)，所以EOPB.又EO平面AEC，PB平面AEC，所以PB平面AEC.(2)因?yàn)镻A平面ABCD，ABCD為矩形，所以AB，AD，AP兩兩垂直如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，|為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz，則D(0，0)，E，.設(shè)B(m,0,0)(m0)，則C(m，0)，(m，0)設(shè)n1(x，y，z)為平面ACE的法向量，則即可取n1.又n2(1,0,0)為平面DAE的法向量，由題設(shè)得|cosn1，n2|，即 ，解得m.因?yàn)镋為PD的中點(diǎn)，所以三棱錐EACD的高為.三棱錐EACD的體積V.17(2017河北衡水中學(xué)調(diào)研)如圖1所示，在直角梯形ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是線段AD的中點(diǎn)，O是AC與BE的交點(diǎn)將ABE沿BE折起到A1BE的位置，如圖2所示(1)證明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求直線BD與平面A1BC所成角的正弦值解(1)證明：在題圖1中，連接CE，因?yàn)锳BBC1，AD2，E是AD的中點(diǎn)，BAD，所以四邊形ABCE為正方形，四邊形BCDE為平行四邊形，所以BEAC.在題圖2中，BEOA1，BEOC，又OA1OCO，從而BE平面A1OC.又CDBE，所以CD平面A1OC.(2)由(1)知BEOA1，BEOC，所以A1OC為二面角A1BEC的平面角，又平面A1BE平面BCDE，所以A1OC，所以O(shè)B，OC，OA1兩兩垂直如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，OA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則B，E，A1，C，得，由(，0,0)，得D.所以.設(shè)平面A1BC的法向量為n(x，y，z)，直線BD與平面A1BC所成的角為，則得取x1，得n(1,1,1)從而sin|cos，n|，即直線BD與平面A1BC所成角的正弦值為.18.九章算術(shù)中，將底面為長方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽馬，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑如圖，在陽馬PABCD中，側(cè)棱PD底面ABCD，且PDCD，過棱PC的中點(diǎn)E，作EFPB交PB于點(diǎn)F，連接DE，DF，BD，BE.(1)證明：PB平面DEF.試判斷四面體DBEF是否為鱉臑？若是，寫出其每個(gè)面的直角(只需寫出結(jié)論)；若不是，說明理由；(2)若平面DEF與平面ABCD所成二面角的大小為，求的值解(1)證明：如圖，以D為原點(diǎn)，射線DA，DC，DP分別為x，y，z軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)PDDC1，BC，則D(0,0,0)，P(0,0,1)，B(，1,0)，C(0,1,0)，(，1，1)，點(diǎn)E是PC的中點(diǎn)，所以E，于是0，即PBDE.又已知EFPB，而DEEFE，所以PB平面DEF.因(0,1，1)，0，則DEPC，所以DE平面PBC.由DE平面PBC，PB平面DEF，可知四面體BDEF的四個(gè)面都是直角三角形，即四面體BDEF是一個(gè)鱉臑，其四個(gè)面的直角分別為DEB，DEF，EFB，DFB.