三階系統(tǒng)綜合分析與設(shè)計1 系統(tǒng)根軌跡的繪制1.1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖分析系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖1-1所示，由圖可得系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為： 因此可得到系統(tǒng)的根軌跡方程如下： ，也即 圖1-1 系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由開環(huán)傳遞函數(shù)知，該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，根軌跡增益為K。1.2 系統(tǒng)根軌跡的繪制1.2.1繪制根軌跡1） 起點和終點。 在復(fù)平面畫出開環(huán)極點平P1=0，P2=-2，P3=-5。本系統(tǒng)無開環(huán)零點。當(dāng)K從零增到無窮時，根軌跡起于開環(huán)極點，而終于開環(huán)零點（包括無限零點）。2） 確定實軸上的根軌跡。 在實軸上 ，根軌跡存在于-與-5與之間以及-2與0之間。 3）確定根軌跡的漸近線。 對于本系統(tǒng)，有n-m=3-0=3條漸近線趨于無窮，其 4) 確定分離點和分離交。由方程 ，整理得 ， 。因此分離點為d=-0.373。而分離角為。5) 確定根軌跡與虛軸交點。 ， 將s=jw帶入閉環(huán)特征方程并 令方程的實部和虛部分別為零，即有： ，。所以當(dāng)K在（0，70）范圍內(nèi)時，系統(tǒng)穩(wěn)定。根據(jù)以上的分析計算,利用根軌跡的繪制法則可以得到系統(tǒng)的開環(huán)零、極點的分布圖與根軌跡圖。1.2.2 根軌跡的MATLAB仿真 Matlab是一款功能十分強大的軟件工具。直接調(diào)用Matlab中的函數(shù)rlocus可以繪制給定開環(huán)傳遞函數(shù)的根軌跡。 調(diào)用格式為：rlocus（num，den） ，其中num為開環(huán)傳遞函數(shù)的分子，den為開環(huán)傳遞函數(shù)的分母。繪制根軌跡的程序代碼如下：num=1;den=1 7 10 0;G=tf(num,den);%傳遞函數(shù)模型rlocus(G);Matlab運行結(jié)果如下圖1-2所示。根據(jù)程序得出的圖，在開環(huán)極點處標(biāo)記后可得到如圖顯示的信息。其中有極點的值pole，對應(yīng)系統(tǒng)開環(huán)根軌跡增益K的值Gain，以及對應(yīng)阻尼比的值Damping等等。 通過與經(jīng)過自己計算得到的結(jié)果相比較可知，它們的結(jié)果是基本一致的。雖然存在著微小的誤差的，但還是可以驗證我們通過計算達(dá)到的結(jié)果的正確性的。 圖1-2 系統(tǒng)根軌跡圖2 軌跡增益K的有關(guān)計算和分析 2.1 -6為閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點時的K值 （1）帶入D(s)求解K 由開環(huán)傳遞函數(shù)G(s)可以得到系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數(shù)為：因為s=-6為閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點，所以將其帶入到特征方程D(s)=1+G(s)=0中可以得到：。（2）利用MATLAB仿真得到可以直接調(diào)用Matlab中的函數(shù)rlocfind(num,den),在得到軌跡方程后利用在圖形框中出現(xiàn)的十字表，選中負(fù)實軸上的(-6,0j)點，即可以得到如圖1-3所示的紅色標(biāo)記。再在(-6,0j)點處點后，可以得到該點對應(yīng)的根軌跡增益K=24.1，這與計算得到結(jié)果基本一致。驗證了計算的正確性。程序代碼如下：num=1;den=1 7 10 0;G=tf(num,den)rlocfind(G);%繪出根軌跡并在窗口中出現(xiàn)十字光標(biāo)程序結(jié)果如下：Select a point in the graphics window selected_point = -6.0024 + 0.0311i 圖1-3 -6為閉環(huán)系統(tǒng)的一個極點時的根軌跡圖2.2主導(dǎo)極點阻尼比為0.7時的K值利用Matlab中的函數(shù)sgrid（z，new）可以作出阻尼比為z的虛線，其與根軌跡的交點即為阻尼比為z的閉環(huán)極點。程序代碼如下：num=1;den=1 7 10 0;G=tf(num,den)；rlocus(G);sgrid(0.700,new);%取阻尼比為0.7rlocfind（G）程序運行結(jié)果如下圖1-4所示。在命令窗口中顯示如下： Select a point in the graphics windowselected_point = -0.794 - 0.811i 圖1-4 與阻尼比為0.7有交點的根軌跡圖 由上圖可得到閉環(huán)極點為 ：，其中 為系統(tǒng)主導(dǎo)極點。因此主導(dǎo)極點阻尼比為0.7時的K=7.07。以下分析計算均用此值。3 各種輸入下系統(tǒng)的誤差分析與計算 3.1各種誤差系數(shù)的分析計算 由1.1對系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖的分析知該系統(tǒng)為I型系統(tǒng)，因此位置誤差系數(shù)為無窮大，加速度誤差系數(shù)為零。即：。而速度誤差系數(shù)的大小為： 3.2穩(wěn)態(tài)誤差的分析計算1）當(dāng)輸入為單位階躍信號時。由各型系統(tǒng)在階躍型號輸入作用下的定義可有；。2) 當(dāng)輸入為斜坡型號時。 。 3）當(dāng)輸入為單位加速度信號時。 。4）當(dāng)輸入為時。 由以上的分析計算可有輸入為r(t)的穩(wěn)態(tài)誤差為： 4 用Matlab繪制單位階躍響應(yīng)曲線 為繪制出系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線，我們可以直接調(diào)用Matlab中的階躍響應(yīng)函數(shù)step，利用step(tf(num,den)得到系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線。程序代碼如下：num=7.07;den=1 7 10 7.07;step(tf(num,den);Axis(0 12 0 1.4)運行結(jié)果如下圖1-5所示： 圖1-5 系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線5 繪制Bode圖和Nyquist曲線，求取幅值裕度和相角裕度 5.1繪制Nyquist曲線 直接調(diào)用Matlab中的函數(shù)Nyquist可以可以繪制系統(tǒng)的奈氏曲線。調(diào)用格式如下： Nyquist（num，den） ，其中num為開環(huán)傳遞函數(shù)的分子，den為開環(huán)傳遞函數(shù)的分母。Matlab程序如下：num=7.07; den=1 7 10 0;G=tf(num,den);w=0.001:0.001:70;nyquist(G,w); axis(-1.2 0.2 0.3 0.3) 程序運行結(jié)果如下圖1-6所示： 圖1-6 Nyquist曲線圖5.2繪制Bode圖并求幅值裕度和相角裕度直接調(diào)用Matlab中的函數(shù)bode可以繪制系統(tǒng)的Bode圖。調(diào)用方法和上相同。同時，Matlab中還有margin函數(shù)。利用margin（num,den)可計算系統(tǒng)的相角裕度和幅值裕度，并繪制出Bode圖Matlab程序代碼如下：num=7.07; den=1 7 10 0; margin(num,den);運行結(jié)果如下圖1-7所示。由圖1-7可知：系統(tǒng)的截止頻率為Wc=0.655rad，相角裕度=Pm=64；系統(tǒng)的穿越頻率為Wx=3.16rad，幅值裕度h=Gm=19.9dB。 圖1-7 系統(tǒng)的Bode圖6 非線性問題分析 如圖1-8所示，在比較點與開環(huán)傳遞函數(shù)之間加1個死區(qū)非線性環(huán)節(jié)。 其中 圖1-8 加入了一個死區(qū)的系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖由圖可以查表得到非線性死區(qū)環(huán)節(jié)的描述函數(shù)為 ： ，非線性環(huán)節(jié)的負(fù)導(dǎo)函數(shù)為： ， 且有閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為： 令u=1/A,對N(u)求導(dǎo)可得 ， 。-1/N(A)也同樣如此。N(Am)=4/=1.273，-1/N(Am)=-0.785, -1/N(Am)為負(fù)導(dǎo)函數(shù)的極大值。利用Matlab可以繪制出系統(tǒng)的FG和-1/N(A)曲線。Matlab程序代碼如下：G=tf(7.07,1 7 10 0); A=1.001:0.001:100; x=real(-1./(8.*sqrt(1-(1./A).2)./(pi.*A)+j*0);y=image(-1./(8.*sqrt(1-(1./A).2)./(pi.*A)+j*0); w=0.001:0.001:70;nyquist(G,w);hold on plot(x,0);hold offaxis(-1.2 0.2 -0.3 0.3)程序運行結(jié)果如下圖1-9所示。 圖1-9 描述函數(shù)法分析圖 由上圖1-9可知：系統(tǒng)Nyquistt曲線G(jw)與負(fù)實坐標(biāo)軸的交點大約為w=-0.1。即w-1/N(Am)=-0.785，則有G(jw)曲線與負(fù)倒描述函數(shù)-1/N(A)曲線不相交，且G(jw)曲線也不包圍-1/N(A)曲線，因此非線性系統(tǒng)穩(wěn)定。心得體會 在本學(xué)期學(xué)習(xí)自動控制原理中，對高階系統(tǒng)分析與設(shè)計涉及到的并不多，只是在根軌跡繪制、穩(wěn)定性判定等方面對高階系統(tǒng)有較深入的學(xué)習(xí)。而本次課程設(shè)計要求對三階系統(tǒng)的根軌跡、穩(wěn)定性、單位階躍響應(yīng)、頻域特性等作出分析，并引入一個死區(qū)環(huán)節(jié)，應(yīng)用描述函數(shù)的方法來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。這一些問題借助MATLAB元件都迎刃而解。 MATLAB是一款計算功能強大、圖形功能豐富方便、編程效率高且易學(xué)易用的軟件。本次課設(shè)任務(wù)書中許多地方需要畫圖，而MATLAB的工具箱幾乎覆蓋了控制系統(tǒng)的所有領(lǐng)域，采用直接調(diào)用相應(yīng)函數(shù)的方法就可以輕松實現(xiàn)相，十分方便。本次課程設(shè)計中，簡單幾行程序就可以作出系統(tǒng)根軌跡圖，相比手工作圖而言，既精準(zhǔn)又快速；在求系統(tǒng)的幅值裕度和相角裕度時時，利用Margin函數(shù)就可直接得到系統(tǒng)的穩(wěn)定裕度各值。這些都充分體現(xiàn)出在分析復(fù)雜問題時靈活運用好軟件的優(yōu)越性。通過本次課程設(shè)計，我不但對所學(xué)的自動控制原理的相關(guān)知識有了更深入的認(rèn)識和更牢固的掌握，而且學(xué)會了運用MATLAB來解決三階系統(tǒng)乃至更高階的系統(tǒng)的分析和設(shè)計的方法。在以后的學(xué)習(xí)和生活中，我不僅要加強理論的學(xué)習(xí)，同時也要加強對一些實用工具的學(xué)習(xí)，從理論和實際