7.7.2 空間向量的應(yīng)用課 時 跟 蹤 檢 測1已知單位正方體ABCDA1B1C1D1，E，F(xiàn)分別是棱B1C1，C1D1的中點試求：(1)AD1與EF所成角的大??；(2)AF與平面BEB1所成角的余弦值解：建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，得A(1,0,1)，B(0,0,1)，D1(1,1,0)，E，F(xiàn).(1)因為(0,1，1)，所以cos，即AD1與EF所成的角為60.(2)，由圖可得，(1,0,0)為平面BEB1的一個法向量，設(shè)AF與平面BEB1所成的角為，則sin|cos，|，所以cos.即AF與平面BEB1所成角的余弦值為.2(2018屆昆明市兩區(qū)七校調(diào)研)如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中， ABAA11，E為BC中點(1)求證：C1DD1E；(2)在棱AA1上是否存在一點M，使得BM平面AD1E？若存在，求的值；若不存在，說明理由；(3)若二面角B1AED1的大小為90，求AD的長解：(1)證明：以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz，設(shè)ADa，則D(0,0,0)，A(a,0,0)，B(a,1,0)，B1(a,1,1)，C1(0,1,1)，D1(0,0,1)，E， 所以(0，1，1)，所以0，所以C1DD1E.(2)設(shè)h，則M(a,0，h)，連接BM，所以(0，1，h)，(a,0,1)，設(shè)平面AD1E的法向量為n(x，y，z)，則，所以平面AD1E的一個法向量為n(2，a,2a)，因為BM平面AD1E，所以n，即n2aha0，所以h.即在AA1上存在點M，使得BM平面AD1E，此時.(3)連接AB1，B1E，設(shè)平面B1AE的法向量為m(x，y，z)，(0,1,1)，則所以平面B1AE的一個法向量為m(2，a，a)因為二面角B1AED1的大小為90，所以mn，所以mn4a22a20，因為a0，所以a2，即AD2.3如圖1，ACB45，BC3，過動點A作ADBC，垂足D在線段BC上且異于點B，連接AB，沿AD將ABD折起，使BDC90(如圖2所示)(1)當(dāng)BD的長為多少時，三棱錐ABCD的體積最大；(2)當(dāng)三棱錐ABCD的體積最大時，設(shè)點E，M分別為棱BC，AC的中點，試在棱CD上確定一點N，使得ENBM，并求EN與平面BMN所成角的大小解：(1)設(shè)BDx(0x3)，則CD3x.由ADBC，ACB45知，ADC為等腰直角三角形，所以ADCD3x.由折起前ADBC知，折起后，ADDC，ADBD，且BDDCD，所以AD平面BCD.又BDC90，所以SBCDBDCDx(3x)于是VABCDADSBCD(3x)x(3x)2x(3x)(3x)3(當(dāng)且僅當(dāng)2x3x，即x1時，等號成立)，故當(dāng)x1，即BD1時，三棱錐ABCD的體積最大(2)以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz.由(1)知，當(dāng)三棱錐ABCD的體積最大時，BD1，ADCD2.于是可得D(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,2,0)，A(0,0,2)，M(0,1,1)，E，1,0，所以(1,1,1)設(shè)N(0，0)，則.因為ENBM，所以0，即(1,1,1)10，故，N.所以當(dāng)DN(即N是CD上靠近點D的一個四等分點)時，ENBM.設(shè)平面BMN的一個法向量為n(x，y，z)，由及，得取x1得n(1,2，1)設(shè)EN與平面BMN所成角的大小為，則由，可得sin|cosn，|，即60，故EN與平面BMN所成角的大小為60.4如圖，在四棱錐PABCD中，平面PAD平面ABCD，平面PCD平面ABCD，E為PB上任意一點，O為菱形ABCD對角線的交點(1)求證：平面EAC平面PBD；(2)試確定點E的位置，使得四棱錐PABCD的體積被平面EAC分成31兩部分；(3)在(2)的條件下，若BAD60，二面角BAEC的大小為45，求PDAD的值解：(1)證明：如圖，過點B作BGAD于點G，由于平面PAD平面ABCD，由面面垂直的性質(zhì)定理可知BG平面PAD，又PD平面PAD，故PDBG.同理，過點B作BHCD于點H，則PDBH.又BG平面ABCD，BH平面ABCD，BGBHB，所以PD平面ABCD，所以PDAC.又BDAC，且BDPDD，故AC平面PBD.又AC平面EAC，所以平面EAC平面PBD.(2)若四棱錐PABCD的體積被平面EAC分成31兩部分，則三棱錐EABC的體積是四棱錐PABCD的體積的，設(shè)四棱錐PABCD的底面積為S，三棱錐EABC的高為h，則ShSPD，由此得hPD，故此時E為PB的中點(3)解法一：如圖，連接EO，易知O為BD的中點，由(2)知E為PB的中點，所以EOPD，并且EOPD，則平面EAC平面ABCD，故BO平面EAC，BOAE.過點O作OFAE于點F，則AE平面BOF，連接BF，則AEBF，故OFB即為二面角BAEC的平面角，即OFB45.設(shè)ADa，則BDa，OBa，OAa.在RtBOF中，tanOFB1，故OFa，在RtAOE中，由三角形的等積定理OAOEOFAE，得aOEa，解得OEa，故PDa，所以PDAD2.解法二：連接OE，由(1)(2)知OA，OB，OE兩兩垂直，以點O為坐標(biāo)原點，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz，設(shè)OBm，OEh，則OAm，從而A(m,0,0)，B(0，m,0)，E(0,0，h)，(m，m,0)，(0，