9.8圓錐曲線的綜合問題最新考綱考情考向分析1.掌握解決直線與橢圓、拋物線的位置關系的思想方法2.了解圓錐曲線的簡單應用3.理解數形結合的思想.以考查直線與橢圓、雙曲線、拋物線的位置關系為背景，主要涉及弦長、中點、面積、對稱、存在性問題題型主要以解答題形式出現，屬于中高檔題.1直線與圓錐曲線的位置關系的判斷將直線方程與圓錐曲線方程聯立，消去一個變量得到關于x(或y)的一元方程：ax2bxc0(或ay2byc0)(1)若a0，可考慮一元二次方程的判別式，有0直線與圓錐曲線相交；0直線與圓錐曲線相切；0)上，且直線AB過拋物線的焦點，則y1y2p2.()題組二教材改編2過點(0,1)作直線，使它與拋物線y24x僅有一個公共點，這樣的直線有()A1條 B2條C3條 D4條答案C解析過(0,1)與拋物線y24x相切的直線有2條，過(0,1)與對稱軸平行的直線有一條，這三條直線與拋物線都只有一個公共點3已知與向量v(1,0)平行的直線l與雙曲線y21相交于A，B兩點，則|AB|的最小值為_答案4解析由題意可設直線l的方程為ym，代入y21得x24(1m2)，所以x12，x22，所以|AB|x1x2|44，即當m0時，|AB|有最小值4.題組三易錯自糾4過拋物線y22x的焦點作一條直線與拋物線交于A，B兩點，它們的橫坐標之和等于2，則這樣的直線()A有且只有一條 B有且只有兩條C有且只有三條 D有且只有四條答案B解析設該拋物線的焦點為F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，則|AB|AF|FB|xAxBxAxB132p2.所以符合條件的直線有且只有兩條5(2018屆江西省南昌市三模)已知F1，F2是橢圓和雙曲線的公共焦點，P是它們的一個公共點，且F1PF2，則橢圓和雙曲線的離心率乘積的最小值為_答案6已知雙曲線1(a0，b0)的焦距為2c，右頂點為A，拋物線x22py(p0)的焦點為F.若雙曲線截拋物線的準線所得線段長為2c，且|FA|c，則雙曲線的漸近線方程為_答案yx解析拋物線的準線方程為y，焦點為F，a22c2.設拋物線的準線y交雙曲線于M，N兩點，即1，解得xa，2a2c.又b2c2a2，由，得2.11，解得1.雙曲線的漸近線方程為yx.第1課時范圍、最值問題題型一范圍問題典例 (2016天津)設橢圓1(a)的右焦點為F，右頂點為A.已知，其中O為原點，e為橢圓的離心率(1)求橢圓的方程；(2)設過點A的直線l與橢圓交于點B(B不在x軸上)，垂直于l的直線與l交于點M，與y軸交于點H.若BFHF，且MOAMAO，求直線l的斜率的取值范圍解(1)設F(c,0)，由，即，可得a2c23c2.又a2c2b23，所以c21，因此a24.所以橢圓的方程為1.(2)設直線l的斜率為k(k0)，則直線l的方程為yk(x2)設B(xB，yB)，由方程組消去y，整理得(4k23)x216k2x16k2120.解得x2或x.由題意得xB，從而yB.由(1)知，F(1,0)，設H(0，yH)，有(1，yH)，.由BFHF，得0，所以0，解得yH.因此直線MH的方程為yx.設M(xM，yM)，由方程組消去y，解得xM.在MAO中，由MOAMAO，得|MA|MO|，即(xM2)2yxy，化簡，得xM1，即1，解得k或k.所以直線l的斜率的取值范圍為.思維升華 解決圓錐曲線中的取值范圍問題應考慮的五個方面(1)利用圓錐曲線的簡單性質或判別式構造不等關系，從而確定參數的取值范圍(2)利用已知參數的范圍，求新參數的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數之間的等量關系(3)利用隱含的不等關系建立不等式，從而求出參數的取值范圍(4)利用已知的不等關系構造不等式，從而求出參數的取值范圍(5)利用求函數的值域的方法將待求量表示為其他變量的函數，求其值域，從而確定參數的取值范圍跟蹤訓練 (2018開封質檢)已知橢圓C：1(ab0)與雙曲線y21的離心率互為倒數，且直線xy20經過橢圓的右頂點(1)求橢圓C的標準方程；(2)設不過原點O的直線與橢圓C交于M，N兩點，且直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數列，求OMN面積的取值范圍解(1)雙曲線的離心率為，橢圓的離心率e.又直線xy20經過橢圓的右頂點，右頂點為點(2,0)，即a2，c，b1，橢圓方程為y21.(2)由題意可設直線的方程為ykxm(k0，m0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)聯立消去y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0，則x1x2，x1x2，于是y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2.又直線OM，MN，ON的斜率依次成等比數列，故k2，則m20.由m0得k2，解得k.又由64k2m216(14k2)(m21)16(4k2m21)0，得0m22，顯然m21(否則x1x20，x1，x2中至少有一個為0，直線OM，ON中至少有一個斜率不存在，與已知矛盾)設原點O到直線的距離為d，則SOMN|MN|d|x1x2|m|.故由m的取值范圍可得OMN面積的取值范圍為(0,1)題型二最值問題命題點1利用三角函數有界性求最值典例 過拋物線y24x的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，點O是坐標原點，則|AF|BF|的最小值是()A2 B. C4 D2答案C解析設直線AB的傾斜角為，可得|AF|，|BF|，則|AF|BF|4.命題點2數形結合利用幾何性質求最值典例 在平面直角坐標系xOy中，P為雙曲線x2y21右支上的一個動點若點P到直線xy10的距離大于c恒成立，則實數c的最大值為_答案解析雙曲線x2y21的漸近線為xy0，直線xy10與漸近線xy0平行，故兩平行線的距離d.由點P到直線xy10的距離大于c恒成立，得c，故c的最大值為.命題點3轉化為函數利用基本不等式或二次函數求最值典例 (2017山東)在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：1(ab0)的離心率為，焦距為2.(1)求橢圓E的方程；(2)如圖，動直線l：yk1x交橢圓E于A，B兩點，C是橢圓E上一點，直線OC的斜率為k2，且k1k2.M是線段OC延長線上一點，且|MC|AB|23，M的半徑為|MC|，OS，OT是M的兩條切線，切點分別為S，T.求SOT的最大值，并求取得最大值時直線l的斜率解(1)由題意知e，2c2，所以c1，所以a，b1，所以橢圓E的方程為y21.(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯立方程得(4k2)x24k1x10.由題意知0，且x1x2，x1x2，所以|AB|x1x2| .由題意可知，圓M的半徑r為r|AB|，由題設知k1k2，所以k2，因此直線OC的方程為yx.聯立方程得x2，y2，因此|OC|.由題意可知，sin.而，令t12k，則t1，(0,1)，因此1，當且僅當，即t2時等號成立，此時k1，所以sin ，因此，所以SOT的最大值為.綜上所述，SOT的最大值為，取得最大值時直線l的斜率為k1.思維升華 處理圓錐曲線最值問題的求解方法圓錐曲線中的最值問題類型較多，解法靈活多變，但總體上主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、簡單性質以及平面簡單中的定理、性質等進行求解；二是利用代數法，即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個(些)參數的函數(解析式)，然后利用函數方法、不等式方法等進行求解跟蹤訓練 (2018邢臺模擬)已知橢圓y21上兩個不同的點A，B關于直線ymx對稱(1)求實數m的取值范圍；(2)求AOB面積的最大值(O為坐標原點)解(1)由題意知m0，可設直線AB的方程為yxb.由消去y，得x2xb210.因為直線yxb與橢圓y21有兩個不同的交點，所以2b220，將AB的中點M代入直線方程ymx，解得b，由得m或m.(2)令t，則t2.則|AB|，且O到直線AB的距離為d.設AOB的面積為S(t)，所以S(t)|AB|d ，當且僅當t2時，等號成立，此時滿足t2.故AOB面積的最大值為.1(2017河北武邑中學模擬)已知P(x0，y0)是橢圓C：y21上的一點，F1，F2是C的兩個焦點，若0，則x0的取值范圍是()A. B.C. D.答案A解析由題意可知：F1(，0)，F2(，0)，則(x0)(x0)yxy30，點P在橢圓上，則y1，故x30，解得x0，即x0的取值范圍是.2斜率為1的直線l與橢圓y21相交于A，B兩點，則|AB|的最大值為()A2 B. C. D.答案C解析設A，B兩點的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線l的方程為yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，則x1x2t，x1x2.|AB|x1x2|，當t0時，|AB|max.3過拋物線y2x的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，且直線l的傾斜角，點A在x軸上方，則|FA|的取值范圍是()A. B.C. D.答案D解析記點A的橫坐標是x1，則有|AF|x1|AF|cos ，|AF|(1cos )，|AF|.由得1cos ，22(1cos )4，0，b0)的左、右焦點，對于左支上任意一點P都有|PF2|28a|PF1|(a為實半軸長)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1，) B(2,3C(1,3 D(1,2答案C解析由P是雙曲線左支上任意一點及雙曲線的定義，得|PF2|2a|PF1|，所以|PF1|4a8a，所以|PF1|2a，|PF2|4a，在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|，即2a4a2c，所以e3.又e1，所以10)上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|2|MF|，則直線OM的斜率的最大值為()A. B.C. D.1答案A解析由題意可得F，設P(y00)，則()，可得k.當且僅當時取得等號，故選A.6(2017九江模擬)在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線C：x24y，點P是C的準線l上的動點，過點P作C的兩條切線，切點分別為A，B，則AOB面積的最小值為()A. B2 C2 D4答案B解析設P(x0，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，又A，B在拋物線上，所以y1，y2.因為y，則過點A，B的切線分別為y(xx1)，y(xx2)均過點P(x0，1)，則1(x0x1)，1(x0x2)，即x1，x2是方程1(x0x)的兩根，則x1x22x0，x1x24，設直線AB的方程為ykxb，聯立得x24kx4b0，則x1x24b4，即b1，|AB|x1x2|，O到直線AB的距離d，則SAOB|AB|d2，即AOB的面積的最小值為2，故選B.7(2017泉州質檢)橢圓C：y21(a1)的離心率為，F1，F2是C的兩個焦點，過F1的直線l與C交于A，B兩點，則|AF2|BF2|的最大值為_答案7解析因為橢圓C的離心率為，所以，解得a2，由橢圓定義得|AF2|BF2|AB|4a8，即|AF2|BF2|8|AB|，而由焦點弦性質，知當ABx軸時，|AB|取最小值21，因此|AF2|BF2|的最大值為817.8(2018屆貴州黔東南州聯考)定長為4的線段MN的兩端點在拋物線y2x上移動，設點P為線段MN的中點，則點P到y(tǒng)軸距離的最小值為_答案解析設M(x1，y1)，N(x2，y2)，拋物線y2x的焦點為F，拋物線的準線為x，所求的距離d，所以(兩邊之和大于第三邊且M，N，F三點共線時取等號)9(2017泉州模擬)橢圓1的左、右焦點分別為F1，F2，過橢圓的右焦點F2作一條直線l交橢圓于P，Q兩點，則F1PQ的內切圓面積的最大值是_答案解析令直線l：xmy1，與橢圓方程聯立消去x，得(3m24)y26my90，可設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1y2，y1y2.可知SF1PQ|F1F2|y1y2|12，又，故3.三角形的周長與三角形內切圓的半徑的積是三角形面積的二倍，三角形的周長l4a8，則內切圓半徑r，其面積最大值為.10(2018日照模擬)若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最小值為_答案6解析點P為橢圓1上的任意一點，設P(x，y)(3x3，2y2)，由題意得左焦點F(1,0)，(x，y)，(x1，y)，x(x1)y2x2x2.3x3，x，2，2，6212，即612.故最小值為6.11已知橢圓C：x22y24.(1)求橢圓C的離心率；(2)設O為原點，若點A在直線y2上，點B在橢圓C上，且OAOB，求線段AB長度的最小值解(1)由題意，得橢圓C的標準方程為1，所以a24，b22，從而c2a2b22，因此a2，c.故橢圓C的離心率e.(2)設點A，B的坐標分別為(t,2)，(x0，y0)，其中x00.因為OAOB，所以0，即tx02y00，解得t.又x2y4，所以|AB|2(x0t)2(y02)22(y02)2xy4x44(0x4)因為4(0b0)的左、右焦點分別為F1，F2，離心率為e1；雙曲線C2：1的左、右焦點分別為F3，F4，離心率為e2.已知e1e2，且|F2F4|1.(1)求C1，C2的方程；(2)過F1作C1的不垂直于y軸的弦AB，M為弦AB的中點，當直線OM與C2交于P，Q兩點時，求四邊形APBQ面積的最小值解(1)因為e1e2，所以 ，即a4b4a4，因此a22b2，從而F2(b,0)，F4(b,0)，于是bb|F2F4|1，所以b1，a22.故C1，C2的方程分別為y21，y21.(2)因為AB不垂直于y軸，且過點F1(1,0)，故可設直線AB的方程為xmy1.由得(m22)y22my10.易知此方程的判別式大于0.設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1，y2是上述方程的兩個實根，所以y1y2，y1y2.因此x1x2m(y1y2)2，于是AB的中點為M，故直線PQ