1.6 完全平方公式 一、教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)目標(biāo)1.完全平方公式的推導(dǎo)及其應(yīng)用.2.完全平方公式的幾何背景.(二)能力目標(biāo)1.經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，進(jìn)一步發(fā)展符號(hào)感和推理能力.2.重視學(xué)生對(duì)算理的理解，有意識(shí)地培養(yǎng)他們有條理的思考和表達(dá)能力.(三)情感目標(biāo)1.了解數(shù)學(xué)的歷史，激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣.2.鼓勵(lì)學(xué)生自己探索算法的多樣化，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力.二、教學(xué)重難點(diǎn)(一)教學(xué)重難點(diǎn)1.完全平方公式的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、語言表述、幾何解釋.2.完全平方公式的應(yīng)用.(二)教學(xué)難點(diǎn)1.完全平方公式的推導(dǎo)及其幾何解釋.2.完全平方公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其應(yīng)用.三、教學(xué)方法引導(dǎo)學(xué)生從面積入手發(fā)現(xiàn)并猜測(cè)完全平方公式，通過合作探索討論用所學(xué)的知識(shí)對(duì)公式進(jìn)行驗(yàn)證.四、教學(xué)過程.創(chuàng)設(shè)問題情景，引入新課師去年，一位老農(nóng)在一次“科技下鄉(xiāng)”活動(dòng)中得到啟示，將一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形農(nóng)田改成試驗(yàn)田，種上了優(yōu)質(zhì)的雜交水稻，一年來，收益很大.今年，又一次“科技下鄉(xiāng)”活動(dòng)，使老農(nóng)鐵了心，要走科技興農(nóng)的路子，于是他想把原來的試驗(yàn)田，邊長(zhǎng)增加b米，形成四塊試驗(yàn)田，種植不同的新品種.同學(xué)們，誰來幫老農(nóng)實(shí)現(xiàn)這個(gè)愿望呢？(同學(xué)們開始動(dòng)手在練習(xí)本上畫圖，尋求解決的途徑)生我能幫這位爺爺.師你能把你的結(jié)果展示給大家嗎？生可以.如圖1所示，這就是我改造后的試驗(yàn)田，可以種植四種不同的新品種.圖1師你能用不同的方式表示試驗(yàn)田的面積嗎？(學(xué)生思考面積的表示方法)法一：改造后的試驗(yàn)田變成了邊長(zhǎng)為(a+b)的大正方形，因此，試驗(yàn)田的總面積應(yīng)為(a+b)2.法二：也可以把試驗(yàn)田的總面積看成四部分的面積和即邊長(zhǎng)為a的正方形面積，邊長(zhǎng)為b的正方形的面積和兩塊長(zhǎng)和寬分別為a和b的面積的和.所以試驗(yàn)田的總面積也可表示為a2+2ab+b2.師很好！同學(xué)們用不同的形式表示了這塊試驗(yàn)田的總面積，進(jìn)行比較，你發(fā)現(xiàn)了什么？生可以發(fā)現(xiàn)它們雖形式不同，但都表示同一塊試驗(yàn)田的面積，因此它們應(yīng)該相等.即(a+b)2=a2+2ab+b2師我們這節(jié)課就來研究上面這個(gè)公式完全平方公式.講授新課1.推導(dǎo)完全平方公式師我們通過對(duì)比試驗(yàn)田的總面積得出了完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2.其實(shí)，據(jù)有關(guān)資料表明，古埃及、古巴比倫、古印度和古代中國人也是通過類似的圖形認(rèn)識(shí)了這個(gè)公式.我們姑且把這種方法看作對(duì)完全平方公式的一個(gè)幾何解釋.能不能從代表運(yùn)算的角度利用多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算推導(dǎo)出這樣的公式呢？想一想：(1)(a+b)2等于什么？你能用多項(xiàng)式乘法法則說明理由嗎？ (同學(xué)們可先在自己的練習(xí)本上推導(dǎo)，教師巡視推導(dǎo)的情況，對(duì)較困難的學(xué)生以啟示)用多項(xiàng)式乘法法則可得(a+b)2=(a+b)(a+b)=a(a+b)+b(a+b)=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2所以(a+b)2=a2+2ab+b2師你能用語言描述這個(gè)公式嗎？( 引導(dǎo)學(xué)生用語言描述公式，學(xué)生齊讀 ) 兩個(gè)數(shù)的和的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和加上它們積的2倍. (2)(ab)2等于什么？你是怎樣想的.(學(xué)生討論，探索結(jié)論，學(xué)生自己回答解決方法)(學(xué)生很容易模仿上面的方法用多項(xiàng)式乘法來解決，老師可以適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)學(xué)生利用剛才驗(yàn)證的公式來解決整個(gè)問題，尋求一個(gè)問題的多種解法)法一：(ab)2=(ab)(ab)=a2abba+b2=a22ab+b2.法二：因(a+b)2=a2+2ab+b2中的a、b可以是任意數(shù)或單項(xiàng)式、多項(xiàng)式.我們用“b”代替公式中的“b”，利用上面的公式就可以得到(ab)2=a+(b)2.師生共析(ab)2=a+(b)2=a2+2a(b)+(b)2=a22ab+b2.于是，我們得到又一個(gè)公式：(ab)2=a22ab+b2師你能用語言描述這個(gè)公式嗎？(學(xué)生模仿上面公式的描述試著自己描述，請(qǐng)學(xué)生回答)兩個(gè)數(shù)的差的平方等于這兩個(gè)數(shù)的平方和減去它們積的2倍.2.應(yīng)用、升華例1利用完全平方公式計(jì)算：(1)(2x3)2； (2) (4x+5y)2； (3) (mna)2.分析：利用完全平方公式計(jì)算，第一步先選擇公式；第二步，明確誰是a，誰是b，準(zhǔn)確代入公式；第三步化簡(jiǎn).、隨堂練習(xí)計(jì)算：(1)(x2y)2；(2)(2xy+x)2；(3)(n+1)2n2.(學(xué)生演板，互相批改)解：(1)(x2y)2=(x)22x2y+(2y)2=x22xy+4y2(2)(2xy+x)2=(2xy)2+22xyx+(x)2=4x2y2+x2y+x2(3)方法一：(n+1)2n2=n2+2n+1n2=2n+1.方法二：(n+1)2n2=(n+1)+n(n+1)n=2n+1. 、課后作業(yè)1.6 完全平方公式（第二課時(shí)）教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)與技能：體會(huì)公式的發(fā)現(xiàn)和推導(dǎo)過程，了解公式的幾何背景，理解公式的本質(zhì)，會(huì)應(yīng)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.2、過程與方法：通過讓學(xué)生經(jīng)歷探索完全平方公式的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括、猜想等探究創(chuàng)新能力，發(fā)展推理能力和有條理的表達(dá)能力.培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力.3、情感態(tài)度價(jià)值觀：體驗(yàn)數(shù)學(xué)活動(dòng)充滿著探索性和創(chuàng)造性，并在數(shù)學(xué)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)與喜悅，樹立學(xué)習(xí)自信心.教學(xué)重點(diǎn)：1、對(duì)公式的理解，包括它的推導(dǎo)過程、結(jié)構(gòu)特點(diǎn)、語言表述(學(xué)生自己的語言)、幾何解釋.2、會(huì)運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.教學(xué)難點(diǎn)：1、完全平方公式的推導(dǎo)及其幾何解釋.2、完全平方公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及其應(yīng)用.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)舊知、引入新知問題1：請(qǐng)說出平方差公式，說說它的結(jié)構(gòu)特點(diǎn).問題2：平方差公式是如何推導(dǎo)出來的？問題3：平方差公式可用來解決什么問題，舉例說明.問題4：想一想、做一做，說出下列各式的結(jié)果.(1)(a+b)2 (2)(a-b)2(此時(shí)，教師可讓學(xué)生分別說說理由，并且不直接給出正確評(píng)價(jià)，還要繼續(xù)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣.)二、創(chuàng)設(shè)問題情境、探究新知一塊邊長(zhǎng)為a米的正方形實(shí)驗(yàn)田，因需要將其邊長(zhǎng)增加b米，形成四塊實(shí)驗(yàn)田，以種植不同的新品種.(如圖)(1)四塊面積分別為： 、 、 、 ；(2)兩種形式表示實(shí)驗(yàn)田的總面積： 整體看：邊長(zhǎng)為 的大正方形，S= ；部分看：四塊面積的和，S= .總結(jié)：通過以上探索你發(fā)現(xiàn)了什么？問題1：通過以上探索學(xué)習(xí)，同學(xué)們應(yīng)該知道我們提出的問題4正確的結(jié)果是什么了吧？問題2：如果還有同學(xué)不認(rèn)同這個(gè)結(jié)果，我們?cè)倏聪旅娴膯栴}，繼續(xù)探索.(a+b)2 表示的意義是什么？請(qǐng)你用多項(xiàng)式的乘法法則加以驗(yàn)證.(教學(xué)過程中教師要有意識(shí)地提到猜想、感覺得到的不一定正確，只有再通過驗(yàn)證才能得出真知，但還是要鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想，發(fā)表見解，但要驗(yàn)證)問題3：你能說說(a+b)2=a2+2ab+b2 這個(gè)等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)嗎？用自己的語言敘述.(結(jié)構(gòu)特點(diǎn)：右邊是二項(xiàng)式(兩數(shù)和)的平方，右邊有三項(xiàng)，是兩數(shù)的平方和加上這兩數(shù)乘積的二倍)問題4：你能根據(jù)以上等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)說出(a-b)2等于什么嗎？請(qǐng)你再用多項(xiàng)式的乘法法則加以驗(yàn)證.總結(jié)：我們把(a+b)2=a2+2ab+b2 (ab)2=a22ab+b2稱為完全平方公式.問題：這兩個(gè)公式有何相同點(diǎn)與不同點(diǎn)？你能用自己的語言敘述這兩個(gè)公式嗎？語言描述：兩數(shù)和(或差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上(或減去)這兩數(shù)積的2倍.強(qiáng)化記憶：首平方，尾平方，首尾二倍放中央，和是加來差是減.三、例題講解，鞏固新知例1：利用完全平方公式計(jì)算(1)(2x3)2 (2)(4x+5y)2 (3)(mna)2 解：(2x3)2 =(2x)2 2(2x)332 = 4x212x9 (4x+5y)2 =(4x)2 2(4x)(5y)(5y)2 = 16x240xy25y2 (mna)2 =(mn)2 2(mn)aa2 = m2 n2 2mna a2交流總結(jié)：運(yùn)用完全平方公式計(jì)算的一般步驟(1)確定首、尾，分別平方；(2)確定中間系數(shù)與符號(hào)，得到結(jié)果.四、練習(xí)鞏固練習(xí)1：利用完全平方公式計(jì)算 (-2t-1)2練習(xí)2：利用完全平方公式計(jì)算(1)(n1)2 n2 (2)練習(xí)3：求的值，其中(練習(xí)可采用多種形式，學(xué)生上黑板板演，師生共同評(píng)價(jià).也可學(xué)生獨(dú)立完成后，學(xué)生互相批改，力求使學(xué)生對(duì)公式完全掌握，如有學(xué)生出現(xiàn)問題，學(xué)生、教師應(yīng)及時(shí)幫助.)五、變式練習(xí)1、下列計(jì)算是否正確？如不正確如何改正？ 2、選擇(1)代數(shù)式2xy-x2-y2=( )A、(x-y)2 B、(-x-y)2 C、