,第二節(jié) 近自由電子近似,本節(jié)主要內(nèi)容：,5.2.1 一維弱周期場(chǎng)的解,5.2.2 一維簡(jiǎn)并微擾的計(jì)算,5.2.3 能帶的三種圖示法,模型：假定周期場(chǎng)起伏較小，而電子的平均動(dòng)能比其勢(shì)能的絕對(duì)值大得多。作為零級(jí)近似，用勢(shì)能的平均值V0代替V(x)，把周期性起伏V(x)-V0作為微擾來(lái)處理。,5.2.1 一維弱周期場(chǎng)的解,1.勢(shì)場(chǎng),(a為晶格常量),5.2 近自由電子近似,我們?nèi)0=0。由于勢(shì)能是實(shí)數(shù),可得關(guān)系式：,2.零級(jí)近似解,按照微擾理論,哈密頓量寫(xiě)成,由,計(jì)入微擾后本征值的一級(jí)和二級(jí)修正為：,波函數(shù)的一級(jí)修正為,將 帶入,可以證明：,利用：,計(jì)入微擾后:,上式右端第一部分為平面波，第二部分為電子在行進(jìn)過(guò)程中遭受到起伏勢(shì)場(chǎng)的散射作用所產(chǎn)生的散射波，各散射波的振幅為：,因?yàn)樗恼穹炎銐虼螅?這時(shí)散射波不能再忽略，此時(shí) 出現(xiàn)能量簡(jiǎn)并，需用簡(jiǎn)并微擾計(jì)算。,5.2.2 一維簡(jiǎn)并微擾的計(jì)算,事實(shí)上，當(dāng)波矢接近布拉格反射條件時(shí)，即,零級(jí)波函數(shù)也必須寫(xiě)成兩波的線性組合。,零級(jí)近似的波函數(shù)應(yīng)該是這兩個(gè)波的線性組合,1.零級(jí)波函數(shù),利用,得到,將上式分別左乘,將波函數(shù)代入薛定諤方程,2.本征值,利用：,得：,要使A，B有非零解，必須滿足,由此求得,代表自由電子在 狀態(tài)的動(dòng)能。,由于 是小量，(1)式只適用于禁帶之上的能帶底部，而(2)式則只適用于禁帶之下的能帶頂部。,在能帶底部，能量隨波矢k的變化關(guān)系是向上彎曲的拋物線；而在能帶頂部，則是向下彎曲的拋物線。,當(dāng)=0時(shí)：,禁帶寬度：,(1)在k=n/a處(布里淵區(qū)邊界上），電子的能量出現(xiàn)禁帶，禁帶寬度為 ；,(2)在k=n/a附近，能帶底部電子能量與波矢的關(guān)系是向上彎曲的拋物線，能帶頂部是向下彎曲的拋物線；,(3)在k遠(yuǎn)離n/a處，電子的能量與自由電子的能量相近。,利用以上特點(diǎn)，可以畫(huà)出在波矢空間近自由電子的能帶。,結(jié)論：,(a)擴(kuò)展區(qū)圖：在不同的布里淵區(qū)畫(huà)出不同的能帶。,5.2.3 能帶的三種圖示法,(c)周期區(qū)圖：在每一個(gè)布里淵區(qū)中周期性地畫(huà)出所有能帶(強(qiáng)調(diào)任一特定波矢k的能量可以用和它相差Kh的波矢來(lái)描述)。,(b)簡(jiǎn)約