第六章 時變電磁場6.1 有一導體滑片在兩根平行的軌道上滑動，整個裝置位于正弦時變磁場之中，如題6.1圖所示?；奈恢糜纱_定，軌道終端接有電阻，試求電流i.解 穿過導體回路abcda的磁通為故感應電流為6.2 一根半徑為a的長圓柱形介質(zhì)棒放入均勻磁場中與z軸平行。設(shè)棒以角速度繞軸作等速旋轉(zhuǎn)，求介質(zhì)內(nèi)的極化強度、體積內(nèi)和表面上單位長度的極化電荷。解 介質(zhì)棒內(nèi)距軸線距離為r處的感應電場為故介質(zhì)棒內(nèi)的極化強度為極化電荷體密度為極化電荷面密度為則介質(zhì)體積內(nèi)和表面上同單位長度的極化電荷分別為6.3 平行雙線傳輸線與一矩形回路共面，如題6.3圖所示。設(shè)、，求回路中的感應電動勢。解 由題給定的電流方向可知，雙線中的電流產(chǎn)生的磁感應強度的方向，在回路中都是垂直于紙面向內(nèi)的。故回路中的感應電動勢為式中故則6.4 有一個環(huán)形線圈，導線的長度為l，分別通過以直流電源供應電壓U0和時變電源供應電壓U（t）。討論這兩種情況下導線內(nèi)的電場強度E。解 設(shè)導線材料的電導率為，橫截面積為S，則導線的電阻為而環(huán)形線圈的電感為L，故電壓方程為當U=U0時，電流i也為直流，。故此時導線內(nèi)的切向電場為當U=U（t）時，故即求解此微分方程就可得到。6.5 一圓柱形電容器，內(nèi)導體半徑為a，外導體內(nèi)半徑為b，長為l。設(shè)外加電壓為，試計算電容器極板間的總位移電流，證明它等于電容器的傳導電流。解 當外加電壓的頻率不是很高時，圓柱形電容器兩極板間的電場分布與外加直流電壓時的電場分布可視為相同（準靜態(tài)電場），即故電容器兩極板間的位移電流密度為則式中，是長為l的圓柱形電容器的電容。流過電容器的傳導電流為可見6.6 由麥克斯韋方程組出發(fā)，導出點電荷的電場強度公式和泊松方程。解 點電荷q產(chǎn)生的電場滿足麥克斯韋方程和由得據(jù)散度定理，上式即為利用球?qū)ΨQ性，得故得點電荷的電場表示式由于，可取，則得即得泊松方程6.7 試將麥克斯方程的微分形式寫成八個標量方程：（1）在直角坐標中；（2）在圓柱坐標中；（3）在球坐標中。解 （1）在直角坐標中（2）在圓柱坐標中（3）在球坐標系中6.8 已知在空氣中，求和。提示：將E代入直角坐標中的波方程，可求得。解 電場E應滿足波動方程將已知的代入方程，得式中故得則由得將上式對時間t積分，得6.9 已知自由空間中球面波的電場為求H和k。解 可以和前題一樣將E代入波動方程來確定k，也可以直接由麥克斯韋方程求與E相伴的磁場H。而此磁場又要產(chǎn)生與之相伴的電場，同樣據(jù)麥克斯韋方程求得。將兩個電場比較，即可確定k的值。兩種方法本質(zhì)上是一樣的。由得將上式對時間t積分，得 （1）將式（1）代入得將上式對時間t積分，得 （2）將已知的與式（2）比較，可得含項的Er分量應略去，且，即將代入式（1），得6.10 試推導在線性、無損耗、各向同性的非均勻媒質(zhì)中用E和B表示麥克斯韋方程。解 注意到非均勻媒質(zhì)的參數(shù)是空間坐標的函數(shù)，因此而因此，麥克斯韋第一方程變?yōu)橛止墅溈怂鬼f第四方程變?yōu)閯t在非均勻媒質(zhì)中，用E和B表示的麥克斯韋方程組為6.11 寫出在空氣和的理想磁介質(zhì)之間分界面上的邊界條件。解 空氣和理想導體分界面的邊界條件為根據(jù)電磁對偶原理，采用以下對偶形式即可得到空氣和理想磁介質(zhì)分界面上的邊界條件式中，Jms為表面磁流密度。6.12 提出推導的詳細步驟。解 如題6.12圖所示，設(shè)第2區(qū)為理想導體（）。在分界面上取閉合路徑。對該閉合路徑應用麥克斯韋第一方程可得 （1）因為為有限值，故上式中而(1)式中的另一項為閉合路徑所包圍的傳導電流。取N為閉合路徑所圍面積的單位矢量（其指向與閉合路徑的繞行方向成右手螺旋關(guān)系），則有因故式（1）可表示為 （2）應用矢量運算公式，式（2）變?yōu)楣实?（3）由于理想導體的電導率，故必有，故式（3）變?yōu)?.13 在由理想導電壁（）限定的區(qū)域內(nèi)存在一個由以下各式表示的電磁場：這個電磁場滿足的邊界條件如何？導電壁上的電流密度的值如何？解 如題6.13圖所示，應用理想導體的邊界條件可以得出在x=0處，在x=a處，上述結(jié)果表明，在理想導體的表面，不存在電場的切向分量Ey和磁場的法向分量Hx。另外，在x=0的表面上，電流密度為在x=a的表面上，電流密度則為6.14 海水的電導率，在頻率f=1GHz時的相對介電常數(shù)。如果把海水視為一等效的電介質(zhì)，寫出H的微分方程。對于良導體，例如銅，比較在f=1GHz時的位移電流和傳導電流的幅度?？梢钥闯觯词乖谖⒉l率下，良導體中的位移電流也是可以忽略的。寫出H的微分方程。解 對于海水，H的微分方程為即把海水視為等效介電常數(shù)為的電介質(zhì)。代入給定的參數(shù)，得對于銅，傳導電流的幅度為，位移電流的幅度。故位移電流與傳導電流的幅度之比為可見，即使在微波頻率下，銅中的位移電流也是可以忽略不計的。故對于銅，H的微分方程為6.15 計算題6.13中的能流密度矢量和平均能流密度矢量。解 瞬時能流密度矢量為為求平均能流密度矢量，先將電磁場各個分量寫成復數(shù)形式故平均能流密度矢量為6.16 寫出存在電荷J的無損耗媒質(zhì)中E和H的波動方程。解 存在外加源和J時，麥克斯韋方程組為 （1） （2） （3） （4）對式（1）兩邊取旋度，得而故 （5）將式（2）和式（3）代入式（5），得這就是H的波動方程，是二階非齊次方程。同樣，對式（2）兩邊取旋度，得即 （6）將式（1）和式（4）代入式（6），得此即E滿足的波動方程。對于正弦時變場，可采用復數(shù)形式的麥克斯韋方程表示 （7） （8） （9） （10）對式（7）兩邊取旋度，得利用矢量恒等式得 （11）將式（8）和式（9）代入式（11），得此即H滿足的微分方程，稱為非齊次亥姆霍茲方程。同樣，對式（8）兩邊取旋度，得即 （12）將式（7）和式（10）代入式（12），得此即E滿足的微分方程，亦稱非齊次亥姆霍茲方程。6.17 在應用電磁位時，如果不采用洛倫茲條件，而采用所謂的庫侖規(guī)范，令，試導出A和所滿足的微分方程。解 將電磁矢量位A的關(guān)系式和電磁標量位的關(guān)系式代入麥克斯韋第一方程得利用矢量恒等式得 （1）又由得即 （2）按庫侖規(guī)范，令，將其代入式（1）和式（2）得 （3） （4）式（3）和式（4）就是采用庫侖規(guī)范時，電磁場A和所滿足的微分方程。6.18 設(shè)電場強度和磁場強度分別為證明其坡印廷矢量的平均值為解 坡印廷矢量的瞬時值為故平均坡印廷矢量為6.19 證明在無源空間（），可以引入一個矢量位Am和標量位，定義為試推導m和的微分方程。解 無源空間的麥克斯韋方程組為 （1） （2） （3） （4）據(jù)矢量恒等式和式（4），知D可表示為一個矢量的旋度，故令 （5）將式（5）代入式（1），得即 （6）根據(jù)矢量恒等式和式（6），知可表示為一個標量的梯度，故令 （7）將式（5）和式（7）代入式（2），得 （8）而故式（8）變?yōu)?（9）又將式（7）代入式（3），得即 （10）令將它代入式（9）和式（10），即得Am和的微分方程6.20 給定標量位及矢量位，式中。（1）試證明：；（2）B、H、E和D；（3）證明上述結(jié)果滿足自由空間中的麥克斯韋方程。解 （1）故則（2） 而（3）這是無源自由空間的零場，自然滿足麥克斯韋方程。技術(shù)官員村位于位于亞運城東部，主干道二以東石樓涌以西的地塊，占地面積、m2，總建筑面積、m2，共包括地下室南區(qū)、地下室北區(qū)、地上部分1棟12棟、服務中心、室外工程等多個單體工程。其中住宅面積m2，共12棟，17棟建筑層數(shù)為11層，812棟11層（局部復式頂層），首層局部架空，布置公建配套設(shè)施。integrated energy, chemicals and textile Yibin city, are the three core pillars of the industry. In 2014, the wuliangye brand value to 73.58 billion yuan, the citys liquor industry slip to stabilise. Promoting deep development of integrated energy, advanced equipment manufacturing industry, changning district, shale gas production capacity reached 277 million cubic metres, built the countrys first independent high-yield wells and pipelines in the first section, the lead in factory production and supply to the population. 2.1-3 GDP growth figure 2.1-4 Yibin, Yibin city, Yibin city, fiscal revenue growth 2.1.4 topography terrain overall is Southwest, North-Eastern State. Low mountains and hills in the city landscape as the main ridge-and-Valley, pingba small fragmented nature picture for water and the second land of the seven hills. 236 meters to 2000 meters above sea level in the city, low mountain, 46.6% hills 45.3%, pingba only 8.1%. 2.1.5 development of Yibin landscapes and distinctive feature in the center of the city, with limitations, and spatial structure of typical zonal group, 2012-cities in building with an area of about 76.2km2. From city-building situation, old town-the South Bank Center construction is lagging behind, disintegration of the old city is slow, optimization and upgrading, quality public service resources are still heavily concentrated in the old town together. Southbank Centre has not been formed, functions of the service area space is missing. Meanwhile, peripheral group centres service was weak and inadequate accounting for city development, suspicious pattern could not be formed. As regards transport, with the outward expansion of cities, cities have been expanding, centripetal city traffic organization has not changed, integrated energy, chemicals and textile Yibin city, are the three core pillars of the industry. In 2014, the wuliangye brand value to 73.58 billion yuan, the citys liquor industry slip to stabilise. Promoting deep development of integrated energy, advanced equipment manufacturing industry, changning district, shale gas production capacity reached 277 million cubic metres, built the countrys first independent high-yield wells and pipelines in the first section, the lead in factory production and supply to the population. 2.1-3 GDP growth figure 2.1-4 Yibin, Yibin city, Yibin city, fiscal revenue growth 2.1.4 topography terrain overall is Southwest, North-Eastern State. 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