i i i i iiii ill l l11 111 1 11 1i y 18 0 5 7 8 2 獨(dú)創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所提交的學(xué)位論文是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下獨(dú)立進(jìn)行研究 工作所取得的成果。據(jù)我所知，除了特別加以標(biāo)注和致謝的地方外，論文 中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對(duì)本人的研究做出重要貢 獻(xiàn)的個(gè)人和集體，均已在文中作了明確的說明。本聲明的法律結(jié)果由本人 承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名： 學(xué)位論文使用授權(quán)書 本學(xué)位論文作者完全了解東北師范大學(xué)有關(guān)保留、使用學(xué)位論文的規(guī) 定，即：東北師范大學(xué)有權(quán)保留并向國(guó)家有關(guān)部門或機(jī)構(gòu)送交學(xué)位論文的 復(fù)印件和電子版，允許論文被查閱和借閱。本人授權(quán)東北師范大學(xué)可以將 學(xué)位論文的全部或部分內(nèi)容編入有關(guān)數(shù)據(jù)庫進(jìn)行檢索，可以采用影印、縮 印或其它復(fù)制手段保存、匯編本學(xué)位論文。 ( 保密的學(xué)位論文在解密后適用本授權(quán)書) 學(xué)位論文作者簽名： 艫 日 期：2 趔f 2 。豆塢 學(xué)位論文 工作單位 通訊地址 電話： 郵編： j 一 摘要 這是一篇關(guān)于h i l b e r t 空間下的再生核理論的研究綜述本文主要分為三部分：第一部 分主要介紹了再生核的產(chǎn)生，以及介紹一些相關(guān)需要的定義，定理；第二部分主要介紹了當(dāng) 我們所研究的函數(shù)是解析時(shí)，單位圓盤上的再生核表示形式以及相關(guān)定理，結(jié)論；第三部分 主要介紹了當(dāng)我們將上述形式推廣到多維時(shí)，相關(guān)定理及其部分應(yīng)用我們最后利用一些 已有的幾何方面理論對(duì)一些再生核空間進(jìn)行分類，這給出了一種新的證明方法 關(guān)鍵詞：再生核；再生核空間；單位圓盤；高維單位球；解析函數(shù)空i - 1 ；h i l b e r t 模 a b s t r a c t t h i si sar e p o r ta b o u tr e p r o d u c i n gk e r n e lo nh i l b e r ts p a c e s i tc o n s i s t so ft h r e ep a r t s t h ef i r s t p a r tf o c u s e so nt h er e g e n e r a t i o no fr e p r o d u c i n gk e r n e l ，a n di n t r o d u c e ss o m ed e f i n i t i o n sn e e d e d t h es e c o n dp a r ti sm a i n l ya b o u ts o m er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m sa n dr e s u l t so fr e p r o d u c i n gk e m e l w h e nt h eh i l b e r ts p a c ec o n s i s t so fa n a l y t i cf u n c t i o n so nt h eu n i td i s k i np a r tt h r e e ，w ee x t e n dt h e r e s u l t so f p a r t2 t om u l t i d i m e n s i o n a lc a s e a tl a s tw ew i l lg i v es o m ec l a s s i f i c a t i o no fs o m et y p e s o fr e p r o d u c i n gk e r n e lh i l b e r ts p a c eb yu s i n gs o m eg e o m e t r i c a lm e t h o d si no p e r a t o rt h e o r y t h i s g i v e san e wp r o o fo ft h ec l a s s i f i c a t i o n k e y w o r d s ：r e p r o d u c i n gk e r n e l ；r e p r o d i n gs p a c e s ；u n i td i s k ；h i g h e rd i m e n s i o n a lu n i tb a l l ； a n a l y t i cf u n c t i o ns p a c e ；h i l b e r tm o d u l e s 目錄 中文摘要i 英文摘要i l 目錄i i i 引言 1 正文： 3 1 再生核與再生核函數(shù)空間 3 1 1 再生核的定義及基本性質(zhì)3 1 2 再生核函數(shù)的幾點(diǎn)性質(zhì)3 2 單位圓盤上的再生核6 2 1 解析函數(shù)所構(gòu)成的再生核空間6 2 2 單位圓盤上具有w 不變核的再生核空間 8 2 3 幾種特殊的w 不變?cè)偕? 3 一類吖不變?cè)偕说姆诸? 2 3 1 幾何分類定理1 2 3 2 多維變量的再生核空間1 4 結(jié)論1 6 參考文獻(xiàn)1 7 致謝1 9 i 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 己l 吉 ji 口 h i l b e r t 空間再生核框架理論在19 3 0 年產(chǎn)生并發(fā)展起來，并已經(jīng)被廣泛應(yīng)用于泛函分析 各個(gè)分支或相關(guān)領(lǐng)域中許多發(fā)表的研究報(bào)告顯示該方法具有很多突出的優(yōu)點(diǎn)，在分析和 處理一些非線性問題時(shí)尤為巧妙 b e r g m a n 在19 3 0 年研究下述微分方程問題時(shí) 券+ 券+ 口( x ，y ) 塞+ 盧( z ，y ) 賽+ 畎z ，y ) “= 0 其中口( x ，y ) ，盧( x ，力，r ( x ，y ) c 2 ( q ) ，q 是有界區(qū)域，口( z ，力，盧( z ，力，畎x ，y ) 是q 內(nèi)的實(shí)解 析函數(shù)，首次給出了再生核的概念及表達(dá)式 j e ( z ，三，d 三e ( z ，三，t ) e x p - fa ( z ，萬) 卻+ 刀( 力 石 其中n ( z ) 是關(guān)于z 的一個(gè)任意解析函數(shù)，彳( z ，z - - ) 是系數(shù)函數(shù)，a ( x ，力，覷五力是延拓函 數(shù)的一個(gè)變換e ( z ，三，f ) 是方程 ( 1 + 產(chǎn)) 島一f - 1 島+ 2 紀(jì)( 島+ 匾+ 雎) = 0 的解 b e r g m a n 稱函數(shù)重( z ，三，d 為微分方程的生成函數(shù)( 也稱b e r g m a n 核函數(shù)) 自此為再生核 的理論研究掀開新的一頁 再生核理論產(chǎn)生于積分理論，那時(shí)的核被認(rèn)為是正定積分算子的連續(xù)核這個(gè)理論是 由d m e r c e r 提出并命名為“正定核” 在3 0 年代，e h m o o r e 也發(fā)現(xiàn)了同樣性質(zhì)的核函數(shù)k ，力并給出了m ) = i f ( x ) ，k ( x ，力) 的形式自此得到再生核的嚴(yán)格形式的定義與此同時(shí)b o c h n e r 研究了具有實(shí)變量x 的連 續(xù)函數(shù)( 力，令核k ，y ) = 妒 一力，此函數(shù)k o ，力具有正定積分方程連續(xù)核的性質(zhì) 十九世紀(jì)3 0 ，4 0 年代，所討論的再生核大都是b e r g m a n 核，b e r g m a n 給出了一元或多 元調(diào)和函數(shù)，分析函數(shù)相對(duì)應(yīng)的核1 9 4 3 年n a r o n s z a j n 概括前人的工作，形成了包括特 例b e r g m a n 核函數(shù)在內(nèi)的系統(tǒng)的再生核理論再生核理論為每一個(gè)特殊例子研究奠定了基 礎(chǔ)，而且大大地簡(jiǎn)化了一些證明過程在這個(gè)理論中，函數(shù)族的核函數(shù)的再生性起著重要的 作用，同時(shí)也證明了再生核也具有正定的h e r m i t i a n 矩陣的性質(zhì)自此，再生核理論逐步成 熟起來h i l b e r t 空間的再生核框架理論在近2 0 年得到了迅速地發(fā)展，并已經(jīng)應(yīng)用于小波 變換，隨杉q 3 2 _ 程處理，信號(hào)處理，機(jī)械學(xué)習(xí)，并且注意到再生核空間框架對(duì)以前處理不好的 實(shí)際問題有了很好的應(yīng)用 現(xiàn)在我們所研究的空間多為單位圓盤上的h i l b e r t 空間如h a r d y 空間，b e r g m a n 空間 等由此可見再生核還是有很好的發(fā)展前景 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 本文總結(jié)了再生核的一般理論，再對(duì)一些平面上的解析函數(shù)構(gòu)成的函數(shù)空間的理論進(jìn) 行了總結(jié)，這些結(jié)論又可以推廣到多維區(qū)域上去我們最后利用一些已有的幾何方面理論 對(duì)一些再生核空間進(jìn)行分類，這給出了一種新的證明方法 2 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 再生核與再生核函數(shù)空間 1 1 再生核的定義及基本性質(zhì) 設(shè)，是定義在占上的函數(shù)構(gòu)成的復(fù)的h i l b e r t 空間先做如下約定： 設(shè)i ，正f ，其內(nèi)積規(guī)定為，以) 廠e 廠的范數(shù)為l i 刀l ，且若fe 只有f ff 稱為一 個(gè)函數(shù)空間下面給出其再生核的定義 定義1 1 【2 】如果x , y e ，稱二元函數(shù)r ( x ，力為，的再生核，如果它滿足： 1 對(duì)于任意的y e ，k ( x ，y ) 作為x 的函數(shù)屬于f 2 對(duì)于任意的y e ，任意的f e f l y ) = f f ( x ) ，k ( x ，y ) ) ， 此時(shí)我們稱，為再生核函數(shù)空間，記疋f y ) = k ( x ，力則髟f 稱為y 處的再生核 1 2 再生核函數(shù)的幾點(diǎn)性質(zhì) ( 1 ) 再生核空間與再生核的對(duì)應(yīng)關(guān)系 再生核空間的很多性質(zhì)可以通過它的再生核來研究，再生核空間和其再生核之間存在 著密切的關(guān)系 再生核的存在性( 見文獻(xiàn) 2 】) 函數(shù)空間，存在再生核r ( x ，力v g e ，如下定義的泛函為連續(xù)的： v f 只f 6 0 = 他) 這是因?yàn)閕 f ( y ) i i l f l l ( r ( x ，力，k ( x ，y ) ) 2 i = k ，力1 1 2 i 們i 另一方面，如果f ( y ) 是連續(xù)泛 函，那么在h i l b e r t 空間的一般理論中均存在一個(gè)函數(shù)g r ( x ) f 使得u ) = ( 廠( x ) ，函( x ) ) ，那 么令k ，y ) = g y ，因此得到了與之對(duì)應(yīng)的再生核 首先如果r ( x ，力是空間，的再生核，那么容易證明k ，力滿足下面的性質(zhì)： a 對(duì)于任意的有限點(diǎn)a l ，a 2 ，a 。e ，矩陣【k ( , t i ，a 朋。抑0 ，此時(shí)我們稱k ( x ，力在 e h m o o r e 下是一個(gè)正定矩陣 b 對(duì)于a l ，如，, t m e ，口l ，o 2 ，o t m c ，等式口f 邵( a f ，乃) = 0j o i k a ，= 0 t , j i = 1 下面我們說明若再生核存在，則是唯一的事實(shí)上，如果k ( x ，力和k 7 0 ，y ) 是空間f 的 再生核，那么對(duì)v y e ，由再生核的定義有： l 峰一蟛0 2 = ( 晦一蟛，髟一蟛) = ( 巧一蟛，晦) 一( k y 一髟，晦) = k t y ，y ) 一( 髟，蟛) 一( 巧，蟛) + ( 蟛，蟛) = k ，力一k ，夕) 一k ，力+ k t y ，y ) = 0 所以凰= kv y ，唯一性得證 如果給定一個(gè)e 兩元函數(shù)k ，力滿足定義1 1 中的條件則令 3 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 a = “，允l ，五2 ，厶e ，其中口l ，口2 ，a 聊c l ， f = 1 ，”， 定義彳上的內(nèi)積運(yùn)算為( 口，b ，b k p j ) = a i b j k a ，( ) 易說明這滿足內(nèi)積的定義 如果么不是完備的，設(shè)其完備化空間是h ，則h 是e 上的再生核空間，且其再生核 為k ( x ，力，這樣我們得到了再生核空間與再生核的一一對(duì)應(yīng)關(guān)系這種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系為我們 通過再生核研究函數(shù)空間本身提供了極大的便利 ( 2 ) 再生核空間的收斂性 我們考慮再生核空間中的收斂關(guān)系，得到如下結(jié)論： ( a ) 設(shè)k ，力是空間f 的再生核，則f 中任意一個(gè)強(qiáng)收斂到的函數(shù)列五是逐點(diǎn)收斂 的如果3 m 0 ，使得，i k ( x ，x ) f 0 ，我們可以選取一個(gè) 有限集0 j ，y 2 ，y t ) ce l ，這樣對(duì)于抄e 1 ，至少存在一個(gè)肌滿足：l i k ( x ，力- k ( x ，y k ) l i 南， 這里m = 1 u b 。0 厶m 更進(jìn)一步，如果我們?nèi)《╪ o ，當(dāng)以 n o 且v o , ) 一石饑) i 丟時(shí)，對(duì)于咖e l ，我們有 v o , ) 一工) i = i 一f o k ) ) + 懶) 一l 0 k ) ) + 0 , k ) 一石) ) i l y 0 k ) 一 ( 欺) l + i ( 廠( x ) 一石( z ) ，k ( x ，力一k ，肌) ) l ；+ i i 一石l li i k ( x ，力一k ( x ，y k ) l l ；+ 2 m 南 f ( 3 ) 再生核的和 下面我們考慮再生核的一些重要的運(yùn)算性質(zhì)，一個(gè)重要的結(jié)論是； 定理1 2 【2 】 k l ，力與島( x ，力分別是再生核空間，l ，足的再生核，其中f l ，足都是 e 上的函數(shù)空間，且f 1 ，足的范數(shù)表示形式分別為l l 憶2 ，其中k l ，恐為正定矩陣，那 么k = k 1 + 媧也是正定矩陣，如果，是所有= z + 正組成的函數(shù)類空間，f 中范數(shù)規(guī) 定為i l f l l 2 = m i n e l l a l l ；+ i i a i l ； ，最小值從所有= 石+ 正的分解中取到，其中彳r ，i = 1 ，2 那么k 是空間f 的再生核 坩 有了上述定理我們就可以求出個(gè)再生核的直和的相關(guān)性質(zhì)，也就是說k ( x ，力= z ，z f - l 只，并且范數(shù)表示形式為岍1 2 = m i n em 嘲 f = l 一個(gè)特別有用的情形是，當(dāng)，ln 足= o ，f 的范數(shù)表示為l l 刀1 2 = 岍略+ l 嚨峨這里f l 與r 在空間f 中是互補(bǔ)的，即f = f l 兮，2 ，這時(shí)f 為f l 與r 的直和，f = ，五) 歷f i 4 飛 ， 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 內(nèi)積規(guī)定如下：f = ，正) ，g = q l ，9 2 ) ，則 = 接下來我們考慮再生核的差分定義 定義1 3設(shè)e 上的二元函數(shù)k 1o ，力，k ( x ，y ) 是兩個(gè)正定矩陣，如果k ( x ，力一k i ( x ，力 也是一個(gè)正定矩陣，那么我們記作k l k 這樣我們可以在再生核的集合中建立一種偏序標(biāo)志 定理1 4 【2 】如果k 與筠是e 上函數(shù)類f 與，l 的再生核，并且只f l 的范數(shù)表示分 別為，1 ，如果k l k ，那么f lc 只i 忻0 i 們i ，啊f 1 ( 4 ) 再生核的積 定理1 5 p f 1 ，f 2 分別是e l ，e 2 上的再生核空間，其再生核分別是k l ( x ，y ) ，& ( x ，力， 則直積空間f = f 1o r 的再生核為 k 7 0 l ，x 2 ；y i ，y 2 ) = k l ( x l ，y 1 ) k 2 2 ，y 2 ) x i f l ，y i f 2 ，i = 1 ，2 這里f 中元素石。五為e lx e 2 上的函數(shù) 一個(gè)有趣的例子如下： 例lf l o ，1 3 】：算子理論與函數(shù)論中一個(gè)十分有趣的例子是h a r d y 空間 h 2 ( d ) = ：d _ c 解析i 且s u p 擊f i f ( r d 。) 1 2 d o + 1 u r 1 0 2 ，r2 ，r 規(guī)定y f h 2 ( d ) ，i l 1 1 2 = 耋里五i ，l 八) 1 2 d o = 牌五if i f ( r e 棚) 1 2 d o u r l 時(shí)吼是加權(quán)的b e r g m a n 空間：( d ，( 1 一i z l 2 r 2 d a ) 例2 1 1 令他) = 1 一l n ( 1 一z ) = l + z n 由這個(gè)冪級(jí)數(shù)導(dǎo)出的再生核空間為經(jīng)典 的d i r i c h l e t 空間d ，由定理2 7 其標(biāo)準(zhǔn)正交基底為 1 ，z ，少訴，) ，我們說明這個(gè)空間的 內(nèi)積運(yùn)算為：曲= f ( o ) g ( o ) + ( 廠，) 厶( d ) ，v , g 望) 2 ( 2 2 ) 證明：設(shè)易，4 為d 2 在五，, f f n g 生核，其中e o = 1 ，= 殺，由( 2 1 ) 知e a = e n ( a ) e ，邑= e n ) 萬 故有( e a ，邑) = ( 1 + e u ( a ) e n ，1 + 島) e 。) = 1 + e n ( a ) e n ( i t ) ( e 。，e n ) = 三毛磊+ t ：1 + 至挈 西( 0 ) = 1 + ( a ) ( o ) = 1 同理得q ( 0 ) = 1 髟( z ) = 三( 五) ( z ) = 圣南意少_ 1 打= iw = l 髟= 乞南少_ 1 l o 夕 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 陋：，e ) = j 髟髟q ) 出國(guó) d = f 量7 少一，量矽一d a z ) ( 其中d a ( z ) = 竽= 半) ：；，于量7 陽廠h 以陀f ) 肌r d r d o ：，于黑鞏m v 硼 ：泣砟m ，弘+ n - i e i ( n + r n , , a ) d 8 只有當(dāng)門m 時(shí)均為零所以當(dāng)?shù)? m 時(shí) 原式= ；三而一j 1 戶戶川d e = ；1 蘭砟”荔 ：蘭- - 1 砟一2 1 伍_ ，b ) = e ，l ( o ) e a o ) + ( 髟，髟) l ：( d ) 由于s p a n e ：a d 1 在驢中稠密，從而 v f , g 驢有( 2 2 ) 成立 定義2 7如果再生函數(shù)空間硝r 的標(biāo)準(zhǔn)正交基底為 口：7 2 少：a n 0 1 ，這里a l = 0 ，且 算子必滿足夠少= a 。n - 。i 尹一，則稱必是竹上的坐標(biāo)乘法算子 定理2 8 t 1 1 】對(duì)于坐標(biāo)乘法算子，我們有下面的結(jié)論： 1 m 7 m ：= 2 - - i 矛： 。* 2 i v ：, m 。? = 蘭l 。 一 q n + i 推論2 9 【1 l 】如果尬是糾，上的坐標(biāo)乘法算子，則有： 1 算子必是有界的當(dāng)且僅當(dāng)s u p 丑a n + i o肼o 一 一， 6 = 穢，6 ( ) = 翻 1 3 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 代入( 3 1 ) 式我們得到鋤( 止y = ( c ) ( 石礬) ( b m ( 止) ”) ( 3 2 ) h 0k z 0z 0o 令t = 0 得到a 0 = b o c o ( c ) 七2 0 由上述印的展開式每一項(xiàng)都是常數(shù)，我們得到c k = 0 ，k 1 代入上述( 簟) 式得到 ( 塒”= i c o l 2 b m ( 七) ” 由定理2 1 1 ( 3 ) ，因?yàn)橹衽c乓的酉等價(jià)所以算子【，滿足u f = 礬又因?yàn)? = c o ，所 以u(píng) f = c o f 因此有l(wèi) c o l 2 = 1 代入上述等式我們得到 a n ( 腳”= b m o z ) ” 由上述展開式對(duì)應(yīng)的系數(shù)相等我們得到a n = b 。，y n n + 故得證 通過這種新的證明方法，我們得到a n = b 。，也就是本文的重要結(jié)論事實(shí)上，上述結(jié)論 在多維空間中同樣成立，后面我們給出證明 3 2 多維變量的再生核空間 定義3 4設(shè)q ，h 是q 上的解析函數(shù)構(gòu)成的h i b e r t 空間對(duì)于y a q 在h 上 都能找到與之唯一對(duì)應(yīng)的連續(xù)線性函數(shù)f ( a ) = k a ) ，f hk a 稱為函數(shù)空間日的再生核 定義3 5 1 2 】 球 z c d ：i z l ，- 記作b ：，設(shè)媯是球b ：上的再生核，稱k 是w 不變 的，如果滿足：對(duì)于任意一個(gè)酉映射u ：c d - c d ，有k v a ( u z ) = k a ( z ) ，y a ，z 嵫 我們知道一個(gè)再生核空間是由它的再生核唯一確定的，這一章節(jié)我們主要研究當(dāng)再生 核是多維變量的時(shí)候前面介紹的主要定理和性質(zhì)是否成立 同樣由一個(gè)常規(guī)的證明方法可以得到對(duì)于b 二上的w 不變核k 存在唯一一個(gè)具有非負(fù) 系數(shù)的冪級(jí)數(shù)f = 少滿足當(dāng)收斂半徑r r 2 ，使得k a 0 ) = 八 ) 盯 這樣，我們將其拓展為b y ，因此就容易去檢驗(yàn)是否具有一個(gè)非負(fù)系數(shù)的冪級(jí)數(shù)廠= 使得k a ( z ) = 鋤 ”，其中k a ( z ) 是b y 上的w 不變?cè)偕?，這里r 是這個(gè)級(jí) 盯月 _ 數(shù)的收斂半徑接下來我們就可以考慮b y 上由w 不變?cè)偕藢?dǎo)出的函數(shù)廠現(xiàn)在定義形 為函數(shù)廠構(gòu)成的再生函數(shù)空間 定理3 6 【1 2 】再生函數(shù)空間彰有標(biāo)準(zhǔn)正交基 a l a l 詈弘嚴(yán)：a h a l 0 1 證明：設(shè)是具有一組標(biāo)準(zhǔn)正交基底的h i l b e r t 空間，我們令= a l 。l 簪】 嚴(yán)那么對(duì)于 y h h ，h 可以表示為h = b a e a ，并且有阮1 2 對(duì)于任意的leb y ，在a 點(diǎn)對(duì)h 的賦 口仃 值e a ( h ) 滿足： 1 4 i 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 i e 。( 辦) l = i 善6 口( a ) is ( 薈1 6 口1 2 ) i 2 ( 、y 口, l e , , ( a ) 1 2 ) 2 = l 川2 ) 顧?quán)]) = - 瀝( i , t 1 2 ) l l h l l 這就意味著易是連續(xù)的，并且很容易證明e a = p 口( a ) 更進(jìn)一步說，如果易( 辦) = 0 ，我們有表達(dá)式 刮“i 自( ) ln 礬卜硎b ：o 一“ 得到b 。= 0 ，故h = 0 同樣我們可以得到s p a n e a ：a b 嚴(yán)】在日中是稠密的，對(duì)于任意的a ，乒b 夕，我們有 h - - , - = 八 ) 有了這個(gè)定理我們接下來討論高維區(qū)域上再生核的一些結(jié)論： 定義3 7 t 5 9 】 設(shè)域山eq c 所，若b ( 7 - t ) 中的肌重算子組t = ( t l ，乃，l ) ，滿足： ( 1 ) r a nd r ，是閉集，這里d 7 _ ：甜_ i to 穢有：d r h = ( t l h ，l ) ，h 7 - t ，山q ； ( 2 ) s p a n l k e r d 7 。：u q l 在何中是稠密的； ( 3 ) d i mk e r d p 。= k ，v 叫q 則將集合b ( 斜) 記為b k ( f 1 ) 定義3 8 如果再生函數(shù)空間7 的標(biāo)準(zhǔn)正交基底為 a l a , l 普】 嚴(yán)：口蚓o 】這里口一l = 0 ，且算子組必= ( 必l 一，心) 滿足 嚴(yán)= 罨囂 z 口一日，其中口一e i = ( 口1 ，口f 一1 ，蚴) 則稱必是弼上的坐標(biāo)乘法算子組 1 2 1 定理3 9 【1 2 l對(duì)于上述坐標(biāo)乘法算子，我們有下面結(jié)論： 1 必f 蜂嚴(yán)= 黼嚴(yán)； 2 心必，嚴(yán)= 怒嚴(yán)； 推論3 1 0 1 2嘭上的d 維數(shù)組 必l 一，屹 具有下面的結(jié)論： 1 算子組 必1 一，屹l 是有界的當(dāng)且僅當(dāng)s u p 燾 o o ； 2 算子組 必l 一，心l 是本質(zhì)正規(guī)的當(dāng)且僅當(dāng)j 鯉 燾一等】= 0 同c 上的證明情形類似，我們可得到如下結(jié)論： 定理3 1 l如果硝和群是單位球q 上的解析h i l b e r t 空間，這里地，a ) = 八 ) = a a ”是空間州的再生核，弛，五) = 甙 ) = b 。 ” 是空間野的再生核，空間喇的標(biāo)準(zhǔn)正交基底e a = k 蚓簪 2 尹，空間羅苫的標(biāo)準(zhǔn)正交基底 吒= 【6 跚簪】m 嚴(yán)，若州上的坐標(biāo)乘法算子組曲= ( 必l ，一，心) 與群上的坐標(biāo)乘法算子 組s 尹= ( 必1 一，心) 酉等價(jià)，則a c t = 6 口，這里口= ( a l ，口2 ，a d ) 此定理的證明過程與一維情況下是相同的 1 5 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 結(jié)論 我們上述結(jié)論主要通過考慮再生核的性質(zhì)來研究再生核空間，再生核再生了函數(shù)任意 一點(diǎn)的函數(shù)值考慮了再生和的和，積，差分，以及其收斂性，并給出了與之對(duì)應(yīng)的空間形 式，及其空間內(nèi)積運(yùn)算，這樣我們就得到了其范數(shù)表示形式接下來強(qiáng)調(diào)的是解析函數(shù)所構(gòu) 成的h i l b e r t 空間，這樣我們就可以研究單位圓盤上的再生核及其性質(zhì)w 不變?cè)偕说亩?義給出也就順理成章了有了“不變?cè)偕宋覀兙涂梢跃哂蟹秦?fù)系數(shù)的級(jí)數(shù)與其聯(lián)系，也 就給出了本篇文章的重點(diǎn)我們用了一種特殊地方法證明了具有酉等價(jià)的兩個(gè)再生核函數(shù) 空間級(jí)數(shù)的系數(shù)是相等的并且當(dāng)我們將這個(gè)結(jié)論推廣到多維時(shí)，結(jié)論同樣成立 1 6 ， 礦 、 t 一 t 東北師范大學(xué)碩士學(xué)位論文 參考文獻(xiàn) 1 j i ma g l e ra n dj o h ne ，m c c a r t h y , p i c ki n t e r p o l a t i o na n dh i l b e r tf u n c t i o ns p a c e s m ，g r a d u a t e s t u d i e si nm a t h e m a t i c s ，a m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , p r o v i d e n c e r ，2 0 0 2 ，x x + 3 0 8p p f 2 a r o n s z a j n n ，t h e o r yo fp r o d u c i n gk e r n e l s j ，t r a n s a c t i o n so f t h ea m e r i c a nm a t h e m a t i c a ls o c i e t y , 19 5 0 ，3 3 9 3 6 3 3 c o n w a y j o h n b ，ac o u r s ei nf u n c t i o n a la n a l y s i s ( s e n c o n de d i t i o n ) m ，g r a d u a t et e x t si n m a t h e m a t i c s9 6 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，19 9 0 4 c o w e n m ja n dd o u g l a s r g ，c o m p l e xg e o m e t r ya n do p e r a t o rt h e o r y , a c t am a t h 141 ( 19 7 8 ) n o 3 - 4 ，1 8 7 - 2 6 1 5 c o w e n m ja n dd o u g l a s r g ，o p e r a t o r sp o s s e s s i n ga no p e ns e to fe i g e n v a l u e s ，m e m o r i c a l c o n f f o rf b j e r - r i e s z ，c o l l o q m a t h s o c j b o l y a i ，19 8 0 ，3 2 3 3 41 6 c h e nx i a o m a na n dg u ok u n y u ，a n a l y t i ch i l b e r tm o d u l e s m ，c h a p m a n & h a l l c r cr e s n o t e sm a t h v 0 1 4 3 3 ，2 0 0 3 【7 d o u g l a s r o n a l d g ，b a n a c ha l g e r at e c h n i q u e si no p e r a t o rt h e o r y ( s e n c o n de d i t i o n ) m ，g r a d - u a t et e x t si nm a t h e m a t i c s17 9 ，s p r i n g e r - v e r l a g ，j u l y19 9 8 【8 d o u g l a s r o n a l d ga n dv e m ip a u l s e n ，h i l b e r tm o d u l e so v e rf u n c t i o na l g e b r a s m ，p i t m a n r e s e a r c hn o t e si nm a t h e m a t i c ss e r i e s217 l o n g m a ns c i e n t i f i c & t e c h n i c a l ，h a r l o w , c o p u b l i s h e d i nt h eu n i t e ds t a t e sw i t hj o h nw i l e y & s o n s ，i n c ，n e wy o r k ，19 8 9 【9 r o n a l d g d o u g l a sa n dg m i s r a ，e q u i v a l e n c eo fq u o t i e n th i l b e r tm o d u l e s i i j ，t r a n s h m e r m a t h s o c 36 0 ，2 0 0 8 ，n o 4 ，2 2 2 9 - 2 2 6 4 1 0 k e n n e t hh o f f m a n ，b a n a c hs p a c e so fa n a l y t i cf u n c t i o n s m ，d o v e rp u b l i c a t i o n s ，i n c ，n e w y o r k ，1 9 6 2 11 g u ok u y u n ，r e p r