刪刪 廣西大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說(shuō)明 原創(chuàng)性聲明 本人聲明：所呈交的學(xué)位論文是在導(dǎo)師指導(dǎo)下完成的，研究工作所取得的成果和相 關(guān)知識(shí)產(chǎn)權(quán)屬?gòu)V西大學(xué)所有。除己注明部分外，論文中不包含其他人已經(jīng)發(fā)表過(guò)的研究 成果，也不包含本人為獲得其它學(xué)位而使用過(guò)的內(nèi)容。對(duì)本文的研究工作提供過(guò)重要幫 助的個(gè)人和集體，均已在論文中明確說(shuō)明并致謝。 做作者簽名：嘗兵廖 2 d lp 年6 , 92 | 日 學(xué)位論文使用授權(quán)說(shuō)明 本人完全了解廣西大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定，即： 本人保證不以其它單位為第一署名單位發(fā)表或使用本論文的研究?jī)?nèi)容； 按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版本； 學(xué)校有權(quán)保存學(xué)位論文的印刷本和電子版，并提供目錄檢索與閱覽服務(wù)； 學(xué)?？梢圆捎糜坝　⒖s印、數(shù)字化或其它復(fù)制手段保存論文； 在不以贏利為目的的前提下，學(xué)?？梢怨颊撐牡牟糠只蛉?jī)?nèi)容。 請(qǐng)選擇發(fā)布時(shí)間： ， 醮口時(shí)發(fā)布口解密后發(fā)布 ( 保密論文需注明，并在解密后遵守此規(guī)定) 論文作者簽名：舷廖聊簽名：商勿燕咖多月2 日 s e q 仿緊空間及具有伊一緊有限弱基的空間 摘要 本文主要由兩部分組成，第一部分利用序列開(kāi)集定義了s e q 仿緊空間，并且得 到了這類空間的一些性質(zhì)與特征第二部分利用r u s k 映射和弱開(kāi)映射，建立了具 有d r 緊有限弱基空間與度量空間之間的聯(lián)系，得到了對(duì)度量空間弱開(kāi)m s k - 映射的 一些等價(jià)刻畫(huà) 第一部分主要結(jié)果如下： 結(jié)果1 f 定理2 4 1 ) s e q 仿緊空間的序列閉子空間是s e q 仿緊的 結(jié)果2 ( 定n 2 4 7 ) 設(shè)x 是序列正則空間，則下列論斷等價(jià)： ( 1 ) x 是s e q 仿緊空間； ( 2 ) x 的每一個(gè)序列開(kāi)覆蓋具有盯序列局部有限的序列開(kāi)加細(xì)覆蓋； ( 3 ) x 的每一個(gè)序列開(kāi)覆蓋具有序列局部有限加細(xì)覆蓋； ( 4 ) x 的每一個(gè)序列開(kāi)覆蓋具有序列局部有限的序列閉加細(xì)覆蓋 結(jié)果3 ( 定理2 4 8 ) 設(shè)，是序列正則空間x 至j j s e q 仿緊空間y 上的序列閉，s e q l i n d e l s f 映射，則x 是s e q 仿緊空間 第二部分的主要結(jié)果如下： 結(jié)果4 ( 定理3 4 1 ) 拓?fù)淇臻gx 具有d r 緊有限弱基當(dāng)且僅當(dāng)它是度量空間的弱 開(kāi)m s k 映射象 結(jié)果5 ( 推論3 4 2 ) 對(duì)于拓?fù)淇臻gx ，以下各條等價(jià)： ( 1 ) x 具有盯一緊有限弱基； ( 2 ) x 是度量空間的弱開(kāi)m s 忌一映射象； ( 3 ) x 是度量空間的1 序列覆蓋商r u s k - 映射象 關(guān)鍵詞：s e q 仿緊空間序列空間弱基r u s k 一映射弱開(kāi)映射 t h e s e q p a r a c o m p a c ts p a c e sa n d s p a c e s w i t h 盯c o m p a c t f i n i t ew e a kb a s e s a bs t r a c t t h i sp a p e ri sm a i n l yc o m p o s e do ft w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，t h ea n t h o r d e f i n e ss e q - p a r a c o m p a c ts p a c e sb yt h en o t i o no fs e q u e n t i a ls e t sa n do b t a i n e ss o m e c h a r a c t e r i z a t i o n sa n ds e v e r a lp r o p e r t i e sf o rt h en e ws p a c e s i nt h es e c o n dp a r t ， t h er e l a t i o n sb e t w e e nm e t r i z a b l es p a c e sa n ds p a c e sw i t h 仃一c o m p a c t - f i n i t eb a s e sa x e e s t a b l i s h e db yw e a k - o p e nm a p p i n g sa n dm s k m a p p i n g s t h i sp a p e rg i v e sa l s os o m e i n t e r n a lc h a r a c t e r i z a t i o n so fw e a k - o p e n ，m s k i m a g e so fm e t r i cs p a c e s i nt h ef i r s tp a r t ，w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： r e s u l tl ( t h e o r e m2 4 1 ) t h es e q u e n t i a lc l o s e ds u b s p a c e so fa ns e q - p a r a c o m p a c t s p a c ea r ea l s os e q - p 盯a c o m p a c ts p a c e s r e s u l t2 ( t h e o r e m2 4 7 ) f o ras e q u e n t i a lr e g u l a rs p a c ex ，t h ef o l l o w i n gc o n d i - t i o n sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) xi ss e q - p a r a c o m p a c t ； ( 2 ) e v e r ys e q u e n t i a lo p e nc o v e ro fx h a sas e q u e n t i a lo p e nr e f i n e m e n tt h a ti s 仃- s e q u e n t i a l y ： ( 3 ) e v e r ys e q u e n t i a lo p e nc o v e ro fx h a sar e f i n e m e n tt h a ti ss e q u e n t i a l l yl o c a l - f i n i t e ； ( 4 ) e v e r ys e q u e n t i a lo p e nc o v e ro fx h a sas e q u e n t i a lc l o s e dr e f i n e m e n tt h a ti s s e q u e n t i a l l yl o c a l f i n i t e r e s u l t3 ( t h e o r e m2 4 8 ) i fxi sas e q u e n t i a lr e g u l a rs p a c ea n dyi ss e q - p a r a c o m p a c t ，l ：x _ yi sas e q u e n t i a lc l o s e d ，s e q l i n d e l b fm a p p i n g s ， t h e nxi ss e q p a r a c o m p a c t i nt h es e c o n dp a r t ，w eh a v et h ef o l l o w i n gr e s u l t s ： n 一 r e s u l t4 ( t h e o r e m3 4 1 ) xi sa s p a c e o n l yi fi ti saw e a k l y - o p e n ，m s k i m a g eo f n l w i t ha - c o m p a c t f i n i t ew e a kb a s e si fa n d am e t r i cs p a c e r e s u l t5 ( c o r o l l a r y3 4 2 ) f o ra s p a c ex ，t h ef o l l o w i n gc o n d i t i o n sa r ee q u i v a l e n t ： ( 1 ) xh a sa - c o m p a c t f i n i t ew e a kb a s e s ； ( 2 ) xi saw e a k l y - o p e n ，m s k i m a g eo fam e t r i cs p a c e ： ( 2 ) xi sa 1 _ s e q u e n c e - c o v e r i n g ，q u o t i e n t ，r u s k - i m a g eo fam e t r i cs p a c e k e y w o r d s ：s e q - p a r a c o m p a c ts p a c e s ；s e q u e n t i a ls p a c e s ；w e a kb a s e s ： r u s k - m a p p i n g s ；w e a k l y - o p e nm a p i n g s 目錄 摘要 i a b s t r a c t i i 第一章緒論1 第二章s e q 仿緊空間! 2 2 1 引言2 2 2 定義4 2 3 引理5 2 4 主要結(jié)論5 第三章具有盯一緊有限弱基的空間8 3 1 引言8 3 2 定義8 3 3 引理1 1 3 4 主要結(jié)論1 1 參考文獻(xiàn)1 4 致謝 1 6 攻讀碩士學(xué)位期間發(fā)表的學(xué)術(shù)論文目錄1 7 廣藿k 弋學(xué)碩士學(xué)位圣龜吁 s e q 仿緊空間舀溟有盯一緊有限弱基的空間 第一章緒論弟一早珀下匕 眾所周知，開(kāi)集是拓?fù)鋵W(xué)的基石，給定空間x 的所有開(kāi)集合也就給定了空 間x 的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)；而從序列收斂的角度定義的開(kāi)集一序列開(kāi)集，在拓?fù)鋵W(xué)中也發(fā) 揮著重要的作用2 0 0 2 年a l e d o n n e 和a f e d e l i 利用序列開(kāi)集定義了序列連通性【2 】； 2 0 0 4 年林壽證明了序列連通性可以刻畫(huà)為連通空間的連續(xù)的序列覆蓋映象【3 】而 由序列開(kāi)集刻畫(huà)的序列連通空間及s 連通集有許多有趣的拓?fù)湫再|(zhì)【4 】，這在一定 程度上促進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展本文首先通過(guò)序列開(kāi)集引入s e q 仿緊空間的定義，給 出s e q 仿緊空問(wèn)的刻畫(huà)并討論其子空間的遺傳性，再通過(guò)對(duì)各種映射的研究，給出 了怎么的映射保持及逆映射保持s e q 仿緊性，這些都是對(duì)序列開(kāi)集發(fā)展的進(jìn)一步研 究，從而豐富了拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展基礎(chǔ) 從2 0 世紀(jì)6 0 年代起，廣義度量空間理論一直是一般拓?fù)鋵W(xué)中活躍的研究 方向在廣義度量空間類中，有相當(dāng)一部分的空間在1 9 5 0 年建立的b i n g - n a g a t a - s m i r n o v 度量化定理的基礎(chǔ)上，將基的概念作適當(dāng)?shù)耐茝V，得到各種網(wǎng)來(lái)定義的， 這也產(chǎn)生了廣義度量空間類的有效方法近年來(lái)，對(duì)度量空間的各種刻畫(huà)將弱遺 傳閉包保持集族與緊有限集族推上了廣義度量空間理論的重要位置。2 0 0 4 年，林 壽【1 1 】給出了具有仃緊有限弱基與具有盯一弱遺傳閉包保持弱基的空間之間的關(guān)系 2 0 0 7 年葛英【12 給出了具有盯一緊有限弱基與具有盯一弱遺傳閉包保持s 禮網(wǎng)的空間之間 的關(guān)系王尚志【i s 也對(duì)弱遺傳閉包保持集族與緊有限集族做了一定的研究夏省祥 在文f 1 5 1 中引入了弱開(kāi)映射的概念，并得到了一類g 第一可數(shù)空間的刻畫(huà)李招文 在文f 1 6 1 中引入了r u s k - 映射的概念，并證明了拓?fù)淇臻gx 具有仃緊有限網(wǎng)當(dāng)且僅當(dāng) 它是度量空間的m s k - 映射象本文通過(guò)研究弱開(kāi)映射和r u s k 映射，建立了度量空 間與具有盯緊有限弱基空間之間的聯(lián)系，將有助于完善空間與映射理論 本文所述的空間都假設(shè)為正的，所有映射均為連續(xù)到上的表示自然數(shù)對(duì)于 空間x 的子集族汐及映射，：x y ，記廠( 汐) = 廠( p ) ：p 汐】- 1 廣西大學(xué)碩士學(xué)位論文 s e q 仿緊空間覆具有盯一緊有限弱基的空間 第二章s e q 仿緊空間 2 1引言 序列開(kāi)集是一類廣義開(kāi)集【1 】，2 0 0 2 年a l e d o n n e 和a f e d e l i 利用序列開(kāi)集定義 了序列連通性【2 】；2 0 0 4 年林壽證明了序列連通性可以刻畫(huà)為連通空間的連續(xù)的序 列覆蓋映剩3 】；而由序列開(kāi)集刻畫(huà)的序列連通空間及s 連通集有許多有趣的拓?fù)?性質(zhì)【1 , 4 - 6 ，由此，導(dǎo)致了我們對(duì)于序列開(kāi)集的關(guān)注本章通過(guò)序列開(kāi)覆蓋給出 t s e q 仿緊空間的定義，并給出s e q 仿緊性的刻畫(huà)以及基本性質(zhì) 2 2 定義 定義2 2 1 吲設(shè)x 是一個(gè)空間，尸cx ( 1 ) 若x 中的序列 z n ) 收斂于z ，稱( z n ) 是終于p 的，如果存在m n ，使 得【z ) u x n ：扎m ) cp ( 2 ) p 稱為x 中的點(diǎn)z 的序列鄰域，若x 中序列 z n ) 收斂于z ，則 z n ) 是終于p 的 ( 3 ) p 稱為x 的序列開(kāi)集，若p 是p 中每一個(gè)點(diǎn)的序列鄰域 ( 4 ) p 稱為x 的序列閉集，若- x p 是x 的序列開(kāi)集 ( 5 ) x 稱為序列空間，若x 的每一個(gè)序列開(kāi)集是x 的開(kāi)集 顯然，開(kāi)集是序列開(kāi)集，閉集是序列閉集，并且序列開(kāi)集的任意并是序列開(kāi) 集，序列閉集的任意交還是序列閉集1 7 】 定義2 2 2 【5 1 對(duì)于空間x ，acx ，x 的所有包含a 的序列閉集的交稱為a 的序 列閉包，記為c s ( a ) 定義2 2 3 設(shè)汐是空間x 的子集族 ( 1 ) 汐稱為x 的局部有限集族忉，若對(duì)于每一個(gè)z x ，存在z 在x 中的開(kāi)鄰域u ， 使得 p 汐：p n u 仍) 是有限的 2 s e q 仿緊空間及具有仃一緊有限弱基的空間 ( 2 ) 汐稱為x 的序列局部有限集族【9 】，若對(duì)于每一個(gè)z x ，存在x 中的序列開(kāi) 集u ，使得z u 且 p 汐：p n u 0 ) 是有限的 顯然，空間x 的任一局部有限集族是序列局部有限的若x 是序列空間， 則彩= ) q a 是x 的序列局部有限集族當(dāng)且僅當(dāng)彩是x 的局部有限集族 定義2 2 4 拓?fù)淇臻gx 稱為序列正則空間，如果z x ，及x 的不包含z 的序 列閉集a ，則z 與a 分別有互不相交的序列開(kāi)鄰域，即存在x 的互不相交的序列開(kāi) 集，y ，使得z u 且4cy 定義2 2 5 拓?fù)淇臻gx 稱為序列正規(guī)空間，如果a ，b 是x 中互不相交的序列閉 集，則4 ，b 分別有互不相交的序列開(kāi)鄰域，即存在x 的互不相交的序列開(kāi)集u ，y ， 使得acu 2 _ bcv 定義2 2 6 【1 0 】拓?fù)淇臻gx 稱為& g 緊空間，如果x 的每一個(gè)序列開(kāi)集構(gòu)成的覆 蓋( 簡(jiǎn)稱x 的序列開(kāi)覆蓋) 具有有限子覆蓋 定義2 2 7 拓?fù)淇臻gx 稱為s e g l i n d e l s f 空間，如果x 的每一個(gè)序列開(kāi)集構(gòu) 成的覆蓋( 簡(jiǎn)稱x 的序列開(kāi)覆蓋) 具有可數(shù)子覆蓋 定義2 2 8 拓?fù)淇臻gx 稱為s e g 仿緊空間，如果x 的每一個(gè)序列開(kāi)覆蓋具有序 列局部有限的序列開(kāi)加細(xì)覆蓋( 由x 的序列開(kāi)集構(gòu)成的加細(xì)覆蓋簡(jiǎn)稱序列開(kāi)加細(xì)覆 蓋) 由于開(kāi)集是序列開(kāi)集，易見(jiàn)s e 口緊空間是緊的由于有限子覆蓋是序列局部有 限加細(xì)覆蓋，易見(jiàn)& q 緊空間是s e g 仿緊的若x 是序列空間，則x 是s e q 緊空間當(dāng) 且僅當(dāng)x 是緊空間；x 是s e q 仿緊空間當(dāng)且僅當(dāng)x 是仿緊空間。 定義2 2 9 設(shè)f ：x _ y 是一個(gè)映射 ( 1 ) ，稱為序列連續(xù)映射【5 】，若對(duì)每一個(gè)z x 及x 中的序列 z n ) ，若z n _ z ，則，( z n ) _ ，( z ) ( 2 ) ，稱為s e g 緊映射f l o 】，若對(duì)任一y y ，f 一1 ( 可) 是x 的s e q 緊子集 ( 3 ) f 稱s e q l i n d e l s f 映射，若對(duì)任一y y ，f - 1 ( 可) 是x 的s e q l i n d e l 5 f 子 集 ( 4 ) f 稱為序列閉映射【1 0 】，若a 是x 的序列閉集，則，( a ) 是y 的序列閉集 3 廣西大掌碩士掌位論文 s e q 仿緊空間及具有仃一緊習(xí)r 限弱基的空間 2 3 引理 引理2 3 1 【5 】對(duì)于空間x ，acx ，z x ，則z 島( a ) 當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)于z 的任一 序列鄰域以，滿足以n a d 引理2 3 2 【5 】設(shè)x 是拓?fù)淇臻g，acx ，以下各條成立：( 1 ) acc 8 ( 4 ) ，島( a ) 是 序列閉集；( 2 ) a 是序列閉集當(dāng)且僅當(dāng)c 8 ) = a 引理2 3 3 4 1 設(shè)x 是拓?fù)淇臻g，a ，bcx ，若a 為序列開(kāi)集，j 8 * j a nb = d 當(dāng) 且僅當(dāng)a n 島( j e 7 ) = d 引理2 3 4 【1 0 j 映射f ：x _ y 是序列閉映射當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任掣y ，及x 中包 含，一1 ( y ) 的任一序列開(kāi)集u ，存在x 中的序列開(kāi)集y ，使得，_ 1 ( 可) cv cu z l v = f - 1 ( ，( y ) ) ，( y ) 是y 中的序列開(kāi)集 引理2 3 5f 5 】映射，：x y 是序列連續(xù)映射當(dāng)且僅當(dāng)若a 是空間y 的序列開(kāi) 集，則，一1 ( 以) 是空間x 的序列開(kāi)集 引理2 3 6 【4 】設(shè)x 是一個(gè)拓?fù)淇臻g，a 是x 的序列開(kāi)集( 序列閉集) ，ycx ， 則a n y 是子空間y 的序列開(kāi)集( 序列閉集) 引理2 3 7 【4 】設(shè)x 是拓?fù)淇臻g如果a 是x 的序列閉集，e 是a 的序列閉集，則e 是x 的 序列閉集 一般地，對(duì)于子空間y 中的序列閉集a 不一定存在x 的序列閉集b 使得a = j e 7n y ( 見(jiàn)文f 1 0 1 例) ；這就不同于子空間中閉集合的性質(zhì)對(duì)于子空間y 中的序列開(kāi) 集a 也存在類似的情況 但是，如果子空間y 是x 的序列閉集，根據(jù)引v 1 2 3 6 ，a 是y 的序列閉集當(dāng)且 僅當(dāng)a 是x 的序列閉集；此時(shí)存在x 的序列閉集b 使得a = bn y 引理2 3 8 【9 】設(shè)穸= 兄：口a ) 是空間x 的序列局部有限集族，則u 口ac 8 ( r ) = 島( u a ar ) 引理2 3 9 拓?fù)淇臻gx 是序列正則空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)慨x 趾的序列開(kāi)鄰 域u ，存在x 中的序列開(kāi)集y ，使得z vcc s ( y ) cu 證明：必要性設(shè)拓?fù)淇臻gx 是序列正則空間對(duì)任z x ，u 是z 的序列開(kāi)鄰域， 則u 7 是不含x 的序列閉集，由定義1 4 ，存在x 的互不相交的序列開(kāi)集y ，w ，使 4 s e q 仿緊空間反具r 有仃一緊有限弱基的空間 得z v 且cw ，于是vcw ，w 7cu 又因?yàn)閣 7 是序列閉集，則白( y ) c c s ( 7 ) = w 7 ，從而z vc 島( y ) c 島( w 7 ) cu 充分性對(duì)任z x ，及x 的不包含z 的序列閉集a ，則z a ，a 7 為序列開(kāi)集， 即是z 的序列開(kāi)鄰域，則存在x 中的序列開(kāi)集y ，使得z vca s ( y ) ca 7 于 是y 與x c s ( y ) 是x 的互不相交的序列開(kāi)集，使得z v 且acx c s ( y ) ，則x 是 序列正則空間 引理2 3 1 0 拓?fù)淇臻gx 是序列正規(guī)空間當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任acucx ，a 是x 的序 列閉集，u 是x 的序列開(kāi)集，存在x 中的序列開(kāi)集y ，使得acvc 島( y ) cu 2 4 主要結(jié)論 定理2 4 1s e g 仿緊空間的序列閉子空間是s e q 餳$ 緊的 證明：設(shè)f 是s e q 仿緊空間x 的序列閉子集，設(shè)少= _ 虼) n a 是關(guān)于子空間f 的 任一序列開(kāi)覆蓋則由引理2 3 7 ，對(duì)于f 的每一個(gè)序列閉集f k ，r = f k 為 空間x 的序列閉集置彩= x r 口a ，則彩是空間x 的序列開(kāi)覆蓋由s e 口仿 緊性，存在x 中序列局部有限的序列開(kāi)加細(xì)覆 ) 厴b 置昂= fn ，汐= 昂) 盧b 由定理2 3 6 ，昂是關(guān)于子空間f 的序列開(kāi)集易知對(duì)于每一個(gè)z f ， 存在盧b ，使得z ，則z 昂，從而汐是f 的覆蓋因?yàn)榇嬖诳赼 ，使 得島= f n cf 只c 壇，所以汐是關(guān)于子空間f 的序列局部有限的序列開(kāi) 覆蓋加細(xì)少，從而f 是s e q 仿緊的 引理2 4 2 設(shè)x 是s e g 仿緊空間，a ，b 是互不相交的序列閉集，如果對(duì)每一 個(gè)z b ，存在序列開(kāi)集以，使ac 以，z k 且nk = d ，則存在序列開(kāi) 集u ，y ，使得acu ，bcv ，unv = 仍 證明： x b ) u 【k ) x 6 b 形成空間x 的一個(gè)序列開(kāi)覆蓋，由s e q 仿緊性，存 在序列局部有限的序列開(kāi)加細(xì)覆( d d 置d 1 = d ：d d ，ck 對(duì) 某些z b 成立) 由于kcx 一玩，x 一以是x 的序列開(kāi)集，由引理2 3 3 知， 島( k ) cx 一cx a ，所p a a n c , ( v 2 ) = 0 因此，任取d d i ，a n c , ( w d ) = d ， bcu d d | 由序列局部有限及引理2 3 8 知，u d d 。c 8 ( 眠) = c s ( u d d ，吼) 從而集u = x u d d 1 島( ) 是序列開(kāi)集易驗(yàn)證集u 和集v = u d d 。滿足引 理2 4 2 的要求 定理2 4 3 死的s e g 仿緊空間是序列正規(guī)空間 5 s e q 仿緊空間屈j 有盯一緊有限弱基的空間 證明：先設(shè)引理2 4 2 中的a 是單點(diǎn)集，由噩分離性，引理2 4 2 中的假設(shè)部分成 立，由此引理2 4 2 知死的s e q 仿緊空間是序列正則的，再用一次引理2 4 2 ，得序列 正則的s e q 仿緊空間是序列正規(guī)的 引理2 4 4 每一個(gè)盯序列局部有限的序列開(kāi)覆蓋具有序列局部有限加細(xì)覆蓋 證明：設(shè)彩= u 。f 是某空間的仃序列局部有限的序列開(kāi)覆蓋，每一 個(gè)m ) 是序列局部有限的置巧= 镅，= 一u 七 是x 的閉離散子集) 顯然，空間x 的局部有限集族是遺傳閉包保持集族；也是緊有限集族；遺傳 閉包保持集族是閉包保持集族，也是弱遺傳閉包保持集族；仃一緊有限集族是點(diǎn)可 數(shù)集族 8 廣西大鼉頁(yè)士掌位論文 s e q 仿緊空間及具有仃一緊有p 良弱基的空間 定義3 2 2 【7 】設(shè)汐是( x ，丁) 的覆蓋 ( 1 ) 汐稱為x 的網(wǎng)，如果對(duì)于z u r ，存在p 汐使得z pcu ( 2 ) 汐稱為x 的k 網(wǎng)，若對(duì)于x 中的每一緊子集k z 炙_ x 中包含k 的開(kāi)集u ，存 在汐的有限子族汐，使得kcu 汐cu ( 3 ) 汐稱為x 的c 爭(zhēng)網(wǎng)，若對(duì)于x 中的序列z n jz 及o u 丁，存在m n 和p 汐使得 z ) u x n ：n m ) cp cu ( 4 ) 汐稱為x 的0 3 c 8 * - 網(wǎng)，若對(duì)于x 中的序列。竹一z 趾u 下，存在 z n ) 的 子序列 z n 。) 和p 汐，使得 z n i cp cu ( 5 ) 汐稱為x 的弱基，如果汐= u 級(jí)：z x ) 滿足： ( n ) 在空間x 中，既是點(diǎn)z 處的網(wǎng)； ( 6 ) 若u ，v 咒，則存在w 鞏，使得wcu n y ； ( c ) x 的子集g 是開(kāi)集當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每一個(gè)z g ，存在p 觀使得pcg ( 6 ) 汐稱為x 的s 伽網(wǎng)，如果汐= u 觀：z x ) 滿足： ( o ) 在空間x 中，鞏是點(diǎn)z 處的網(wǎng)； ( 6 ) 若配y 綻，則存在w 咒，使得cu ny ； ( c ) 鞏的每一個(gè)成員都是點(diǎn)z 的序列鄰域 易知，弱基凈s 禮網(wǎng)兮c s 網(wǎng)兮0 3 c 8 網(wǎng)k 網(wǎng) 定義3 2 3f 1 4 】具有仃局部有限弱基的正則空間稱為釅可度量空間 定義3 2 4 設(shè)，：x 叫y 是一個(gè)映射 ( 1 ) ，稱為弱開(kāi)映射【1 5 1 ，如果存在y 的弱基歷= u 玩：y y ) ，且對(duì)每一 個(gè)y y ，存在x ( v ) f 一1 ( y ) ，滿足：z ( 可) 的任何開(kāi)鄰域u ，存在b y 玩，使 得b yc ，( v ) ( 2 ) 廠稱為m s 七一映射【16 】，如果存在以度量空間x 為子空間的乘積空間nk ， 其中每一個(gè)x 均為度量空間，滿足：對(duì)于】廠的任意緊子集及每一個(gè)i n ， c l ( r d - 1 ( k ) ) 是x 的緊子集 ( 3 ) f 稱為1 序列覆蓋映射吲，若對(duì)于y y ，存在z f 一1 ( 可) ，滿足：如果y 的 序列 鯫) 收斂于可，那么存在x 中收斂于z 的序列 z n 】使每一個(gè)z n f - ：( ) ( 4 ) ，稱為商映射【7 】，若f - 1 ( u ) 是叉的開(kāi)子集，則u 是y 的開(kāi)子集 3 3 引理 引理3 3 1 【1 9 】設(shè)，：x y 是一個(gè)映射，x 是第一可數(shù)空間，則，是弱開(kāi)映射 當(dāng)且僅當(dāng)，是1 序列覆蓋商映射 9 廣西大國(guó)覘貫士學(xué)位論文 s e q 仿緊空閭及具有仃一緊有限弱基的粵塑 引理3 3 2 【1 5 】設(shè)，：x 叫y 是一個(gè)m 幽一映射，則存在x 的基留，使得，( 留) 為y 中 的盯一緊有限網(wǎng) 引理3 3 3f 1 6 】具有盯一w h c p 網(wǎng)的肛網(wǎng)的空間具有盯緊有限七一網(wǎng) 引理3 3 4 閉具有點(diǎn)可數(shù)舡網(wǎng)的緊空間是可度量空間 引理3 3 5m 具有點(diǎn)可數(shù)k 一網(wǎng)的舡空間是序列空問(wèn) 引理3 3 6 【7 】具有盯遺傳閉包保持玨網(wǎng)的正則的鳧空間是遺傳亞l i n d e 2 占，空間 引理3 3 7 【7 1 具有o r 遺傳閉包保持k 一網(wǎng)的正規(guī)的尼空間是仿緊空間 引理3 3 8mx 是夕一可度量空間當(dāng)且僅當(dāng)x 具有盯一緊有限閉弱基 引理3 3 9m 可數(shù)緊的半層空間是緊可度量空間 引理3 3 1 0 【1 1 】下述條件等價(jià)： ( 1 ) x 具有仃一緊有限弱基； ( 2 ) x 是具有仃弱遺傳閉包保持弱基的忍一空間； ( 2 ) x 是具有盯一弱遺傳閉包保持弱基的夕第一可數(shù)空間 1 0 s e q 仿緊空間及具有盯一緊有限弱基的空間 3 4 主要結(jié)論 定理3 4 1 拓?fù)淇臻gx 具有伊緊有限弱基當(dāng)且僅當(dāng)它是度量空間的弱開(kāi)r u s k - 映 射象 證明：必要性設(shè)汐= u 現(xiàn)：i ) 是x 的盯緊有限弱基，其中每一個(gè)鞏= r ：q a i 是x 中的緊有限集族，不妨設(shè)每一個(gè)綻關(guān)于有限交封閉并且x 鞏c 現(xiàn)+ 1 賦予每一個(gè)a 離散拓?fù)?，則a 是度量空間置 m = o l = ( o z i ) 1 - ia i ： p 口；：i ) c 汐是x 中某點(diǎn)z ( q ) 在x 的網(wǎng)) 賦予m 為兀a 所誘導(dǎo)的子空間拓?fù)?，則m 是度量空間由于x 是噩的，則z ( 口) 是 唯一確定的，這就通過(guò)，( 口) = z ( 口) 定義了，：m _ x 為m 到x 的映射 ( a ) ，是連續(xù)映射 對(duì)于每一個(gè)q = ) m ，有，) = z ) x ，若u 為點(diǎn)z ( q ) 在x 中的開(kāi)鄰 域，則存在i n ，使得z ( 及) r ；cu 令w = 艫m ：仉) = 瓴) 則彬?yàn)閍 在m e p 的開(kāi)鄰域且廠( ) cp 口。cu 因此，廠是連續(xù)映射 ( b ) f 是滿射 對(duì)于每一個(gè)z x ，設(shè)【他) = n ：存在p 鞏，x p ) 對(duì)于每一個(gè)佻， 設(shè)玩。中含z 的元素為r ，只，則只n nb 級(jí)；設(shè)r 。；= 日n n 只， 口眥a m ，則 只。：i 是點(diǎn)z 的網(wǎng)對(duì)于n n n i ：i 】- ，取q n a n ， r 。= x ，口= ( q n ) ，則a m 且f ( o e ) - x ( c ) f 是m s k 一映射 由于每一個(gè)識(shí)是x 中的緊有限集族，則對(duì)于x 的每一個(gè)緊子集k 及每一個(gè)i ，( 口a i ：只nk 是有限集，置 d i = a a i ：p ank ) 則死，- 1 ( k ) cd i ，即c l ( t r i f _ 1 ( k ) ) cc l ( d i ) = d i ，貝l j c l ( t r i f _ 1 ( k ) ) 是a t 的緊 子集，因此，廠是m s k 映射 ( d ) 廠是弱開(kāi)映射 設(shè)o t = ( 鋤) m 對(duì)于每一個(gè)禮n ，置 b ( a l ，n n ) = 盧m ：對(duì)于i n ，7 r f ( ) = 口 顯然 b ( a l ，q n ) ：禮 構(gòu)成m 中點(diǎn)q 的局部鄰域基令留= b ( 0 1 1 ，q 以) ： 瓴a i ，i n ，n ) ，則留為m 的一個(gè)基下證，( b ( q l ，a n ) ) = n 只。， 其中口n 厶，n n 對(duì)于每一個(gè)訖n 及q n a n ，i n 時(shí)，對(duì)于每一 個(gè)p = ( 屈) m ，i 禮，丌i 夠) = 銚，即尻= q t 因?yàn)?吆：i ) 為點(diǎn)z 盧的網(wǎng)， 所以即n = nr 。因此，( b ( 口l ，o n ) ) cnr 。任取z nr 。， i i s e q 仿鬣空間及具有盯一緊有限弱基的空間 存在p = ( 島) m ，使得，) = z 對(duì)每一們n ，乃c 易+ 竹， 因此存在+ n 4 扣，使得昂，= r 件。，令q = ( 喲) ，則口b ( o q ，q n ) ， 且， ) = z ，即z ，( j e 7 l ，q n ) ) ，因此，nr ；cs ( 1 3 ( a 1 ，o t n ) ) 從而， s ( b ( c , 1 ，o l n ) ) = n 尸口；對(duì)每一個(gè)z x ，置 i ，使得對(duì)每一個(gè)z x ，存 在口廠- 1 ) ，滿足：對(duì)q 的任何開(kāi)鄰域u ，存在只矽石，使得只c ，( u ) 對(duì)每一 個(gè)z x ，置 籮乙= ，( b ) ：口b 留) 羅= u 玩：z x ) 顯然，莎c ，( 留) ，因此莎是x 中的仃一緊有限集族下證莎是x 的弱基顯 然莎滿足定義3 2 2 ( 5 ) 中的條件( 口) 對(duì)每一個(gè)z x ，若配v 兄，存在c ，d 留使得o cnd 且f ( c ) = u ， ，( d ) = v 由于留是m 的基，則存在b 留使得口bccnd ，貝u s ( b ) c ( cnd ) cu nv ，s ( b ) 莎即莎滿足定義3 2 2 ( 5 ) o o 的條件( 6 ) 若gcx 為x 中的開(kāi)集，則對(duì)于每一個(gè)z g ，口i - 1 ( g ) ，由于劈是m 的 基，則存在b 留使得口bc ，- 1 ( g ) ，n ( b ) cg 且f ( b ) z 。 若對(duì)每一個(gè)z gcx ，存在f 玩使得fcg ，則存在b 留使得q b ， f = 廠( b ) 由于b 為點(diǎn)q 的開(kāi)鄰域，是弱開(kāi)映射，則存在只綻使得只c ，( b ) 因此對(duì)于每個(gè)z g ，存在只以使得忍cg 由于汐= u 咒：z x ) 是x 的弱基，所以g 為x 中的開(kāi)集即伊滿足定義3 2 2 ( 5 ) 中的條件( c ) 因此， 莎是x 的弱基即羅是x 的仃一緊有限弱基 由定理3 4 1 及引理3 。3 1 可得： 推論3 4 2 對(duì)于拓?fù)淇臻gx ，以下各條等價(jià)： ( 1 ) x 具有仃一緊有限弱基； 1 2 廣西大學(xué)碩士掌位論文 s e q 仿緊空間及具有盯一緊有限弱基的空間 ( 2 ) x 是度量空間的弱開(kāi)m s 肛映射象； ( 3 ) x 是度量空間的1 序列覆蓋商m s 忌映射象 1 3 s e q 仿緊空間及具- 有仃緊有限弱基的空間 參考文獻(xiàn) 【1 】h u a n gq ，l i ns n o t e so ns e q u e n c e sc o n n e c t e ds p a c e s j ，a c t am a t hh u n g a r ， 2 0 0 6 ，1 1 0 ( 1 2 1 ：1 5 9 1 6 4 2 】a f e d e l ，a l ed o n n e o ng o o dc o n n e c t e dp r e i m a g e s j ，t o p o l o g ya p p l ， 2 0 0 2 ，1 2 5 ：4 8 9 4 9 6 【3 】林壽連通度量空間的映象 j 】數(shù)學(xué)年o j ( a 輯) ，2 0 0 5 ，2 6 ( 3 ) ：3 4 5 3 5 0 【4 】黃琴局部s e q 緊空間 j 】莆田學(xué)院學(xué)報(bào)，2 0 0 8 ，1 5 ( 5 ) ：7 - 1 0 【5 j 黃琴局部序列連通空間 j 】廣西大學(xué)學(xué)報(bào)( 自然科學(xué)版) ，2 0 0 7 ，3 2 ( 1 ) ：8 4 8 8 【6 】周景新，歐陽(yáng)君s 連通空間及其性質(zhì) j 】華北大學(xué)學(xué)報(bào)( 自然科學(xué)版) ，2 0 0 7 ， 8 ( 2 ) ：9 7 - 1 0 0 【7 】林壽點(diǎn)可數(shù)覆蓋與序列覆蓋映射 m 】北京：科學(xué)出版社，2 0 0 2 【8 】黃琴序列連通空間【j 】數(shù)學(xué)研究，2 0 0 5 ，3 8