摘要 摘要 本文的目的是研究o l 一調(diào)和函數(shù)的b o h r 現(xiàn)象所謂q 調(diào)和函數(shù)是b n 上滿足口，= 0 的函數(shù)，其中 恥卜2 ， 一 時(shí)，q - 調(diào)和函數(shù)有b o h r 現(xiàn)象：存在一個(gè)通用的半 徑0 r 1 ，使得對(duì)任一有展式 并在b n 上滿足i f i 咖o l 的o l - 調(diào)和函數(shù)廠， 在b r ：= z 酞“：l x l 兄) 上成立，其中這樣的翮拘最優(yōu)值稱為o - 調(diào)和函數(shù) 的b o h r 半徑，記作r d 進(jìn)一步，r 。是方程 警# = 2 而( 飛差一- 叫礦n 2 ) 在區(qū)間( 0 ，1 ) 內(nèi)的唯一實(shí)根而且心關(guān)于q 嚴(yán)格單調(diào)遞減，并有l(wèi) i m 口一o 。耽= 0 這一結(jié)果推廣了l a i z e n b e r g 和n t a r k h a n o v 在2 0 0 1 年和h t k a p t a n o 謄l u 在2 0 0 6 年分別關(guān)于調(diào)和函數(shù)與雙曲調(diào)和函數(shù)的對(duì)應(yīng)結(jié)果 關(guān)鍵詞q p o s s i o n 核q p o s s i o n 積分q 調(diào)和函數(shù)q 調(diào)和函數(shù)的b o h r 現(xiàn)象 o l 一調(diào)和函數(shù)的b o h r 半徑 z p七 痧 礦島 0 毗舊 腳 = z ， z 毗 z 憊 k 0 毗舊 腳 a b s t r a c t a b s t r a c t t h ep u r p o s eo ft h i st h e s i si st os t u d yt h eb o h rp h e n o m e n o nf o rq - h a r m o n i cf u n c - t i o n s o 一h a r m o n i cf u n c t i o n sa r ef u n c t i o n ss a t i s f y i n g q f = 0 ，w h e r e 恥卜h 2 ， 一互1 ，t h eb o h rp h e n o m e n o na r i s e sf o rq - h a r m o n i c f u n c t i o n s m o r ep r e c i s e l y t h e r ei sau n i v e r s a lr a d i u s0 r 1s u c ht h a t o o d k f f ：- ： k = 0 工，= 1 l o 七砂枷( z ) i c o x ( z ) h o l d so nb n ：= x r ”：i x i 冗 f o ra l l 口- h a r m o n i cf u n c t i o n sfw i t hl f l 咖o lo n b n ，a n dr e p r e s e n t e db yt h es e r i e s o o d k ，( z ) = 。( z ) k = ov = l t h eo p t i m a lv a l u eo fs u c hr si sc a l l e dt h eb o h rr a d i u sf o rq h a r m o n i cf u n c t i o n s f u r t h e r m o r e ，t h eb o h rr a d i u si st h eu n i q u er e a ls o l u t i o no ft h ee q u a t i o n 苦# = 2 礬( 鴨善一1 叫礦n 2 ) i nt h ei n t e r v a l ( 0 ，1 ) ，m o r e o v e r , 見(jiàn)i ss t r i c t l yd e c r e a s i n gi no a n d1 i b 。凰= 0 o u rm a i nr e s u l tg e n e r a l i z e st w op r e v i o u sr e s u l t sb yl a i z e n b e r g ，n t a r k h a n o v ( 2 0 0 1 ) a n dh t k a p t a n o 謄l u ( 2 0 0 6 ) ，w h i c ha r ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t sf o rh a r m o n i c f u n c t i o n sa n dh y p e r b o l i ch a r m o n i cf u n c t i o n sr e s p e c t i v e l y k e yw o r d sq p o s s i o nk e r n e l o p o s s i o ni n t e g r a l口一h a r m o n i cf u n c t i o n st h e b o h rp h e n o m e n n o nf o rq - h a r m o n i cf u n c t i o n st h eb o h rr a d i u sf o ro l - h a r m o n i cf u n c t i o n s ， 口 旦孵 南開(kāi)大學(xué)學(xué)位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本人完全了解南開(kāi)大學(xué)關(guān)于收集、保存、使用學(xué)位論文的規(guī)定， 同意如下各項(xiàng)內(nèi)容：按照學(xué)校要求提交學(xué)位論文的印刷本和電子版 本；學(xué)校有權(quán)保存學(xué)位論文的印刷本和電子版，并采用影印、縮印、 掃描、數(shù)字化或其它手段保存論文；學(xué)校有權(quán)提供目錄檢索以及提供 本學(xué)位論文全文或者部分的閱覽服務(wù)；學(xué)校有權(quán)按有關(guān)規(guī)定向國(guó)家有 關(guān)部門或者機(jī)構(gòu)送交論文的復(fù)印件和電子版；在不以贏利為目的的前 提下，學(xué)校可以適當(dāng)復(fù)制論文的部分或全部?jī)?nèi)容用于學(xué)術(shù)活動(dòng)。 學(xué)位論文作者簽名：剛互方 一、甘 動(dòng)? 年支月弓1 日 經(jīng)指導(dǎo)教師同意，本學(xué)位論文屬于保密，在年解密后適用 本授權(quán)書。 指導(dǎo)教師簽名：學(xué)位論文作者簽名： 解密時(shí)間：年 月 日 各密級(jí)的最長(zhǎng)保密年限及書寫格式規(guī)定如下： 南開(kāi)大學(xué)學(xué)位論文原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學(xué)位論文，是本人在導(dǎo)師指導(dǎo)下，進(jìn)行研究工作 所取得的成果。除文中已經(jīng)注明引用的內(nèi)容外，本學(xué)位論文的研究成果不包含 任何他人創(chuàng)作的、己公開(kāi)發(fā)表或者沒(méi)有公開(kāi)發(fā)表的作品的內(nèi)容。對(duì)本論文所涉 及的研究工作做出貢獻(xiàn)的其他個(gè)人和集體，均已在文中以明確方式標(biāo)明。本學(xué) 位論文原創(chuàng)性聲明的法律責(zé)任由本人承擔(dān)。 學(xué)位論文作者簽名： i 司互葛 知0 9 年歲月；1 日 第一章緒論 第一章緒論 1 1引言 關(guān)于冪級(jí)數(shù)的b o h r 定理是如下的 定理a 若冪級(jí)數(shù)墨oa k z 七在單位圓盤i d 9 中收斂且和函數(shù)的模小于1 ，則 在圓盤( 名：i z i 1 3 ) 上成立而且這個(gè)常數(shù)1 3 是不能改進(jìn)的稱為f 單位圓盤 的) b o h r 半徑 h b o h r 的這個(gè)結(jié)果發(fā)表于1 9 1 4 年事實(shí)上，b o h r 本人最初只證明了( 1 1 ) 在網(wǎng) 盤z ：i z i 1 6 上成立現(xiàn)在這一表述要?dú)w功于m r i e s z ，i s h u r 和r w i e n e r 的工 作 其后的八十年間，除了在 1 8 】與 1 9 】中給出兩個(gè)新證明外，這個(gè)結(jié)果幾乎被人 遺忘了這個(gè)定理重新引起人們的興趣是由于d i x o n 1 2 于1 9 9 5 年應(yīng)用它否定地 回答了算子代數(shù)中一個(gè)存在已久的問(wèn)題：是否滿足y o nn e u m a n n 不等式的b a n a c h 代 數(shù)一定是算子代數(shù) 1 9 9 7 年，h rb o a s 與d k h a v i s o n 在p r o c a m e r m a t h s o c 上發(fā)表一篇短文【9 】， 將b o h r 冪級(jí)數(shù)定理推廣到高維具體地說(shuō)，他們證明了： 定理b 若多重冪級(jí)數(shù)a a z n 在單位多圓柱瀘：= ( z 1 ，) ：m a x ji 勺l o 使得m a x ji i r 時(shí)成立 l q a 擴(kuò)i 1 m r ， 滿足 1 七 z 磨 c 腳 字 2 一 k l 何 一3 第一章緒論 自此以后，b o h r 冪級(jí)數(shù)定理的高維推廣和算子不等式推廣成為一個(gè)活躍的研 究領(lǐng)域我們不準(zhǔn)備作這兩個(gè)方向的綜述，僅列出文獻(xiàn)供有興趣的讀者參考：【4 ，5 ， 8 ，1 0 近年的文獻(xiàn)常用在單位圓盤和單位多圓柱上“發(fā)生b o h r 現(xiàn)象”分別來(lái)指代定 理a 和定理b 2 0 0 0 年，l a i z e n b e r g ，a a y t u n a 和p d j a k o v 在 1 】與【2 】中提出一個(gè)新 的觀點(diǎn)：應(yīng)該把b o h r 現(xiàn)象看作所考慮的函數(shù)空間的基底的一種性質(zhì)而小是看作區(qū) 域的性質(zhì)這個(gè)新觀點(diǎn)使得人們可以在更廣泛的場(chǎng)合談?wù)揵 o h r 現(xiàn)象 我們抄錄兩例，簡(jiǎn)單介紹一下這個(gè)觀點(diǎn)設(shè)m 是一個(gè)復(fù)流形，以日( m ) 記m 上 的全純函數(shù)的空間對(duì)任何緊集kcm ，設(shè) i f i k ：= s u pi f ( z ) l ，f h ( m ) k 這族半范數(shù)i f l j c 定義了日( m ) 中的內(nèi)閉一致收斂拓?fù)?，而? m ) 由此成為一個(gè)f r 6 c h e t 空間日( m ) 中的一個(gè)序列 咖) p ：0 1 稱為日( m ) 的一個(gè)基底，如果對(duì)任何f 日( m ) ， 存在唯一的復(fù)數(shù)列 丘) 使得 f = f 咖， v = o 其中級(jí)數(shù)在mi - i 勾閉一致收斂我們稱基底 妒， 有b o h r 性質(zhì)( b p ) ，如果存在子 集uckcm ，其中u 是開(kāi)集而k 是緊集，使得只要f 日( m ) ，f = 。厶咖就有 一個(gè)正血的結(jié)果是： i f v is u p 協(xié)( z ) i s u pi f ( z ) 1 ( 1 3 ) v = 。0 uk 定理c ( 5 ，t h e o r e m3 3 】) 設(shè)m 是一個(gè)復(fù)流形， 咖) ，- - - - 0 1 是日( m ) 的一個(gè)基 底，滿足? ( i ) q a o 蘭1 ， ( i i ) 存在一點(diǎn)知m ，對(duì)所有的= 1 ，2 有( 詢) = 0 則存在幻的鄰域u 和緊集kcm ，使得只要，日( m ) ，f = 。丘妒，就有 z i s ”fs u pm z ) i s u k pl f ( z ) v = 0 。 。 即基底 釓) 有b o h r 性質(zhì)( b p ) 2 ( 1 4 ) 第一章緒論 反而的例子： 例1 1 ( 1 ，e x a m p l e3 ) 函數(shù) 1 即這個(gè)基底沒(méi)有b o h r 性質(zhì) 這個(gè)把b o h r 現(xiàn)象看作所考慮的函數(shù)空間的基底的一種性質(zhì)的觀點(diǎn)，使我們甚 至可以考慮關(guān)于非全純的函數(shù)類的b o h r 現(xiàn)象，如果這類函數(shù)可以表為某種級(jí)數(shù)展 開(kāi)2 0 0 1 年，l a i z e n b e r g 矛1 3 n t a r k h a n o v 【6 證明了如果一個(gè)二階橢網(wǎng)偏微分方程 的解有h a r n a c k 型估計(jì)。則這些解就出現(xiàn)b o h r 現(xiàn)象特別地，他們還就幾個(gè)具體實(shí)例 計(jì)算了相應(yīng)b o h r 半徑的確切值我們僅引述其中關(guān)于r ”中單位球上b ”調(diào)和函數(shù) 的結(jié)果 設(shè) k ，( ( ) ) 絲。是后次球調(diào)和函數(shù)空間咒南( 釅- 1 ) 的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正交基每個(gè) k ( e ) 是r “中一個(gè)七次齊次調(diào)和多項(xiàng)式圪( z ) 在單位球面s n - - 1 上的限制： k ，x ) = 南k ，( ( ) ，其中z = h ( 熟知r n 中單位球b n 上的一個(gè)調(diào)和函數(shù)，有如下的球調(diào)和展開(kāi)： d k ，( z ) = a k ( z ) ( 1 。6 ) k = 0v = l 所以關(guān)于b n 上的調(diào)和函數(shù)的b o h r 現(xiàn)象就是指：存在一個(gè)通用的半徑0 r 1 ，使 得如果任一調(diào)和函數(shù)廠在b n 上滿足i f l 1 且有如上的展開(kāi)，則 d k i o 七。( z ) i 1 ( 1 7 ) k = ov = l 在球耳：= z r ”： r ) 內(nèi)成立這樣的r 的最優(yōu)值稱為關(guān)于調(diào)和函數(shù) 的b o h r 半徑 l a i z e n b e r g 和n t a r k h a n o v 【6 】證明了： 3 第一章緒論 定理d ( 【6 ，t h e o r e m3 2 】) b ”上的調(diào)和函數(shù)有b o h r 現(xiàn)象，其b o h r 半徑是方程 尚1 ：2 ( 1 8 ) ( 一r ) 肛1 。 ”7 在區(qū)間( 0 ，1 ) 上的r 唯一j 實(shí)根 當(dāng)扎= 2 時(shí)，( 1 8 ) 的唯一根恰是1 3 ，與經(jīng)典i 拘b o h r 定理是相符的 文獻(xiàn) 1 5 1 研究了雙曲調(diào)和函數(shù)的b o h r 現(xiàn)象在這里我們僅引述實(shí)雙曲空間情 形的結(jié)果 現(xiàn)存把中單位球b “看作實(shí)雙曲空間的p o i n c a r 6 模型，即賦以p o i n c a r 6 度量 聹= 等鏟 9 ， 對(duì)應(yīng)的l a p l a c e b e l t r a m i 算子是 丕：= 與攔 如果一個(gè)c 2 函數(shù)，滿足廠= 0 ，我們就稱廠是一個(gè)雙曲調(diào)和函數(shù) 設(shè)廠是一個(gè)雙曲調(diào)和函數(shù)則有如下的展開(kāi)： m ) = 戶死( r ) n 掃( e ) ( 1 1 1 ) 其中 凡c r ，= ；簇呈黼冊(cè)( 1 一詈，尼；忌+ 三；r 2 ) c 2 ， 類似地，雙曲調(diào)和函數(shù)的b o l l r 半徑定義為：區(qū)間( 0 ，1 ) 內(nèi)使得 對(duì)有展式( 1 1 1 ) 且在b ”上滿足i 廠l 1 的雙曲調(diào)和函數(shù)廠成立的最大的正數(shù)r 定理e 雙曲調(diào)和函數(shù)的b o h r 半徑等于 2 1 ( n 一1 ) 一1 2 u ( n 一1 ) 一_ 1 4 ( 1 1 3 ) - 1 2 ， ，( z ) = 。七，慨( z ) ( 1 1 7 ) 砂七p ( z ) ：= r k 皿南皿( r ) k ，( 7 7 ) 其中z = r r ，( 1 1 8 ) 撕卜未毒篙幫 1 19k1 k1 皿蛐( 7 ) ：= 手爭(zhēng)缶 ( ) 磊( 一n ，十等一一q ；+ 若；) 展式( 1 1 7 ) j 弼e b n 上滿足i ，i 九1 的q 調(diào)和函數(shù)t 廠， i o 七。札( z ) i 加( z ) ( 1 2 0 ) 5 第一章緒論 在b r ：= z r 佗：h r ) 上成立我們把這樣的翮拘最優(yōu)值稱為o l - 調(diào)和函數(shù) 的b o h r 半徑 我們需要對(duì)這個(gè)定義解釋一下與調(diào)和函數(shù)及雙曲調(diào)和函數(shù)的b o h r 現(xiàn)象比較， 上述定義中條件i f i r 2 一這表明： 調(diào)和函數(shù)的b o h r 半徑比雙曲調(diào)和函數(shù)的b o h r 半徑來(lái)得大這個(gè)事實(shí)并不明顯 雖然本文主要結(jié)果的證明基本上沿襲了文獻(xiàn)【6 】的思想，但在q 一調(diào)和函數(shù)的情 形技術(shù)難度大得多證明過(guò)程中我們建立了一些關(guān)于具體超幾何函數(shù)的特別的事 實(shí)，如引理3 4 和3 6 這些結(jié)果獨(dú)立存在也是有意義的 1 2 通用的記號(hào)和概念 設(shè)n 1 ，r n 表示n 維實(shí)歐式空間r 竹中的元素記作z = ( x 1 ，z 竹) ，y = ( y 1 ，) 對(duì)x ，y r 佗，x 可表示x 與y 的內(nèi)積，即z y = x i y i x 的歐式范 數(shù)為i x l = ( x z ) 壹r n 中以原點(diǎn)為心的開(kāi)單位球和單位球面分別用b ”與1 表 示( ，叩表示單位球面伊1 上的點(diǎn)通常的記號(hào)d 盯( e ) 表示伊- 1 上的正規(guī)化測(cè)度， 即盯( e ) = 1 r n 上k 次齊次調(diào)和多項(xiàng)式空間表示為7 - l k ( 酞”) ，即 7 - t k ( r 佗) ：- - - - - p i p 是r n 上的k 次齊次調(diào)和多項(xiàng)式) 6 第一章緒論 r ”中后次齊次調(diào)和多項(xiàng)式在單位球而伊_ 1 上的限制稱為k 次球調(diào)和函數(shù)，后次球調(diào) 和函數(shù)空間用7 - t k ( s 肛1 ) 表示，即 咒鳧( 釅- 1 ) = ： f l f 是r 托上的k 次球調(diào)和函數(shù) y k ，( ( ) ) 絲1 是7 - k ( s n - - 1 ) 的一組正交規(guī)范基，特別地k l ( ( ) = 1 函數(shù)z k ( e ，叩) 咒j c ( s n - - 1 ) 表示以? 7 為極點(diǎn)的帶調(diào)和函數(shù)，并且玩( ，叩) 有以下性質(zhì)： 如 ( i ) 玩( e ，? 7 ) = k ( ( ) 圪( 叩) ； v = o ( i i ) 任意 s 艫1 ，磊( e ，( ) = d k ； ( i i i ) 任：意( ，叩s n - 1 , 瓦( ( ，叩) d k 本文中還用至l j g e g e n b a u e r 多項(xiàng)式，我們用符號(hào)( 亡) 表示是以為參數(shù)的m 次 g e g e n b a u e r 多項(xiàng)式，其與以叩為極點(diǎn)的帶調(diào)和函數(shù)z k ( - 1 2 ，任一b 禮_ e a - 調(diào)和函數(shù)廠有如下級(jí)數(shù)展開(kāi) ，( z ) = 札( z ) 第一章緒論 其中知p 定義為： 妒七p ( z ) ：= r 七皿七，a ( r ) r k ，( 7 7 ) 其中z = r 7 7 特別地，0 1 ( x ) = 皿o ，a ( r ) 我們用符號(hào)覡- 廠表示： 妍，= 慨i k ，p 玩表示b n 上有界q 一調(diào)和函數(shù)空間，即 玩：= f l f 是b ”上有界q - 調(diào)和函數(shù)) 囂表示b ”上正值有界q 一調(diào)和函數(shù)空間，即 囂：= ( ，i ，是b n 上有界q 一調(diào)和函數(shù)且，o ) 露表示b ”上q 一調(diào)和函數(shù)并滿足i 廠i 1 的函數(shù)空間，即 露：= f i r 是b 佗_ h a - 調(diào)和函數(shù)并且滿足i ，l 一 ，q p o s s i o n 核定義為 嘶咱a 籌 函數(shù)f l ( s 加1 ，d 仃) ，廠的q - p o i s s o n 積分( 記作i f ) 定義為 或 門( z ) = rx ，( ) ，( e ) 打( e ) 本文中我們會(huì)討論一個(gè)重要問(wèn)題，也就是函數(shù) 風(fēng)( r ) ：= 2 ( 1 一r ) 肼2 a 矗( 善托1 悃三) 一1 的唯一零點(diǎn)問(wèn)題幾表示此方程的唯一零點(diǎn)本文的重要定理5 1 提出此零點(diǎn)p 口是q 一 調(diào)和函數(shù)的b o h r 半徑，我們用心表示 8 第二章預(yù)備知識(shí) 第二章預(yù)備知識(shí) 2 1 球調(diào)和函數(shù) 我們用7 - 1 七( r n ) 表示r 他中七次齊次調(diào)和多項(xiàng)式空間七次球調(diào)和函數(shù)定義為r 佗中后次 齊次調(diào)和多項(xiàng)式在單位球面驢一1 上的限制咒七( 鏟- 1 ) 表示k 次球調(diào)和函數(shù)空間 咒鳧( 鏟一1 ) 在l 2 ( 伊，仃) 的內(nèi)積下成為毗維的h i l b e r t 空間更明確的有 d 七= ( 禮：竺i1 ) + ( 佗：蘭i3 ) ， 則以關(guān)于k 的階為他一2 命題2 1 若r 7 - 1 七( s n - - 1 ) ，日7 - t , ( s n - 1 ) 且七f ，則 r ( ) r ( ) d 盯( ) = 0 此命題說(shuō)明當(dāng)尼z 時(shí)，卒_ f a j t k ( s n - 1 ) 與咒2 ( s n - 1 ) 是正交的 命題2 2 l 2 ( s 一1 ) = o o 七o ：o 咒七( s 儼1 ) 這就是說(shuō)，任一廠l 2 ( 鏟一1 ) 有唯一的表示， 一器。凡，其中r 咒后( 鏟_ 1 ) ， 且級(jí)數(shù)按l 2 拓?fù)涫諗坑?，我們稱之為廠的球調(diào)和展開(kāi) 固定叩s 佗一1 并考慮咒七( 伊- 1 ) 上的線性泛函 a ( h ) = h ( r ) ， 由于咒七( s n - - 1 ) 是有限維的h i l b e r t 空間，必存在唯一的玩( ，叩) 冗南( s n - 1 ) 使得 h ( r 1 ) = 八( 允) = 危( e ) z k ( e ，? 7 ) d 盯( ( ) ( 2 1 ) js n - - i 其中，函數(shù)況( e ，叩) 是以叩為極點(diǎn)的帶調(diào)和函數(shù) 命題2 3 設(shè) k ( 0 ，那么l i m l 一鼎( 。，6 ；c ；) 存在并且 ( i i ) 變換 而( 。，1 ) = 幣r ( c ) 二r ( c 麗- a - b ) ( g a u s s ) 礬( a ，6 ；c ；名) = ( 1 一z ) 。一口一6 況( c a ，c 一6 ；c ；z ) 丹( 口，6 c ；z ) = ( 1 叫川況( 。，c 6 c ；五z ) ( i i i ) 微分公式 ( e u l e r ) ， ( p f a f f ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) 瓦d 冊(cè)( n ，6 ；c ；z ) = 警矗( n + 1 ，6 + 1 ；c + 1 ；班 ( 2 1 1 ) ( i v ) 與疥( a ，6 ；c ；z ) 相關(guān)的兩個(gè)積分 鼎( 叫小扣= 踹 2 f 1 ( a , a - b + 扣= 踹 t s i n 2 b 一1t ( 1 + 2 z c o st + z 2 ) n 出，( 2 1 2 ) jc蒜1 2 s zz 2 抵 億 一1 ( + ) 。 7 2 3q p o s s i o n 核的定義 吒以卜末簿端 億虬皿p 卜2i 菇百# 五崩q _ 4 ：地“壚黑器 定義2 2 設(shè)q 一v 2 ，z b 佗與e s n ，定義口一p o i s s o n 核 嘶，( ) 娟口籌 ( 2 1 5 ) ( 2 1 6 ) 其中島口是在( 標(biāo)注1 ) 中定義的我們之所以稱為“q p o i s s o n 核”，是因?yàn)楫?dāng)q = 0 時(shí)， p q ( z ，( ) 約化為古典的p o i s s o n 核 1 1 第三章兩個(gè)重要引理 第三章兩個(gè)重要引理 在開(kāi)始兩個(gè)重要引理之前，我們先介紹一個(gè)命題，此命題是關(guān)于b ”上q 調(diào)和 函數(shù)的級(jí)數(shù)展開(kāi) 命題3 1 ( 1 3 ，定理2 3 】) 設(shè)o l 一百1 ，b n 上a 調(diào)和函數(shù)可以寫成級(jí)數(shù)的形式 ，( z ) = r 皿彪，。( r ) 屁( 叩) ( 3 1 ) k = 0 其中z = r r ，最7 t k ( s 禮一1 ) ，k = 0 ，1 ，2 并且級(jí)數(shù)( 3 1 ) 在b n 上內(nèi)閉一致收斂 定義一組函數(shù) 咖枷( z ) ：= r 七皿七，。( r ) y k ，( 叩) ( 3 2 ) 其中z = r r ；k = 0 ，1 ，2 ；= 1 ，2 ，鞏特別地，九l ( z ) = 0 , o r ( r ) 注意到 ， _ | c ，( z ) = f 乞( z ，( ) k ，( 一互1 時(shí)，由命題3 1 結(jié)合咒七( s n - - 1 ) 的正交基底 k ，) 絲1 ，可以得到 b “上q - 調(diào)和函數(shù)關(guān)于基底 mk = 0 ，1 ，2 ；= 1 ，2 ，毗) 的展開(kāi)，即任一 q 一調(diào)和函數(shù)廠可以展開(kāi)為 f = f a k b 肌 七上， 特別地，我們?cè)诤竺嫱普? 4 中從另一角度結(jié)合命題4 3 中b n 上的有界o l 一調(diào)和函數(shù)， 是f + l ( 伊，d 盯) 的o l p o s s i o n 積分和命題2 3 中帶調(diào)和函數(shù)磊( 町，( ) 的表達(dá)來(lái) 介紹有界q - 調(diào)和函數(shù)關(guān)于基底 咖妣k = 0 ，1 ，2 ；z ，= 1 ，2 ，以) 的展開(kāi)，并且 給出了系數(shù)口七p 的精確表達(dá)式 引進(jìn)符號(hào)玩，黠分別記作b n 上有界o l 一調(diào)和函數(shù)空間和b n 上正值有界0 1 調(diào)和 函數(shù)空間用袈表示j e 7 n 上q - 調(diào)和函數(shù)且滿足i f i 一1 2 ，k n ，皿七a 既有上界又有下界，并且其上下界是 與k ，佗，q 有關(guān)的正常數(shù) 1 2 第三章兩個(gè)重要引理 證明由( 2 11 ) 與( 2 9 ) 有 導(dǎo)岷小) = a ) 鼎( - - c e + 1 , 七+ 丟叫忌+ 詈+ 1 吵協(xié) = 2 c ( 啪，q ) r ( 1 一) 2 c t 矗( 七+ 詈托1 托七+ 善+ 1 其中 哪= 等鬻盟鏟 根據(jù)g a u s s 超兒何函數(shù)的定義( 2 7 ) ，有 鼎( 尼+ 詈托1 悃艮+ 互n + 1 r 2 ) ：! 墮生量竺! ! ! ! ! 竺2 舞； r ( 七+ 號(hào)+ q )r ( 1 + 乜) r ( k + 鷥+ 1 ) 7 巧 r ( j + k + 詈+ 1 ) j ! 大于零，因?yàn)樯鲜黾?jí)數(shù)的每一項(xiàng)都是正的對(duì)每個(gè)南，a ，皿k ，a 的導(dǎo)數(shù)殺皿k p ( r ) 在 r 0 ，1 ) 上或者恒為正或者恒為負(fù)，且其正負(fù)依賴于k ，q 的大小因此，皿七，。在 區(qū)間【o ，1 ) 上或者單調(diào)遞增或者單調(diào)遞減因?yàn)槟? ( o ) = c k ，a ；皿后，口( 1 ) = 1 ，所以 得到c k ，。皿七，。( r ) 1 或1 皿南，。( 7 ) c k ，口 口 推論3 3 設(shè)q 一1 2 ，則存在一個(gè)與禮，o 有關(guān)的常數(shù)c = c ( n ，口) 滿足 下血介紹本文的兩個(gè)重要引理 引t - 里：3 4 設(shè)q - - 1 2 ，函數(shù) c k n 一2 + i a 屜 ( 3 4 ) 礬( r ) ：= 2 ( 1 一r ) 口而( 蘭托1 悃) 一1 ( 3 5 ) 在區(qū)間( 0 ，1 ) 上有唯一零點(diǎn)兒進(jìn)一步，p a 關(guān)于q 嚴(yán)格單調(diào)遞減，并且 l i r a p a = 0 u 葉。f l u i i n 對(duì)每一個(gè)a - - 1 2 ，容易得玩( o ) = 1 o t 當(dāng)r _ 1 時(shí)，鼠( 7 ) _ 一1 ， 因此h a ( r ) 在區(qū)間( 0 ，1 ) 上至少有一個(gè)零點(diǎn)若進(jìn)一步說(shuō)明鞏( r ) 零點(diǎn)的唯一性，只 要說(shuō)明風(fēng)( r ) 關(guān)于r 在e f n q ( 0 ，1 ) 上嚴(yán)格單調(diào)遞減且l jn - - i 1 3 第二章兩個(gè)重要引理 爭(zhēng)買上，t e t 曼l n ( 2 13 ) ，礎(chǔ)爿口【r j 口j 與為 嘶m ，：( 篙等) 爭(zhēng)口c 1 。問(wèn)一 6 ， 其中c = 2 f ( n 2 ) ( 行r ( ( n 一1 ) 2 ) ) ) 對(duì)風(fēng)( r ) 關(guān)于r 求導(dǎo) 導(dǎo)恥卜恤m 叫州等裝掰旭 顯然有殺凰( r ) - 1 2 ，有 凰。( p a 。) 鞏。( p n 。) = 0 注意到鞏。( o ) = 1 ，可以得到，鞏( r ) 在區(qū)1 泊3 ( o ，p 。) 有零點(diǎn)但是根據(jù)引理的第一 部分知道p a 。是風(fēng)。在區(qū)間( 0 ，1 ) 上的唯一零點(diǎn)，因此，p 口。 兒。由此p a 關(guān)于q 嚴(yán) 格單調(diào)遞減，所以極限p 。：= l i m n 。p 。存在 下面說(shuō)明p 。= 0 任給0 e 1 ，從( 3 6 ) 我們得至l j l i m a 。o o 風(fēng)( e ) = 一1 ，則對(duì) 充分大的o l 來(lái)說(shuō)，鞏( e ) 0 ，同時(shí)注意到鞏( o ) = 1 ，同樣由鞏( 7 ) 的零點(diǎn)的唯一性 知0 p 口 e 而且，當(dāng)q _ + 。時(shí)，p 。單調(diào)遞減收斂于p 。，因而0 p + e 由e 的 任意性知p 。= 0 我們完整的證明了第一個(gè)重要引理3 4 口 實(shí)際上，根據(jù)上面引理的討論，可以得到下面的推論 推論3 5 對(duì)于引理3 4 的p 口，有如下結(jié)論 ( i ) 當(dāng)r 2 咖0 1 ( 7 - ( ) 對(duì)任意的( s 艫1 成立 1 4 第三章兩個(gè)重要引理 證明根據(jù)( 2 9 ) 嘶) _ 2 導(dǎo)器冊(cè)( 飛三一1 叫礦n2 ) “ ( 3 7 ) 通過(guò)引理3 4 的證明我們知道，風(fēng)( r ) 關(guān)于r 在區(qū)間( o ，1 ) 上嚴(yán)格單調(diào)遞減，兇此，當(dāng)r 0 這相當(dāng)于說(shuō)，當(dāng)7 p n 時(shí)， 譬藉 2 鼎( 飛三一1 叫礦n 2 ) 8 ， 兩邊同乘以c o a ( 標(biāo)注1 中定義) ，則由q p o s s i o n 核定義( 2 1 6 ) 與( 3 2 ) 中0 0 1 ( x ) 的定 義，得到 f 公( r c ，( ) 2 0 1 ( r e ) 同時(shí)注意到r ( 聊，e ) r ( 7 e ，e ) 對(duì)任意的7 7 ，e s 艫1 ，0 2 九1 ( r ( ) 到此為止，完成了推論3 5 的證明 口 引理3 6 k n ，函數(shù) 在區(qū)間 0 ，1 ) 上單調(diào)遞增 證明根據(jù)( 2 9 ) 與( 2 1 3 ) ，有 r 皿七+ 1 ，。( r ) rh 、焉丌 蛐( r ) = c k 皿( 1 - 7 2 ) 1 恤鼎( 忌+ 蠆n + a ，1 + q ；七+ 爭(zhēng)2 ) = 器c 1 卅恤毒幕， 令p = 2 r ( 1 + r 2 ) ， 皿七，。( r ) = c ( 1 - r 2 ) 1 恤( 曇) 嘴托，1 。礦( 1 兩2 2 幣k + n - 3 d s 其中c c k ，。端 因此， r 皿k + l ，a ( r ) 皿蛐( r ) 1 5 重 1 一l 蛆瀚一鬣 解一 餓一l 帶田 勰瓣 鼢一蓬| 鋪一昆磨一蜀 皿 第三章兩個(gè)重要引理 對(duì)分子的積分進(jìn)行分部積分得 p _ i 蒜一 定義 函數(shù)錯(cuò)化簡(jiǎn)為 庇+ n 2 + o l 2 k 上n 1 k + n 2 + q k ( p ，8 ) ：= 序) 學(xué)d ( 1 一s 2 ) 呈學(xué) ( 1 一艫) 七+ 詈+ a r 皿七+ 。，a ( r ) r - - 1 1k ( p ，s ) s d s 萌2 百面 ( 可一p s ) 七+ 量+ 口 ( 3 1 0 ) 兇為p = 2 r ( 1 + r 2 ) 關(guān)于r 單調(diào)遞增，所以只要( 3 1 0 ) 的右邊關(guān)于j d 在k i i o ，1 ) 單 調(diào)遞增即可也就是說(shuō)明 大于等于零 注意到 ( 咖s d s ) ( f f k ( 艫) 一( 砒) ( 踟d s ) 鼬，s ) = ( 七+ 詈+ a )1 一p s k ( p ，s ) 把( 3 1 2 ) 帶a n ( 3 1 1 ) ，并把( 3 1 1 ) 寫成雙重積分的形式， l 。r j 一1j 一1 rf 1 2| j 一1j - - 1 pr 2 ll j 1j 1 1 p s s 2 一或 1 p s k ( p ，s ) k ( p ，t ) k ( p ，s ) k ( p ，t ) d s d t 丁二s 2 - 石s t ( 川k ( 刪如出 廠1廠1 七t = i 士i i s 2 一s 1 一p s 1 一p s k ( p ，s ) k ( p ，t ) d s d t 1 6 k ( p , s ) k ( 硝) ) d s 出 ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 如 署名0 一q 廣l 其中 第二章兩個(gè)重要引理 對(duì)于i i ，我們先交換積分次序，然后互換s 與t 因此。 i i z + n = 仁嘶嶄砒獨(dú) 我們完成了此引理的證明 1 7 口 t 出 如 鰣 配 幽 如 m 塒 幻 幻 k k d n 一一 廠 i 如 鰣 捌 p ， “ ， ，i叫 膨 、s， s b ， k 壇 魯?shù)?1 1 1 1廠 第四章o l p o i s s o n 積分 第四章q p o i s s o n 積分 定義4 1 設(shè)函數(shù)，l o o ( 鏟，如) ，定義廠的q p o i s s o n 積, , 分，記作凡【n 【州z ) = r ( z ， - 1 2 ，f c ( s n 一1 ) ，則，的q - p o i s s o n 積 分或 卅是d i r i c h l e t 問(wèn)題 一1 2 ，z b 佗，( s n 一，q p o i s s o n 核展開(kāi)為 r ( z ，( ) = r 南皿鈾( r ) 磊( 7 7 ，e ) k = 0 此級(jí)數(shù)在任意的緊集k s n - x ( kcb ”) 上一致收斂 證明根據(jù)g e g e n b a u e r 多項(xiàng)式的定義( 2 2 ) ，有 ( 1 2 x e + i x l 2 ) 一詈= 注意至l j 1 6 ，p 1 4 1 ，( 7 1 11 ) 】的公式：若 7 - ，則 黜，= 高警c 一 其中 m 一2 后+ 丁r ( k + l ，一7 - 1 2 曠一 而百 令= n 2 + q ，7 = n 2 1 ，( 4 4 ) 為 z 一( 卜+ 2 0 r ( 鷥一1 ) r ( 詈+ n ) o o 1 8 ( ) l x l m r ( m + 一k 1 r ( m + 7 一k + 1 ) z i m ( 4 3 ) ( 4 4 ) ( 4 5 ) ( 4 6 ) m 2 】 c f 一2 m _ v 1 ( o e ) ( 4 7 ) j = o 一 第叫章n p o i s s o n 積分 其中 c j 2m 一巧+ 一1r ( j + o t + 1 ) r ( m + 號(hào)+ q j ) 結(jié)合( 2 4 ) ，( 4 7 ) 化簡(jiǎn)為， 其中 弓 = x e 卜+ 2 口 詈一1 r ( q + 1 )r ( m + 詈一j ) m 一勿+ 詈 1 r ( 詈) 歹! r ( 詈+ 口) 【m 2 】 x l ”c ；一巧( 叼，e ) ， j = o r ( 詈一1 ) 一1r ( 鷥+ 0 1 ) r ( j + q + 1 ) r ( m + 詈+ o l j ) 改變( 4 8 ) 的求和指標(biāo)( m = k + 2 j ) ， z 一( i n + 2 口 然后應(yīng)用( 2 7 ) 進(jìn)一步得 z e 卜+ 2 0 r ( q + 1 )r ( m + 警一j ) ：齋壹h 機(jī)) r ( 警+ q ) 乞r 叫v 叫 j = o r ( j + q + 1 ) r ( k + 詈+ a + j ) l z l 巧 r ( q + 1 1r ( k + 詈+ j ) 歹! 鼎( a + 1 ，尼+ 互n + q ；后+ ；坩磊( 叩，( ) ( 4 8 ) 最后對(duì)上式的兩端同乘以島，n ( 1 一2 ) 1 + 2 口，結(jié)合( 2 1 6 ) 與( 2 9 ) ，同時(shí)注意到標(biāo)注1 皿鳧。的定義( 2 1 4 ) ，則得到所要證明的( 4 3 ) 口 命題4 3 設(shè)q - 1 2 ，廠玩，則存在f + l o o ( 艫，d o ) 4 吏得f 是廣的q p o i s s o n 積分，即 ，( z ) = ，+ ( z ) = r ( z ，( ) 廠+ ( ( ) 打( ( ) js n 一1 證明對(duì)任意e s ”一1 與0 r 1 ，定義 ( ( ) = ，( r ( ) 1 9 ( 4 9 ) 。一 = 一 生釉 旦魚+ + 一 墜r 腳 ，一口 曙一+ r 一曙 一r 第四章q p o i s s o n 積分 因?yàn)椋赽 n 上是有界的，所以集合 ，r ：0 r 1 ) 在l o 。( 鏟，如) 的范數(shù)下也是 有界的根據(jù)b a n a c h a l a o g l u 定理，存在f l 0 0 ( 鏟，d 盯) 與一子列單調(diào)遞增 收斂于1 ，使得 。) 在l o o ( 釅，d o ) 的木弱拓?fù)湎率諗坑趶V固定的x b n ，函數(shù) ehr ( z ， 一1 2 ，f 玩展開(kāi)為級(jí)數(shù)形式? 口 ，= f a k v f b m ( 4 1 0 ) 而對(duì)f 露，其展開(kāi)的系數(shù) o 枷) 有如下的性質(zhì)：l a 0 1 i 1 且 l o 七一佤( 1 一咖1 ) ，k = 1 2 ；= 1 ，2 ，d 南 ( 4 1 1 ) 證明為方便起見(jiàn)，以后我們把命題4 3 中的邊界值函數(shù)廠+ 用廠代替 因?yàn)閺S玩，所以根據(jù)命題4 3 ，我們把( 4 3 ) 帶入( 4 9 ) 中，結(jié)合命題2 3 中帶調(diào) 和函數(shù)玩( 7 7 ，e ) 的表達(dá)，同時(shí)注意到九，的定義( 3 2 ) ，有 m ，= “挈岷毋小洲玳， = “爭(zhēng)岷小，酬卜毗， = 。七，札( z ) ， 第四章n p o i s s o n 積分 其中 。枷= k 。( ) ，( ( ) a o ( o ，k = 0 ，i ，2 ；= 1 ，2 ，d k ( 4 1 2 ) 特別地， 0 0 1 = ，( e ) 打( ( ) ( 4 1 3 ) 若f 露，則在b n 上滿足i f i 0 時(shí) k ，( e ) d 盯( 一 時(shí)，f 最，則存在正整數(shù)冗 1 ，使得 f f j t f ( x ) 1 ( z ) 在b r ：= z r 竹：h r ) 上成立 證明不失一般性，假定f ( o ) 0 若不然，可以用一，代替f 由( 4 1 0 ) 矢l l f ( o ) = a 0 1 咖0 1 ，