白淑敏 崔紅衛(wèi)概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)習(xí) 題1.11試判斷下列試驗(yàn)是否為隨機(jī)試驗(yàn)：（1）在恒力的作用下一質(zhì)點(diǎn)作勻加速運(yùn)動(dòng)；（2）在5個(gè)同樣的球（標(biāo)號(hào)1,2,3,4,5,）中，任意取一個(gè)，觀察所取球的標(biāo)號(hào)；（3）在分析天平上稱(chēng)量一小包白糖，并記錄稱(chēng)量結(jié)果解（1）不是隨機(jī)試驗(yàn)，因?yàn)檫@樣的試驗(yàn)只有唯一的結(jié)果（2）是隨機(jī)試驗(yàn)，因?yàn)槿∏蚩稍谙嗤瑮l件下進(jìn)行，每次取球有5個(gè)可能的結(jié)果：1,2,3,4,5，且取球之前不能確定取出幾號(hào)球（3）是隨機(jī)試驗(yàn)，因?yàn)榉Q(chēng)量可在相同條件下進(jìn)行，每次稱(chēng)量的結(jié)果用x表示，則有，其中m為小包白糖的重量，為稱(chēng)量結(jié)果的誤差限易見(jiàn)每次稱(chēng)量會(huì)有無(wú)窮多個(gè)可能結(jié)果，在稱(chēng)量之前不能確定哪個(gè)結(jié)果會(huì)發(fā)生2寫(xiě)出下列試驗(yàn)的樣本空間（1）將一枚硬幣連擲三次；（2）觀察在時(shí)間 0 ，t 內(nèi)進(jìn)入某一商店的顧客人數(shù)；（3）將一顆骰子擲若干次，直至擲出的點(diǎn)數(shù)之和超過(guò)2為止；（4）在單位圓內(nèi)任取一點(diǎn)，記錄它的坐標(biāo)解（1）=（正正正），（正正反），（正反正），（反正正），（正反反），（反正反），（反反正），（反反反）；（2）=0，1，2，3，；（3）=（3,4）,（5,6）,(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,1,4),(1,1,5),(1,1,6).（4）在單位圓內(nèi)任取一點(diǎn)，這一點(diǎn)的坐標(biāo)設(shè)為（x，y）,則x，y應(yīng)滿(mǎn)足條件故此試驗(yàn)的樣本空間為3將一顆骰子連擲兩次，觀察其擲出的點(diǎn)數(shù)令 =“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同” ， =“點(diǎn)數(shù)之和為10” ，=“最小點(diǎn)數(shù)為4” 試分別指出事件 、 、以及 、 、 、 、 各自含有的樣本點(diǎn)解 =(1,1) ，(2,2) ，(3,3) ，(4,4) ，(5,5) ，(6,6) ; =(4,6) ，(5,5) ，(6,4); =(4,4) ，(4,5) ，(4,6) ，(5,4) ，(6,4);=(1,1)，(2,2)，(3,3)，(5,5)，(6,6);=(4,5)，(4,6)，(5,4)，(6,4);4在一段時(shí)間內(nèi)，某電話(huà)交換臺(tái)接到呼喚的次數(shù)可能是0次，1次，2次， 記事件（k = 1 ，2 ，）表示“接到的呼喚次數(shù)小于k” ，試用間的運(yùn)算表示下列事件：（1） 呼喚次數(shù)大于2 ；（2） 呼喚次數(shù)在5到10次范圍內(nèi)；（3） 呼喚次數(shù)與8的偏差大于2 解 (1) ；(2) ；(3) .5試用事件 、 、 及其運(yùn)算關(guān)系式表示下列事件：（1）發(fā)生而不發(fā)生；（2）不發(fā)生但 、至少有一個(gè)發(fā)生；（3） 、 、中只有一個(gè)發(fā)生；（4） 、 、中至多有一個(gè)發(fā)生；（5） 、 、中至少有兩個(gè)發(fā)生；（6） 、 、不同時(shí)發(fā)生解 (1)；(2)；(3)； (4) ； (5)； (6) 6在某大學(xué)金融學(xué)院的學(xué)生中任選一名學(xué)生若事件表示被選學(xué)生是女生，事件表示該生是大學(xué)二年級(jí)學(xué)生，事件表示該生是運(yùn)動(dòng)員（）敘述的意義（2）在什么條件下成立？（3）在什么條件下成立？ 解（1）該生是二年級(jí)女生，但非運(yùn)動(dòng)員（2）全學(xué)院運(yùn)動(dòng)員都是二年級(jí)女生（3）全系男生都在二年級(jí)7化簡(jiǎn)下列各事件：（1） ； （2）；（3） ；（4）（5） .解(1) ； (2) ；(3) ； (4) ； (5) .習(xí)題1.21已知事件 、 、的概率分別為0.4，0.3，0.6求解 由公式及題設(shè)條件得又 2設(shè)，求（1） 、 、中至少有一個(gè)發(fā)生的概率；（2） 、 、都不發(fā)生的概率。解（1）由已知，且有，所以由概率的單調(diào)性知再由概率的加法公式，得 、 、中至少有一個(gè)發(fā)生的概率為（2）因?yàn)椤?、 、都不發(fā)生”的對(duì)立事件為“ 、 、中至少有一個(gè)發(fā)生”，所以得 P（ 、 、都不發(fā)生）=1-0.625=0.375。3設(shè) ， ， ，求) ， ， ) 解 . 由 得則 4設(shè) 、 、是三個(gè)隨機(jī)事件，且有 ， ， = 0.8 ，求 解 因則又由知，于是5某城市共有 、 、三種報(bào)紙發(fā)行. 已知該市某一年齡段的市民中，有45%的人喜歡閱讀報(bào)，34%的人喜歡閱讀報(bào)，20%的人喜歡閱讀報(bào)，10%的人同時(shí)喜歡閱讀報(bào)和報(bào)，6%的同時(shí)人喜歡閱讀報(bào)和報(bào)，4%的人同時(shí)喜歡閱讀報(bào)和報(bào)，1%的人 、 、三種報(bào)紙都喜歡讀. 從該市這一年齡段的市民中任選一人，求下列事件的概率：（1）至少喜歡讀一種報(bào)紙；（2）不喜歡讀任何一種報(bào)紙；（3）只喜歡讀報(bào)；（4）只喜歡讀一種報(bào)紙.解 設(shè) 、 、分別表示從該市這一年齡段的市民中任選一人喜歡讀報(bào) 、報(bào)、報(bào)由題設(shè)知 （1）該市這一年齡段的市民中任選一人至少喜歡讀一種報(bào)紙的概率（2）該市這一年齡段的市民中任選一人不喜歡讀任何一種報(bào)紙的概率 (3) 該市這一年齡段的市民中任選一人只喜歡讀報(bào)的概率 (4) 同理可以求得：該市這一年齡段的市民中任選一人只喜歡讀報(bào)的概率 該市這一年齡段的市民中任選一人只喜歡讀報(bào)的概率故該市這一年齡段的市民中任選一人只喜歡讀一種報(bào)紙的概率6設(shè)，則下列說(shuō)法哪些是正確的？ （1）和不相容；（2）和相容；（3）是不可能事件；（4）不一定是不可能事件（5）或；（6）。解 因?yàn)楦怕蕿榱愕氖录灰欢ㄊ遣豢赡苁录?，所以?）正確；又因?yàn)椋裕?）正確.習(xí)題1.31將10本書(shū)任意放到書(shū)架上，求其中僅有的3本外文書(shū)恰排在一起的概率解 設(shè)“3本外文書(shū)排在一起”。10本書(shū)總的排法有10！種；3本書(shū)排成一列共有3！種，將這3本書(shū)排列后作為一個(gè)元素與另外7本書(shū)在一起有8！種排法，所以，事件含有的樣本點(diǎn)數(shù)為，故2假設(shè)十把鑰匙中有三把能打開(kāi)門(mén)，今任取兩把，求能打開(kāi)門(mén)的概率解 設(shè)“能打開(kāi)門(mén)”。樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)是，事件含有的樣本點(diǎn)數(shù)為，則3某人欲給朋友打電話(huà)，但只記得朋友的電話(huà)由五個(gè)不同數(shù)字組成，其首位是5 ，末位是3 ，中間號(hào)不是0 ，只好試撥求其試撥一次即撥對(duì)的概率解 設(shè)“試撥一次即撥對(duì)”。由題意，樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)為個(gè)，而正確的號(hào)碼只有一個(gè)。因此4從裝有5只紅球4只黃球3只白球的袋中任意取出3只球，求下列事件的概率：（1）取到同色球；（2）取到的球的顏色各不相同解（1）設(shè)“取到3只同色球”。任取3只球的樣本點(diǎn)總數(shù)是，取到3只紅球的樣本點(diǎn)數(shù)是，取到3只黃球的樣本點(diǎn)數(shù)是，取到3只白球的樣本點(diǎn)數(shù)是，則（2）設(shè)“取到的球顏色各不相同”。任取3只球的樣本點(diǎn)總數(shù)是，取到的球顏色各不相同，即取到一只紅球一只黃球一只白球，其樣本點(diǎn)數(shù)是，則5將上題中的抽取方式改為“放回抽樣” ，即每次取出1球，記下顏色后放回，再作抽取，連取三次，求上述兩個(gè)事件的概率解（1）設(shè)“取到3只同色球”。 樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)是，取到3只紅球的樣本點(diǎn)數(shù)是，取到3只黃球的樣本點(diǎn)數(shù)是，取到3只白球的樣本點(diǎn)數(shù)是，則設(shè)“取到的球顏色各不相同”。 任取3只球的樣本點(diǎn)總數(shù)是，取到的球顏色各不相同，即取到一只紅球一只黃球一只白球，其樣本點(diǎn)數(shù)是，則 6一部四卷的文集,按任意次序放到書(shū)架上,問(wèn)各卷自左向右,或自右向左的卷號(hào)的順序恰好為1,2,3,4的概率是多少?解 設(shè)=文集排列為1,2,3,4或4,3,2,1的次序，而一切可能的排列總數(shù)為有利于所討論的事件的排序項(xiàng)序總數(shù)為k=2,即按1,2,3,4及4,3,2,1兩種次序排列。則所求概率為=0.08337從5雙不同的的鞋中任取4只,求這4只鞋中至少有兩只配成一雙的概率.解（1）設(shè)=“4只鞋中至少有兩只配成一雙，因?yàn)橛欣谑录嗀的取法總數(shù)為（即先從5雙中任取一雙，再在其余8只中任取2只的取法共有種。是所取四只恰為兩雙的取法數(shù)是重復(fù)的數(shù)目，應(yīng)用中扣掉），所以有8兩封信隨機(jī)地投入四個(gè)郵筒，求前兩個(gè)郵筒內(nèi)沒(méi)有信的概率解 設(shè)=“前兩個(gè)郵筒內(nèi)沒(méi)有信”。因?yàn)槊糠庑庞?種投法，所以?xún)煞庑殴灿蟹N投法，而所包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，從而9一間宿舍內(nèi)住有6位同學(xué)，求他們中有4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份的概率解 設(shè)=“6位同學(xué)中有4個(gè)人的生日在同一個(gè)月份”。每位同學(xué)的生日可能是12個(gè)月份中的一個(gè)月份，6位同學(xué)的生日可能有種不同分布方式，而事件的樣本點(diǎn)數(shù)為，于是，所求概率為 10某貨運(yùn)碼頭僅能容一船卸貨,而甲已兩船在碼頭卸貨時(shí)間分別為1小時(shí)和2小時(shí)設(shè)甲、乙兩船在24小時(shí)內(nèi)隨時(shí)可能到達(dá)，求它們中任何一船都不需等待碼頭空出的概率。解 設(shè)x,y分別表示兩船到達(dá)某地的時(shí)刻,用A表示兩船中的任何一船都不需等待碼頭空出。依題設(shè)，樣本空間 事件 顯然這是一個(gè)幾何概型，故 習(xí)題1.4設(shè)，問(wèn) (1) 什么條件下可以取最大值，其值是多少？（）什么條件下可以取最小值，其值是多少？解（）因?yàn)?要使最大，則需最大，當(dāng)時(shí)， 可以取最大值，此時(shí)； (2) 因?yàn)?所以時(shí)，取最小值，此時(shí) 2設(shè)箱中有5個(gè)零件，其中2個(gè)為不合格品，現(xiàn)從中一個(gè)個(gè)不放回取零件，求在第三次才取到合格品的概率解 設(shè)表示第i次取到合格品，則所求概率為3由長(zhǎng)期統(tǒng)計(jì)資料得知，某一地區(qū)在4月份下雨（記為事件）的概率為 ,刮風(fēng)（記為事件）的概率為，既刮風(fēng)又下雨的概率為求解 由題設(shè)知 ，則4某工廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中36 為一等品，54 為二等品，10 為三等品從中任意取出1件產(chǎn)品，已知它不是三等品，求其是一等品的概率解 設(shè)“取出的產(chǎn)品為一等品”，“取出的產(chǎn)品為二等品”，“取出的產(chǎn)品為三等品”，則故所求概率為5 一批電子元件中，甲類(lèi)的占80 ，乙類(lèi)的占12 ，丙類(lèi)的占8 三類(lèi)元件的使用壽命能達(dá)到指定要求的概率依次為0.9 、0.8和0.7 今任取一個(gè)元件，求其使用壽命能達(dá)到指定要求的概率解 設(shè)“任取一個(gè)元件為甲類(lèi)”，“任取一個(gè)元件為乙類(lèi)”，“任取一個(gè)元件為丙類(lèi)”，“達(dá)到指定要求”，則有 故由全概率公式，有 6某商店收進(jìn)甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品30箱，乙廠生產(chǎn)的同種產(chǎn)品20箱 甲廠每箱裝100個(gè)，廢品率為0.06 ，乙廠每箱裝120個(gè)，廢品率是0.05 ，求：（1）任取一箱，從中任取1個(gè)為廢品的概率；（2）若將所有產(chǎn)品開(kāi)箱混放，則任取1個(gè)為廢品的概率為多少？解 （1）設(shè)“任取一箱為甲廠的產(chǎn)品”，“任取一箱為乙廠的產(chǎn)品”， “任取一個(gè)產(chǎn)品為廢品”，則構(gòu)成完備事件組，由全概率公式，有 （2）甲廠產(chǎn)品30箱，每箱100個(gè)，廢品率為0.06，故共有甲廠產(chǎn)品個(gè)，其中次品個(gè)；乙廠產(chǎn)品20箱，每箱120個(gè)，廢品率為0.05，故共有乙廠產(chǎn)品個(gè)，其中次品個(gè)；兩廠產(chǎn)品混到一起，共有產(chǎn)品3000+2400=5400個(gè)，其中有次品180+120=300個(gè)，所以，從中任取一個(gè)為廢品的概率是7甲袋中有3只白球4只紅球，乙袋中有5只白球2只紅球從甲袋中任取2球投入乙袋，再?gòu)囊掖腥稳?球求最后取出的2球全是白球的概率解 設(shè)表示“第一次取到只白球”，表示“第二次取到2只均為白球”，則 是的一個(gè)分割且，即 又故由全概率公式，可得 8設(shè)一箱產(chǎn)品共100件，其中次品個(gè)數(shù)從0到2是等可能的開(kāi)箱檢驗(yàn)時(shí)，從中隨機(jī)抽取10件，如果發(fā)現(xiàn)有次品，則認(rèn)為該箱產(chǎn)品不合要求而拒收（1）求該箱產(chǎn)品通過(guò)驗(yàn)收的概率；（2）若已知該箱產(chǎn)品已通過(guò)驗(yàn)收，求其中確實(shí)沒(méi)有次品的概率解（1）設(shè)表示“次品個(gè)數(shù)為”，表示“該箱產(chǎn)品通過(guò)驗(yàn)收”則由題意，有 由全概率公式，得 于是該箱通過(guò)驗(yàn)收的概率為(2) 所求概率為習(xí)題1.51. 設(shè)，證明 、相互獨(dú)立的充分必要條件是 證明 充分性因?yàn)镻(AB) P(|) = 1即 故有 即相互獨(dú)立必要性 因?yàn)橄嗷オ?dú)立，則有從而即 2. 甲、乙、丙三門(mén)炮向同一飛機(jī)射擊設(shè)甲、乙、丙射中的概率分別為0.4 、0.5 、0.7 ，又設(shè)若只有一門(mén)炮射中，飛機(jī)墜毀的概率為0.2 ；若有二門(mén)炮射中，飛機(jī)墜毀的概率為0.6 ；若三門(mén)炮射中，飛機(jī)墜毀的概率為0.8 ；無(wú)人射中，飛機(jī)不會(huì)墜毀求飛機(jī)墜毀的概率解 設(shè)“飛機(jī)墜毀”，“門(mén)炮彈射中飛機(jī)”顯然，構(gòu)成完備事件組三門(mén)炮各自射擊飛機(jī)，射中與否相互獨(dú)立，按加法公式及乘法公式，得 再由題意知 由全概率公式，得 3. 假設(shè)每名射手命中目標(biāo)的概率都是0.3 問(wèn)須多少名射手同時(shí)射擊，方能以0.99以上的概率擊中目標(biāo)？解 設(shè)有n名射手同時(shí)射擊，則目標(biāo)被擊中的概率為由題意，求n，使 即 可得 4. 某商家對(duì)其銷(xiāo)售的筆記本電腦液晶顯示器作出如下承諾：若一年內(nèi)液晶顯示器出現(xiàn)重大質(zhì)量問(wèn)題，商家保證免費(fèi)予以更換已知此種液晶顯示器一年內(nèi)出現(xiàn)重大質(zhì)量問(wèn)題的概率為0.005 ，試計(jì)算該商家每月銷(xiāo)售的200臺(tái)電腦中一年內(nèi)須免費(fèi)予以更換液晶顯示器的臺(tái)數(shù)不超過(guò)1的概率解 根據(jù)題意，這是一個(gè)的200重的伯努利試驗(yàn)問(wèn)題，所求概率為 5. 某工廠生產(chǎn)的儀器中一次檢驗(yàn)合格的占60 ，其余的需重新調(diào)試 經(jīng)重新調(diào)試的產(chǎn)品中有80 經(jīng)檢驗(yàn)合格，而20 會(huì)被判定為不合格產(chǎn)品而不能出廠現(xiàn)該廠生產(chǎn)了200臺(tái)儀器，求下列事件的概率：（1） 全部?jī)x器都能出廠；（2） 恰有10臺(tái)不合格.解 設(shè)“儀器需要重新調(diào)試”，那么“儀器能直接出廠”； 又設(shè)“儀器能出廠”，則“儀器經(jīng)調(diào)試后能出廠”，且易知 .于是 考察200臺(tái)儀器，相當(dāng)于的200重伯努利試驗(yàn)，則（1）（2）.6. 某廠的產(chǎn)品，80 按甲工藝加工，20 按乙工藝加工， 兩種工藝加工出來(lái)的產(chǎn)品的合格率分別為0.8與0.9 現(xiàn)從該廠的產(chǎn)品中放回地取5件來(lái)檢驗(yàn)，求其中最多只有一件次品的概率解 設(shè)“產(chǎn)品是按甲工藝加工的”，那么“產(chǎn)品是按乙工藝加工的”；又設(shè)“取出一件產(chǎn)品為次品”，則 由全概率公式，得 現(xiàn)從該廠的產(chǎn)品中放回地取5件來(lái)檢驗(yàn)，相當(dāng)于的200重伯努利試驗(yàn)，則所求概率為 綜合練習(xí)一一 填空題1.將一顆骰子連擲兩次，該試驗(yàn)的樣本空間為（ ）. 2.三事件至多發(fā)生兩個(gè)可表示為（）.3.若事件互斥，則（ 0.4. ）.4. 已知兩個(gè)事件滿(mǎn)足條件且，則 ( ).5.設(shè)為二隨機(jī)事件，則（ 0.6 ）.6.將一枚硬幣連擲兩次，則出現(xiàn)一次正面一次反面的概率為（ ）.7. 已知兩個(gè)隨機(jī)事件滿(mǎn)足條件，則 ( 0.4 ).8.設(shè)5產(chǎn)品中有2件不合格品, 從中任取兩件, 已知所取兩件產(chǎn)品中有一件是不合格品, 則另一件也是不合格品的概率為（ ）.9.設(shè)某系統(tǒng)由元件和兩個(gè)并聯(lián)的元件串聯(lián)而成，若損壞與否相互獨(dú)立, 且它們損壞的概率依次為0.3, 0.2, 0.1, 則系統(tǒng)正常工作的的概率為（ 0.089. ）.10.將一只骰子連續(xù)擲3次，則至少有一次出現(xiàn)3點(diǎn)的概率為（ ） .二 選擇題1.對(duì)擲一枚硬幣的試驗(yàn), “出現(xiàn)正面”稱(chēng)為（ (d) ） .(a) 樣本空間 (b) 必然事件 (c) 不可能事件 (d) 隨機(jī)事件2設(shè)A, B是任意兩個(gè)概率不為零的互不相容事件, 則必有（ (d) ）。(a) (b) 與 相容(c)與互不相容 (d) 3設(shè)當(dāng)同時(shí)發(fā)生時(shí)，事件C必發(fā)生，則（ (b) ）. (a) (b) (c) (d) 4設(shè)，則( (d) ). 5設(shè)為三個(gè)隨機(jī)事件, 且, 則（ (a) ） 6設(shè)對(duì)于事件有,， ,則至少發(fā)生一個(gè)的概率為 ( (d) )7設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，且，則有（ (c) ）(a) (b) (c) (d) 8事件相互獨(dú)立，且（ (b) ）。9設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的事件都不發(fā)生的概率為, 發(fā)生B不發(fā)生的概率與發(fā)生不發(fā)生的概率相等，則 ( (c) ) 10若則（ (a) ）.三 解答題1判斷關(guān)于事件的結(jié)論是否成立,為什么?解 利用事件運(yùn)算的分配律，有 顯然，一般不等于A,故結(jié)論不一定成立，,只有時(shí)，結(jié)論成立.2設(shè)6位同學(xué)每位都等可能地進(jìn)入十間教室中任何一間自習(xí)，求下列事件的概率：（1） 某指定教室有2位同學(xué)；（2） 6位同學(xué)所在的教室各不相同；（3） 只有2位同學(xué)在同一教室；（4） 至少有2位同學(xué)在同一教室解 因?yàn)閷?duì)教室中的人數(shù)沒(méi)有限制，所以每位同學(xué)都有10種選擇，6位同學(xué)共有種選法，即樣本點(diǎn)總數(shù)為（1）設(shè)“某指定教室有2位同學(xué)”，則包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，故 （2）設(shè)“6位同學(xué)所在的教室各不相同”， 則包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，故 （3）設(shè)“只有2位同學(xué)在同一教室”，則包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，故（4）設(shè)“至少有2位同學(xué)在同一教室”，則“6個(gè)同學(xué)均在不同的教室”，故3（1）從7副同型號(hào)的手套中任意取出4只，求恰有一雙配套的概率；（2）若是7副不同型號(hào)的手套，上述事件的概率為何？解（1）設(shè)=“從7副同型號(hào)的手套中任意取出4只，恰有一雙配套”，則樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)為 ，事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，于是（2）設(shè)“ 從7副不同型號(hào)的手套中任意取出4只，恰有一雙配套”， 則樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)為，事件包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，于是 4甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同種產(chǎn)品，次品率分別為0.05 、0.08 、0.1 從三個(gè)車(chē)間各取1件產(chǎn)品檢查，求下列事件的概率：（1） 恰有2件次品； （2） 至少有1件次品解設(shè) =“從甲車(chē)間取出的是次品”，“從乙車(chē)間取出的是次品”，“從丙廠取出的是次品”. （1）設(shè) D=“恰有2件次品”，則 ，于是（2）設(shè)“至少有1件次品”，則 5 在0，1區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)，求兩數(shù)乘積小于的概率。解 設(shè)任取得兩個(gè)數(shù)為x，y，用A表示兩數(shù)的乘積小于這一事件，樣本空間 事件 顯然利用幾何概型的計(jì)算公式有， 6甲、乙兩人輪流投籃，甲先開(kāi)始，假定他們的命中率分別為0.4及0.5 ，問(wèn)誰(shuí)先投中的概率較大，為多少？解 設(shè)表示“甲第次投中”，表示“乙第次投中”事件“甲先投中”可表示為 則甲先投中的概率為 即甲先投中的概率較大，概率為0.57。7某保險(xiǎn)公司把被保險(xiǎn)人分為3類(lèi)：“謹(jǐn)慎的”、“一般的”、“冒失的”。統(tǒng)計(jì)資料表明，上述3種人在一年內(nèi)發(fā)生事故的概率依次為0.05、0.15和0.30；如果“謹(jǐn)慎的”被保的人占20%，“一般的”占50%，“冒失的”占30%.(1 ) 求被保險(xiǎn)的人一年內(nèi)出事故的概率。（2）現(xiàn)知某被保險(xiǎn)的人在一年內(nèi)出了事故，則他是“謹(jǐn)慎的”的概率是多少？ 解 （1）設(shè)“被保險(xiǎn)的人一年出事故”，“被保險(xiǎn)的人是謹(jǐn)慎的”，“被保險(xiǎn)的人是一般的，“被保險(xiǎn)的人是冒失的”顯然，構(gòu)成完備事件組三類(lèi)人一年內(nèi)是否出事故，相互獨(dú)立， (2) 8設(shè)某車(chē)間共有5臺(tái)車(chē)床，每臺(tái)車(chē)床使用電力是間歇性的，平均每小時(shí)約有6分鐘使用電力。假設(shè)車(chē)工們工作是相互獨(dú)立的，求在同一時(shí)刻，（1）至少有三臺(tái)車(chē)床被使用的概率（2）至多有有三臺(tái)車(chē)床被使用的概率（3）至少有一臺(tái)車(chē)床被使用的概率。解 設(shè)A表示” 車(chē)床被使用 ” 即使用電力事件.有 9某種疾病在牲畜中傳染的概率為0.25.設(shè)對(duì)20頭牲畜注射某種血清后，其中仍有一頭受到感染，試問(wèn)這種血清是否有效？ 解 若這種血清無(wú)效,則因每頭牲畜注射血清后都有受到感染和未受感染兩種結(jié)果,且牲畜間是相互獨(dú)立的,故此試驗(yàn)相當(dāng)于20重貝努利試驗(yàn),n=20,p=0.25,故知20頭牲畜中出現(xiàn)至多一頭受感染的概率為 因?yàn)檫@個(gè)概率很小，一般在一次試驗(yàn)中不易發(fā)生，故根據(jù)小概率推斷原理，知此種血清是有效的。10某自動(dòng)化機(jī)器發(fā)生故障的概率為0.2.如果一臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障只需要一個(gè)維修工人去處理，因此，每8臺(tái)機(jī)器配備一個(gè)維修工人。試求： (1) 維修工人無(wú)故障可修的概率； （2）工人正在維修一臺(tái)出故障的機(jī)器時(shí)，另外又有機(jī)器出故障待修的概率。如果認(rèn)為每四臺(tái)機(jī)器配備一個(gè)維修工人，還經(jīng)常出來(lái)故障得不到及時(shí)維修。那么，四臺(tái)機(jī)器至少應(yīng)配備多少個(gè)維修工人才能保證機(jī)器發(fā)生了故障待維修的概率小于3%。解 （1）由已知條件知，每臺(tái)機(jī)器發(fā)生故障是相互獨(dú)立的，故維修工人無(wú)故障可修的事件，即為8臺(tái)機(jī)器均不發(fā)生故障的事件，故所求概率為（2）因?yàn)楣と苏诰S修一臺(tái)出故障的機(jī)器時(shí)，另外又有機(jī)器出了故障待修的事件的逆事件為8臺(tái)機(jī)器中至多有一臺(tái)發(fā)生故障，故所求機(jī)器待修的概率為又按四臺(tái)機(jī)器配備維修工人時(shí)，若配備一個(gè)工人，則當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障，又不能及時(shí)維修（發(fā)生故障的機(jī)器多于1臺(tái)）的概率為若四臺(tái)機(jī)器配備2人時(shí)，則當(dāng)機(jī)器發(fā)生故障又不能及時(shí)維修的概率為故四臺(tái)機(jī)器至少應(yīng)配備2個(gè)維修工人才能保證機(jī)器發(fā)生了故障待維修的概率小于3%。11*巴拿赫火柴盒問(wèn)題：某數(shù)學(xué)家有甲、乙兩盒火柴，每盒有N根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中任取一根試求他首次發(fā)現(xiàn)一盒空時(shí)另一盒恰有r根的概率是多少（r=1,2,3，N）？第一次用完一盒火柴時(shí)（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根的概率又是多少？解 設(shè)選取甲盒火柴為“成功”，選取一盒火柴為“失敗“，于是相繼選取甲盒”成功“與”失敗“的概率均為12，且為獨(dú)立試驗(yàn)序列（1）當(dāng)在某一時(shí)刻首次發(fā)現(xiàn)甲盒中無(wú)火柴，意味著取到甲盒N+1次，取到乙盒N-r次。且最后一次取到甲盒，前N+N-r=2N- r次中恰有N次取到甲盒，故其概率為再由對(duì)稱(chēng)性可知，他首次發(fā)現(xiàn)乙盒中無(wú)火柴而甲盒中恰剩r根事件的概率亦為故所求概率為（2）同理，第 一次用完一盒火柴（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根事件的概率為事實(shí)上，第一次用完一盒火柴（不是發(fā)現(xiàn)空）而另一盒恰有r根意味著取到甲盒N次，取到乙盒N-r，且最后 一次取到甲盒，前N-1+N-r=2N- r-1次中恰有N-1次取到甲。習(xí) 題2.11 試分別給出隨機(jī)變量的可能取值為可列、有限的實(shí)例 解 用表示一個(gè)電話(huà)交換臺(tái)每小時(shí)收到呼喚的次數(shù)，的全部可能取值為可列的 0,1,2,3，；用表示某人擲一枚骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，的全部可能取值為有限個(gè) 1,2,3，4,5,6 ；2 試給出隨機(jī)變量的可能取值至少充滿(mǎn)一個(gè)實(shí)數(shù)區(qū)間的實(shí)例 解 用表示某燈泡廠生產(chǎn)的燈泡壽命（以小時(shí)記），的全部可能取值為區(qū)間 （0，+） （0，+）3 設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為= 確定常數(shù)的值，計(jì)算. 解 由可得.4試討論：、取何值時(shí)函數(shù) 是分布函數(shù)解 由分布函數(shù)的性質(zhì)，有，可得 于是習(xí) 題2.21設(shè)10個(gè)零件中有3個(gè)不合格 現(xiàn)任取一個(gè)使用，若取到不合格品，則丟棄重新抽取一個(gè)，試求取到合格品之前取出的不合格品數(shù)的概率分布解 由題意知，的取值可以是0,1,2,3.而取各個(gè)值的概率為 因此的概率分布為2從分別標(biāo)有號(hào)碼1 ，2 ， ，7的七張卡片中任意取兩張， 求余下的卡片中最大號(hào)碼的概率分布解 設(shè)X為余下的卡片的最大號(hào)碼 ，則X的可能取值為5、6、7，且即所求分布為 3某人有n把外形相似的鑰匙，其中只有1把能打開(kāi)房門(mén)，但他不知道是哪一把，只好逐把試開(kāi)求此人直至將門(mén)打開(kāi)所需的試開(kāi)次數(shù)的概率分布解 設(shè)此人將門(mén)打開(kāi)所需的試開(kāi)次數(shù)為，則的取值為，事件，且， ， 故所需試開(kāi)次數(shù)的分布為4隨機(jī)變量只取1 、2 、3共三個(gè)值，并且取各個(gè)值的概率不相等且組成等差數(shù)列，求的概率分布解 設(shè)，則由題意有 解之得 設(shè)三個(gè)概率的公差為，則，即的概率分布為，5設(shè)隨機(jī)變量的全部可能取值為1 ，2 ， ，n ，且 與成正比，求的概率分布解 由題意，得其中是大于0的待定系數(shù)由，有 即，解之得. 把代入，可得到的概率分布為6一汽車(chē)沿街道行駛時(shí)須通過(guò)三個(gè)均設(shè)有紅綠燈的路口設(shè)各信號(hào)燈相互獨(dú)立且紅綠兩種信號(hào)顯示的時(shí)間相同，求汽車(chē)未遇紅燈通過(guò)的路口數(shù)的概率分布解 設(shè)汽車(chē)未遇紅燈通過(guò)的路口數(shù)為，則的可能值為0，1，2，3以表示事件“汽車(chē)在第個(gè)路口首次遇到紅燈”，則相互獨(dú)立，且 對(duì)，有所以汽車(chē)未遇紅燈通過(guò)的路口數(shù)的概率分布為 7將一顆骰子連擲若干次，直至擲出的點(diǎn)數(shù)之和超過(guò)3為止求擲骰子次數(shù)的概率分布解 設(shè)擲骰子次數(shù)為，則可能取值為1，2，3，4，且；所以擲骰子次數(shù)的概率分布為8設(shè)的概率分布為01230.20.30.10.4試求（1）的分布函數(shù)并作出其圖形；（2） 計(jì)算 ， ， 解（1）由公式，得（2） 9設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試求（1） 求的概率分布；（2） 計(jì)算 ， ， ，解(1)對(duì)于離散型隨機(jī)變量，有，因此，隨機(jī)變量的概率分布為 (2) 由分布函數(shù)計(jì)算概率，得； ； 10已知隨機(jī)變量服從01分布，并且=0.2，求的概率分布 解 只取0與1兩個(gè)值，=0.2, 11已知= ，n=1,2,3,求的值 解 因?yàn)?有 解此方程，得.12商店里有5名售貨員獨(dú)立地售貨已知每名售貨員每小時(shí)中累計(jì)有15分鐘要用臺(tái)秤（1） 求在同一時(shí)刻需用臺(tái)秤的人數(shù)的概率分布；（2） 若商店里只有兩臺(tái)臺(tái)秤，求因臺(tái)秤太少而令顧客等候的概率 解 (1) 由題意知,每名售貨員在某一時(shí)刻使用臺(tái)秤的概率為, 設(shè)在同一時(shí)刻需用臺(tái)秤的人數(shù)為, 則, 所以 (2) 因臺(tái)秤太少而令顧客等候的概率為 13保險(xiǎn)行業(yè)在全國(guó)舉行羽毛球?qū)官悾撔袠I(yè)形成一個(gè)羽毛球總隊(duì)，該隊(duì)是由各地區(qū)的部分隊(duì)員形成根據(jù)以往的比賽知，總隊(duì)羽毛球隊(duì)實(shí)力較甲地區(qū)羽毛球隊(duì)強(qiáng)，但同一隊(duì)中隊(duì)員之間實(shí)力相同，當(dāng)一個(gè)總隊(duì)運(yùn)功員與一個(gè)甲地區(qū)運(yùn)動(dòng)員比賽時(shí)，總隊(duì)運(yùn)動(dòng)員獲勝的概率為0.6，現(xiàn)在總隊(duì)、甲隊(duì)雙方商量對(duì)抗賽的方式，提出三種方案： （1）雙方各出3人；（2）雙方各出5人；（3）雙方各出7人3種方案中得勝人數(shù)多的一方為勝利問(wèn)：對(duì)甲隊(duì)來(lái)說(shuō)，哪種方案有利？ 解 設(shè)以上三種方案中第i種方案甲隊(duì)得勝人數(shù)為則上述3種方案中，甲隊(duì)勝利的概率為 （1）（2）（3）因此第一種方案對(duì)甲隊(duì)最為有利這和我們的直覺(jué)是一致的。 14有某商店過(guò)去的銷(xiāo)售記錄知道，某種商品每月的銷(xiāo)售數(shù)可以用參數(shù)=5的泊松分布來(lái)描述為了以95%以上的把握保證不脫銷(xiāo)，問(wèn)商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？ 解 設(shè)該商店每月銷(xiāo)售這種商品數(shù)為X，月底進(jìn)貨為a件，則為了時(shí)不脫銷(xiāo)，故有 由于上式即為查表可知 于是，這家商店只要在月底進(jìn)貨這種商品9件（假定上個(gè)月沒(méi)有存貨），就可以95%以上的把握保證這種商品在下個(gè)月不會(huì)脫銷(xiāo)。15一本300頁(yè)的書(shū)中共有240個(gè)印刷錯(cuò)誤若每個(gè)印刷錯(cuò)誤等可能地出現(xiàn)在任意1頁(yè)中，求此書(shū)首頁(yè)有印刷錯(cuò)誤的概率解 根據(jù)題意，可將問(wèn)題看作是一個(gè)240重伯努利試驗(yàn)，每一個(gè)錯(cuò)誤以概率出現(xiàn)在指定的一頁(yè)上，以概率不出現(xiàn)在這一頁(yè)上以表示出現(xiàn)在首頁(yè)上的錯(cuò)誤數(shù)，則，而所求概率為16設(shè)某高速公路上每天發(fā)生交通事故的次數(shù)服從參數(shù)為 = 2的泊松分布已知今天上午該公路上發(fā)生了一起交通事故，求今天該公路上至少發(fā)生三起交通事故的概率解 設(shè)每天發(fā)生交通事故的次數(shù)為，由題知服從參數(shù)為的泊松分布，即已知今天上午該公路上發(fā)生了一起交通事故，則今天至少發(fā)生一次交通事故，其概率為該公路上每天至少發(fā)生三起交通事故的概率為 所以所求概率為17某傳呼臺(tái)有客戶(hù)3000已知每個(gè)客戶(hù)在任意時(shí)刻打傳呼的概率為千分之二，問(wèn)傳呼臺(tái)至少應(yīng)安排多少名傳呼員才能以不低于0.9的概率保證客戶(hù)打入電話(huà)時(shí)立刻有人接？解 設(shè)在任意時(shí)刻打傳呼的客戶(hù)數(shù)為，由題意可知，又設(shè)安排名傳呼員，則由題意有由泊松定理，近似服從的泊松分布，即 查的泊松分布表，可得18某公司采購(gòu)人員在購(gòu)買(mǎi)一種電腦用芯片時(shí)被告知：此種芯片的合格率為0.98 ，為了以不低于0.95的概率保證至少買(mǎi)到80只合格的芯片，該采購(gòu)員應(yīng)購(gòu)買(mǎi)多少只芯片？解 設(shè)該采購(gòu)員應(yīng)購(gòu)買(mǎi)只芯片，則其中的不合格芯片數(shù)為，由題意可知，且由泊松定理近似服從參數(shù)為的泊松分布，其中（這里n顯然不會(huì)太大）. 于是有查表得，所以該采購(gòu)員應(yīng)購(gòu)買(mǎi)84只芯片習(xí)題2.31已知函數(shù)其 , 問(wèn)是否為密度函數(shù)，為什么？解 顯然又 所以是密度函數(shù).2 設(shè)隨機(jī)變量 試確定常數(shù)的值，如果 =0.5,求的值解 解方程 得 解關(guān)于b的方程： 得 3某種電子元件的壽命是隨機(jī)變量，概率密度為 3個(gè)這種元件串聯(lián)在一個(gè)線路中計(jì)算這3個(gè)元件使用了150小時(shí)后仍能使線路正常工作的概率解 由已條件知，串聯(lián)線路正常工作當(dāng)且僅當(dāng)3個(gè)元件都能正常工作。而三個(gè)元件的壽命是三個(gè)相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，因此若用事件A表示“線路正常工作”，則故4設(shè)隨機(jī)變量的密度為試求（1） 常數(shù)；（2）的分布函數(shù)解 (1) 由密度函數(shù)的性質(zhì)，有 (2)由，有 于是，X的分布函數(shù)為.5已知連續(xù)隨機(jī)變量的密度為（1） 求的分布函數(shù)；（2） 計(jì)算 , 解 (1)由分布函數(shù)的定義，有 6設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)為試確定、并求 解因X為連續(xù)型隨機(jī)變量，故其分布函數(shù)在上連續(xù)，從而解得 于是 習(xí)題2.41設(shè)隨機(jī)變量在2，5上服從均勻分布現(xiàn)對(duì)進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè)，求至少有兩次的觀測(cè)值大于3的概率解 因?yàn)殡S機(jī)變量X服從均勻分布，故其密度函數(shù)為 易得 設(shè)A表示“對(duì)進(jìn)行3次獨(dú)立觀測(cè)，至少有兩次的觀測(cè)值大于3的”事件，則2設(shè)隨機(jī)變量服從 0 ，5 上的均勻分布，求關(guān)于x的二次方程 = 0有實(shí)數(shù)根的概率解 的二次方程有實(shí)根的充要條件是它的判別式 即 解得或由假設(shè)，在區(qū)間上服從均勻分布，其概率密度為 故所求概率為 3設(shè) ，求：（1） 的分布函數(shù)；（2） ；（3） 常數(shù) ，使= 解 由題知，即的概率密度為 （1）由定義 當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 所以，的分布函數(shù)為 (2) (3) 由題知，則4某種電腦顯示器的使用壽命（單位：千小時(shí)）服從參數(shù)為 的指數(shù)分布生產(chǎn)廠家承諾：購(gòu)買(mǎi)者使用1年內(nèi)顯示器損壞將免費(fèi)予以更換（1） 假設(shè)用戶(hù)一般每年使用電腦2000小時(shí)，求廠家須免費(fèi)為其更換顯示器的概率；（2） 顯示器至少可以使用10000小時(shí)的概率為何？（3） 已知某臺(tái)顯示器已經(jīng)使用10000小時(shí)，求其至少還能再用10000小時(shí)的概率解因?yàn)榉膮?shù)為的指數(shù)分布，所以的密度函數(shù)為 (1) (2) (3) 5設(shè) ，求：（1） ， ， ；（2） 常數(shù) ，使= 0.8944 解(1) 因?yàn)楣视?(2)由 得即 于是 6某種電池的使用壽命（單位：小時(shí)）是一個(gè)隨機(jī)變量， （1） 求其壽命在250小時(shí)以上的概率；（2） 求一允許限x ，使落入?yún)^(qū)間（300 x ，300 x）內(nèi)的概率不小于0.9 解(1) 由，可得 (2) 由題意，知 即 查表得則，即7某高校一年級(jí)學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布 ，其中90分以上的占學(xué)生總數(shù)的4 求：（1） 數(shù)學(xué)不及格的學(xué)生的百分比；（2） 數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)?5 80分之間的學(xué)生的百分比解 先求方差. 因?yàn)?0分以上的占學(xué)生總數(shù)的4%, 所以有 即 從而 查表可知，則于是.(1) 數(shù)學(xué)不及格的學(xué)生的百分比為(2) 數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)诜种g的學(xué)生的百分比為習(xí)題2.51設(shè)的分布列為2101求及的概率分布解 將函數(shù)值相同的概率相加，得隨機(jī)變量的概率分布為 隨機(jī)變量的概率分布為 2設(shè) ，求 的概率密度解因?yàn)?，所以的密度函?shù)為由于函數(shù)單增且其反函數(shù)故Y = 的概率密度函數(shù)為3設(shè) = ，求的密度解 函數(shù)單增且其反函數(shù)，故Y = ln X的密度函數(shù)為4設(shè)服從 的指數(shù)分布，證明 在區(qū)間 0 ，1 上服從均勻分布證 由定義知，的分布函數(shù)為 當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)， 由服從的指數(shù)分布，故因而所以隨機(jī)變量的分布函數(shù)為 即證得在區(qū)間上服從均勻分布5隨機(jī)變量服從0, 上的均勻分布，, 求的概率密度.解 由于在上單調(diào)，于是在上， 又隨機(jī)變量服從0, 上的均勻分布，因此綜合練習(xí)二一、 填空題1.設(shè)隨機(jī)變量的概率分布為， 則（ 6 ）. 2. 一批零件的次品率為0.01, 連取三次, 每次一件(有放回), 則取到的次品次數(shù)服從的概率分布為（ ）.3. 設(shè)隨機(jī)變量XB(2, p), YB(3, p), 若P(X 1) =, 則P(Y 1) = ( ). 4.設(shè)，且，則（ ）.5.設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，則（ 100 ）.6.設(shè)隨機(jī)變量的分布函數(shù)為，則（ ）.7.設(shè)隨機(jī)變量的分布列為 ， 則的分布函數(shù)為（ ）.8.已知隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，則（ ）.9.設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，則的密度函數(shù)為（ ）.10.設(shè)，則（ ）二 、選擇題1下列函數(shù)為某隨機(jī)變量密度函數(shù)的是( ) (a) (b) (c) (d ) 2設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為且，是的分布函數(shù)，則對(duì)任意實(shí)數(shù)，有（ ）3設(shè)與分別為隨機(jī)變量與的分布函數(shù)，為使是某一隨機(jī)變量的分布函數(shù)，在下列給定的各組數(shù)值中應(yīng)?。?（a） ） (a) (b) (c) (d) 4設(shè)是連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，則（ (d) ）5 設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為，則的分布函數(shù)為（ (c) ）6設(shè)一個(gè)零件的使用壽命X的密度函數(shù)為，則三個(gè)這樣的零件中恰好有一個(gè)的使用壽命超過(guò)1000的概率為（ (b) ） .7設(shè)隨機(jī)變量，其概率密度函數(shù)為，分布函數(shù)是，則正確的結(jié)論是（ (b) ）8下列函數(shù)中不是正態(tài)密度函數(shù)的為（ (b) ）9設(shè)隨機(jī)變量的密度函數(shù)為, 則的密度函數(shù)為（ (c) ）(a) (b) (c) (d) 10若隨機(jī)變量服從均勻分布，則的密度函數(shù)為（ (d) ） 三、解答題1如果, n=1,2.,問(wèn)它是否能成為一個(gè)離散型概率分布，為什么？解 因?yàn)橛捎诩?jí)數(shù)收斂，若記，只要取則有且所以它可以成為離散型隨機(jī)變量的分布。2一條公共汽車(chē)路線的兩個(gè)站之間，有四個(gè)路口處設(shè)有信號(hào)燈，假定汽車(chē)經(jīng)過(guò)每個(gè)路口時(shí)遇到綠燈可順利通過(guò)，其概率為0.6，遇到紅燈或黃燈則停止前進(jìn)，其概率為0.4，求汽車(chē)開(kāi)出站后，在第一次停車(chē)之前已通過(guò)的路口信號(hào)燈數(shù)目X的概率分布（不計(jì)其他因素停車(chē)）解 X可以取0，1，2，3，4. , 3一盒中有6個(gè)球，在這6個(gè)球上標(biāo)注的數(shù)字分別為-3，-3,1,1,1,2，現(xiàn)從盒中任取一球，試取得的球上標(biāo)注的數(shù)字的分布律及分布函數(shù)解 的全部可能取值為-3,1,2.則分布律為-3 1 2 故的分布函數(shù)為4據(jù)調(diào)查有同齡段的學(xué)生，他們完成一道作業(yè)的時(shí)間是一個(gè)隨機(jī)變量，單位為小時(shí)它的密度函數(shù)為（1）確定常數(shù)；（2）寫(xiě)出的分布函數(shù)；（3）試求出在20分鐘內(nèi)完成一道作業(yè)的概率；（4）試求10分鐘以上完成一道作業(yè)的概率解 (1) 由密度函數(shù)的性質(zhì)，有 由，有 （2）X的分布函數(shù)為（3） P 20分鐘內(nèi)完成一道作業(yè)的= (4) P10分鐘以上完成一道作業(yè)=5. 某工廠為了保證設(shè)備正常工作，需要配備一些維修工如果各臺(tái)設(shè)備發(fā)生故障