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近世代數(shù),第二章群論2元素的階,1,元素的指數(shù),有意義，據(jù)此,可定義群的元素的指數(shù):設(shè),為正整數(shù),則規(guī)定:,顯然有，,，其中,為任意整數(shù).,2,定義1,的最小正整數(shù),；若不存在這樣的,顯然，群中單位元的階為1，其他元的階,為無限.,都大于1，,3,例1,關(guān)于數(shù)的普通乘法做成,4次單位根群.,4,例2,正有理數(shù)乘群,單位元的階是1，,其他元的階均為無限.,例3非零有理數(shù)乘群,1的階是1，,-1的階是2，,其余元的階均為無限.,5,定理1,有限群,中每個元素的階均有限.,，在,中必有相等的.設(shè),則,，從而階有限.,證明：設(shè),6,注：,無限群中元素的階可能無限，也可能有限，,關(guān)于普通乘法作成無限交換群，,甚至可能都有限.,例4,，則,其中每個元素的階都有限.,7,定理2,證明：令,，,，則,.,.,（2）若,8,定理3,若群中,，則,設(shè),，則,證明：,9,兩個推論：,推論1在群中，若,則,，其中s，t均為正整數(shù).,推論2在群中，若,，則,10,定理4,證明：,，于是,若,11,例5|ab|一定等于|a|b|嗎？,是有理數(shù)域Q上的全體二階滿秩,方陣關(guān)于矩陣乘法做成的群.,12,例5|ab|一定等于|a|b|嗎？,是有理數(shù)域Q上的全體二階滿秩,方陣關(guān)于矩陣乘法做成的群.,13,思考題：,設(shè)G是群，且|G|1.證明：若G中除e外其余

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