聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 摘要 本文運(yùn)用改進(jìn)的c k 直接方法和代數(shù)方法，研究了幾類高階多維或變系數(shù)非線性發(fā)展 方程的一般對(duì)稱群和顯式精確解求得了方程的李對(duì)稱，許多新的精確解和用經(jīng)典的李群 方法無法得到的一般對(duì)稱群，并討論了一類方程的守恒律問題 在第一章中，利用改進(jìn)的c k 直接方法，求出了( 3 + 1 ) 一維勢(shì)y t s f 方程的一般對(duì)稱群和 李對(duì)稱用經(jīng)典的李群方法求出的單參數(shù)李群只是我們關(guān)于對(duì)稱群結(jié)果的特殊情況；這 里得到的李對(duì)稱用經(jīng)典的李群方法雖然也可以得到，但計(jì)算過程卻復(fù)雜得多根據(jù)我們建 立的一般對(duì)稱群原理，建立了方程的新舊解之間的關(guān)系，并由已知的舊解得到了方程的許 多新的精確解：運(yùn)用求出的李對(duì)稱研究了方程的守恒律，這里求出的守恒律是全新的，在 一， 以前的文獻(xiàn)中沒有出現(xiàn)過 在第二章中，對(duì)改進(jìn)的c k 直接方法做了方法上的改進(jìn)，使得改進(jìn)后的方法可以簡(jiǎn)捷 地求出變系數(shù)方程的一般對(duì)稱群但由于變系數(shù)方程中變系數(shù)的任意性，用標(biāo)準(zhǔn)的李群方 法討論它的對(duì)稱群是一件非常復(fù)雜的工作運(yùn)用改進(jìn)后的方法，求出了( 2 + 1 ) 維變系數(shù)正 規(guī)廣義k p 方程的一般對(duì)稱群和李對(duì)稱：運(yùn)用得到的李對(duì)稱，得到了這個(gè)方程的五種相似 約化和許多新的的精確解，包括雙曲函數(shù)解，三角周期解和有理函數(shù)解 在第三章中，運(yùn)用直接構(gòu)造方程精確解的代數(shù)方法討論了( 2 + 1 ) 維變系數(shù)正規(guī)廣義 k p 方程和( 3 + 1 ) 一維n n v 方程的精確解一方面，把擴(kuò)展的t a n h 方法推廣到了變系數(shù)的情 形，得到了( 2 + 1 ) 維變系數(shù)正規(guī)廣義k p 方程的許多新的精確解，并用圖像說明了一個(gè)解 隨時(shí)間變化的漸進(jìn)性質(zhì)：另一方面，用一種廣義的變換方法求出了( 3 + 1 ) 一維n n v 方程的 大量新的精確解，包括孤子解，雅克比橢圓函數(shù)解，三角函數(shù)解和有理函數(shù)解 關(guān)鍵詞：非線性發(fā)展方程：一般對(duì)稱群：精確解：變系數(shù)方程：t a n h 方法：雅 克比橢圓函數(shù)解：相似約化：守恒律 塑絲查蘭墮主蘭堡絲塞 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , b yu s i n gt h em o d i f i e dc k sd i r e c tm e t h o da n da l g e b r a i cm e t h o d ，w es t u d y t h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p sa n dn e we x p l i c i te x a c ts o l u t i o n so fs o m eh i g h e r - o r d e ra n d h i g h e r - d i m e n s i o n a ln o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n so rv a r i a b l ec o e f f 五c i e n tn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s a sar e s u l t ，l i es y m m e t r y , n e w e x a c ts o l u t i o n sa n dg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p sw h i c h c a n tb eo b t a i n e db yt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pm e t h o da r eo b t a i n e d b yt h eg i v e nl i es y m m e t r y , w ea l s od i s c u s st h ec o n s e r v a t i o nl a w s o fs o m en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n i nc h a p t e ro n e ，u s i n gt h em o d i f i e dc k sd i r e c tm e t h o d ，w eo b t a i nt h eg e n e r a ls y m m e t r y g r o u p s l i es y m m e t r ya n dm a n y n e we x a c ts o l u t i o n so f t h e ( 3 + l 、- d i m e n s i o n a lp o t e n t i a l _ y t s f e q u a t i o n t h el i eg r o u po b t a i n e db yt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c hi so n l ys p e c i a c a s eo f o u rr e s u l t sw i t hr e s p e c tt os y m m e t r yg r o u p s a n dt h el i es y m m e t r yh e r ec a na l s ob eo b t a i n e d b yt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c hb yw h i c ht h ec o m p u t a t i o ni sm u c hm o r ec o m p l i c a t e d b a s e do nt h eo b t a i n e dt h e o r e mf o r t h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p s ，w ea l s o f o u n dt h e r e l a t i o n s h i po ft h eo l ds o l u t i o n sa n dt h en e ws o l u t i o n sa n dg e t al o to fn e ws o l u t i o n sf r o mt h e k n o w no n e s u s i n gt h eo b t a i n e dl i es y m m e t r y , w eg e tt h ec o n s e r v a t i o nl a w so ft h ee q u a t i o n t oo u rb e s tk n o w l e d g e ，t h ec o n s e r v a t i o nl a w sw h i c hc a n tb ef o u n di nt h ef o r m e rl i t e r a t u r ea r e c o m p l e t e l yn e w i nc h a p t e rt w o ，i no r d e rt og e tt h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p so fv a r i a b l ec o e f f i c i e n t n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o nf o r t h r i g h t l y , w ei m p r o v et h em o d i f i e dc k sd i r e c tm e t h o d i n f a c t , s t u d y i n gt h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p so fe q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s i sv e r y c o m p l i c a t e db e c a u s eo ft h er a n d o m i c i t yo ft h ec o e f f i c i e n t s b yt h ei m p r o v e dm e t h o d ，w e o b t a i nt h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p sa n dl i es y m m e t r yo ft h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lc a n o n i c a l g e n e r a l i z e dk pe q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s u s i n gt h el i es y m m e t r y , w eg e tf i v et y p e s o fs i m i l a r i t yr e d u c t i o n sa n dm a n yn e we x a c ts o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n ，i n c l u d i n gh y p e r b o l i c f u n c t i o ns o l u t i o n s ，t r i a n g u l a rp e r i o d i cs o l u t i o n s ，j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n sa n dr a t i o n a l s 0 1 u t i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s st h ee x p l i c i te x a c ts o l u t i o n so ft h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a l c a n o n i c a lg e n e r a l i z e dk pe q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa n d ( 3 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ln n v 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 e q u a t i o nt h r o u g ht h ea l g e b r a i cm e t h o dw h i c hi su s e dt oc o n s t r u c ts o l u t i o n so fe q u a t i o n s d i r e c t l y w eg e tm a n yn e we x a c ts o l u t i o n so f t h ek pe q u a t i o nb yt h eg e n e r a l i z e dt a n hm e t h o d t h r o u g hf i v ep i c t u r e sw ei l l u m i n a t et h ea s y m p t o t i c a lp r o p e r t yo fs o m es o l u t i o na st i m ep a s s e s u s i n gag e n e r a l i z e dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o dw ea l s oo b t a i nal o to fn e ws o l u t i o n so ft h en n v e q u a t i o n ，i n c l u d i n gs o l i t o ns o l u t i o n s ，t r i a n g u l a rp e r i o d i cs o l u t i o n s ，j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n s o l u t i o n sa n dr a t i o n a lo n e s k e yw o r d s ：n o n l i n e a re v p l u t i o ne q u a t i o m ；t h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p s ；e x a c ts o l u t i o n s ；v a r i a b l ec o e f f i c i e n te q u a t i o n ；t a n hm e t h o d ；j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n s ； s i m i l a r i t yr e d u c t i o n ；c o n s e r v a t i o nl a w s l i t 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 前言 一求非線性發(fā)展方程精確解的研究背景 很多領(lǐng)域中的數(shù)學(xué)模型都可以用非線性發(fā)展方程來描述，許多重要的物理、力學(xué)學(xué)科 中的基本方程就是非線性發(fā)展方程 卜3 從微積分理論形成后不久，長期以來，人們一直 用非線性發(fā)展方程來描述、解釋或預(yù)見各種自然現(xiàn)象由于非線性發(fā)展方程在工程技術(shù)、 等離子體、大氣與海洋流體力學(xué)、光纖通信、物理、化學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)、生物、材料科學(xué) 等領(lǐng)域的大量使用，這些非線性發(fā)展方程解的研究一直是人們關(guān)注的熱點(diǎn)對(duì)非線性發(fā)展 方程解的研究主要有以下三個(gè)方面：1 解的適定性研究對(duì)于一些難以求出精確解的方程 借助基礎(chǔ)數(shù)學(xué)知識(shí)證明其解的存在性、唯一性，屬于基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究的內(nèi)容：2 解的數(shù)值模 擬和分析借助計(jì)算機(jī)和計(jì)算數(shù)學(xué)的理論，對(duì)方程解的變化態(tài)勢(shì)進(jìn)行分析和模擬，屬于計(jì) 算數(shù)學(xué)的內(nèi)容：3 求方程的精確解應(yīng)用某些數(shù)學(xué)技巧或假設(shè)，通過構(gòu)造適當(dāng)?shù)淖儞Q使方 程簡(jiǎn)化并得到其精確解本文將側(cè)重于第三個(gè)方面的研究，即重點(diǎn)尋求非線性發(fā)展方程的 精確解目前，求非線性發(fā)展方程的精確解問題包括以下幾個(gè)方面：發(fā)展一些新的求解方 法；求出某些方程的新解，特別是高階多維或變系數(shù)方程，并分析解的性質(zhì) 一求解非線性發(fā)展方程是古老而在理論和實(shí)際上又很重要的研究課題幾十年之前，對(duì) 非線性發(fā)展方程的求解，被人們認(rèn)為是個(gè)性極強(qiáng)、難以解決的問題直到1 9 6 7 年，美國的 四位學(xué)者g a r d n e r 、g r e e n e 、k r u s k a l 和m i u r a 創(chuàng)立了反散射( i n v e r s es c a t t e r i n g t r a n s f o r m a t i o n ) 方法 4 ，也稱非線性f o u r i e r 變換法，并成功求解了k d v 等方程，從此 以后尋求非線性發(fā)展方程的精確解才成為人們關(guān)注的焦點(diǎn)，各種求解方法也應(yīng)運(yùn)而生， 像達(dá)布變換( d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ) 法 5 、貝克隆變換( b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ) 法 6 、齊次平衡( h o m o g e n e o u sb a l a n c e ) 法 7 1 1 、經(jīng)典和非經(jīng)典李群( c l a s s i c a la n d n o n c l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c h e s ) 方法 1 2 ，1 3 、c k 直接方法( c l a r k s o n k r u s k a l sd i r e c tm e t h o d ) 1 4 和雙曲函數(shù)( t a n hf u n c t i o n ) 1 5 ，1 6 法隨著各種求解方法的不 斷出現(xiàn)，不但一些難以求解的方程得到解決，而且發(fā)現(xiàn)了許多有重要意義的新解近年來， 計(jì)算機(jī)的發(fā)展和符號(hào)運(yùn)算如m a p l e 或m a t h e m a t i c a 的出現(xiàn)，也為求解方程提供了極大的幫 助 由于求解非線性發(fā)展方程難度大，技巧性強(qiáng)，到目前為止，既沒有統(tǒng)一的方法去求解 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 所有的非線性發(fā)展方程，更無法給出一個(gè)非線性發(fā)展方程的所有解( 通解) ，因而我們關(guān)心 的是方程的某種形式的特解，如行波解、孤立波解、孤立子解、相似解、p e a k o n 解、d o m a i n w a l l 解、變量分離解、周期解等這些解可以很好的描述各種物理現(xiàn)象，像振動(dòng)、傳播波 等 早期，由于認(rèn)識(shí)和方法的局限性，人們主要研究了低維常系數(shù)非線性發(fā)展方程但由 于人們面對(duì)的是變化著的( 3 + 1 ) 一維的世界，因此，高維或變系數(shù)的非線性發(fā)展方程所描 述的演化規(guī)律會(huì)更加貼切實(shí)際隨著科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步和研究方法、研究工具的發(fā)展，近幾 年國內(nèi)外許多學(xué)者開始重點(diǎn)考慮高維或變系數(shù)非線性發(fā)展方程 1 7 - 1 8 、積分一微分方程， 非線性離散、半離散方程也備受關(guān)注 二主要研究方法和研究結(jié)果 對(duì)稱是李群理論中的一個(gè)基本概念，對(duì)稱的研究，既是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中的重要研究方向之 一，也具有重要的應(yīng)用價(jià)值對(duì)稱在尋求非線性發(fā)展方程的相似約化、對(duì)稱群及守恒律中 有著不可替代的作用李群方法( 包括經(jīng)典李群方法和非經(jīng)典李群方法) 是尋求非線性發(fā) 展方程對(duì)稱的一種傳統(tǒng)而有力的方法，但具體到求高階多維或變系數(shù)非線性發(fā)展方程的 對(duì)稱時(shí)，往往因?yàn)橛?jì)算過程太煩瑣而難以得到理想結(jié)果：隨著對(duì)高階多維非線性發(fā)展方程 研究的深入，人們也在不斷發(fā)展求這類方程的對(duì)稱的方法c k 直接方法是尋求方程的相 似解的最有力的工具之一，基于保持解的形式不變性這一宗旨，樓森岳教授改進(jìn)了原來的 c k 直接方法，改進(jìn)后的方法稱為是“改進(jìn)的c k 直接方法”應(yīng)用這一方法，就可以方便地 求出非線性發(fā)展方程特別是高階多維非線性發(fā)展方程的一般對(duì)稱群和李對(duì)稱，也可以建 立起方程的新舊解之間的關(guān)系，從而可以由舊解得出新解在本文中，我們用這種方法求 出了( 3 + 1 ) 一維勢(shì)y t s f 方程的對(duì)稱，特別地，我們對(duì)改進(jìn)的c k 直接方法做了方法上的改進(jìn)， 使它不僅適用于常系數(shù)方程，更適用于變系數(shù)方程，從而可以簡(jiǎn)捷地求出變系數(shù)方程的一 般對(duì)稱群和李對(duì)稱 對(duì)于守恒律( 如能量守恒) 和對(duì)稱群的研究，歷來是物理科學(xué)的中心議題之一多年來 人們認(rèn)為無窮多個(gè)守恒律的存在是方程可積或孤子解存在的特征條件之一，無論對(duì)經(jīng)典 力學(xué)還是量子力學(xué)，守恒律的存在反映了系統(tǒng)對(duì)稱性，而研究方程的守恒律同時(shí)必須研究 方程的對(duì)稱性，故對(duì)稱和守恒律有著密切聯(lián)系在數(shù)學(xué)上，守恒律還可以用來導(dǎo)出先驗(yàn)估 計(jì)和運(yùn)動(dòng)積分由于高階多維非線性發(fā)展方程能更加準(zhǔn)確地描述物體的演化規(guī)律，研究這 類方程的對(duì)稱和守恒律更具有廣泛的價(jià)值運(yùn)用改進(jìn)的c k 直接方法，本文對(duì)( 3 + 1 ) 維勢(shì) y t s f 方程的對(duì)稱，對(duì)稱群和守恒律進(jìn)行了研究 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 代數(shù)方法是直接構(gòu)造非線性發(fā)展方程的精確解的簡(jiǎn)捷方法之一，代數(shù)方法又稱函數(shù) 展開法，包括雙曲函數(shù)法、橢圓函數(shù)法等等代數(shù)方法的基本思路是：如何從待求解的非 線性偏微分方程或方程組出發(fā)，通過尋找有效的變換，將原方程( 組) 變?yōu)楹?jiǎn)單的、易解的 代數(shù)方程( 組) ，通過求解代數(shù)方程( 組) ，從而可以獲得原方程或方程組的精確解在本文 中，我們一方面把擴(kuò)展的t a n h 方法推廣到了變系數(shù)方程，另一方面用一種廣義的變換方 法研究了高階多維的n n v 方程，求出此方程更豐富的解，包括孤立子解，雅克比橢圓函數(shù) 解，三角周期解和有理函數(shù)解 本文的研究結(jié)果主要有以下三個(gè)方面： 一利用改進(jìn)的c k 直接方法，求出了( 3 + 1 ) 一維勢(shì)y t s f 方程的一般對(duì)稱群李對(duì)稱及其對(duì) 應(yīng)的向量場(chǎng)，建立了方程新舊解之間的關(guān)系，同時(shí)由舊解得到了方程的許多新的精確解： 這里求出的一般對(duì)稱群比用傳統(tǒng)的李群方法求出的單參數(shù)群更廣泛，后者只是它的特殊 情況：而且，本文求一般對(duì)稱群的計(jì)算過程也比用李群方法簡(jiǎn)單得多運(yùn)用求出的向量場(chǎng) 還得到了方程的守恒律，這里求出的守恒律是全新的，在以前的文獻(xiàn)中沒有出現(xiàn)過 二對(duì)改進(jìn)的c k 直接方法做了方法上的改進(jìn)，并成功地應(yīng)用到( 2 + 1 ) 維變系數(shù)正規(guī)廣義 k p 方程，求出了這個(gè)方程的一般對(duì)稱群和李對(duì)稱：運(yùn)用得到的李對(duì)稱，得到了這個(gè)方程的 五種相似約化和許多新的精確解，包括雙曲函數(shù)解，三角周期解，雅克比橢圓函數(shù)解和有 理函數(shù)解結(jié)果表明改進(jìn)后的方法不僅可以應(yīng)用到常系數(shù)方程也可以應(yīng)用到變系數(shù)方程， 從而為求變系數(shù)方程的一般對(duì)稱群提供了一個(gè)簡(jiǎn)單快捷的方法 三代數(shù)方法的拓展應(yīng)用 ( 1 ) 把推廣的t a n h 函數(shù)方法擴(kuò)展到了求解( 2 + 1 ) 一維變系數(shù)正規(guī)廣義k p 方程利用己 知的r i c c a t i 方程的解，得到了( 2 + 1 ) 維變系數(shù)正規(guī)廣義k p 方程的許多新的顯式精確解， 包括復(fù)合類孤子解和三角周期解，并通過圖像演示了求出的解隨著時(shí)間變化的漸進(jìn)性質(zhì) ( 2 ) 把廣義的交換方法推廣應(yīng)用到( 3 + 1 ) 一維n n v 方程上，求得了( 3 + 1 ) 一維n n v 方程的 大量新的精確解，包括孤子解，雅克比橢圓函數(shù)解，三角函數(shù)解和有理函數(shù)解 本文得到了幾類高階多維或變系數(shù)非線性發(fā)展方程豐富的精確解，并通過圖像說明 了求出的解的漸進(jìn)性質(zhì)：為人們認(rèn)識(shí)許多物理現(xiàn)象提供了基礎(chǔ)但由于非線性發(fā)展方程的 求解問題技巧性極強(qiáng)，難度很大，即使同一個(gè)方程，應(yīng)用不同的方法可能會(huì)得到不同的精 確解因此尋求非線性發(fā)展方程的精確解仍有大量問題需要解決，其中包括提出更加完善 的求解方法，得到方程的更多的更有意思的新精確解當(dāng)然在新的求解方法提出過程中， 也需要相應(yīng)的數(shù)學(xué)理論支持，這必然推動(dòng)數(shù)學(xué)領(lǐng)域中許多學(xué)科的發(fā)展 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 十 第一章( 3 + 1 ) 一維勢(shì)一y t s f 方程的新的精確解和守恒律 尋求非線性發(fā)展方程的對(duì)稱，對(duì)稱群，相似約化以及構(gòu)造這個(gè)方程的無窮多守恒律是 非線性科學(xué)中研究的熱點(diǎn)問題之一李群方法 1 2 1 3 ( 包括經(jīng)典李群方法和非經(jīng)典李群 方法) 和c k 直接方法 1 4 是尋求方程的相似約化的兩種最有力工具，但具體到應(yīng)用李群 方法尋求高階多維非線性發(fā)展方程的李對(duì)稱特別是李點(diǎn)對(duì)稱群時(shí)，往往因?yàn)樯婕暗酱罅?的繁雜計(jì)算而難以取得理想結(jié)果樓森岳教授改進(jìn)了原來的c k 直接方法，稱為是“改進(jìn)的 c k 直接方法” 1 9 2 0 應(yīng)用這一方法，可以方便地求出方程的一般對(duì)稱群、李點(diǎn)對(duì)稱群 以及李對(duì)稱 1 1 引言 李群方法是尋求非線性發(fā)展方程的對(duì)稱、研究它的守恒律以及求得方程的精確解的 一種有力工具對(duì)于一個(gè)給定的非線性發(fā)展方程，在傳統(tǒng)的對(duì)稱群研究中，人們往往局限 于求出李點(diǎn)對(duì)稱群根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)的李群理論，原則上講只要求出群的無窮小形式和李代數(shù)就 夠了，因?yàn)橄鄳?yīng)的李群可以由相關(guān)的常微分方程組的初值問題來確定但是，對(duì)于一個(gè)給 定的非線性發(fā)展方程，仍有以下幾個(gè)問題存在： ( 1 ) 求出李代數(shù)之后，通過初值問題的解決來給出方程的對(duì)稱群在有些情況下仍然是 很困難的 ( 2 ) 在許多情況下，即使初值問題解決了，群的表達(dá)式也可能會(huì)非常復(fù)雜或者由隱函 數(shù)來表達(dá)，在實(shí)際應(yīng)用中不方便 ( 3 ) 在另外一些情況下，方程的一般對(duì)稱群根本不是李群，或許存在更一般的連續(xù)對(duì) 稱群 而且，對(duì)許多非線性系統(tǒng)特別是高階多維的非線性系統(tǒng)而言，僅是運(yùn)用李群方法尋 求非線性系統(tǒng)的李代數(shù)計(jì)算起來已經(jīng)非常復(fù)雜了，更不用說在此基礎(chǔ)上再通過初值問題 的解決來求李群了c k 直接方法也是尋求方程的相似約化的最有力工具之一，這個(gè)方法 又稱為直接約化方法，它是由p a c l a r k s o n 和m 。d k r u s k a l 于1 9 8 9 年提出來的一 種不用群理論而求解非線性發(fā)展方程的相似約化的方法 1 4 對(duì)于許多非線性發(fā)展方程 而言，應(yīng)用這種方法幾乎可以求出方程的所有的相似約化這個(gè)事實(shí)暗示我們：對(duì)許多 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 非線性發(fā)展方程而言，有一種簡(jiǎn)單的方法可以求出方程的一般對(duì)稱群下面我們先簡(jiǎn)要 介紹c k 直接方法，。再介紹改迸的c k 直接方法 我們以兩個(gè)自變量的偏微分方程為例，說明c k 直接方法的基本思想：通過選取適當(dāng) 的變換把求解非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為求解常微分方程 對(duì)于方程 f ( x ，t ，u ，“，) = o ， ( 1 1 ) 可以尋找如下形式的相似約化 甜( x ，f ) = w ( x ，r ，1 p ( z ) ) ，z = z ( x ，t ) ， ( 1 2 ) 其中形和w 均是待定函數(shù)，業(yè)已證明，大多數(shù)情況下，方程( 1 2 ) 可采取如下的簡(jiǎn)單形式： u ( x ，) = a ( x ，f ) + p ( x ，f ) w ( z ) ，z = z ( x ，f ) ( 1 3 ) 其中口，屈w ，z 均是待定函數(shù)，把方程( 1 3 ) 代入方程( 1 1 ) ，然后將w ( z ) 的階數(shù)和冪次相 同的項(xiàng)放在一起，其系數(shù)由口，口及z 的函數(shù)構(gòu)成，為了使所得方程為w ( z ) 的常微分方程， 要求這些項(xiàng)的系數(shù)之比僅為z 的函數(shù)，于是可得到關(guān)于口，盧，z 的超定方程組，由此可以 確定口，夕，z 再求解得到的常微分方程得到w ，然后通過方程( 1 3 ) 即可得方程( 1 1 ) 的解 在確定這三個(gè)自由度函數(shù)口，盧，= 時(shí)，可采取如下規(guī)則： 規(guī)則1 若a ( x ，t ) = a o ( x ，f ) + 盧( x ，f ) q ( z ) ，可取o ( z ) = 0 ； 規(guī)則2 ：若p ( x ，t ) = p o ( z ，r ) q ( z ) ，可取n ( z ) = 1 ： 規(guī)財(cái)3 i 若g ( x , t ) 可由n ( z ) = z o ( x ，t ) 確定，其中q ( z ) 可逆，則可取q ( z ) = = 其中，上面的每個(gè)規(guī)則只能使用一次，一個(gè)自由度函數(shù)將由于使用相應(yīng)的規(guī)則而被固定下 來 為了用c k 直接方法尋求非線性發(fā)展方程的一般對(duì)稱群，文獻(xiàn) 1 9 2 0 改進(jìn)了c k 直接 方法，運(yùn)用這種改進(jìn)的c k 直接方法，可以求出方程( 1 1 ) 的一般對(duì)稱群，李點(diǎn)對(duì)稱群和李 對(duì)稱，還可以由方程( 1 1 ) 的已知解得到新的精確解事實(shí)上，改進(jìn)的c k 直接方法只是把 上面的方程( 1 2 ) 換為 u ( x ，f ) = r e ( x ，t ，v ( x ，丁) ) ，x = x ( x ，f ) ，丁= r ( 而f ) ( 1 4 ) 就可以了，通過要求“在變換 ( x ，r ，甜) - - - ( z ，t ，u ) ， ( 1 5 ) 下保持形式不變( 即u 滿足和u 形式一樣的偏微分方程，只是自變量換成x ，丁而已) 來確 定，x 和，同理在大多數(shù)情況下，方程( 1 4 ) 也可以換成下面的簡(jiǎn)單形式 u ( x ，f ) = a ( x ，f ) + ( x ，t ) u ( x ，f ) ， ( 1 6 ) 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 其中口，盧，x ，t 均是x ，t 的待定函數(shù)，通過要求u ( x ，r ) 滿足和“形式一樣的方程來確定。一旦 口，口，t 都求出來了，方程( 1 1 ) 的一般對(duì)稱群也就確定了。 1 2 ( 3 + i ) 一維勢(shì)y t s f 方程的一般對(duì)稱群和新的精確解 最近，文獻(xiàn) 1 8 ，2 1 用齊次平衡法求出了如下( 3 + 1 ) 一維勢(shì)y t s f 方程 一4 4 - + 4 叱+ 2 k 比+ 3 = 0 ( 1 7 ) 的大量的新的精確解，包括復(fù)合孤立子解、非行波解、類孤立子解和奇異孤立子解據(jù)我 們所知，迄今為止，方程( 1 7 ) 的對(duì)稱群和守恒律還沒有被研究過在本文中，我們將運(yùn)用 改進(jìn)的c k 直接方法去尋求方程( 1 7 ) 的一般對(duì)稱群同時(shí)，利用求得的方程( 1 7 ) 的新舊 解之間的關(guān)系求出了方程( 1 7 ) 的一些新的精確解，運(yùn)用求得的對(duì)稱，我們還研究了這個(gè) 方程的守恒律 假設(shè)方程( 1 7 ) 具有下列形式的對(duì)稱群 w ( x , y ，z ，f ) = ，+ s u ( f ，g , h ，p ) ， ( 1 8 ) 其中，= r ( x ，y ，z ，f ) ，j = s ( x ，y ，z ，f ) ，f = f ( x ，y ，z ，f ) ，g = g ( x ，y ，z ，f ) ，h = h ( x ，h z ，t ) 和 p = p ( x ，y ，z ，t ) 部是待定函數(shù)，這些待定函數(shù)可以通過要求u ( f ，g ，h ，p ) 在變換 w ，x ，y ，z ，辭 ”，f ，g ，h ，p ) ， 下滿足和w = w ( x ，y ，z ，r ) 形式一樣的方程，即通過要求u ( f ，g ，h ，p ) 滿足方程 “r = 4 u m 一4 u u 西一2 2 0 “ - 3 u 囂 ( 1 9 ) 來確定 基于上面提到的想法，我們開始尋求方程( 1 7 ) 的一般對(duì)稱群和新的精確解令w 具 有方程( 1 8 ) 的形式，然后把方程( 1 8 ) 代入方程( 1 7 ) ，同時(shí)讓u ( f ，g ，h ，p ) 滿足方程 ( 1 9 ) ，即通過方程( 1 9 ) 約去“ ，我們得到 畈3 正”，4 + 3 “9 4 + 以3 吃“ 44 - s p x 3 p z u ，+ e ( x ，_ ) ，z ，t ，u ，“y ，- - ) = o ，( 1 1 0 ) 其中= 籌，：窘, u h - - - - 籌=籌，函數(shù)馳，y,z,t,ux,u曲uj,up ，勺，h h 。 兵甲“，”。礦吩2 兩 麗 2 可幽瓤鼻【x ， 。) 與 ，“ 4 和“。無關(guān)從方程( 1 1 0 ) ，可以得到 丘正= 0 ，= 0 ，h a = 0 ，n 見= 0 ， ( 1 1 1 ) 很容易驗(yàn)證，如果z = 0 或吃= 0 方程( 1 7 ) 沒有非平凡解，因此可以得到 6 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 = f ( x ，y ，f ) ，g = g ( 蕾) f ) ，五= h ( y ，2 ，) ，p = p ( y ，z ，) ( 1 。1 2 ) 把方程( 1 1 2 ) 代入方程( 1 1 0 ) ，方程( 1 1 0 ) 就變?yōu)?( 3 g 2 p z u f p + 3 s l 2 吃材，：神+ 3 s f ，g ，p 2 u f 9 2 t , + 3 畈恕“岔 + s g ，z p ：封礦p + s g x 2 h z “幽) & + 礬3 p z n f ，p + f 2 ( x , y ，z ，虬，) = o ， ( 1 1 3 ) 其中函數(shù)e ( 南y ，z ，f ，叱，哆，) 與“，。，誓鋤，“據(jù)。，2 名，2 0 ， “幽和甜，無關(guān)， 從方程( 1 - 1 3 ) 可以得到 g x = 0 ，p ：= 0 ，即g = g ( y ，t ) ，p = p ( y ，f ) ( 1 1 4 ) 把方程( 1 1 4 ) 代入方程( 1 1 3 ) ，可以得到 巳f + 3 s p y 2 “”+ 3 s h y 2 + 4 峨正吃“+ e ( x ，y ，= ，t ，“) = 0 ， 其中函數(shù)e ( x ，y ，z ，t ，“，) 獨(dú)立于甜廚，“，“。和材。，從上面的方程可以得到 巴= 0 ，緯= 0 ，砟= 0 ，文= o ，即s = s ( y ，f ) ，h = ( 乃f ) ，p = p u ) t 按上面的步驟一步步算下來，我們可以得到以下決定方程組 3 蹭，2 3 礬3 吃= o ，3 吮六丘= o ，3 s y r = o ，4 畈n + 4 阢3 吃= o ，2 s 2 正2 吃一2 玩3 吃= 0 ， 6 s f y g ，一4 畈= o ，k 一4 k + 4 5 r 。+ 2 ，k + 3 0 = 6 ，3 彬2 4 s f j ，+ 2 k 2 藝= 0 ， 4 s 2 正2 h - 4 s f ，3 吃= o ，- 4 乙一4 s t f ，+ 3 礦0 + 6 s y f y + 4 軛k + 2 s f = r , ；0 s 吃，二一4 畈啊+ 4 s 吃正= o ，2 s 2 丘魂= o ，2 s ，o 吃= 0 , 3 s g + 6 s ，g y = 0 解上述方程組，可以求出待定函數(shù) ， 2， ，= 魯+ 等+ 緲+ 掣地c - 1 5 ) 2 s ，：阜+ 三；+ 緲+ 竺譬嘗竺+ 6 ， ( 1 sc s f = x s + q y + b 1 ( 1 1 6 ) g = c s 2 y + g 耐， ( 1 1 7 ) h = c 2 s z + a z 。 ( 1 1 8 ) p ：c 2 卉， ( 1 1 9 ) 其中c ( o ) ，j ( o ) 和q 是任意常數(shù)，q ，a ，鞏，b 是t 的任意函數(shù)根據(jù)方程( 1 8 ) ，我 們有 w ：忑x a l t + 娑+ 緲+ 學(xué)+ b + s u ( f 肭趴( 1 2 0 ) c sc sz s 。 其中函數(shù)f ，g ，h 和p 分別是由方程( 1 t 1 6 ) 一( 1 t 9 ) 決定的根據(jù)上面的結(jié)果，對(duì)于 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 ( 3 + 1 ) 一維勢(shì)y t s f 萬程的對(duì)稱群，有如f 的對(duì)稱群定理： 定理1 如果u ( x ，y ，z ，t ) 是方程( 1 7 ) 的一個(gè)解，由( 1 2 0 ) 式表達(dá)的w 也是方程 ( 1 7 ) 的一個(gè)解 根據(jù)定理1 ，由方程( 1 7 ) 的已知解，我們可以得到方程( 1 7 ) 的新的精確解現(xiàn)在我 們推廣文獻(xiàn) 2 1 的結(jié)果去尋求方程( 1 7 ) 的新的精確解應(yīng)用定理1 和文獻(xiàn) 2 1 的結(jié)果， 我們可以得到如下的方程( 1 7 ) 的新解： u = 詈+ 譬+ 緲+ 學(xué)m ， z - ， 其中 “= 2 ( 1 i l 紡) ，( = l ，2 ，8 ) ， 竹= 4 + b c 。s h ( m h + i i | 2 坳+ p , ) e x p ( k f + l g + 丁4 n k - 3 1 2 矗+ r i p + q , ) ， 仍= 彳+ 丑c o s h ( k f + 三g + 專；筆害：湍辦+ 塑竺墮絲窯璺掣p例4k( k 一七) 2 ( k + 七r 1 e x p ( k f 地+ 篙篇鏟一 1 2 k 3 l k 2 l + 2 k l k 4 i 一6 l k 5 i 一6 k 2 k 3 r 一壽5 上2 + 3 r 五4 4 k 2 k s l 2 一可頁正面面再廠一p + q 2 ) ， q o ，= a + b c 。s h ( k f + l g + m h + 4 m k 礦s + 3 1 2p + p ，) e x p ( k f + l g + m 矗+ 學(xué)p + 吼) ， 艫枷c o s h ( k f l g + 脅+ 警p + p , ) e x p ( 一k f + l g + m 而+ 警p 訓(xùn)， e p s = a + b c o s ( m h + i 1 七2 坳+ p 5 ) e 姒礦+ l g + 下4 n k - 3 l z 矗+ 印+ 吼) ， 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 = 4 + 曰c 。s ( k f + l g + 生：! ；鬻 + 墨! ! 蘭查! 三蘭蘭j ；喜：；：；j 善_ ；型p + a ) e x p ( 礦+ s + 蘭! 生：；j 鏟一一 2 k l k 4 i - 12 k 3 l k 2 1 - 6 l k s l 蠆+ 忑6 k 萬2 k 3 l 天2 - f k s l 2 + 3 l 2 k g 4 - 4 k 2 k _ 3 1 2p + 9 6 ) ， 4 k 2r k 2 + k 2 1 2 ?！?仍蛐脅s ( 塒n g + 砌+ 掣p + p 7 ) e 沖( 眵+ l g + m h + 、3 1 2 + 4 i n k 3p m 紙= 彳+ 曰e x p ( 9 + l g + m h + 里生 妄竺島+ 9 8 ) 其中c 0 ，s 0 和q 是任意常數(shù)，q ，口，6 i 和b 都是t 的任意函數(shù)，函數(shù)f ，g ， 和p 是 由方程( 1 。1 6 ) 一( 1 ，1 9 ) 分別確定的，i 2 = - i ，爿，b ，k ，l ，m ，p l ( j = 1 ，2 ，8 ) ，k ，掰，i 7 ，g 和 q j ( j = 1 ，2 ，8 ) 是常數(shù)當(dāng)盯= 6 = g = 口1 = 6 l = o ，c = s = 1 對(duì)，由方程( 1 2 1 ) 表示的解 正是文獻(xiàn) 2 1 中的結(jié)果所l 以我們推廣了文獻(xiàn) 2 1 中的結(jié)果 1 3 ( 3 + 1 ) - 維勢(shì)y t s f 方程的李對(duì)稱和守恒律 從定理1 知道，求出的對(duì)稱群就是方程( 1 7 ) 的一般對(duì)稱群為了用方程( 1 1 5 ) 一( 1 1 9 ) 來討論方程( 1 7 ) 的一般對(duì)稱群和李點(diǎn)對(duì)稱群之間的關(guān)系，我們?nèi)?c = l + 占c ，j = 1 + 6 s ，q = 占q ，a l = c a , ，a = 6 a ，b = 占丑，b l = e b l , 其中占是無窮小參數(shù)，c ，s 和g 是任意常數(shù)，4 ，爿，墨，丑是f 的任意函數(shù)。這時(shí)方程 ( 1 2 0 ) 可以寫成 w = “+ c a ( u ) ( 1 2 2 ) 其中仃0 為方程( 1 1 ) 的李對(duì)稱 盯( ) = 五嗚，+ i 2 y 2 4 。+ 4 y + 4 z b u + b + s “+ ( x s + q y + 蜀) 虬+ 【c = y + 2 s y + 0 _ t u y + ( 2 c z + 斃+ 4 ) “：+ ( 2 c + 3 s ) t u ， ( 1 2 3 ) 對(duì)應(yīng)的向量場(chǎng)的表達(dá)式為 r = ( 姆+ 緲+ 最) 去+ ( + 塒+ j 3 瓦o + ( 2 + & + 4 ) 魯+ 【( 2 c + 3 s ) ，1 _ d o ，一 硝，+ 詈y 2 4 。+ 砂+ 竽+ b + 州言 9 聊城大學(xué)碩士學(xué)位論文 = c c y 嘉+ 2 t 魯+ z ：爭(zhēng)+ s 曇+ z y 導(dǎo)+ z 曇+ s r 曇一甜未，+ q 抄曇+ j 3r 殺， + ( 旦曇一z 碣，殺) + ( 4 皂一x a l ，亳一j 2 y 2 a i 。臺(tái)- b 旦鋤一砂未 = c z , + s k + q 圪+ + k + 圪+ 巧 ( 1 - 2 4 ) 從向量場(chǎng)表達(dá)式方程( 1 2 4 ) 我們知道方程( 1 7 ) 的李對(duì)稱有7 個(gè)子對(duì)稱 ( f - 1 ，2 ，7 ) ，并且可以由標(biāo)準(zhǔn)的李群方法來得到 眾所周知，對(duì)稱群的應(yīng)用之一是尋求微分方程的守衡律我們先回顧與李貝克隆算 子有關(guān)的幾個(gè)結(jié)果，然后再求方程( 1 7 ) 的守恒律 一個(gè)李貝克隆算子可以表示為 五= 喜瑤+ 叩殺+ 喜+ 善4 萎4 乞毒+ 善4 薔4 善4 缸去，c s ， 其中= 口( u ) + 乞“：一，白= b ( u ) + 蠡“，乞。= ( u ) + 厶“。，d i 表示對(duì) 薯的全微分，鞏) = d f ( d ，( u ) ) ，或。) = d j ( d ，( q ( u ) ) ) ，u 是李特征函數(shù)，表達(dá)式為 下面的式子 、 u = r - 釓 ( 1 2 6 ) 定理2 ( 2 2 ) 假設(shè)五是方程( 1 7 ) 的一個(gè)李貝克隆算子，如果守恒向量場(chǎng) t = ( f ，r 2 ，p ，t 4 ) 在墨下保持不變，那么 五( z ) + 霉q 嗎) 一乃q ( 盞) = o ，( f = 1 ；2 ，3 ，4 ) ( 1 2 7 ) 定義3 稱李貝克隆算子k 與守恒向量r 有關(guān)，如果和r 滿足關(guān)系式( 1 2 7 ) 在本文中，我們假定療= 4 ，五= 茗，而= y ，弓= z ，= f ，并且 d i = 皿，d ，= q ，d 3 = 見，d 4 = 口，五= x ，五= y ，五= z ，= t 現(xiàn)在我們構(gòu)造方程 ( 1 7 ) 的守恒律，( x ，y ，z ，r ) 顯然滿足 皿z + d ，】，+ 也z + 口r = 0 ， ( 1 2 8 ) 其中守恒向量場(chǎng)( x ，y ，z ，r ) 與方程( 1 2 4 ) 中的李貝克隆對(duì)稱k 有關(guān)z ，y ，z 和r 是 x ，y ，z ，r ，“，砧，“：，“。，：”，“。和u n ，的函數(shù)把x ，y ，z 和丁代入方程( 1 2 7 ) 可以得到 k c 恥z 虬署。葉若址善一籌?！?。芒- 4 u , ，薏一。薏。薏 1 0 望絲查蘭塑主蘭堡鯊窒 嘲w 薏一。a x _ 6 u ，鴨o x 地。瓦o x s 善一籌一“。薏也。薏 砘m 瓦o x6 u = d o i x - 6 u 。a x s 差一，u ，o x 一憶薏一s 薏一 s “w 芒一，等一s 芒u ，拋0 3 ，( 一s 薏u ，o x 一9 u m 瓦0 2 ( 一 她。芒“。薏噸。薏一1 薏刪一o ， k c d 屯“，嘗一s 略著一z 屹菪o u 地，蕓 咖嗍，。拋 一s 薏一芒一囂。芒 s 峙薏一薏u , 。o y 噸，薏 芒o