聊城大學碩士學位論文 摘要 本文運用改進的c k 直接方法和代數(shù)方法，研究了幾類高階多維或變系數(shù)非線性發(fā)展 方程的一般對稱群和顯式精確解求得了方程的李對稱，許多新的精確解和用經典的李群 方法無法得到的一般對稱群，并討論了一類方程的守恒律問題 在第一章中，利用改進的c k 直接方法，求出了( 3 + 1 ) 一維勢y t s f 方程的一般對稱群和 李對稱用經典的李群方法求出的單參數(shù)李群只是我們關于對稱群結果的特殊情況；這 里得到的李對稱用經典的李群方法雖然也可以得到，但計算過程卻復雜得多根據(jù)我們建 立的一般對稱群原理，建立了方程的新舊解之間的關系，并由已知的舊解得到了方程的許 多新的精確解：運用求出的李對稱研究了方程的守恒律，這里求出的守恒律是全新的，在 一， 以前的文獻中沒有出現(xiàn)過 在第二章中，對改進的c k 直接方法做了方法上的改進，使得改進后的方法可以簡捷 地求出變系數(shù)方程的一般對稱群但由于變系數(shù)方程中變系數(shù)的任意性，用標準的李群方 法討論它的對稱群是一件非常復雜的工作運用改進后的方法，求出了( 2 + 1 ) 維變系數(shù)正 規(guī)廣義k p 方程的一般對稱群和李對稱：運用得到的李對稱，得到了這個方程的五種相似 約化和許多新的的精確解，包括雙曲函數(shù)解，三角周期解和有理函數(shù)解 在第三章中，運用直接構造方程精確解的代數(shù)方法討論了( 2 + 1 ) 維變系數(shù)正規(guī)廣義 k p 方程和( 3 + 1 ) 一維n n v 方程的精確解一方面，把擴展的t a n h 方法推廣到了變系數(shù)的情 形，得到了( 2 + 1 ) 維變系數(shù)正規(guī)廣義k p 方程的許多新的精確解，并用圖像說明了一個解 隨時間變化的漸進性質：另一方面，用一種廣義的變換方法求出了( 3 + 1 ) 一維n n v 方程的 大量新的精確解，包括孤子解，雅克比橢圓函數(shù)解，三角函數(shù)解和有理函數(shù)解 關鍵詞：非線性發(fā)展方程：一般對稱群：精確解：變系數(shù)方程：t a n h 方法：雅 克比橢圓函數(shù)解：相似約化：守恒律 塑絲查蘭墮主蘭堡絲塞 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , b yu s i n gt h em o d i f i e dc k sd i r e c tm e t h o da n da l g e b r a i cm e t h o d ，w es t u d y t h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p sa n dn e we x p l i c i te x a c ts o l u t i o n so fs o m eh i g h e r - o r d e ra n d h i g h e r - d i m e n s i o n a ln o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n so rv a r i a b l ec o e f f 五c i e n tn o n l i n e a re v o l u t i o n e q u a t i o n s a sar e s u l t ，l i es y m m e t r y , n e w e x a c ts o l u t i o n sa n dg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p sw h i c h c a n tb eo b t a i n e db yt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pm e t h o da r eo b t a i n e d b yt h eg i v e nl i es y m m e t r y , w ea l s od i s c u s st h ec o n s e r v a t i o nl a w s o fs o m en o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n i nc h a p t e ro n e ，u s i n gt h em o d i f i e dc k sd i r e c tm e t h o d ，w eo b t a i nt h eg e n e r a ls y m m e t r y g r o u p s l i es y m m e t r ya n dm a n y n e we x a c ts o l u t i o n so f t h e ( 3 + l 、- d i m e n s i o n a lp o t e n t i a l _ y t s f e q u a t i o n t h el i eg r o u po b t a i n e db yt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c hi so n l ys p e c i a c a s eo f o u rr e s u l t sw i t hr e s p e c tt os y m m e t r yg r o u p s a n dt h el i es y m m e t r yh e r ec a na l s ob eo b t a i n e d b yt h ec l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c hb yw h i c ht h ec o m p u t a t i o ni sm u c hm o r ec o m p l i c a t e d b a s e do nt h eo b t a i n e dt h e o r e mf o r t h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p s ，w ea l s o f o u n dt h e r e l a t i o n s h i po ft h eo l ds o l u t i o n sa n dt h en e ws o l u t i o n sa n dg e t al o to fn e ws o l u t i o n sf r o mt h e k n o w no n e s u s i n gt h eo b t a i n e dl i es y m m e t r y , w eg e tt h ec o n s e r v a t i o nl a w so ft h ee q u a t i o n t oo u rb e s tk n o w l e d g e ，t h ec o n s e r v a t i o nl a w sw h i c hc a n tb ef o u n di nt h ef o r m e rl i t e r a t u r ea r e c o m p l e t e l yn e w i nc h a p t e rt w o ，i no r d e rt og e tt h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p so fv a r i a b l ec o e f f i c i e n t n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o nf o r t h r i g h t l y , w ei m p r o v et h em o d i f i e dc k sd i r e c tm e t h o d i n f a c t , s t u d y i n gt h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p so fe q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s i sv e r y c o m p l i c a t e db e c a u s eo ft h er a n d o m i c i t yo ft h ec o e f f i c i e n t s b yt h ei m p r o v e dm e t h o d ，w e o b t a i nt h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p sa n dl i es y m m e t r yo ft h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lc a n o n i c a l g e n e r a l i z e dk pe q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t s u s i n gt h el i es y m m e t r y , w eg e tf i v et y p e s o fs i m i l a r i t yr e d u c t i o n sa n dm a n yn e we x a c ts o l u t i o n so ft h ee q u a t i o n ，i n c l u d i n gh y p e r b o l i c f u n c t i o ns o l u t i o n s ，t r i a n g u l a rp e r i o d i cs o l u t i o n s ，j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n sa n dr a t i o n a l s 0 1 u t i o n s i nc h a p t e rt h r e e ，w ed i s c u s st h ee x p l i c i te x a c ts o l u t i o n so ft h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a l c a n o n i c a lg e n e r a l i z e dk pe q u a t i o nw i t hv a r i a b l ec o e f f i c i e n t sa n d ( 3 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ln n v 聊城大學碩士學位論文 e q u a t i o nt h r o u g ht h ea l g e b r a i cm e t h o dw h i c hi su s e dt oc o n s t r u c ts o l u t i o n so fe q u a t i o n s d i r e c t l y w eg e tm a n yn e we x a c ts o l u t i o n so f t h ek pe q u a t i o nb yt h eg e n e r a l i z e dt a n hm e t h o d t h r o u g hf i v ep i c t u r e sw ei l l u m i n a t et h ea s y m p t o t i c a lp r o p e r t yo fs o m es o l u t i o na st i m ep a s s e s u s i n gag e n e r a l i z e dt r a n s f o r m a t i o nm e t h o dw ea l s oo b t a i nal o to fn e ws o l u t i o n so ft h en n v e q u a t i o n ，i n c l u d i n gs o l i t o ns o l u t i o n s ，t r i a n g u l a rp e r i o d i cs o l u t i o n s ，j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o n s o l u t i o n sa n dr a t i o n a lo n e s k e yw o r d s ：n o n l i n e a re v p l u t i o ne q u a t i o m ；t h eg e n e r a ls y m m e t r yg r o u p s ；e x a c ts o l u t i o n s ；v a r i a b l ec o e f f i c i e n te q u a t i o n ；t a n hm e t h o d ；j a c o b ie l l i p t i cf u n c t i o ns o l u t i o n s ； s i m i l a r i t yr e d u c t i o n ；c o n s e r v a t i o nl a w s l i t 聊城大學碩士學位論文 前言 一求非線性發(fā)展方程精確解的研究背景 很多領域中的數(shù)學模型都可以用非線性發(fā)展方程來描述，許多重要的物理、力學學科 中的基本方程就是非線性發(fā)展方程 卜3 從微積分理論形成后不久，長期以來，人們一直 用非線性發(fā)展方程來描述、解釋或預見各種自然現(xiàn)象由于非線性發(fā)展方程在工程技術、 等離子體、大氣與海洋流體力學、光纖通信、物理、化學、應用數(shù)學、生物、材料科學 等領域的大量使用，這些非線性發(fā)展方程解的研究一直是人們關注的熱點對非線性發(fā)展 方程解的研究主要有以下三個方面：1 解的適定性研究對于一些難以求出精確解的方程 借助基礎數(shù)學知識證明其解的存在性、唯一性，屬于基礎數(shù)學研究的內容：2 解的數(shù)值模 擬和分析借助計算機和計算數(shù)學的理論，對方程解的變化態(tài)勢進行分析和模擬，屬于計 算數(shù)學的內容：3 求方程的精確解應用某些數(shù)學技巧或假設，通過構造適當?shù)淖儞Q使方 程簡化并得到其精確解本文將側重于第三個方面的研究，即重點尋求非線性發(fā)展方程的 精確解目前，求非線性發(fā)展方程的精確解問題包括以下幾個方面：發(fā)展一些新的求解方 法；求出某些方程的新解，特別是高階多維或變系數(shù)方程，并分析解的性質 一求解非線性發(fā)展方程是古老而在理論和實際上又很重要的研究課題幾十年之前，對 非線性發(fā)展方程的求解，被人們認為是個性極強、難以解決的問題直到1 9 6 7 年，美國的 四位學者g a r d n e r 、g r e e n e 、k r u s k a l 和m i u r a 創(chuàng)立了反散射( i n v e r s es c a t t e r i n g t r a n s f o r m a t i o n ) 方法 4 ，也稱非線性f o u r i e r 變換法，并成功求解了k d v 等方程，從此 以后尋求非線性發(fā)展方程的精確解才成為人們關注的焦點，各種求解方法也應運而生， 像達布變換( d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ) 法 5 、貝克隆變換( b a c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ) 法 6 、齊次平衡( h o m o g e n e o u sb a l a n c e ) 法 7 1 1 、經典和非經典李群( c l a s s i c a la n d n o n c l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c h e s ) 方法 1 2 ，1 3 、c k 直接方法( c l a r k s o n k r u s k a l sd i r e c tm e t h o d ) 1 4 和雙曲函數(shù)( t a n hf u n c t i o n ) 1 5 ，1 6 法隨著各種求解方法的不 斷出現(xiàn)，不但一些難以求解的方程得到解決，而且發(fā)現(xiàn)了許多有重要意義的新解近年來， 計算機的發(fā)展和符號運算如m a p l e 或m a t h e m a t i c a 的出現(xiàn)，也為求解方程提供了極大的幫 助 由于求解非線性發(fā)展方程難度大，技巧性強，到目前為止，既沒有統(tǒng)一的方法去求解 聊城大學碩士學位論文 所有的非線性發(fā)展方程，更無法給出一個非線性發(fā)展方程的所有解( 通解) ，因而我們關心 的是方程的某種形式的特解，如行波解、孤立波解、孤立子解、相似解、p e a k o n 解、d o m a i n w a l l 解、變量分離解、周期解等這些解可以很好的描述各種物理現(xiàn)象，像振動、傳播波 等 早期，由于認識和方法的局限性，人們主要研究了低維常系數(shù)非線性發(fā)展方程但由 于人們面對的是變化著的( 3 + 1 ) 一維的世界，因此，高維或變系數(shù)的非線性發(fā)展方程所描 述的演化規(guī)律會更加貼切實際隨著科學技術的進步和研究方法、研究工具的發(fā)展，近幾 年國內外許多學者開始重點考慮高維或變系數(shù)非線性發(fā)展方程 1 7 - 1 8 、積分一微分方程， 非線性離散、半離散方程也備受關注 二主要研究方法和研究結果 對稱是李群理論中的一個基本概念，對稱的研究，既是基礎數(shù)學中的重要研究方向之 一，也具有重要的應用價值對稱在尋求非線性發(fā)展方程的相似約化、對稱群及守恒律中 有著不可替代的作用李群方法( 包括經典李群方法和非經典李群方法) 是尋求非線性發(fā) 展方程對稱的一種傳統(tǒng)而有力的方法，但具體到求高階多維或變系數(shù)非線性發(fā)展方程的 對稱時，往往因為計算過程太煩瑣而難以得到理想結果：隨著對高階多維非線性發(fā)展方程 研究的深入，人們也在不斷發(fā)展求這類方程的對稱的方法c k 直接方法是尋求方程的相 似解的最有力的工具之一，基于保持解的形式不變性這一宗旨，樓森岳教授改進了原來的 c k 直接方法，改進后的方法稱為是“改進的c k 直接方法”應用這一方法，就可以方便地 求出非線性發(fā)展方程特別是高階多維非線性發(fā)展方程的一般對稱群和李對稱，也可以建 立起方程的新舊解之間的關系，從而可以由舊解得出新解在本文中，我們用這種方法求 出了( 3 + 1 ) 一維勢y t s f 方程的對稱，特別地，我們對改進的c k 直接方法做了方法上的改進， 使它不僅適用于常系數(shù)方程，更適用于變系數(shù)方程，從而可以簡捷地求出變系數(shù)方程的一 般對稱群和李對稱 對于守恒律( 如能量守恒) 和對稱群的研究，歷來是物理科學的中心議題之一多年來 人們認為無窮多個守恒律的存在是方程可積或孤子解存在的特征條件之一，無論對經典 力學還是量子力學，守恒律的存在反映了系統(tǒng)對稱性，而研究方程的守恒律同時必須研究 方程的對稱性，故對稱和守恒律有著密切聯(lián)系在數(shù)學上，守恒律還可以用來導出先驗估 計和運動積分由于高階多維非線性發(fā)展方程能更加準確地描述物體的演化規(guī)律，研究這 類方程的對稱和守恒律更具有廣泛的價值運用改進的c k 直接方法，本文對( 3 + 1 ) 維勢 y t s f 方程的對稱，對稱群和守恒律進行了研究 聊城大學碩士學位論文 代數(shù)方法是直接構造非線性發(fā)展方程的精確解的簡捷方法之一，代數(shù)方法又稱函數(shù) 展開法，包括雙曲函數(shù)法、橢圓函數(shù)法等等代數(shù)方法的基本思路是：如何從待求解的非 線性偏微分方程或方程組出發(fā)，通過尋找有效的變換，將原方程( 組) 變?yōu)楹唵蔚?、易解?代數(shù)方程( 組) ，通過求解代數(shù)方程( 組) ，從而可以獲得原方程或方程組的精確解在本文 中，我們一方面把擴展的t a n h 方法推廣到了變系數(shù)方程，另一方面用一種廣義的變換方 法研究了高階多維的n n v 方程，求出此方程更豐富的解，包括孤立子解，雅克比橢圓函數(shù) 解，三角周期解和有理函數(shù)解 本文的研究結果主要有以下三個方面： 一利用改進的c k 直接方法，求出了( 3 + 1 ) 一維勢y t s f 方程的一般對稱群李對稱及其對 應的向量場，建立了方程新舊解之間的關系，同時由舊解得到了方程的許多新的精確解： 這里求出的一般對稱群比用傳統(tǒng)的李群方法求出的單參數(shù)群更廣泛，后者只是它的特殊 情況：而且，本文求一般對稱群的計算過程也比用李群方法簡單得多運用求出的向量場 還得到了方程的守恒律，這里求出的守恒律是全新的，在以前的文獻中沒有出現(xiàn)過 二對改進的c k 直接方法做了方法上的改進，并成功地應用到( 2 + 1 ) 維變系數(shù)正規(guī)廣義 k p 方程，求出了這個方程的一般對稱群和李對稱：運用得到的李對稱，得到了這個方程的 五種相似約化和許多新的精確解，包括雙曲函數(shù)解，三角周期解，雅克比橢圓函數(shù)解和有 理函數(shù)解結果表明改進后的方法不僅可以應用到常系數(shù)方程也可以應用到變系數(shù)方程， 從而為求變系數(shù)方程的一般對稱群提供了一個簡單快捷的方法 三代數(shù)方法的拓展應用 ( 1 ) 把推廣的t a n h 函數(shù)方法擴展到了求解( 2 + 1 ) 一維變系數(shù)正規(guī)廣義k p 方程利用己 知的r i c c a t i 方程的解，得到了( 2 + 1 ) 維變系數(shù)正規(guī)廣義k p 方程的許多新的顯式精確解， 包括復合類孤子解和三角周期解，并通過圖像演示了求出的解隨著時間變化的漸進性質 ( 2 ) 把廣義的交換方法推廣應用到( 3 + 1 ) 一維n n v 方程上，求得了( 3 + 1 ) 一維n n v 方程的 大量新的精確解，包括孤子解，雅克比橢圓函數(shù)解，三角函數(shù)解和有理函數(shù)解 本文得到了幾類高階多維或變系數(shù)非線性發(fā)展方程豐富的精確解，并通過圖像說明 了求出的解的漸進性質：為人們認識許多物理現(xiàn)象提供了基礎但由于非線性發(fā)展方程的 求解問題技巧性極強，難度很大，即使同一個方程，應用不同的方法可能會得到不同的精 確解因此尋求非線性發(fā)展方程的精確解仍有大量問題需要解決，其中包括提出更加完善 的求解方法，得到方程的更多的更有意思的新精確解當然在新的求解方法提出過程中， 也需要相應的數(shù)學理論支持，這必然推動數(shù)學領域中許多學科的發(fā)展 聊城大學碩士學位論文 十 第一章( 3 + 1 ) 一維勢一y t s f 方程的新的精確解和守恒律 尋求非線性發(fā)展方程的對稱，對稱群，相似約化以及構造這個方程的無窮多守恒律是 非線性科學中研究的熱點問題之一李群方法 1 2 1 3 ( 包括經典李群方法和非經典李群 方法) 和c k 直接方法 1 4 是尋求方程的相似約化的兩種最有力工具，但具體到應用李群 方法尋求高階多維非線性發(fā)展方程的李對稱特別是李點對稱群時，往往因為涉及到大量 的繁雜計算而難以取得理想結果樓森岳教授改進了原來的c k 直接方法，稱為是“改進的 c k 直接方法” 1 9 2 0 應用這一方法，可以方便地求出方程的一般對稱群、李點對稱群 以及李對稱 1 1 引言 李群方法是尋求非線性發(fā)展方程的對稱、研究它的守恒律以及求得方程的精確解的 一種有力工具對于一個給定的非線性發(fā)展方程，在傳統(tǒng)的對稱群研究中，人們往往局限 于求出李點對稱群根據(jù)標準的李群理論，原則上講只要求出群的無窮小形式和李代數(shù)就 夠了，因為相應的李群可以由相關的常微分方程組的初值問題來確定但是，對于一個給 定的非線性發(fā)展方程，仍有以下幾個問題存在： ( 1 ) 求出李代數(shù)之后，通過初值問題的解決來給出方程的對稱群在有些情況下仍然是 很困難的 ( 2 ) 在許多情況下，即使初值問題解決了，群的表達式也可能會非常復雜或者由隱函 數(shù)來表達，在實際應用中不方便 ( 3 ) 在另外一些情況下，方程的一般對稱群根本不是李群，或許存在更一般的連續(xù)對 稱群 而且，對許多非線性系統(tǒng)特別是高階多維的非線性系統(tǒng)而言，僅是運用李群方法尋 求非線性系統(tǒng)的李代數(shù)計算起來已經非常復雜了，更不用說在此基礎上再通過初值問題 的解決來求李群了c k 直接方法也是尋求方程的相似約化的最有力工具之一，這個方法 又稱為直接約化方法，它是由p a c l a r k s o n 和m 。d k r u s k a l 于1 9 8 9 年提出來的一 種不用群理論而求解非線性發(fā)展方程的相似約化的方法 1 4 對于許多非線性發(fā)展方程 而言，應用這種方法幾乎可以求出方程的所有的相似約化這個事實暗示我們：對許多 聊城大學碩士學位論文 非線性發(fā)展方程而言，有一種簡單的方法可以求出方程的一般對稱群下面我們先簡要 介紹c k 直接方法，。再介紹改迸的c k 直接方法 我們以兩個自變量的偏微分方程為例，說明c k 直接方法的基本思想：通過選取適當 的變換把求解非線性偏微分方程轉化為求解常微分方程 對于方程 f ( x ，t ，u ，“，) = o ， ( 1 1 ) 可以尋找如下形式的相似約化 甜( x ，f ) = w ( x ，r ，1 p ( z ) ) ，z = z ( x ，t ) ， ( 1 2 ) 其中形和w 均是待定函數(shù)，業(yè)已證明，大多數(shù)情況下，方程( 1 2 ) 可采取如下的簡單形式： u ( x ，) = a ( x ，f ) + p ( x ，f ) w ( z ) ，z = z ( x ，f ) ( 1 3 ) 其中口，屈w ，z 均是待定函數(shù)，把方程( 1 3 ) 代入方程( 1 1 ) ，然后將w ( z ) 的階數(shù)和冪次相 同的項放在一起，其系數(shù)由口，口及z 的函數(shù)構成，為了使所得方程為w ( z ) 的常微分方程， 要求這些項的系數(shù)之比僅為z 的函數(shù)，于是可得到關于口，盧，z 的超定方程組，由此可以 確定口，夕，z 再求解得到的常微分方程得到w ，然后通過方程( 1 3 ) 即可得方程( 1 1 ) 的解 在確定這三個自由度函數(shù)口，盧，= 時，可采取如下規(guī)則： 規(guī)則1 若a ( x ，t ) = a o ( x ，f ) + 盧( x ，f ) q ( z ) ，可取o ( z ) = 0 ； 規(guī)則2 ：若p ( x ，t ) = p o ( z ，r ) q ( z ) ，可取n ( z ) = 1 ： 規(guī)財3 i 若g ( x , t ) 可由n ( z ) = z o ( x ，t ) 確定，其中q ( z ) 可逆，則可取q ( z ) = = 其中，上面的每個規(guī)則只能使用一次，一個自由度函數(shù)將由于使用相應的規(guī)則而被固定下 來 為了用c k 直接方法尋求非線性發(fā)展方程的一般對稱群，文獻 1 9 2 0 改進了c k 直接 方法，運用這種改進的c k 直接方法，可以求出方程( 1 1 ) 的一般對稱群，李點對稱群和李 對稱，還可以由方程( 1 1 ) 的已知解得到新的精確解事實上，改進的c k 直接方法只是把 上面的方程( 1 2 ) 換為 u ( x ，f ) = r e ( x ，t ，v ( x ，丁) ) ，x = x ( x ，f ) ，丁= r ( 而f ) ( 1 4 ) 就可以了，通過要求“在變換 ( x ，r ，甜) - - - ( z ，t ，u ) ， ( 1 5 ) 下保持形式不變( 即u 滿足和u 形式一樣的偏微分方程，只是自變量換成x ，丁而已) 來確 定，x 和，同理在大多數(shù)情況下，方程( 1 4 ) 也可以換成下面的簡單形式 u ( x ，f ) = a ( x ，f ) + ( x ，t ) u ( x ，f ) ， ( 1 6 ) 聊城大學碩士學位論文 其中口，盧，x ，t 均是x ，t 的待定函數(shù)，通過要求u ( x ，r ) 滿足和“形式一樣的方程來確定。一旦 口，口，t 都求出來了，方程( 1 1 ) 的一般對稱群也就確定了。 1 2 ( 3 + i ) 一維勢y t s f 方程的一般對稱群和新的精確解 最近，文獻 1 8 ，2 1 用齊次平衡法求出了如下( 3 + 1 ) 一維勢y t s f 方程 一4 4 - + 4 叱+ 2 k 比+ 3 = 0 ( 1 7 ) 的大量的新的精確解，包括復合孤立子解、非行波解、類孤立子解和奇異孤立子解據(jù)我 們所知，迄今為止，方程( 1 7 ) 的對稱群和守恒律還沒有被研究過在本文中，我們將運用 改進的c k 直接方法去尋求方程( 1 7 ) 的一般對稱群同時，利用求得的方程( 1 7 ) 的新舊 解之間的關系求出了方程( 1 7 ) 的一些新的精確解，運用求得的對稱，我們還研究了這個 方程的守恒律 假設方程( 1 7 ) 具有下列形式的對稱群 w ( x , y ，z ，f ) = ，+ s u ( f ，g , h ，p ) ， ( 1 8 ) 其中，= r ( x ，y ，z ，f ) ，j = s ( x ，y ，z ，f ) ，f = f ( x ，y ，z ，f ) ，g = g ( x ，y ，z ，f ) ，h = h ( x ，h z ，t ) 和 p = p ( x ，y ，z ，t ) 部是待定函數(shù)，這些待定函數(shù)可以通過要求u ( f ，g ，h ，p ) 在變換 w ，x ，y ，z ，辭 ”，f ，g ，h ，p ) ， 下滿足和w = w ( x ，y ，z ，r ) 形式一樣的方程，即通過要求u ( f ，g ，h ，p ) 滿足方程 “r = 4 u m 一4 u u 西一2 2 0 “ - 3 u 囂 ( 1 9 ) 來確定 基于上面提到的想法，我們開始尋求方程( 1 7 ) 的一般對稱群和新的精確解令w 具 有方程( 1 8 ) 的形式，然后把方程( 1 8 ) 代入方程( 1 7 ) ，同時讓u ( f ，g ，h ，p ) 滿足方程 ( 1 9 ) ，即通過方程( 1 9 ) 約去“ ，我們得到 畈3 正”，4 + 3 “9 4 + 以3 吃“ 44 - s p x 3 p z u ，+ e ( x ，_ ) ，z ，t ，u ，“y ，- - ) = o ，( 1 1 0 ) 其中= 籌，：窘, u h - - - - 籌=籌，函數(shù)馳，y,z,t,ux,u曲uj,up ，勺，h h 。 兵甲“，”。礦吩2 兩 麗 2 可幽瓤鼻【x ， 。) 與 ，“ 4 和“。無關從方程( 1 1 0 ) ，可以得到 丘正= 0 ，= 0 ，h a = 0 ，n 見= 0 ， ( 1 1 1 ) 很容易驗證，如果z = 0 或吃= 0 方程( 1 7 ) 沒有非平凡解，因此可以得到 6 聊城大學碩士學位論文 = f ( x ，y ，f ) ，g = g ( 蕾) f ) ，五= h ( y ，2 ，) ，p = p ( y ，z ，) ( 1 。1 2 ) 把方程( 1 1 2 ) 代入方程( 1 1 0 ) ，方程( 1 1 0 ) 就變?yōu)?( 3 g 2 p z u f p + 3 s l 2 吃材，：神+ 3 s f ，g ，p 2 u f 9 2 t , + 3 畈恕“岔 + s g ，z p ：封礦p + s g x 2 h z “幽) & + 礬3 p z n f ，p + f 2 ( x , y ，z ，虬，) = o ， ( 1 1 3 ) 其中函數(shù)e ( 南y ，z ，f ，叱，哆，) 與“，。，誓鋤，“據(jù)。，2 名，2 0 ， “幽和甜，無關， 從方程( 1 - 1 3 ) 可以得到 g x = 0 ，p ：= 0 ，即g = g ( y ，t ) ，p = p ( y ，f ) ( 1 1 4 ) 把方程( 1 1 4 ) 代入方程( 1 1 3 ) ，可以得到 巳f + 3 s p y 2 “”+ 3 s h y 2 + 4 峨正吃“+ e ( x ，y ，= ，t ，“) = 0 ， 其中函數(shù)e ( x ，y ，z ，t ，“，) 獨立于甜廚，“，“。和材。，從上面的方程可以得到 巴= 0 ，緯= 0 ，砟= 0 ，文= o ，即s = s ( y ，f ) ，h = ( 乃f ) ，p = p u ) t 按上面的步驟一步步算下來，我們可以得到以下決定方程組 3 蹭，2 3 礬3 吃= o ，3 吮六丘= o ，3 s y r = o ，4 畈n + 4 阢3 吃= o ，2 s 2 正2 吃一2 玩3 吃= 0 ， 6 s f y g ，一4 畈= o ，k 一4 k + 4 5 r 。+ 2 ，k + 3 0 = 6 ，3 彬2 4 s f j ，+ 2 k 2 藝= 0 ， 4 s 2 正2 h - 4 s f ，3 吃= o ，- 4 乙一4 s t f ，+ 3 礦0 + 6 s y f y + 4 軛k + 2 s f = r , ；0 s 吃，二一4 畈啊+ 4 s 吃正= o ，2 s 2 丘魂= o ，2 s ，o 吃= 0 , 3 s g + 6 s ，g y = 0 解上述方程組，可以求出待定函數(shù) ， 2， ，= 魯+ 等+ 緲+ 掣地c - 1 5 ) 2 s ，：阜+ 三；+ 緲+ 竺譬嘗竺+ 6 ， ( 1 sc s f = x s + q y + b 1 ( 1 1 6 ) g = c s 2 y + g 耐， ( 1 1 7 ) h = c 2 s z + a z 。 ( 1 1 8 ) p ：c 2 卉， ( 1 1 9 ) 其中c ( o ) ，j ( o ) 和q 是任意常數(shù)，q ，a ，鞏，b 是t 的任意函數(shù)根據(jù)方程( 1 8 ) ，我 們有 w ：忑x a l t + 娑+ 緲+ 學+ b + s u ( f 肭趴( 1 2 0 ) c sc sz s 。 其中函數(shù)f ，g ，h 和p 分別是由方程( 1 t 1 6 ) 一( 1 t 9 ) 決定的根據(jù)上面的結果，對于 聊城大學碩士學位論文 ( 3 + 1 ) 一維勢y t s f 萬程的對稱群，有如f 的對稱群定理： 定理1 如果u ( x ，y ，z ，t ) 是方程( 1 7 ) 的一個解，由( 1 2 0 ) 式表達的w 也是方程 ( 1 7 ) 的一個解 根據(jù)定理1 ，由方程( 1 7 ) 的已知解，我們可以得到方程( 1 7 ) 的新的精確解現(xiàn)在我 們推廣文獻 2 1 的結果去尋求方程( 1 7 ) 的新的精確解應用定理1 和文獻 2 1 的結果， 我們可以得到如下的方程( 1 7 ) 的新解： u = 詈+ 譬+ 緲+ 學m ， z - ， 其中 “= 2 ( 1 i l 紡) ，( = l ，2 ，8 ) ， 竹= 4 + b c 。s h ( m h + i i | 2 坳+ p , ) e x p ( k f + l g + 丁4 n k - 3 1 2 矗+ r i p + q , ) ， 仍= 彳+ 丑c o s h ( k f + 三g + 專；筆害：湍辦+ 塑竺墮絲窯璺掣p例4k( k 一七) 2 ( k + 七r 1 e x p ( k f 地+ 篙篇鏟一 1 2 k 3 l k 2 l + 2 k l k 4 i 一6 l k 5 i 一6 k 2 k 3 r 一壽5 上2 + 3 r 五4 4 k 2 k s l 2 一可頁正面面再廠一p + q 2 ) ， q o ，= a + b c 。s h ( k f + l g + m h + 4 m k 礦s + 3 1 2p + p ，) e x p ( k f + l g + m 矗+ 學p + 吼) ， 艫枷c o s h ( k f l g + 脅+ 警p + p , ) e x p ( 一k f + l g + m 而+ 警p 訓， e p s = a + b c o s ( m h + i 1 七2 坳+ p 5 ) e 姒礦+ l g + 下4 n k - 3 l z 矗+ 印+ 吼) ， 聊城大學碩士學位論文 = 4 + 曰c 。s ( k f + l g + 生：! ；鬻 + 墨! ! 蘭查! 三蘭蘭j ；喜：；：；j 善_ ；型p + a ) e x p ( 礦+ s + 蘭! 生：；j 鏟一一 2 k l k 4 i - 12 k 3 l k 2 1 - 6 l k s l 蠆+ 忑6 k 萬2 k 3 l 天2 - f k s l 2 + 3 l 2 k g 4 - 4 k 2 k _ 3 1 2p + 9 6 ) ， 4 k 2r k 2 + k 2 1 2 ?！?仍蛐脅s ( 塒n g + 砌+ 掣p + p 7 ) e 沖( 眵+ l g + m h + 、3 1 2 + 4 i n k 3p m 紙= 彳+ 曰e x p ( 9 + l g + m h + 里生 妄竺島+ 9 8 ) 其中c 0 ，s 0 和q 是任意常數(shù)，q ，口，6 i 和b 都是t 的任意函數(shù)，函數(shù)f ，g ， 和p 是 由方程( 1 。1 6 ) 一( 1 ，1 9 ) 分別確定的，i 2 = - i ，爿，b ，k ，l ，m ，p l ( j = 1 ，2 ，8 ) ，k ，掰，i 7 ，g 和 q j ( j = 1 ，2 ，8 ) 是常數(shù)當盯= 6 = g = 口1 = 6 l = o ，c = s = 1 對，由方程( 1 2 1 ) 表示的解 正是文獻 2 1 中的結果所l 以我們推廣了文獻 2 1 中的結果 1 3 ( 3 + 1 ) - 維勢y t s f 方程的李對稱和守恒律 從定理1 知道，求出的對稱群就是方程( 1 7 ) 的一般對稱群為了用方程( 1 1 5 ) 一( 1 1 9 ) 來討論方程( 1 7 ) 的一般對稱群和李點對稱群之間的關系，我們取 c = l + 占c ，j = 1 + 6 s ，q = 占q ，a l = c a , ，a = 6 a ，b = 占丑，b l = e b l , 其中占是無窮小參數(shù)，c ，s 和g 是任意常數(shù)，4 ，爿，墨，丑是f 的任意函數(shù)。這時方程 ( 1 2 0 ) 可以寫成 w = “+ c a ( u ) ( 1 2 2 ) 其中仃0 為方程( 1 1 ) 的李對稱 盯( ) = 五嗚，+ i 2 y 2 4 。+ 4 y + 4 z b u + b + s “+ ( x s + q y + 蜀) 虬+ 【c = y + 2 s y + 0 _ t u y + ( 2 c z + 斃+ 4 ) “：+ ( 2 c + 3 s ) t u ， ( 1 2 3 ) 對應的向量場的表達式為 r = ( 姆+ 緲+ 最) 去+ ( + 塒+ j 3 瓦o + ( 2 + & + 4 ) 魯+ 【( 2 c + 3 s ) ，1 _ d o ，一 硝，+ 詈y 2 4 。+ 砂+ 竽+ b + 州言 9 聊城大學碩士學位論文 = c c y 嘉+ 2 t 魯+ z ：爭+ s 曇+ z y 導+ z 曇+ s r 曇一甜未，+ q 抄曇+ j 3r 殺， + ( 旦曇一z 碣，殺) + ( 4 皂一x a l ，亳一j 2 y 2 a i 。臺- b 旦鋤一砂未 = c z , + s k + q 圪+ + k + 圪+ 巧 ( 1 - 2 4 ) 從向量場表達式方程( 1 2 4 ) 我們知道方程( 1 7 ) 的李對稱有7 個子對稱 ( f - 1 ，2 ，7 ) ，并且可以由標準的李群方法來得到 眾所周知，對稱群的應用之一是尋求微分方程的守衡律我們先回顧與李貝克隆算 子有關的幾個結果，然后再求方程( 1 7 ) 的守恒律 一個李貝克隆算子可以表示為 五= 喜瑤+ 叩殺+ 喜+ 善4 萎4 乞毒+ 善4 薔4 善4 缸去，c s ， 其中= 口( u ) + 乞“：一，白= b ( u ) + 蠡“，乞。= ( u ) + 厶“。，d i 表示對 薯的全微分，鞏) = d f ( d ，( u ) ) ，或。) = d j ( d ，( q ( u ) ) ) ，u 是李特征函數(shù)，表達式為 下面的式子 、 u = r - 釓 ( 1 2 6 ) 定理2 ( 2 2 ) 假設五是方程( 1 7 ) 的一個李貝克隆算子，如果守恒向量場 t = ( f ，r 2 ，p ，t 4 ) 在墨下保持不變，那么 五( z ) + 霉q 嗎) 一乃q ( 盞) = o ，( f = 1 ；2 ，3 ，4 ) ( 1 2 7 ) 定義3 稱李貝克隆算子k 與守恒向量r 有關，如果和r 滿足關系式( 1 2 7 ) 在本文中，我們假定療= 4 ，五= 茗，而= y ，弓= z ，= f ，并且 d i = 皿，d ，= q ，d 3 = 見，d 4 = 口，五= x ，五= y ，五= z ，= t 現(xiàn)在我們構造方程 ( 1 7 ) 的守恒律，( x ，y ，z ，r ) 顯然滿足 皿z + d ，】，+ 也z + 口r = 0 ， ( 1 2 8 ) 其中守恒向量場( x ，y ，z ，r ) 與方程( 1 2 4 ) 中的李貝克隆對稱k 有關z ，y ，z 和r 是 x ，y ，z ，r ，“，砧，“：，“。，：”，“。和u n ，的函數(shù)把x ，y ，z 和丁代入方程( 1 2 7 ) 可以得到 k c 恥z 虬署。葉若址善一籌?！?。芒- 4 u , ，薏一。薏。薏 1 0 望絲查蘭塑主蘭堡鯊窒 嘲w 薏一。a x _ 6 u ，鴨o x 地。瓦o x s 善一籌一“。薏也。薏 砘m 瓦o x6 u = d o i x - 6 u 。a x s 差一，u ，o x 一憶薏一s 薏一 s “w 芒一，等一s 芒u ，拋0 3 ，( 一s 薏u ，o x 一9 u m 瓦0 2 ( 一 她。芒“。薏噸。薏一1 薏刪一o ， k c d 屯“，嘗一s 略著一z 屹菪o u 地，蕓 咖嗍，。拋 一s 薏一芒一囂。芒 s 峙薏一薏u , 。o y 噸，薏 芒o