“十 ?！?2015 屆 高三 第一次 聯(lián)考 數(shù)學(xué)（文科） 2014.8 本試卷共 4 頁， 21 小題，滿分 150 分考試時(shí)間 120 分鐘 注意事項(xiàng)： 1答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號、試室號、座位號填寫在答題卡上用 2B 鉛筆將試卷類型 (A)填涂在答題卡相應(yīng)位置上 2選擇題每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上 3非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答 ，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案 ,不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液不按以上要求作答的答案無效 一、選擇題：本大題共 10小題，每小題 5分，滿分 50分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1. 設(shè)全集 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 ,U P Q ()UP C Q則=（ ） A 1,2 B 3,4,5 C 1,2,6,7 D 1,2,3,4,5 2設(shè)復(fù)數(shù) iz 11 ， )(22 Rbbiz ，若 21 zz 為實(shí)數(shù)，則 b 的值為（ ） A 2 B 1 C 1 D 2 3 若平面向量 a )2,1( 與 b 的夾角是 180 ，且 b 53 ，則 b 的坐標(biāo)為 （ ） A )6,3( B )6,3( C )3,6( D )3,6( 4. 已知函數(shù) 4 0 ,4 0 .x x xfxx x x ， 則函數(shù) fx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 5. 在等比數(shù)列 na中 , 若3 6 2 4 59 , 2 7a a a a a, 則2a的值為 （ ） A . 2 B. 3 C. 4 D. 9 6. 下列 有關(guān)命題的說法正確的是 ( ) A 命題“若 2 1x ，則 1x ”的否命題為：“若 2 1x ，則 1x ” B “ 1x ” 是“ 2 5 6 0xx ”的必要不充分條件 . C 命題“若 xy ，則 sin sinxy ”的逆否命題為真命題 . D 命題“ xR， 使得 2 10xx ”的否定是：“ xR， 均有 2 10xx ” 7. 已知函數(shù) ( ) s i n ( ) ( )2f x x x R ，下面結(jié)論 錯(cuò)誤 的是（ ） A. 函數(shù) ()fx的最小正周期為 2 B. 函數(shù) ()fx 在區(qū)間 0,2上是增函數(shù) C. 函數(shù) ()fx的圖像關(guān)于直線 0x 對稱 D. 函數(shù) ()fx 是奇函數(shù) 8. 若雙曲線 )0(13 2222 ayax的離心率為 2，則 a 等于（ ） A. 2 B. 3 C. 32 D. 1 9. 一個(gè)空間幾何體的三視圖及部分?jǐn)?shù)據(jù)如圖所示，則這個(gè)幾何體 的體積是 （ ） A 3 B. 25 C 2 D.23 （第 9 題圖） 10. 已知 ,f x g x 都是定義在 R 上的函數(shù)， 0gx ， f x g x f x g x ， 0 , 1xf x a g x a a ， 1151 1 2ffgg ，在有窮數(shù)列 1 , 2 1 0fn ngn 中，任意取正整數(shù) 1 10kk ，則前 k 項(xiàng)和大于 1516的概率是 ( ) 1A.5 2B.5 3C.5 4D.5 二、填空題：本大題共 5小題，每小題 5分，滿分 20分其中 14 15題是選做題，考生只能選做一題，兩題全答的，只計(jì)算前一題得分 11. 如圖，函數(shù) 2xfx ， 2g x x ，若輸入的 x 值為 3， 則輸出的 hx的值為 . 12 函數(shù) 1)1(log xya（ )1,0 aa 的圖象必定 經(jīng)過的點(diǎn)坐標(biāo)為 . 13. 已知 實(shí)數(shù) ,xy滿足約束條件0005yyxyx ，則24z x y 的最小值是 . 14（坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題） 在極坐標(biāo)系中， 圓 cos4 的圓心極坐標(biāo)為 15（幾何證明選講選做題） 如圖， AB 是半圓 O 的 直徑， C 是半圓 O 上異于 BA, 的點(diǎn)， CD AB ，垂足為 D . 若 2AD ， 43CB ，則 CD 是 否 開始 ( ) ( )h x f x ( ) ( )f x g x 輸出 ()hx 輸入 x 結(jié)束 ( ) ( )h x g x （ 第 11 題圖） A B C D O （第 15 題圖） 三、解答題共 6 小題，共 80 分 .解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程 16（本小題滿分 12 分） .已知銳角 ABC 中，內(nèi)角 ,ABC 的對邊分別為 ,abc，且 6c ， s i n 2 3 c o s 2CC ， （ 1）求 角 C 的大小； （ 2）若 1sin3A，求 ABC 的面積 . 17.（本小題滿分 12分） 某學(xué)校高二年級共有 1000名學(xué)生，其中男生 650人，女生 350人，為了調(diào)查學(xué)生周末的休閑方式，用分層抽樣的方法抽查了 200名學(xué)生 . （ 1） 完成下面的 22 列聯(lián)表 ； 不喜歡運(yùn)動 喜歡運(yùn)動 合計(jì) 女生 50 男生 合計(jì) 100 200 （ 2） 在喜歡運(yùn)動的女生中調(diào)查她們的運(yùn)動時(shí)間， 發(fā)現(xiàn)她們的運(yùn)動時(shí)間介于 30分鐘到 90分鐘之間，右圖是測量結(jié)果的頻 率 分布直方圖，若從區(qū)間段 )50,40 和 )70,60 的所有女生中隨機(jī)抽取兩名女生，求她們的運(yùn)動時(shí)間在同一區(qū)間段的概率 . 18.（本小題滿分 14 分） 在如圖所示的幾何體中 , ABC 是邊長為 2 的正三角形 . 若 1,AE AE平面 ABC , 平面 BCD 平面 ABC , CDBD ,且 .BD CD （ 1）求證： AE /平面 BCD ； （ 2） 求證： 平面 BDE 平面 CDE . 19.（本小題滿分 14 分） 已知橢圓 22: 1 0 xyC a bab的左右焦點(diǎn)分別為 121 , 0 1 , 0 、FF，且經(jīng)過點(diǎn)31,2P,M 為橢圓上的動點(diǎn)，以 M 為圓心，2MF為半徑作圓 M . （ 1）求橢圓 C 的方程； （ 2）若圓 M 與 y 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，求點(diǎn) M 橫坐標(biāo)的取值范圍 . 20 (本小題滿分 14 分 ) 已知函數(shù) 23)( nxmxxf （ m ， Rn ， nm 且 0m ）的圖象在 )2(,2( f 處的切線與 x 軸平行 . （ 1） 確定 實(shí)數(shù) m 、 n 的 正、負(fù) 號； （ 2） 若函數(shù) )(xfy 在區(qū)間 , nm 上有最大 值為 2nm ，求 m 的值 21 (本小題滿分 14 分 ) 已知數(shù)列 na 是各項(xiàng)均不為 0的等差 數(shù)列，公差為 d， nS 為其前 n項(xiàng)和，且 滿足2 21nnaS ,*N數(shù)列 nb 滿足11n nnb aa ,n *N， nT 為數(shù)列 nb 的前 n項(xiàng)和 （ 1） 求數(shù)列 na 的通項(xiàng)公式 na ； （ 2） 若對任意的n *N，不等式 8 ( 1 ) nnTn 恒成立，求實(shí)數(shù) 的取值范圍； （ 3） 是否存在正整數(shù),mn(1 )mn，使得 1 ,mnT T T 成等比數(shù)列？若存在，求出所有（第 18 題圖） ,mn 的值；若不存在，請說明理由 數(shù)學(xué)（文科） 答案 一、 選擇題 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B C B C D B D C 二填空 11. 9 12. )1,2( 13. 15 14. ),2( 15. 32 三、解答題 16. （ 1） s i n 2 3 c o s 2CC ， 即 tan 2 3C . 3 分 又 C 為銳角 , 2 0,C , 223C , 3C . 5 分 （ 2） 在 銳角 ABC 中，3 34s ins in aAaCc. 7 分 又 1sin3A,且 A 為銳角， 22cos3A . 8 分 6 621s i nc o sc o ss i n)s i n (s i n CACACAB , 10分 3 21232s in21 BacS ABC . 12分 17. 解： （ 1） 根據(jù)分層抽樣的定義，知抽取男生 130 人，女生 70 人 ， 1 分 不喜歡運(yùn)動 喜歡運(yùn)動 合計(jì) 女生 50 20 70 男生 50 80 130 合計(jì) 100 100 200 3 分 （ 2） 由 直方圖 知在 70,60 內(nèi)的人數(shù)為 4 人，設(shè)為 , , ,abcd . 在 50,40 的人數(shù)為 2 人，設(shè)為 ,AB. 5 分 從這 6 人中任選 2 人有 AB,Aa,Ab,Ac,Ad,Ba,Bb,Bc,Bd,ab,ac,ad,bc,bd,cd 共 15 種情況 7 分 若 70,60, yx 時(shí)，有 , , , , ,a b a c a d b c b d c d共六種情況 9分 若 50,40, yx 時(shí)，有 AB 一種情況 10分 事件 A:“她們在同一區(qū)間段” 所包含的基本事件個(gè)數(shù)有 6 1 7 種， 11分 故 157)P(A 答： 兩名女生的運(yùn)動時(shí)間在同一區(qū)間段的概率 為157. 12分 18 證明 :(1) 取 BC 的中點(diǎn) M ,連接 DM 、 AM , 因?yàn)?CDBD ， 且 .BD CD 2BC 所以 1DM ,DM BC , AM BC . 1 分 又因?yàn)槠矫?BCD 平面 ABC , 所以 DM 平面 ABC 3 分 因?yàn)?AE 平面 ABC , 所以 AE DM ， 4分 又因?yàn)?AE 平面 BCD ,DM 平面 BCD ， 5M B C E D A 分 所以 AE 平面 BCD . 6分 (2)由 (1)已證 AE DM ,又 1AE , 1DM , 所以四邊形 DMAE 是平行四邊形 , 7 分 所以 DE AM . 8 分 由（ 1）已證 AM BC ， 又因?yàn)槠矫?BCD 平面 ABC , 所以 AM 平面 BCD , 10 分 所以 DE 平面 BCD . 11 分 又 CD 平面 BCD ,所以 DE CD . 12 分 因?yàn)?BD CD , DDEBD , 所以 CD 平面 BDE . 13 分 因?yàn)?CD 平面 CDE , 所以平面 BDE 平面 CDE . 14 分 19. 解：（ 1）由橢圓定義得122P F P F a， 1 分 即 2222332 1 1 1 1 422 a, 3 分 2a . 又 1c , 2 2 2 3 b a c . 5 分 故橢圓方程為 22143xy. 6 分 （ 2）設(shè) 00,M x y，則圓 M 的半徑 2 2001 r x y， 7 分 圓心 M 到 y 軸距離0dx , 8 分 若圓 M 與 y 軸有兩個(gè)交點(diǎn)則有 rd即 2 20 0 01 x y x, 9 分 化簡得 2002 1 0 yx. 10 分 M 為橢圓上的點(diǎn) 220033 4 yx, 11 分 代入以上不等式得 2003 8 1 6 0 xx ，解得0 44 3 x . 12 分 022 x, 13 分 0 42 3 x. 14 分 20. 解： （ 1） nxmxxf 23)( 2 1 分 由圖象在 )2(,2( f 處的切線與 x 軸平行， 知 0)2( f ， mn 3 . 2 分 又 mn ，故 0n ， 0m . 3分 (2) 令 06323)( 22 mxmxnxmxxf , 得 0x 或 2x . 4 分 0m ，令 0)2(3)( xmxxf ，得 ,0x 或 2x 令 0)2(3)( xmxxf ，得 20 x . 于是 )(xf 在區(qū)間 ( ,0) 內(nèi)為增函數(shù)，在 (0,2) 內(nèi)為 減 函數(shù) ,在 (2, ) 內(nèi)為 增 函數(shù) . 0x 是 )(xf 的極大值點(diǎn)， 2x 是極小值點(diǎn) . 5分 令 0)0()( fxf ，得 0x 或 3x . 6分 分類 ： 當(dāng) 30 m 時(shí)， 0)0()(max fxf， 02 nm . 由30032mnmmn解 得91m， 8 分 當(dāng) 3m 時(shí)， nmmmfxf 24m ax )()( , 9 分 224 nmnmm . n 0 2 3 由mnnmnmm3224 得 0193 23 mmm . 10分 記 193)( 23 mmmmg , 06)1(3963)( 22 mmmmg , 11 分 )(mg 在 R 上是增函數(shù)，又 3m ， 026)3()( gmg , 12 分 0)( mg 在 ,3 上無實(shí)數(shù)根 . 13分 綜上， m 的值為91. 14 分 21. 解： （ 1） 在2 21nnaS中 ， 令1n，2n， 得,322121SaSa 即,33)(,121121dadaaa 2分 解得11a，2d，21nan 3分 又n 時(shí)，2nSn滿足2 21，n 4分 （ 2）11 1 1 1 1()( 2 1 ) ( 2 1 ) 2 2 1 2 1n nnb a a n n n n ， 5分 1 1 1 1 1(1 )2 3 3 5 2 1 2 1 2 1n nT n n n 6分 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，要使不等式8 ( 1 ) nnTn 恒成立，即需不等式( 8 ) ( 2 1 ) 82 1 7nn nnn 恒成立 7分 828n n，等號在2n時(shí)取得 此時(shí) 需滿足25. 8分 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí) ， 要使不等式8 ( 1 ) nn 恒成立 ， 即需不等式 ( 8 ) ( 2 1 ) 82 1 5nn nnn 恒成立 82n n是隨n的增大而增大， 1n時(shí)2取得最小值6 此時(shí) 需滿足21