碩士學位論文 m a s t e rst h e s i s 摘要 給定來自一未知分布函數(shù)f 的容量為n 的子樣，本文考慮了分布函數(shù)f 的優(yōu)良估計問題在對稱損失函數(shù) ， l s ( 只回= 7f p ( t ) 一d ) 7 f o ( ) ( 1 一f 0 ) ) o d f ( t ) ，o ，犀一l j 下，現(xiàn)有的文獻僅在r = 2 的情況，給出了連續(xù)分布函數(shù)f 的最優(yōu)不變估計， 本文在r = l 的情形下得到了f 的最優(yōu)不變估計從而將結(jié)論推廣到更一般的 情形，并且證明了最優(yōu)不變估計作為離散分布函數(shù)的估計時的容許性 由于實際問題的需要，非對稱損失在統(tǒng)計判決問題中一直以來都受到人們 密切的關(guān)注但，目前在菲參數(shù)問題的討論中使用非對稱損失函數(shù)的文獻卻較 少為此，在這里我們引入并改造參數(shù)估計中常用的非對稱的線性指數(shù)損失函 數(shù) ， l 。，( f ( t ) ，d ( t ) ) = b ( e x p a ( d ( t ) 一f ( t ) ) ，一a ( d ( t ) 一f ( t ) ) 一1 ) d f ( t ) j 并在此非對稱損失下考慮了連續(xù)分布函數(shù)f 的不變估計問題，在單調(diào)變換群 下，我們得到了f 的最優(yōu)不變估計，并證明了它是m i n i m a x 的從而豐富丁非 參數(shù)問題中的損失函數(shù)，為這一領(lǐng)域的實際工作者提供了更多可供選擇的方法 及其理論依據(jù) 關(guān)鍵詞：非參數(shù)估計；最優(yōu)不變估計；m i n i m a x 估計；容許估計 a b s t r a c t g i v e nar a n d o ms a m p l e 。l ，。2 ，一，2 7 no fs i z enf r o ma l lu n k n o w n d i s t r i b u t i o n f l m c t i o nf ，t h i sp a p e rc o n s i d e r st h ep r o b l e mo fo p t i m a le s t i m a t o ro f t h ec d u n d e r t h e1 0 s sf u n c t i o n l s ( f ，d ) = i f ( t ) 一d ( ) 】f 。( ) ( 1 一f ( t ) ) 4 d f ( t ) ，o ，盧一l ， j s o m el i t e r a t u r eh a v eg i v e nt h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o r o ffw h e nr = 2 i n t h i sp a p e r ， w eo b t a i nt h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o ro ff w h e nr = 1 ，a n dt h e nw eo b t a i n e dt h a t g i v e nf i sd i s c r e t ed i s t r i b u t i o nf u n c t i o nt h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o ri sa d m i s s i b l e f u r t h e r m o r ew ec o n s i d e rt h ea s y m m e t r i cl o s s ( l i n e x ) i np a r a m e t r i cp r o b l e m ， w h i c ha sa ni m p o r t a n tl o s sf u n c t i o ni nn o n p a r a m e t r i cp r o b l e mw a sc a r e db ym a n y a u t h o r t h el o s sc a nb ee x p r e s s e da s r l 。( f ( t ) ，d 0 ) ) = b ( e x p a ( d ( t ) 一，( f ) ) ) 一a ( d ( t ) 一f ( ) ) 一1 ) d f ( t ) j u n d e rt h i sl o s s ，w ec o n s i d e r st h ep r o b l e m o fo p t i m a le s t i m a t o ro fc o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o nf u n c t i o nf w eg e tt h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o ra n dt h e np r o v e di t sam i n i m a x e s t i m a t o r t o o k e y w o r d s ：n o n p a r a m e t r i c e s t i m a t i o n ；t h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o r ；m i n i m a x e s t i m a t o r ；a d m i s s i b l ee s t i m a t o r i i 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 華中師范大學學位論文原創(chuàng)性聲明和使用授權(quán)說明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學位論文，是本人在導師指導下，獨立進行研究 工作所取得的研究成果。除文中已經(jīng)標明引用的內(nèi)容外，本論文不包含任何其 他個人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本文的研究做出貢獻的個人和 集體，均已在文中以明確方式標明。本聲明的法律結(jié)果由本人承擔。 作者簽名糊 日期：行- 年 。月矽日 學位論文版權(quán)使用授權(quán)書 本學位論文作者完全了解學校有關(guān)保留、使用學位論文的規(guī)定，即：學校 有權(quán)保留并向國家有關(guān)部門或機構(gòu)送交論文的復印件和電子版，允許論文被查 閱和借閱。本人授權(quán)華中師范大學可以將本學位論文的全部或部分內(nèi)容編入有 關(guān)數(shù)據(jù)庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存和匯編本學位 導師簽名：。和廁 日期：加j 年j 月日 本人已經(jīng)認真閱讀“c a m s 高校學位論文全文數(shù)據(jù)庫發(fā)布章程”，同意將本 人的學位論文提交“c a m s 高校學位論文全文數(shù)據(jù)庫”中全文發(fā)布，并可按“章 程”中的規(guī)定享受相關(guān)權(quán)益。囤重迨塞理童蜃溢蜃! 旦堂生；旦：生；旦三生 蘊魚! 晦苦簽毛堿 日期：w 日年r 月形日 導師簽名 日期：沙 緲咖 、o步 第一章引言 在未知分布函數(shù)f 的估計問題中，通?？紤]兩種參數(shù)空間 布函數(shù)空間 0 。= f f ：f 為連續(xù)分布函數(shù)) ， 另一種為離散分布函數(shù)空間 0 d = 伊：f 為離散分布函數(shù)) ， 一種為連續(xù)分 ( 1 2 ) 那么分布函數(shù)空間為 e o = 9 d u e c ( 1 3 ) 為了追求理論上的完美，現(xiàn)有文獻常將 a = d ( # ) ：d ( ) 是由實數(shù)域職到區(qū)聞f o ，1 】上的非降函數(shù)) ( 1 4 ) 作為行動空間a 除了包含所有的分布函數(shù)外，還包含有缺陷分布缺陷分 布是指且中有這樣的成員o ，它在一些點上既不左連續(xù)，也不右連續(xù)，或 1 i ms 。u p 。( 。) o 在尋找分布函數(shù)的優(yōu)良估計時，現(xiàn)有文獻通常使用如下三種損失 上i ( 只d ) = 九f ( ) 一d ( t ) l ( f ( # ) ) d ( ) ， ( 1 5 ) l 2 ( 只嘶= p o ) 一d ( t ) 1 7 ( f ( ) ) 馥p ( ) ( 1 6 ) 和 l 3 ( r d ) = s u p l f ( t ) 一d ( t ) l ， ( 1 7 ) t 其中r 為一正整數(shù)，w 為一已知的有界測度， ( t ) = 尸( 1 - t ) 4 ，d 一1 ，盧一1 針對不同的損失函數(shù)和參數(shù)空間，已有文獻給出了分布函數(shù)f 的一些優(yōu)良 估計 碩士學位論文 m a s t e r 。st h e s i s 在損失( 1 5 ) 中r = 2 的情況下，p h a d i a ( 1 9 7 3 ) 在1 9 ：，盧取特殊值時，得到 了分布函數(shù)，的m i n i m a x 估計，特別是當o = 盧= 一1 時，m i n i m a x 估計 s ( t ) = i 1 l ( x i t ) 為經(jīng)驗分布函數(shù) 損失( 1 6 ) 在單調(diào)變換群下具有不變性，因此最受人們的關(guān)注，對于它的研 究也最為常見a g g a r w m ( 1 9 5 5 ) 首先在參數(shù)空間e 。下討論了連續(xù)分布函數(shù)f 的不變估計及其m i n i m a x 性問題給定來自一未知分布函數(shù)f 的樣本z h 一，。 和不變損失( 1 ，6 ) ，由a g g a r w a l ( 1 9 5 5 ) 知，判決問題在單調(diào)變換群 9 2 鋤：g p ( z l ，z 2 ，。n ) 2 ( 妒( 。i ) ，妒( z 2 卜，妒( 。n ) ) ， 九8 妒是從實數(shù)域皿到豫的嚴格單調(diào)遞增函數(shù)1 、7 下是不變的，且所有非隨機化不變估計具有如下形式： n 吼x ) = u i l ( x ( i ) t x ( i + l ) ) ， ( 1 9 ) i = 0 其中x 0 ) 。( 2 ) 0 損失適用于過高估計帶來的后果比估計過低帶來的后果要嚴 重的情形，反之a(chǎn) 0 ，則損失適用于估計過低帶來的后果比估計過高帶來的后 果要嚴重的情形雖然線性指數(shù)損失函數(shù)受到了較多的關(guān)注，但都是在參數(shù)問 題中 本文將非對稱損失函數(shù)推廣到非參數(shù)問題中，即對分布函數(shù)f 的估計中 為了在非參數(shù)問題中使用線性指數(shù)損失函數(shù)，我們首先需要對其進行變換首 先將損失( i 。1 2 ) 中的0 和6 分別以分布函數(shù)f ( t ) 和估計d ( t ) 代替，則得到如下 形式的損失 l 7 ( f ( t ) ，d ( t ) ) = b ( e x p a ( d ( t ) 一f ( t ) ) ) 一a ( d ( t ) 一f ( t ) ) 一1 ) ， ( 1 1 3 ) 由于( 1 1 3 ) 與變量t 有關(guān)，為了去除t 的影響，對關(guān)于有限測度函數(shù)w ( t ) 求期望，即得到了非參數(shù)問題中的線性指數(shù)損失函數(shù) 他d ) 6 ( e x p n ( ) 印( 啪) ( ) 廿) 一1 ) d w ( 現(xiàn) ( 1 1 4 ) 由于本文考慮的是不變估計問題，所以還需要將損失( 1 1 4 ) 轉(zhuǎn)化為不變損失， 參照二次損失的做法，令損失( 1 1 4 ) 中的有限測度( z ) = f ( t ) ，即得到了不變 損失 l n s ( f ( t ) ，d ( t ) ) = 6 ( e x p 。( d ( ) f ( ) ) 一。( d ( t ) 一f ( ) ) 一1 ) d f ( t ) ( 1 1 5 ) 本文將在此損失下考慮連續(xù)分布函數(shù)f 的優(yōu)良估計問題，首先，我們在單調(diào)變 換群g 下得到了f 的所有非隨機化不變估計及其風險的一般表達式，再通過函 4 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 數(shù)極值方法得到最優(yōu)不變估計接著我們證明了最優(yōu)不變估計是m i n i m a x 的 這一部分內(nèi)容構(gòu)成了論文的第三章 相關(guān)記號：通篇文章我們都以x o ) 。( 2 ) 。( 。) 記樣本z l ，。的次 序統(tǒng)計量；1 ( e ) 表示集合e 的示性函數(shù)；為方便敘述記d = a ( t ) ；d ( x ，t ) = d ( 。( 1 ) ，。( 2 ) ，。( 。) ，t ) 對任意的m = 1 ，2 ，p ”定義為px p ，即m 個p 的乘機空間 5 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 第二章?lián)p失l 下的優(yōu)良估計 在損失反( 如( 1 1 1 ) 式定義) 下，對于一般的口一1 和p 一1 ，a g g a r w a l ( 1 9 5 5 ) 只給出了所有的不變估計本章的目的就是瑟在所有不變估計類中找 出最優(yōu)不變估計，a g g o x w a ( 1 9 5 5 ) 尋找最優(yōu)不變估計的方法僅適應q = p = o 和n = p = 一1 的情況，為處理一般a2 一l 和盧一1 的情況，我們采用了新 的方法，得到了一般的n2 1 和盧2 l 情況下的最優(yōu)不變估計，從而完整地 解決了a g g a r w a l ( 1 9 5 5 ) 留下的問題然后，我們在參數(shù)空間e d 下，考慮上述最 優(yōu)不變估計的容許性 2 1 最優(yōu)不變估計 對于任意的f 0 。，d a 和損失函數(shù)l ，由a g g a r w a l ( 1 9 5 5 ) 知帶著樣本觀 察值釓觀，z 。的統(tǒng)計判決問題( 0 。，幾) ( 這里損失函數(shù)l 為任意的不變 損失函數(shù)) 在單調(diào)變換群g ( 見( 1 8 ) 式) 下是不變的，且有如下的引理2 1 1 引理2 1 1 連續(xù)分布函數(shù)f 在單調(diào)變換群9 下的所有不變估計具有 m x ) = u ；1 ( 。( ) st 。( 州) ) ( 2 1 ) 哿0 的形式，其中。( o ) 和z ( n + 1 ) 分別定義為一o 。和十o 。，x = ( 。( o ) ，。( 1 ) ，。( n + 【) ) ， “ 為常數(shù) 注：由于次序統(tǒng)計量為充分完全統(tǒng)計量，因此我們只需要考慮關(guān)于次序 統(tǒng)計量x 的判決函數(shù) 進步，我們可以得到關(guān)于不變估計風險的定理2 ，l ，l 定理2 1 1在損失l 。下，對于任意分布函數(shù)f 0 。，具有俾叫式形式的不 變估計d 的風險函數(shù) 船d ) 婁( 州m 1 h r 砒 ( 2 。) 6 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 證明注意到 咒( 只d ) = e 陋( f d ) 】 ，+ = e i ，( ) 一d ( t ，x ) l h i f ( t ) d f ( ) j 0 0 r + 。 = e i f ( t ) 一d ( ，x ) l h f ( t ) d f ( t ) ，( 2 3 ) 當d ( ，x ) 是f 的形如( 2 1 ) 式的不變估計時，此日寸若t 曬；) ，。( ；+ 1 ) ) ，則d ( t ，x ) = ”而事件。( 。) t z ( 洲) 表示來自分布f 的n 個樣本中有i 個觀察落在區(qū)間 ( 一。，t 中，另外n i 個觀察落在區(qū)間( t ，+ 。1 中，由此可以將此事件視為二項 分布b ( n ，f ( t ) ) 】因此， e l f ( t ) 一d ( t ，x ) l = i f ( t ) 一“i i p ( z ( 。) t o ，又由( 27 ) 式可知 型o u i j u i = o = - - ( n i 1 1 ，叫州坳j i i 上?！緇 “，“毗刮 和 掣k 一( 0 1 ，卅。柙疵 。， j i = h f l 2i i j n 。1 1 一。j ”4 。 u 所以方程! 磐= 0 在0 到1 之間有且只有一個實根解方程 翌掣：0 ， 口u 。 得到零點毗滿足 f o u lt i + a ( h ) n - i + b d t = ；z t t i + a ( ，叫嘞。 即 b ( 口+ i + 1 ，n i + l + 盧) 這表明啦是b e t a 分布 _ “+ 。( 1 0 g ( z ) = j i i ；i ；i j ：1 j j i 二廁z i + a ( 1 。) “ + 口，o z l 的中位數(shù) 值得注意的是當a = 一1 時，若u 0 0 則( 2 6 ) 式右邊第一項的積分是發(fā)散 的，因此為了極小化風險r ，此時必有u o = 0 同理當p = 一l 時，必有u 。= 1 定理得證口 2 2 容許估計 上一節(jié)中我們在連續(xù)分布函數(shù)空間e 。下討論了判決問題( 0 。，上。) 的不 變估計問題，并得到了分布函數(shù)f 的最優(yōu)不變估計毋( t ，x ) ( 見( 2 5 ) 式) 本節(jié)我 們將考慮，若將估計咖( t ，x ) 作為離散分布函數(shù)的估計，是否具有容許陛? 下面 的定理2 2 1 回答了這個問題 9 碩士學位論文 m a s t e r st h e s z $ 首先介紹一個引理 引理2 2 1 ( 陳希孺( t 9 s 1 ) ，引理2 3 2 ) 設(shè)f 為一維變量x 的分布函數(shù)，貝l e f ( i x mj ) = 璧i x r n l d f 對m 的最小值在f 的中位數(shù)處達到 定理2 2 1 在損失工。中a 一l 和盧 一1 的情況下，若將由引理2 j 得到 的連續(xù)分布函數(shù)的最優(yōu)不變估計廬( t ，) 作為離散分布函數(shù)尸的估計，則它為 容許估計 證明上述定理需要做一些準備工作 對充分小的e 0 ，考慮鋤的子分布類 ，k = f ( t ) ：f o ) = p i l t 6 】，p e m ，p i = 1 ) ， ( 2 9 ) t = 】t = 1 以及五。上的先驗分布 d 丁e ( - p ) = 1 p 只1 玎1 p 二l l 卻l d p 。一h ( 2 1 0 ) 其中自 一l 的損失工。下，f 的任意估計d 關(guān) 于先驗分布丁c 的b a y e s 風險為 r r ( 只d ) = 冗( 只d ) d t c ( p ) j = l 。( f ，d ( x ) ) p ? 1 冊d ( p ) o x s “ 一m tlt = p “p j d ( x ，馴( 巧) “( 卜p j ) 4 p 7 1 船帆( p ) 1 0 圯 如 。硝 一 n 功 ；腳 一 瞪 m 蹦 靠 xd一 協(xié) ；觸 純 正 m 一 = 其中r ( f ) d ) 為d 的風險函數(shù)，s = 乳一。) ，是集合 i ：嗣= “ 所含元 素的數(shù)目，d p = d p l 卻。- l 為了簡化( 2t 1 ) 式中的積分記號，我們記 r imi i z ( d ( x ，矗) ，e ) = n 肌i p j d ( x ，& ) 1 p _ ( p j ) 。( 1 一班) 4 p m d 只( 2 1 2 ) o ，= l七= 1j = lj = l 且( 2 ，1 2 ) 式中的積分可變換為( 證明見附錄) ，緋)：ci(d(xc 廣譬仇一d ( x 刪n ( 1 一q i ) 一椰由i ，洶)，) ，e ) = i 仇一，6 ) l 西+ o ( 1 一+ ”由， ( 2 1 3 ) ( 2 m ) 其中 g ：i 廠鐙- 一- c t 一。，”* + - 一a 。 x 霧武j 1 - i ( 1 - q i _ 1 ) n 虹、 。1 j f ，毒糕詁- l ( ，咄) n - k = i + l 。t = t 再t 萬幣 是與f 的估計d 無關(guān)的量，這里我們規(guī)定“= l 珊，當k 1 時，c 中相 應的積分為1 現(xiàn)在回到定理的證明若滿足定理條件的曲是不容許的，則必存在一估計 d ，使得 r ( 只咖) 2r ( 只d )( 2 1 4 ) 對一切f e d 成立，且至少存在一個f o e d 使嚴格不等號成立，因此，有 r ( f 】妒) r ( 只d )( 2 1 5 ) 現(xiàn)從昂的支撐集中選出一組實數(shù)f 1 使得集合v = t ( x ，t ) s n + 1 ：d ( x ，t ) 妒( x ，t ) ) 非空，由b a y e s 風險公式( 2 1 1 ) 和( 2 , 1 2 ) 及不等式( 2 1 5 ) ， 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 易得 m r ( f ，西) r ( f ，d ) = i ( g ( x ，黝，e ) ( 2 1 6 ) x s “i = l 若( x ，釉v 。，則d ( x ，t ) = ( x ，t ) ，此時顯然有“曲( x ，鰳，f ) = z ( d ( x ，糾，e ) ，因 此由( 2 1 6 ) 有 且( x ，矗) ，e ) l ( d ( x ，t ) ( 2 1 7 ) ( x 矗) v( x ，6 ) v 另一方面，由( 2 1 3 ) 有 “( x ，6 ) ，e ) 荔萬h 一咖( x ，6 ) i q ? 汁。( 1 一吼) “一。1 + 8 d q i 丑。( x 烈) 以搿jg 一d ( x ，姍p ( 1 一口 ) n - a i + # d q f ，時i 吼一曲( 肖，已) 好+ o ( 1 一口 ) “一“+ 8 d q i 上1 一i q i d ( x ，靠) l q 7 i + a ( 1 一q i ) ”一“+ 4 如 注意到，l ( t ) 是僅在點列乳2 ， 。上跳躍的離散分布于是若。( 。) = 矗 x ( k 。+ 1 ) ，此時有以= k o 和 t z k o 由定理條件知估計妒( x ，6 ) 中的常數(shù)u k 。為分布 g ) 2 百百 ；1 _ = f i i 去_ = _ 磊而z k o + a ( 1 一z ) ”一幻+ 4 ，o z 1 的中位數(shù)，因此，由引理2 2 ，1 知積分0i q ；一g 阱。”( 1 一引n - k o + 盧幽在y = ( x ，糾= u 。時達到最小值，結(jié)合( 2 1 8 ) 知對任意的( x ，) v ，我們有 洲t i m 黜 ( 2 1 9 ) x 腳 m 娜 墮如 螂萬 口一f 一一一 n n 吼一吼 二一11 1 一叮 + 一+ 妒一妒 矗一& x x 似一烈 二一 吼一吼 如一時 + z 0 和盧 0 的情況下，若將由引理2 ，1 j 得到的連 續(xù)分布函數(shù)的最優(yōu)不變估計曲( ，x ) 作為任意分布函數(shù)f 的估計，則它為容許 估計 1 3 1 1 0 一) “ 型川 、 _j 剛一剛 一毖 小一小 x ，i 矗一引 烈一“ 一 以一以 塑如 幽漲功歷 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 第三章?lián)p失三。下的優(yōu)良估計 第二章我們在對稱損失己，下討論了分布函數(shù)f 的不變估計和容許估計 問題，本章我們將在對稱損失。下討論判決問題( 0 。，a ，l 。) 的不變估計和 m i n i m a x 估計問題其中不變估計的討論中的變換群仍為( 1 8 ) 式所定義的g ； m i n i m a x 估計的討論仍然在連續(xù)分布函數(shù)空間e 。中進行， 3 1 最優(yōu)不變估計 假設(shè)z - ，z 2 ，。為來自一未知連續(xù)分布函數(shù)f 的樣本注意到，雖然本 節(jié)是在損失l 。下討論問題，但由a g g a x w a ( 1 9 5 5 ) 或f e r g u s o n ( 1 9 6 7 ) 可知2 1 節(jié) 中的引理2 1 1 此處仍然成立因此，不變估計具有( 2 1 ) 式的形式為了方便 敘述，我們記“為所有滿足( 2 1 ) 式的f 的估計的集合因此，要尋找f 的最 優(yōu)不變估計，即是在估計集吖中找到風險最小的估計 定理3 1 1 在損失l 。下，對于任意估計d “，則d 的風險 n r ( f ，d ) = 6 昆( f ，d ) ， ( 3 1 ) i = 0 其中r d f , d ) = 矗( ? ) ( e x p 口( 地一t ) 一a ( u i t ) 一1 ) t ( 1 一t ) - - d t 證明由于我們考慮的是集合甜中的估計，因此首先可以將損失函數(shù)上。 進行簡化 l 。( f d ) = bf ( e x p a ( d ( t ) 一f 0 ) ) ) 一o ( ( f 0 ) 一f ( t ) ) 一1 ) d f ( t ) ：6 妻廠q ”“( 。；p 0 ( m ) 一即) ) ) - n ( 郵) 一邢) ) - 1 ) 冽t ) = s 耋蔗。唧州一m 叫 曠州t = 6 l i ( f , d ) ， ( 3 2 1 4 其中厶( 只d ) = 后：( e x p 。( 地一t ) 卜n ( 啦一) 一i ) d t 若令五= f ( x l i ) ) ，則我們有 n r ( 只d ) = 層陋( f ，d ) = 6 e ( 五i ( e d ) ) ；= 0 ：6 ne 嚴”( 唧 ( 曠m - n ( 曠曠1 ) 出 i = 0 o z i = a 薹z o “序唧州一m - a ( u i - t ) - 1 肭卿- ) = 6 婁刪卜小叫 _ 0 叫叫柏+ 1 ) 出 6 塞小小- f ) h _ f ) 一1 ) z 1 z + 1 ( 撕1 ) d c 6 萎上( e x p 扣沁r ”h n 。一) - 1 ) 上z 仉一+ 1 ( 犏) d 。 b i = or ”i ) 小x p ( 小t 叫) - a ( u i - t ) _ 1 ) c t ( 1 叫如 = 6 r ( f d ) l = 0 定理得證口 定理3 1 2 在非對稱損失工。和變換群g 下，連續(xù)分布函數(shù)f 的最優(yōu)不變估 計為 妒( ，x ) = u k l ( x ( k ) st 。 1 5 證明由定理3 1 ，1 可知，任意不變估計d 吖的風險函數(shù) n r ( f i d ) = b r i ( f , d ) ， i = 0 要在“中尋找最優(yōu)不變估計，即要找出一不變估計使得其風險在所有不變估計 的風險中最小那么，由上式可知，要最小化風險r ( 只d ) 等價于極小化上式右 邊的每一項足( 只d ) 又聵( f d ) s 有如下的一階和二階導函數(shù) 毫兄( 刪= ( 1 ( 沙e x p ( 山i _ f ) h ( 1 叫d f ( 34 1 昌皿( 刪= 0 1 ( 壚e x p 咖。- f ) ( r 鋤 ( 3 s ) 由( 3 5 ) 式易知，對于v i = 0 ，1 ，n 有 矗啪d ) 。， 因此，當訛為方程孤o 。、f ，d ) = 0 的實根時，r ( e 回達到最小值，同時r d ) 也達到最小值 解方程西。五r ( ed ) = 0 得到 、群r ( 1 一t ) n 一1 d t e x - n “1 ) 2 i j oi ：；蒜 面麗t ”l 1 一) “ 則 驢：h 鶇羚 顯然0 啦 0 ，則在實數(shù) 集r 的l e b e s g u r e 可測子集，上存在一均勻分布p 和一不變估計d l ，使得 p “+ 1 ( x ，t ) ： d ( x ，t ) 一d d x ，) i ) s6 注： 顯然對于d a 和f 0 。，總有0 l n s ( f d ) = b f ( e x p a ( d ( t ) 一 f ( t ) ) ) 一a ( d ( t ) 一f ( t ) ) 一1 ) d f ( t ) + o 。因此，在判決問題( 0 。，一4 ，“；) 中任意 估計d 的風險r ( 只d ) 總是有限的，也就是說引理3 2 1 中估計d 的風險有限這 一條件這里自然成立 定理3 2 1 考慮函數(shù)e x p n 忙一s ) ) ，其中n 0 ，0 s 1 為兩常數(shù)則對于變 量0 蘭z l z 2s 】有不等式 成立 e x p a ( x l s ) ) 一e x p a ( x 2 一s ) ) i j 圳1 2 1 一x 2 ie x p n i )( 3 6 ) 1 7 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 證明由于函數(shù)e x p a ( x s ) ) 是連續(xù)的，所以存在( z l ，z 2 ) 使得 ( e x p f 。( ”啪一e x p m 。叫) ) = 瓦oe x p ( 如叫) 也f ( x 1 - - 2 2 ) 耋：!：。e。xpp；。o。(；-。s，)，蘭 0 由定理3 2 2 ，存在f 0 。和不變估計d o “使得 | 兄( 只d ) 一r ( e d o ) l e 又由于妒為最優(yōu)不變估計，所以 ( 3 ，9 ) r ( 只妒) 兄( e d o ) r ( f 1 d ) + g ( 3 ，1 0 ) 則由不等式( 3 ，l o ) 和 o 的任意性不難推出i a f ds u p f 9 。r ( 只d ) = r ( f j 西) 因 此，估計妒為f e 。m i n i m a x 估計口 碩士學位論文 m a s t e r lst h e s i s 附錄 定理2 2 1 中積分變換的證明 即是要證明 ：p 。蚓壹j = l 州c i 酚一( ，e i 。p j ) o ( 1 - ，i 。p j ) 9 p m 護 而 ，1 一m - - ie = 口”】哦一d ( x ，矗) l 諺，+ 。( 1 一q i ) “一“+ 8 d q i j ( i l m ) g ：螽廠嵩羚穢- l ( ，刊咖 k = l 。= 而末囂習瓣 1 ( 1 一毋一1 ) 4 嘶i i 。百廠毒黼礦l ( 1 劃一m k = i + l 。f 幣毒可7 幣 證明：首先對積分作變換 ( i ) pj = ”i ，p 2 一w 一1 ，= 2 ，一，m 注意到變換的j a c o b i a n 行列式 o ( p 1 o ( w l ， p m 一1j “) m ij 于是積分變換為 ( 圳：一 l 一1 ) i i d ( x ，) ( 叫i ) n ( 1 一 ；) 口( 叫m w 2 1 囂 $托 。 嚴一毗 一 毗 m 一 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 其中w = ( e w m - - 1 ) ： 魯叫女+ 嗇s 叫k + l w m = l ， k = 1 ，- ，m 一2 ) ，w o = 0 ，d w = d w l - - d w m - - 1 再對積分作變換 ( i i )仙女= 變換對應的j a c o b i a n 行列式為 l i i q t = 七 q i ， 女 i t = 如= i 鞣l = ( 驢1 ) 陋k = i r ) 這里我們規(guī)定：對任意的實數(shù)a t ，當f s 時，n 毗= 1 則( + ) 式可以改寫為 厶蹦q i - - q i - l q i ) l 啦一| ( 啦) n ( 1 - q i ) 4 娶( 1 - 9 1 ) ”娶佃r 饑_ 1 ) 帆“) 其中口為吼，i = 1 ，2 ，m 一1 取值空間，d = j ( x ，曲= 由1 d q 2 ：，d 一1 而 t 一1t 一1 q k l ( w k w k 一) ”1 = ( ( 1 q k 一1 ) 鯫) k = l = l t = m 。t 一- ，1 一1 ( j i 。聲l = 1 k 一。) a f ：二i 一；+ 2 2 1 j i 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 所以( ”) 等于 七一1 1 ( 1 咄) 一11 t = ii = 1 1 ( 1 一吼一1 ) “i q i d ( x ，矗) l 口；，+ 。( 1 一仇) “一“+ 口 j o ( 酗1 h 艫1 ) ( 基，話1 h 擴一) 電 + ， 注意到變換( i i ) 等價于 叫 s + 1 因此，當s i 時有 蘭吼：。is 1 一( m - i ) e mm r 蘭：爸= ，一i ：；：蘭j ；三? 磁 ， 州一 一一 一 靠 一一 m 輒 基戮 一矗 盟。篙 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 由此得到了q f 取值空間，從而得到積分范圍因此，( t + + ) 式可分解為 亙震移1 t 計” q i 一1 ) “出l i 。1_摯iqi-d怎)14(1一俄)n-oi+bdqqid ( x q o i + a； ，磊 ( 1 一俄； j ( i m ) ( 。m - 1 j ! ! i 專7 高9 。2 - 一- ( - 一仇) n 一一* a 。 k = 件1 。丁= t ( ) 二可7 ；幣 從而完成了積分變換的證明口 鬻 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 參考文獻 1 a g g a r w a0 p s o m em i n i m a xi n v a r i a n tp r o c e d u r e sf o re s t i m a t i n gac u m u l a t i v e d i s t r i b u t i o nf u n c t i o na n n m a t h s t a t i s t ，1 9 9 5 ，2 6 ：4 5 0 4 6 2 2 y uq m i n i m a xi n v a r i a n te s t i m a t o ro fac o n t i n u o u sd i s t r i b u t i o nf u n c t i o n a n n 打m s t a t 婦肘o t h 。1 9 9 2 a 4 4 ：7 2 9 7 3 5 3 y l lq ，p i t a d i aeg m i n i m a x i t yo ft h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o ro fad i s t r i b u t i o nf u n c t i o nu n d e rt h ek o l m o g o r o v s m i r n o vl o s s a n n s t a t i s t ，1 9 9 2 ，2 0 ： 2 1 9 2 2 1 9 5 4 y uq a d m i s s i b i l i t yo ft h eb e s ti n v a r i a n te s t i m a t o ro fad i s c r e t ed i s t r i b u t i o n f u n c t i o n s t a t i s t i c as i n i c a 1 9 9 8 8 ：3 7 7 3 9 2 5 y uq c h o wm s m i n i m a x i t yo ft h ee m p i r i c a ld i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni ni n v a r i a n t e s t i m a t i o n a n n s t a t i s t 1 9 9 1 1 9 ：9 3 5 9 5 1 6 y uq i n a d m i s s i b i l i t yo ft h ee m p i r i c md i s t r i b u t i o nf u n c t i o ni nc o n t i n u o u si n v a r i a n tp r o b l e m s a n ns t a t i s t ，1 9 8 9 1 7 ：1 3 4 7 1 3 5 9 7 f e y n m a nr p m r