瓷 摘要 本文主要討論了兩類相依變量n q d 隨機(jī)序列與n o d 隨機(jī)序列的極限性質(zhì)，共分為兩 第一章是有關(guān)兩兩n q d 隨機(jī)列的強(qiáng)收斂性的。兩兩n q d | 拘概念最早足由l e h m a m l ( 1 9 6 6 ) 提出的，它是一類非常廣泛的隨機(jī)變逞，包臺了研究得很多的n a 序列，同時(shí)它也 婕薅兩獨(dú)立隨機(jī)序列的種推廣。這一章姆m a r t i k a i n e n ( 1 9 9 5 ) 關(guān)于兩蹲獨(dú)立的髓機(jī)變量的 結(jié)果撼廣到躅兩n q d 的情形，縟到在相同的條件下，結(jié)論對n q d 隨機(jī)變量仍然成立，下面 就是籬一章載主要結(jié)果 定理1 設(shè) 鼉，群l 是溺分毒囂囂n q d 隨秘交量序列，1 4 7 - 6 熱暴 妻 置| ( 1 0 9 + l 蓋 。 0 0 ， 翔有 ( s - e s 。) n 7 哼0 ，a 點(diǎn) 第二章磷究熬是n o d 彥裂麴疆枝斂蛀衣強(qiáng)牧斂注。n o d 懿概念是j o a g d e v 幫p r o s c h a n ( 1 9 8 3 ) 繪出的n o d 隨機(jī)變量也是類非常廣泛的隨靜l 變量。獨(dú)立隨機(jī)變量，n a 序列粼是 n o d 的，但是n o d 稍強(qiáng)于n q d 這一章給出了n o d 隨機(jī)變量序列的強(qiáng)大數(shù)律和完全收斂性 這些結(jié)果是獨(dú)立或n a 情形的推廣，以下大數(shù)律是我們的主要緇果之： 定理2 設(shè)l p 2 ，囂( ) 蹩定義在( o ，嘲上正的蹭函數(shù)，且當(dāng)t 啼，h ( t ) 啼置 萬知o ， 置) 是n o d 列，且 工) 被貿(mào)隨機(jī)控制，若e l x l 9 ， 則 日( h ) 。( 墨，一e 鼠) 三一o ，”呻o o ， 定理3 設(shè)1 p 1 ， 墨) 是n o d 列，且 五) 被石隨機(jī)控制，若 e i 爿| ” 0 0 ，則 h ”。2 p ( i s 一堿i o e r t 4 ) 0 n = l 2 a b s t r a c t t h i st h e s i si sm a i n l ya b o u tt h el i m i tp r o p e r t i e so f t h et w od e p e n d e n tv a r i a b l e s ：n q da n d n o d ，a n di ti sc o m p o s e db yt w oc h a p t e r s c h a p t e r ii sa b o u tt h es t r o n gc o n v e r g e n c e p m p e r t i e so f p a i r w i s en q ds e q u e n c e s t h ed e f i n i t i o no f p a i r w i s en q dv r a st i n tg i v e nb yl e h m a n n ( 1 9 6 6 ) 。t h ec l a s so f n q dr a n d o mv a r i a b l e si sa v e r yb r o a dc l a s s ，i n c l u d i n gn as e q u e n c e sw h i c hi sw i d e l ys t u d i e db ym a n y - s c h o l a r s ，m o r e o v e r ，i t p o p u l a r i z e dt h er e s u l t so f p a i r w i s ei n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h es t r o n gc o n v e r g e n c eo f p a i r w i s en q d s e q u e n c e s ，w h i c hg e n e r a l i z e dt h er e s u l to f m a r t i k a i n e n ( 1 9 9 5 ) ，a n dp r o v et h a tt h ec o n c l u s i o ns t i l lh o l d s 為n q dr a n d o m v a r i a b l e su n d e rt h es a m ec o n d i t i o n s ，t h ef o l l o w i n gi st h em a i nr e s u l t t h e o r e m1l e t 鼉，n 1 ) b eas e q u e n c eo f p a i r w i s en q d i d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e dr a n d o m 土 v a r i a b l e s ，1 4 ，一6 ，i fe | 蜀r ( 1 0 9 + l x l i ) 7 0 0 ，t h e n ( s ne s 。) n 7 _ o ，a s c h a p t e ri i ，w ed i s c u s st h ew e a kc o n v e r g e n c ea n ds t r o n gc o n v e r g e n c eo f n o ds e q u e n c e s t h ed e f i n i t i o no f n o dw a sd u e o 兩a g d e va n dp r o s c h a n ( 19 8 3 ) ，t h ec l a s so f n o dr a a d o m v a r i a b l e si sab r o a dc l a s si n c l u d i n gi n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sa n dn a s e q u e n c e s b u tn o d i sal i t t l es t r o n g e rt h a nn q d i nt h i sc h a p t e r ，ig e ts o m et h e o r e m so f n o d ，w h i c he x t e n d st h e r e l a t e dr e s u l t sf o ri n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e sa n dn as e q u e n c e s t h ef o l l o w i n gl a wo ft h e l a r g en u m b e r si so n eo f o u rm a i nr e s u l t s t h e o r e m2l e t1 蘭p 2 ，a n dh ( t ) b ea p o s i t i v ea n di n c r e a s i n gf u n c t i o n ，w h i c ht a k e sv a l u e si n i n t e r v a l ( 0 ，。) ，m 。r e o v e r ，a s f 斗o 。，h ( f ) _ 爭觀s u p p o s 。百蕭o ，a n d x i i s a s e q u e n c eo f n o d b e i n gs t o c h a s t i c a l l yd o m a i n e d b y x i f e f 1 9 。， t h e n ，( 露一暇一磣；) 與o ，h 專。 a l s o ，w eh a v et h ef o l t o w i n gc o m p l e t ec o n v e r g e n c e t h e o r e m3l e t1 p 1 ，a n d 置) b eas e q u e n c eo f n o dr a n d o mv a r i a b l e sb e i n g s t o c h a s t i c a l l yd o m a i n e db y 足s u p p o s eel 1 9 t h e n n ”2 p ( t 爰一舔留爐) o # # 3 1 1 麓套 第章同分布兩兩n q d 隨機(jī)序列和的強(qiáng)大數(shù)律 兩兩n q d 的概念是由l e h m a n n 在1 9 6 6 年提出的 定義1 a 稱隨桃變量x ：荸f f 是n q d 躲，羞對予v x ，歲r ，商 e ( x x ，r y ) f ( x x ) p ( y y ) 稱隨機(jī)變量序列f 置；，”l 是兩兩n q d 的，若v i 五置與x ，燭n q d 盼 由此可見，兩兩獨(dú)立隨機(jī)變量序列是兩兩n q d 序列的一種特鍘 關(guān)于兩兩n q d 諸多形式的強(qiáng)收斂性，已有不少人研究過鄧華和來繼紅于2 0 0 5 年分別給出了兩兩 n q d 捌j a m i s o n 型廣義麓權(quán)窩戇收斂注與線性n q d 隧氍凈捌嘉霾投鞠麓渡斂往際平灸( 2 0 0 5 ) 路基了 兩兩獨(dú)立同分布序列的c e s ar o 強(qiáng)大數(shù)律的收斂遵度，即若e i 蜀盧，e i 互i 0 0 ，有 ( 鬈) 。彳：? 五一= _ d ( ”?！? ) a s ，h 同時(shí)還指出，只需要在定理中對縮尾稍加修改，這個(gè)結(jié) k = l 論對于兩磚n q d 隨機(jī)序列依然成立另外，對予標(biāo)準(zhǔn)的大數(shù)德，很多學(xué)贛在矩蛉螯讎：上不斷救進(jìn)，也得 到了不少好陶結(jié)果 到口前為止，比較精確的兩個(gè)緒果是： ( 1 ) 李纓( 1 9 9 9 ) 設(shè) 置，拜0 燕囂涎獨(dú)立潮分棗蓬視燮量序列，若 e l 五i = 3 ，e l 墨1 7 ( 1 0 9 + l 五1 ) 7 o 。，則( s 。e s 。) n 7 一o ，瑾s ( 2 ) m a r t i k a i n e n ( 1 9 9 5 ) 設(shè) 五，船0 ) 是兩兩獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，如象 e i 五凈，e 五l y ( 1 0 9 + i 五| ) 7 。，其中1 4 7 6 ， 則 ( s 。一e s 。) n 7 _ 0 ，a s 本文避一步涯明了m a 娃i k a i n e n 黲縫論對予溪囂n q d 序列同樣成立， 首先給出證明中要用別的一個(gè)條件： 條件( a ) 存在常數(shù)k ，對于任何單調(diào)函數(shù)廠，特p 鈕礦( x i ) c o ，則有對v m 哳( f ( x k + 。) ) 莖k n v a r f ( x i ) k = l 登然若 鼉，攤0 是嗣分毒瑟瑟n q d 陡援交鼙序歹載孵宅濺足( 燾) 注：若無特別隨明，c 在不同的地方可以代表不同的正常數(shù)。 1 2 主要結(jié)果 定理1 設(shè) 以，即0 ) 是間分布酣兩n q d 隨機(jī)變最序列，如果 4 e j 五1 7 ( 1 0 9 + f j 。1 ) o o 其中1 4 y 一6 ，則有 1 3 主要結(jié)果的證明 ( s o - e s 。) n 7 斗0 ，a s 為了證明定理l ，我們先給山如下幾個(gè)引理 ( 1 2 ) 引理1 1 若 以，行0 是同分布序列且滿足條件( a ) ，則對于任何單調(diào)函數(shù)i 廠，若r , , r f ( g ) o 。，有 e m ，a x ，弘j + k ( 可( 刪k 器n v a r f ( x , ) 證：由條件( a ) 及s t o u tw f ( 1 9 7 4 ) 定理2 4 1 即得 引理1 2 設(shè) 鼉，”0 ) 是同分布兩兩n q d 序列a ，y ，f ，鯽為常數(shù)，0 占7 ) 厶7 ) 占。2 厶+ i e ( 巧) 2 二 一 = c h = q i 下證，t 0 0 蘭瑪氣) + 妻l 1 _ ；2 吒2 p ( 五 氣) 令。= e x p ( n 盧) ，4 = n ：c m n7 , ( 1 0 9 m 。) 一。七) ，門t = i n f a k ，仇= p ( k 一1 j 尼) 由a k 的定義知 k 渤，。7 ( 1 0 9 m n , ) ， 5 因此 e x p ( 望) 礬( y l 。g 尼) “，1 。g 七芷 ， 根據(jù)極限嬲了f e x 而p ( t b 萬( y - i 2 ) y 麗) d t ：c ，以姍3 ) ，有 1 三1 一! l 17 刪。17 = e x p ( n 4 ( ，一2 ) y ) a k a k e 一，e x p ( x p ( y 一2 ) y ) d x 一魄1 。4e x p ( n k a ( ，一2 ) y ) c k 7 2 ( 1 0 9 、9 1 + 。7 2 岡此，由一1 + a ( r 一2 ) = r 及( 11 ) n y 女h 下證， o o c 妻尼7 ( 1 0 9 + 七) 一“ 。o 令b = m ：c m 。7 ( 1 0 9 m , ) “磚，r k = i n f b ，同理有 e x p ( 豎) 。c k ( 1 c k ( y l o g k ) 一，l o g k 豎e x p ( 二l ) 一“， 二l yy 則根撇限受f f e 而x p ( t 面p ) t 2 兩。p d t ：c ，有 ( 1 0 9 l ) “= e x p ( ( n 4 ) 1 。2 。) c r k l 。儼2 艫e x p ( 咯4 ) ? e b kn e b t ( 1 0 9 ) “c k 7 ( 1 0 9 k ) 巾”一 n 盟 y n j , i 口 m ，0 y 2 ，一l + c o ( y 一2 ) 一1 + 口( ，一2 ) = f ，以及( 1 5 ) ，( 11 ) ，知 ( 1 3 ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) 口 廠 m g 0哳 一 h以 t 。m ； 。 c l i 呲 p t 。 c 一 l ( 1 0 9 ) ) 二 c ( 1 0 9 ) 。2 。p k i ( x 1 q7 0 0 9 t o ) ) n = m 、 = 1 = c p 。乙( 1 0 9 ) 。2 。 k = l ”4 下證l o o 令c ：= 1 7 ：c ，7 ( 1 0 9 m , ) 1 s 7 ) o 。 ( 1 6 ) ( 1 7 ) 對于0 一， k 屯，有 l _ ，。一e ，。陶，1 一e _ ，l + 1 ，一e ，h l + l e ，一e ，h | ( 1 8 ) 下證ie _ ，一e n ，i = d ( 乙7 ) 設(shè)f ( x ) = p ( 工 x ) ，則 7 量 p 脅 p，g 0 ， 2 r ， 。 c 既 2 卜 口 p g o ( r 女 。h c p *廠 ) 七 + g o ( ， 。m c x ) = f y d f ( y ) x ) = f x d f ( y ) x 1 - y ( 1 。g x ) 一7 f y 7 ( 1 。g y ) 7 d f ( y ) ，x j o 。 從而 g p ( 五 c n ) g p ( x 1 或) = o ( n 17 竹( 1 0 9 n ) 一1 7 ) dp ( x , 噸) = d ( n 1 圳7 ( 1 0 9 n ) 一1 一力) 而e 乙l = d n p ( c n ) ， 上 三 c n 7 ( 1 0 9 ) 一。以“c n 7 ( 1 0 9 玎) 一“， 故 e z t = o ( n l 一7 1 7 7 ( 1 0 9 n ) 一1 一“) 由于”( 1 0 9 l , ，) 1 7 4 ，l l1 = o ( h 4 1e x p ( n 9 ) ) ，因此0 一l1 = d ( m 4 。e x p ( n 4 ) ) = o ( ( 1 0 9 l 。) “4 ) e ，+ 一e 0 = e z , ：= ( 一e 乙，= o ( ( 1 0 9 1 , ，) 伊?！辈揭? 。n “p ) 蘆一l 由，( - 0 ，r 的取法，知( 盧一1 ) f l - o - r - ( 1 一，) 珊 占l 7 ) p ( 1 ，一e 圪，l 。p 占7 ) + p ( 1 _ ，- i - e v 抽。l 占7 ) 對足夠大的n 兩邊求和，再根據(jù)( 1 6 ) ，( 1 7 ) ，可以得到 。三 善p ( m 磐x iv , k - e v e 抄g 另一方面注意到d j ( x , 以) ，i = 1 ，2 ，也是兩兩n q d 的，類似可證 n 善p ( 鈾m 。a x l 百y d 0 7 ( 置 成) - e ( d 7 ( x i s 7 ) s l n 7 ) o 。_ 玟樣引理得證 引理1 3 取常數(shù)，f ，且1 y 2 ，o f 1 4 r ) ( _ 7 ( 1 0 9 1 2 n ) 2 e ( 匕，i ) 2 = 白1 一歹2 ( 1 。g ) 2 e r l 2 ( z 。 以) + 1 歹2 ( 1 。g 盯) 2 甌2 ( 五以) ， q c + c 寶2 “1 _ 尹( n l 。9 2 ) 2k 2 島+ c 妻2 ”( h l 。9 2 ) 2 “p ( x j 或 壘c + h + 厶， 其中p k = p ( k 一1 五 尼) 下證l ，4 ：c 妻2 州h r ：n 妻k z p k ( k ( 1 。g k ) m ) 一( 1 。g 尼) z = k 7 p k ( 1 0 9 k ) 州”2 卜2 若及( 1 啪隰 下證。 1 厶= c 2 ”( n l 0 9 2 ) 2 。p n = l t = h r z p 2 ”n 2 。2 。 c 2 。( “) 2 - 2 。( k ( 1 0 9 k ) 。) 7 ( 7 l o g k ) 2 _ 2 。= c k 7 ( 1 0 9 k ) “。2 。 ”= l g o o = l 注意到一，l ( x s 7 ) 。 這樣，引理得證 注：上面引理1 2 ，13 的條件結(jié)論跟文獻(xiàn) 9 基本相同，只是為了保證截尾后依然是兩兩n q d 列，用了 不同的截尾方式 定理1 的證明 證：不火一般性，假設(shè)e x = 0 ，f 2 令x ? = xn 1 0 x ，x ：= x ，i 悸。 0 q 由于置= ( 以+ 一e x + ) + ( 以一一e x o 一) 其中 瓦+ 一甄+ ， 一，一一e x ) 分別是同分布兩兩 n q d 列，且均值為0 這樣我們就只需要考慮均值是0 ，且下方有界的隨機(jī)變量將置# f g 成r - i - l ( r 的 取法后面給山) 項(xiàng)的和，如f 其中各項(xiàng)的具體形式我們以后給出 = 一。( 女) + 一，- ( 丘) ， 1 0 ( 1 1 0 ) 勘 玎唱 2 。 既 。m c ) 女 g 0 ( ， 女 酞 。h c = ， 令= f l y ，q = ( 2 一r ) ( r - 0 1 0 9 , 一l + 2 r ( y 1 ) i = 2 ，3 易證 q 關(guān)于f 是遞增的，且對于 1 ， 2 ，有，l 蛹4 c o ，= ( 2 一r ) ( 2 一y ) 令屈= ( 1 + f + q 一1 ( 2 一y ) ) ，顯然屬關(guān)于f 是遞減的，且均 小于1 令f ，( n ) = f r _ 1 ( 月) = e x p ( n 4 1 ) 】，( n ) = e x p ( n 4 ) 】， 對i = 2 ，3 ，r 一2 ，則有 t ( m ) 一( n 一1 ) = e x p ( n 4 ) 一 e x p ( ( n - 1 ) 8 ) e x p ( n 4 ) 1 一e x p ( ( n 一1 ) 4 一 辟) = o ( e x p ( n 肛) ”4 1 ) 最后一個(gè)等式是由于當(dāng)0 d 1 時(shí)， l i m 1 - e x p ( x - 1 ) “- x ) ：1 x “ 下面開始定義( 1 1 0 ) 中的( 砷，i = 1 ，2 ，r + 1 對k j 1 ，令 x ，。( 七) = x j i ( x j z ( 女) ) ，其中z ( 尼) = ，2 ( n ) “7 ( 1 0 9 n ) 一4 ，1 2 ( ”一1 ) k f 2 ( n ) ，月= 1 ，2 ， 工，。( ) _ x ，( t ( ) “7 ( 1 0 9 n ) 一4 ， 一l ( n ) “7 ( 1 0 9 n ) “) 其中t - 1 ) k t ( h ) ，i = 2 ，3 ，r q = 1 ，2 ， ，。( t ) = _ ，( 一 2 7 ( 1 0 9 2 ) 1 ) ， 其中l(wèi) r ( 一1 ) x ，) i = l 稱隨機(jī)變暈置，五，五是n l o d ( n e g a t i v e l yl o w e ro r t h a n t d e p e n d e n t ) ，如果 k p ( 置一，i = 17 2 ，七) y i p ( 置t ) i = 1 稱隨機(jī)變量x 1 ，蓋2 ，x k 是n o d 的，如果它既是n u o d 又是n l o d 的 稱一個(gè)無窮序列 瓦， 1 ) 是n o d 的，如果其中的每一個(gè)有限子集 咒，n 為有限數(shù) 都是n o d 的 定義2 2 稱隨機(jī)變量x i ，x 2 ，瓦0 2 ) 為n a ( n e g a t i v e l ya s s o c i a t e d ) 的，如果對于集合 1 ，7 中的任何兩個(gè)不相交的非空子集墨和t 2 ，都有 c o y ( f , ( 一，i t 0 ，左( ，j 瓦) ) 0 ， 其中z 和 是單調(diào)前增( 或單調(diào)1 f 降) 的函數(shù)，并且要使得上述方薺存在 稱隨機(jī)變量序列 以，n 1 是n a 序列，如果對丁- 任意的自然數(shù)n 2 ，x j ，x 2 ，瓦都是n a 的 由上面的定義，我們可以看出n o d 是一類非常、。泛的隨機(jī)變量很顯然，獨(dú)立隨機(jī)變量一定是n o d 的j o a g d e va n dp r o s c h a n ( 1 9 8 3 ) 在他們的文章中還指出n a 序列也是n o d 的，但是n u o d 和n l o d 序列不一定是n a 序列，并且舉了一個(gè)例子進(jìn)行說明由此可知n o d 比n a 要j 1 泛，但稍強(qiáng)于n o d 關(guān) 于n a 這方面的文章已經(jīng)有很多，但關(guān)于n o d 的文章則相對較少 這一章 i j f 究n o d 隨機(jī)變量序列的完全收斂性和人數(shù)律，將一些有關(guān)獨(dú)立或n a 隨機(jī)變量的結(jié)果推 廣到n o d 變量的情形 定義2 3 稱一列隨機(jī)變量 瓦，7 1 被一個(gè)正隨機(jī)變量x 所控制，記作： 置 0 ，有尸( 瓦 x ) p ( x x ) ，對丁v n 1 都成立 由數(shù)學(xué)期望的定義，v p _ o ，e i x l 9 = p f x 川p ( i x i x ) 出岡此若 置) o 記最= 窆鼉 下面的定理中都假設(shè)條件0 3 ) 是滿足的 定理2 _ l 設(shè)1 p 2 ，h ( f ) 如上所定義，且面匆o ， 墨 是n 。列，且 墨 ( x ，若 e i x l 9 o o ， 則 日( n ) ( s o 一耶j ) 芏_ + 0 ，t l 斗o o 定理2 2 設(shè)妒( f ) ，( f ) ，h ( t ) 如上定義， 置 是n o d 列，且 置 x ，則若 e o ( h “( 1 x i ) ) c o ， 則 f 2 1 、 ( 2 2 ) ( 2 _ 3 1 p ( 胛) _ 尸( j 甌一e 叉險(xiǎn)s 日( ”) ) o ( 2 4 ) n m 定理2 3 設(shè)p ( f ) ，h ( f ) 如上定義， x 。) 是n o d 列， k ) 蓋且滿足條件( c ) ，則 由( 2 4 ) n 得到 善( h ) p 警j 邑一哦l s 日( n ) ) o ( 25 ) 定理2 4 設(shè)1 p 2 ，妒( f ) ，y ( ，) ，h ( t ) 如上定義， 工) 是n o d 列， x 。) 0 x + = x z ( x 0 ) ，x 一= x z ( x 0 ) ，x = x + + x 1 4 推論1 i 2 1 p 1 ，( x i ) 是同分布兩兩n o d 列，且滿足條件 特別地，若1 p 2 ，甜p = 1 ，則 e l 五1 9 o o n - a ( 鼠一咒皤) 與o ，珂斗o d ”( 鼠一n 丘義j ) 與o ，” 。o 推論2 設(shè)1 p 1 ， 墨 是同分布兩兩n o d 列，則若e f x l1 9 0 ，若 r , m i 9 flnf尸(邑一最一x)+(1), ，_ ， 一j 則存在常數(shù)c 0 ，使對任意的y 和”n ，有 p ( m 。a x s 女) c p ( 甌y x ) 引理2 4 。1 1 設(shè)( q ，f ，p ) 是一個(gè)概率空間，( c 。) 。是一列事件， ( i ) 若p ( c ) h ( ，z ) ) 0 ，有 | 最譬s 科( 一) ) 亡u 墨陲譬( 辯) u | 五( 努扣) ) e x x , ( h ( 櫛) ) 譬譬辯( 托) c g l 五臣髫( 擰) u 善置+ ( 最( 腔) ) - e 善五+ ( n 引s h ( 聹) u l 薈置一舊( 呦一e 善置一( 日塘i 1s 口( 砌 壘a n + e + 或軸 盎m a r k o v 不等式，咎，幻及i 去f o 翹 p ( 焉) p ( i x , p h ( ) ) i = l 艫( 1 x p 日( n ) ) g n i l ( n ) e 1 x 1 - 爭o ，n 呻c o 再考慮p ( 魏1 ) ， 由引理2 1 知 置+ ( 礦) ) 仍然是n o d 列，從而幽m a r k o v 不等式及引理2 2 ，有 于( 蜀) 蘭搿( 辯) 。驀( 置+ ( 目( 擰) ) 一曩置+ ( 搿( n ) ) ) 2 c h ( n ) 。題置+ ( 日( n ) ) 2 i = i 明( n ) 。 e ( x i + ( 日( ) ) ) 2 + c 甄+ ( h ( n ) ) e x j + ( 日( ”) ) j = l l s ，如 sc h ( ) “e ( 置+ ( 日( ”) ) ) 2 忙1 = c h ( n ) 。e x , 2 t ( ix , 匿攢( ”) ) + c p ( ix i 眵搿( 櫛) ) = 匕十2 ” 由( 2 。1 ) 知 只2 1 葉o ，n 斗o o 啦，7 ) ( 2 8 ) 匕1 c h ( n ) 。2 e l 置1 2 i ( h ( j 一1 ) l 五峰h ( ) ) 明( ) 。2 e 1 置1 9z u ( s ) 2 訓(xùn)p ( h ( j 一1 ) 1 x il ( 塒 翻( n ) 。e l x | ”( ，) ( z - p ) p ( h ( j 一1 ) q 葺降日( 勁， 塞予據(jù)p 2 ，h ( t ) - - 。，高o 凈郴晾跏的) _ 2 o 根據(jù)( 2 1 ) ，有 運(yùn)用k r o n e c k e rg l 理，褥 岡此 同理可證 ，日( 力9 露i 羔1 9 ，( ( 力q 蓋眵h ( j 1 ) ) m ， j ；l 0 】m o ，珂。o o p ( 玩”) 0 p ( 茂固) 斗0 由( 2 8 ) ( 210 ) 知定理2 1 成立 可跫。在定理孛，只要取( 搿) = 曠，戡孚霉到推論1 定理2 2 的證明 諼：不失一般健，緩設(shè)芷瓦= o 積i ) 嗣定理2 ，1 中，可得 戮我，我髓其霈分鬟證鵠 i 鼠除占h ( n ) ) 壘a 。+ 玩1 + 最2 。 ( i ) 妙( ) 以 。，( i i ) ( 撐) 鼠。 ，( 1 i d ( 月) 色2 ”= l = l 滓】 先來證明( i ) ( 1 ) 緲( 彩p ( 乓) 蘭妒印) p ( 1 置凈( ”) ) ) 蘆n 口l 忙l 1 7 ( 2 ， 往，l 鰳 s ( n ) n e ( tx 凈日( 囂) ) 墨妒( ”) 擰p ( h ( 歹) ix 匿尉( 歹+ 1 ) ) = in = i y = n - z p ( 日( ，) ix 巨科( ，+ 1 ) ) 妒( ) j = l h w l c p ( 日( ，) j x l 蔓1 4 ( ，十1 ) ) r x ( x ) 西c j * l = c 尸( 日( ) i x 峰( + 1 ) 砌( ) ，* l = e p ( h 。( i x ) ) 0 0 ， 礦( 據(jù)) p ( 碟1 ) - c z g r ( n ) h ( n ) 一2 n e x 2 i ( i x 匿u ( n ) ) + c 2 2 ，釅( 國p ( 1 蓋辯( 露) ) ”= i # 。l 壘；( 1 ) + ：( 1 ) ， 仿照( i ) 的證明，可得2 ( 1 ) o 。 一f 涯，( 1 ) 。 根據(jù)定義的妒o ) ，o ) ，日( r ) ，知 l ( 1 ) - c z ( 盯) ( ，z ) 。2 櫛e x 2 i ( h ( j 1 ) 2 v t ( n ) h ( n ) 。2 挖h ( i ( h ( j 一1 ) i x l - 爿( 劫 = ij = l = c z h ( y ) 2 p ( h ( j 一1 ) l x l - h ( 劫y ( n ) 盯( n ) 。2 h ，。1月。， = c 日( ，) 2p ( h ( j i ) | x 降日( ，) 殄( ，) ( ，) 。2 ；l = c z p ( h ( j 1 ) ) 伊( 歹) 1 = 1 = c e q ，( h 一1 ( 1 x ) ) + y ( 囂) 尹( 玩“) 0 對于2 n ， 2 n i + 1 ，i = 1 ，2 ，由4 ( n ) 是增函數(shù)及條件0 3 ) ，( c ) ，得 p ( s 。氏h ( 珂) ) p s 。：6 o h ( n ) ，s 。一s 。一h ( n ) ) p s 。_ e o h ( n ) ) p ( s 。一s 。一要h ( n ) ) 一+ ( 1 ) ) p s 。c o i l ( n ) p ( s + n i 一魯h ( n - n i ) ) 一矽+ ( 1 ) ) c 由上面的不等式以及f ( r ) - - - ) 0 0 ，r o 。從而有 2 n _ j 1 ( 聆) p ( 1 鼠i - g h ( n ) ) ( m ) p ( 1 氐陲占h ( m ) ) ，1 2 1 i = 1 ；2 n i 主2 n i + ly ) p ( is mlcoh(m)，i)smy 降 ， i = 1m = 2 n i 山 2 c m g t ( m ) i m 斗0 0 t = lm = 2 n 1 這與( 24 ) 矛盾，所以 p ( 邑s 圩( ”) ) 斗0 因此 l i m i ! f f i n f 。p ( 甌一甌一2 9 h ( n ) ) + ( 1 ) - 定理2 3 證畢 定理2 4 的證明 先證( 2 3 ) j ( 2 6 ) 只需驗(yàn)證 釅“( m a x i 最i - 胡( p 弋砌) 鋤， o 根據(jù)定理2 3 ，只要取y ( 胛) = 肝。即可 反之，若( 2 6 ) 成立， j i | j j h ( p 一1 ( 聆) ) 1 置+ 旦寸0 ，門斗0 0 ( 2 1 2 ) 下證 事實(shí)上， p ( i x , 障e h ( i ；o 否則，我們設(shè) p ( 1 玉l s 日( 伊。( ”) ) ) 3 h ( t p l ( n ) ) 、 一 ， 壘尸( 4 1 ) + 尸( 4 ，2 ) 0 n = ln = l p ( 4 1 ) = 。o ，j = l ，2 j 仁i 由丁 z + ) 仍然是n o d 列，根據(jù)引理2 2 由引理2 4 知 這與( 2 1 2 ) 矛盾，從而 結(jié)論得證 p ( 4 5 a j 。) p ( 爿。5 ) p ( a j 。) ，f _ ，i ，- ，= 1 ，2 ，s = l ，2 p ( 1 i ms u p a 。5 ) = 1 ，j = 1 ，2 尸( 1 置j 日( 妒。( n ) ) ) o 。 n = i 參考文獻(xiàn)( r e f e r e n c e s ) 1 l e h m a n n ，e l ( 1 9 6 6 ) s o m ec o n c e p t so f d e p e n d e n c e ，a n n m a t h s t a s i s t 4 3 ：11 3 7 1 1 5 3 【2 s t o u t ，w f ( 1 9 7 4 ) a l m o s ts u r ec o n v e r g e n c e ，n e wy o r k ：a c a d e m i cp r e s s 3 h e r r n d o r f , n ( 19 8 3 ) t h ei n v a r i a n c ep r i n c i p l ef o r 廬一m b c i n gs e q u e n c e s ， z w a h r s c h e i n l i c h k e i t s t h e o r i ev e r wg e b i e t e 6 3 ：9 7 1 0 8 4 4j o a g - d e v ，k f a n dp r o s c h a n ，f ( 1 9 8 3 ) n e g a t i v ea s s o c i a t i o no f r a n d o mv a r i a b l e s w i t ha p p l i c a t i o n s ，a n n s t a s i s t ，11 ：2 8 6 - 2 9 5 5 p e t r o v ，