一個(gè)用來(lái)提供恒定空氣壓力的無(wú)人值守的智能化控制系統(tǒng)的空氣壓縮機(jī)的研究 Lingen Chen Jun Luo Fengrui Sun Chih Wu 摘要 對(duì)多級(jí)壓縮機(jī)的優(yōu)化設(shè)計(jì)模型，本文假設(shè) 固定的流道形狀 以入口和出口的動(dòng)葉絕對(duì)角度，靜葉的絕對(duì)角度和靜葉及每一級(jí)的入口和出口的相對(duì)氣體密度作為設(shè)計(jì)變量，得到壓縮機(jī)基元級(jí)的基本方程和多級(jí)壓縮機(jī)的解析關(guān)系。用數(shù)值實(shí)例來(lái)說(shuō)明多級(jí)壓縮機(jī)的各種參數(shù)對(duì)最優(yōu)性能的影響。 關(guān)鍵詞 軸流壓縮機(jī) 效率 分析關(guān)系 優(yōu)化 1 引言 軸流 式 壓縮機(jī)的設(shè)計(jì)是 工藝技術(shù)的一部分，如果 缺乏準(zhǔn)確的預(yù)測(cè) 將 影響設(shè)計(jì)過(guò)程。至 今 還 沒(méi)有 公認(rèn)的 方法 可使新的設(shè)計(jì)參數(shù)達(dá) 到一個(gè)足夠精 確的值， 通過(guò)應(yīng)用一些 已經(jīng)取得新 進(jìn)展 的 數(shù)值優(yōu)化技術(shù) ， 以 完成 單 級(jí) 和多級(jí)軸流式壓縮機(jī)的設(shè)計(jì)。計(jì)算流體動(dòng)力學(xué)（ CFD） 和 許多更準(zhǔn)確的方法特別是發(fā)展計(jì)算的 CFD技術(shù) ， 已經(jīng)應(yīng)用到許多軸流式壓縮機(jī)的 平面和 三維優(yōu)化設(shè)計(jì)。它仍然是使用一維流 體力學(xué) 理論 用數(shù)值實(shí)例 來(lái)計(jì)算壓縮機(jī)的最佳 設(shè)計(jì)。 Boiko通過(guò)以下 假設(shè)提出了詳細(xì)的數(shù)學(xué)模型 用以 優(yōu)化設(shè)計(jì)單 級(jí) 和多級(jí)軸流渦輪 ： （ 1）固定的軸 向 均勻 速度 分布（ 2）固定流動(dòng)路徑的形狀分布，并獲得了 理想 的優(yōu)化結(jié)果 。 陳林根 等人也采 用了類似的想法 ，通過(guò) 假設(shè)一個(gè)固定的軸向速度分布的優(yōu)化設(shè)計(jì)提出了 設(shè)計(jì) 單級(jí)軸流式壓縮機(jī)一種數(shù)學(xué)模型。在本文 中為優(yōu)化設(shè)計(jì)多級(jí)軸流壓縮機(jī)的模型，提出了假設(shè)一個(gè)固定的流道形狀，以入口和出口的動(dòng)葉絕對(duì)角度，靜葉的絕對(duì)角度和靜葉及每一級(jí)的入口和出口的相對(duì)氣體密度作為設(shè)計(jì)變量，分析 壓縮機(jī)的 每個(gè) 階段之間的 關(guān)系 ， 用數(shù)值實(shí)例來(lái)說(shuō)明多級(jí)壓縮機(jī)的各種參數(shù)對(duì)最優(yōu)性能的影響。 2 基元級(jí)的基本方程 考慮圖 1所示由 n級(jí)組成的軸流壓縮機(jī) , 其某一壓縮過(guò)程焓熵 圖和中間級(jí)的速度三角形見(jiàn)圖 2和圖 3， 相應(yīng)的 中間級(jí)的 具體焓熵圖如圖 4，按一維理論作級(jí)的性能計(jì)算。按一般情況列出軸流壓縮機(jī)中氣體流動(dòng)的能量方程和連續(xù)方程 ,工作流體和 葉 輪的速度 。在不同 級(jí) 的軸向流速不為常數(shù) ，即考慮ijuu,ijcc(ij ) 時(shí)的能量和流量方程。在下列假定下分析軸流壓縮機(jī)的工作 : 相對(duì)于穩(wěn)定回轉(zhuǎn)的動(dòng)葉、靜葉和導(dǎo)向葉片機(jī)構(gòu) , 氣體流動(dòng)是穩(wěn)定的； 流體是 可壓縮、無(wú)黏性和不導(dǎo)熱的； 通過(guò)級(jí)的流體質(zhì)量流量為定值； 在實(shí)際工質(zhì)的情況下 , 壓縮過(guò)程是均勻的； 本級(jí)出口絕對(duì)氣流角為下一級(jí)進(jìn)口角絕對(duì)氣流角； 忽略進(jìn)出口管道的影響。 在每一級(jí)的具體焓如下： j*22 j i 2 ji = 1 /2i i h c （ 1） j*22 j + 1 1 i 2 j + 1i1 /2i i h c （ 2） 第 j 階段的動(dòng)葉和靜葉的焓值損失總額計(jì)算如下： 222r j r j 2 j - 1 2 j - 1 2 j 1 2 j - 1 2 j - 1 2 j - 1 2 j - 1 r j / 2/ 2 / /h w G F u G c t g F （ 3） 222r j s j 2 j 2 j 2 j 2 j s j/ 2 / 1 / 2h c G F c t g （ 4） 其中ri是第 j 階段動(dòng)葉葉片輪廓總損失系數(shù)，sj是第 j 階段靜葉葉片輪廓總損 失的系數(shù)。 圖 1 n級(jí)軸流式壓縮機(jī)的流量路徑。 葉片輪廓損失系數(shù)ri和sj是 工作流體和 葉 片 的 幾何 功能參數(shù) 。 它 們可以使用各種方法 及視作 常量 來(lái) 計(jì)算。當(dāng)ri和sj看做工 作 流體 和葉片的幾何 功能 參數(shù) 時(shí) ，可以使用Ref迭代的方法 來(lái)計(jì)算損失 系數(shù) 。使用迭代方法解決 計(jì)算損失系數(shù) ： （ 1）選擇ri和sj初 始值，然后計(jì)算 各級(jí)的 參數(shù)。 （ 2）計(jì)算的ri，sj值，重復(fù)第一步，直到 計(jì)算值和原值 之間的差異足夠小。 第 j 階段理論 所需 計(jì)算得： j 2 j u , 2 j 2 j - 1 u , 2 j - 1 2 j 2 j 2 j - 1 2 j - 12 j 2 j 2 j - 1 2 j - 1GGh u c u c u c t g u c t gFF （ 5） 第 j 階段實(shí)際所需計(jì)算得： 圖 2 n級(jí)壓縮機(jī)的焓熵圖 圖 3 中間級(jí)的速度三角形 圖 4 中間級(jí)的焓熵圖 2 2 2 22 j - 1 2 j 2 j 2 j - 1rj 22w w u uh （ 6） 基元級(jí)反應(yīng)度定義為rj j/hh。因此有： u , 2 j2 2 2a , 2 j 2 j 2 j - 1ja , 2 j 2 j 2 j - 11112k c t g c t gk k c t g c t g （ 7） 在這里u,ik， a,i 12k i n視作速度系數(shù) ,它們的計(jì)算為 : a , i a , i a , 1 1 1 i i/k c c F F和u,i i 1/k u u j 2*22 j - 1 1 2 j i 2 j 2 j 2 ji = 1 / 1 / 2 0A i i h G F c t g （ 8） j 22 j 1 2 j + 1 i 2 j + 1 2 j 1 2 j + 1i1 / 1 / 2 0A i i h G F c t g （ 9） 3 級(jí)組的數(shù)學(xué)模型 壓縮機(jī)各級(jí)的比壓縮功為 j 1h j n則總的比耗功為 ncjj=1hh ， 各級(jí)的滯止等熵能量頭為 *s,jh，則級(jí)組各級(jí)滯止等熵比壓縮功總和為 n *s,jj=1h，級(jí)組等熵比壓縮功為 *sch, 則 n *s , j z s cj = 1 (1 )hh為壓縮機(jī)的重?zé)嵯禂?shù)。根據(jù)定義 ,多級(jí)壓縮機(jī)通流部分滯止等熵效率為： n* * *s c s c c s c ii = 1/h h h h 求解確定各級(jí)能量頭的分配： n n n*2 n + 1 j Z s c j r s jj = 1 j 1 j 110A h h h h （ 11） 方程式（ 11）同樣可以寫作： 1 2 21 : , 0j A c t g 2 2 3 2 3, , , 0A c t g c t g . 2 j - 1 2 2 j 2 2 j. . . , . . . 0A c t g c t g 2 j 2 2 j 1 2 2 j 1. . . , . . . 0A c t g c t g (12) 2 n 2 2 n 1 2 2 n 1: . . . , . . . 0j n A c t g c t g *2 n 1 2 2 n 1 2 2 n + 1 s c. . . , . . . , 0A c t g c t g h 出于方便，一些參數(shù)簡(jiǎn)化約束計(jì)算做了如下定義： 2 * 2 2 2 2 2j 1 1 1 j j j 1/ 2 1 1 / 1c i c t g y f c t g （ 13） *2u j 1 1 1 u j j j j 1/ 2 1 / 1ju c i k c t g y f c t g （ 14） 2 * 2 2 2j 1 1 u j 1/ 2 1 / 1u i k c t g （ 15） 2 * 2 * * 2 *j 1 j 1 j u j 1 j 1/ 2 / 2 / / 2w i c i u c i u i （ 16） 這里1()1()是氣動(dòng)力函數(shù)， *11/ca 在這里的 *a 是滯止聲速相對(duì)應(yīng)的* 2 *12 ( 1 ) / ( 1 )a i k k ，且 j j 1 1 u j j/ / ( )f F F l k l 是相對(duì)面積， *j j 1/y 是相對(duì)密度， l 是葉片高a,1 1/cu 是流量系數(shù)。 通過(guò) Boiko的論文引 入等熵線系數(shù)，一個(gè)是： 1ijjj i1e x pssR （ 17） 這里 k / k -1i is i/ii （ 18） 因此約束條件也可寫作 j11 u , 2 i 2 i u , 2 i - 1 2 i - 1k - 1 1 - k2 j - 1 2 j 2 j - 1 2i = 1 2 i 2 i 2 i - 1 2 i - 112111k c t g k c t gAyy f y fc t g 2 2j211 2 2 22 j 2 j 111101c t gy f c t g （ 19） j11 u , 2 i 2 i u , 2 i - 1 2 i - 1k - 1 1 - k2 j 2 j + 1 2 j 2i1 2 i 2 i 2 i - 1 2 i 112111k c t g k c t gAyy f y fc t g 2 2 j 1211 2 2 22 j + 1 2 j + 1 111101c t gy f c t g （ 20） n u , 2 i 2 i u , 2 i - 1 2 i - 12 n + 1 1 z S Ci1 2 i 2 i 2 i 1 2 i 11k c t g k c t gA y f y f 1 222n 1 2 i 1u , 2 i - 1 r i22i1 2 i - 1 2 i - 1 2 i - 1 2 i - 112c t gky f y f 122n 22 i s i22i = 12 i 2 i1 102 c t gyf （ 21） 在這里多級(jí)軸流式壓縮機(jī)滯止等 熵線的效率計(jì)算如下： n*s c s c 1 u , 2 i 2 i 2 i 2 i u , 2 i - 1 2 i 1 2 i 1 2 i 1i = 1/ / /k c t g y f k c t g y f （ 22） 這里 *2sc sc 1/hu 是多級(jí)壓縮機(jī)的等熵工作系數(shù)，每一級(jí)的等熵工作系數(shù)是*2si si 2i-1/hu 。 現(xiàn)在的優(yōu)化問(wèn)題是尋找ia和iy的最佳值， 來(lái)找出在方程 （ 1921)約束下的目標(biāo)函數(shù)*sc 的最 大值 。 4 結(jié)論 一旦這些系統(tǒng)和定義的常數(shù)按目標(biāo)實(shí)現(xiàn)自己系統(tǒng)功能，在他最理想的環(huán)境下達(dá)到預(yù)計(jì)函數(shù)最大的程度。其呈現(xiàn)的并非是一個(gè)線性的而是一階梯函數(shù)。 本優(yōu)化模型是（ 2n +1）約束功能和一個(gè) n級(jí)軸流壓縮機(jī)（ 4n + 1）變量的非線性規(guī)劃程序。 例如 改善外部 法或 SUMT法，對(duì)于這樣的問(wèn)題 Powell采用在無(wú)約束極小化技術(shù)與一維最小的拋物線插值方法。人們已 經(jīng)發(fā)現(xiàn)是 非常有作用的。 表 1 各級(jí)相對(duì)面積 級(jí) (i ) 1 2 3 4 5 6 7 相對(duì)面積if1 0.936 0.886 0.809 0.729 0.701 0.647 表 2 原始數(shù)據(jù)和設(shè)計(jì)計(jì)劃 參數(shù) 上限 下限 原始數(shù)據(jù) 最佳數(shù)據(jù) s=0.732 s=0.732 s=0.732 s=0.6 =0.59 =0.59 =0.49 =0.59 1 ()54 90 80.5891 72.6858 74.9116 66.5570 2 ()35 90 49.50 45.00 45.00 45.00 3 ()54 90 84.1338 76.3431 77.55 68.2003 4 ()35 90 49.50 45.00 45.00 45.00 5 ()54 90 66.411 59.7080 69.0582 55.7046 6 ()35 90 49.5418 45.00 45.00 46.6157 7 ()54 90 89.99 90.00 90.99 89.6147 2y0 3 1.089 1.0459 1.0913 1.093 3y0 3 1.148 1.1474 1.1549 1.0798 4y0 3 1.424 1.3970 1.3900 1.2624 5y0 3 1.424 1.4117 1,。 4198 1.2624 6y0 3 1.565 1.5372 1.6091 1.3345 7y0 3 1.618 1.6338 1.6671 1.4450 *sopt 0.9020 0.9050 0.9074 0.8955 5 數(shù)值 計(jì)算 例子 在計(jì)算中， 做u,i 1k ，1 330m/su ， *1 288KT ， 1.4k ， 3n ， 2 8 6 . 9 6 J / ( k g k )R g,z則為 0.04, *sopt為 0.025 和sj為 0.02 的 設(shè)置。表 1 列出了在每個(gè) 級(jí) 的相對(duì) 面積 。應(yīng)當(dāng)指出會(huì)有一些優(yōu) 化目標(biāo)的關(guān)系與這些量綱的影響是工作流體參數(shù)的功能和流動(dòng)路徑的幾何參數(shù) 設(shè)置 。然而，得到的關(guān)系不會(huì)改變 流體 性 質(zhì) 。對(duì)于 3 級(jí)壓縮機(jī)中，有 13 個(gè)設(shè)計(jì)變量和 7 個(gè)約束條件。此外，較低上限約束的 13 個(gè)設(shè)計(jì)變量的值也應(yīng)考慮在計(jì)算中。優(yōu)化變量的上限和下限，原來(lái)的設(shè)計(jì)方案 中 優(yōu)化不同流量系數(shù)和工作系數(shù)的結(jié)果列于表 2。由此可以看出，優(yōu)化程序是有效和實(shí)用 的。 計(jì)算結(jié)果表明，最佳停滯等熵效率是 隨 工作系數(shù)和流量系數(shù)的遞減 而遞減的 函數(shù)。工作系數(shù)影響最佳停滯等熵效率 的作用 大于流量系數(shù)。各值流量系數(shù)和工作系數(shù)，最優(yōu)的最后 一級(jí)輸出絕對(duì) 角度總是 接近 90 。 6 結(jié)論 在本文中在研究固定流形的多級(jí)軸流壓縮機(jī)的效率優(yōu)化中使用一維流體理論研究。根據(jù)壓縮機(jī)普遍特性和特征間關(guān)系。由展示的數(shù)值量其結(jié)果可以為多級(jí)壓縮機(jī)的性能分析和優(yōu)化提供一些指導(dǎo)。這是一個(gè)初步的研究將其不可避免的使用多目標(biāo)數(shù)值優(yōu)化技術(shù)和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法用于分析壓縮機(jī)優(yōu)化。 參考文獻(xiàn)（見(jiàn)原文） 術(shù)語(yǔ) a 聲音速度 (m/s) c 絕對(duì)速度 (m/s) F 過(guò) 流面積 2(m) f 相對(duì)面積 2(m) G 空氣質(zhì)量流量 (kg/s) h 焓 (J/kg) i 焓比 (J/kg) k 速度系數(shù) l 葉片升度 (m) n 級(jí)數(shù) p 壓力 (Pa) R 理想氣體常數(shù) s 特定 熵 (J/(kg/k) T 溫度 (k) u 輪線速度 (m/s) W 相對(duì)速度 (m/s) y 相對(duì)密度 希臘符號(hào) 絕對(duì)氣流角 ,() 相對(duì)氣流解 , () 氣動(dòng)力系數(shù) 效率 流量系數(shù) 熱率 參數(shù) 量綱速度 氣體密度 , 3(kg/m ) 反動(dòng)度 氣動(dòng)力系數(shù) 能量頭系數(shù) 損失系數(shù) 下標(biāo) a 軸向 z 重?zé)嵯禂?shù) cr 臨界 i 第 i 級(jí) j 第 j 階段 opt 理想的 r 動(dòng)葉 s 靜葉 s 等熵過(guò)程 u 切 向速度 1 動(dòng)葉 入口 點(diǎn) 2 動(dòng)葉 的出口 點(diǎn) 3 靜葉出口 點(diǎn) * 滯止參數(shù) Research of an unattended intelligentized control system of air compressor for supplying constant-pressure air Lingen Chen , Jun Luo , Fengrui Sun , Chih Wu Postgraduate School, Naval University of Engineering, Wuhan, 430033, PR China Mechanical Engineering Department, US Naval Academy, Annapolis MN21402, USA Available online 28 November 2007 Abstract A model for the optimal design of a multi-stage compressor, assuming a fixed configuration of the flow-path, is presented.The absolute inlet and exit angles of the rotor, the absolute exit angle of the stator, and the relative gas densities at the inlet and exit stations of the stator, of every stage, are taken as the design variables. Analytical relations of the compressor elemental stage and the multi-stage compressor are obtained. Numerical examples are provided to illustrate the effects of various parameters on the optimal performance of the multi-stage compressor. 2007 Elsevier Ltd. All rights reserved. Keywords: Multi-stage axial-flow compressor； Efficiency； Analytical relation； Optimization 1. Introduction The design of the axial-flow compressor is partially an art. The lack of accurate prediction influences the design process. Until today, there are no methods currently available that permit the prediction of the values of these quantities to a sufficient accuracy for a new design. Some progresses has been achieved via the application of numerical optimization techniques to single- and multi-stage axial-flow compressor design 122.Especially with the development of computational fluid-dynamics (CFD), many more accurate methods of calculating have been presented in many references in which the techniques of CFD have been applied to two- and three-dimensional optimal designs of axial-flow compressors 1720. However, it is still of worthwhile significance to calculate, using one-dimensional flow-theory, the optimal design of compressors. Boiko 23 presented a detailed mathematical model for the optimal design of single- and multi-stage axial-flow turbines by assuming (i) a fixed distribution of axial velocities or (ii) a fixed flow-path shape, and obtained the corresponding optimized results. Using a similar idea, Chen et al. 22 presented a mathematical model for the optimal design of a single-stage axial-flow compressor by assuming a fixed distribution of axial velocities.In this paper, a model for the optimal design of a multi-stage axial-flow compressor, by assuming a fixed flow path shape, is presented. The absolute inlet and exit angles of the rotor, the absolute exit angle of the stator, and the relative gas densities at the inlet and exit stations of the stator, of each stage, are taken as the design variables. Analytical relations of the compressor stage are obtained. Numerical examples are provided to illustrate the effects of various parameters on the optimal performance of the multi-stage compressor 2. Fundamental equations for elemental-stage compressor Consider a n-stage axial-flow compressor see Fig. 1. Fig. 2 shows the specific enthalpyspecific entropy diagram of this compressor. For a n-stage axial-flow compressor, there are (2n + 1) section stations. The stage velocity triangle of an intermediate stage (i.e. jth stage) is shown in Fig. 3. The corresponding specific enthalpyspecific entropy diagram is shown in Fig. 4. The performance calculation of multi-stage compressor is performed using one-dimensional flow theory. The analysis begins with the energy and continuity equations, and the axial-flow velocities of the working fluid and wheel velocities at the different stations in the compressor are not considered as constant, that is, ijuu,ijcc(ij ), where i denotes the ith station and j denotes the jth stage. The major assumptions made in the method are as follows The working fluid flows stably relative to the vanes, stators and rotors, which rotate at a fixed speed. The working fluid is compressible, non-viscous and adiabatic. The mass-flow rate of the working fluid is constant. The compression process is homogeneous in the working fluid. The absolute outlet angle of the working fluid, in jth stage, is equal to the absolute inlet angle of the working fluid in (j+1)th stage. The effects of intake and outlet piping are neglected. The specific enthalpies at every station are as follows j*22 j i 2 ji = 1 /2i i h c （ 1） j*22 j + 1 1 i 2 j + 1i1 /2i i h c （ 2） The total profile losses of the jth stage rotor and the stator are calculated as follows: 222r j r j 2 j - 1 2 j - 1 2 j 1 2 j - 1 2 j - 1 2 j - 1 2 j - 1 r j / 2/ 2 / /h w G F u G c t g F （ 3） 222r j s j 2 j 2 j 2 j 2 j s j/ 2 / 1 / 2h c G F c t g （ 4） Whereriis the total profile loss coefficient of jth stage rotor-blade and sjis that of jth stage-stator blade. Fig. 1. Flow-path of a n-stage axial-flow compressor Fig. 2. Enthalpyentropy diagram of a n-stage compressor Fig. 3. Velocity triangle of an intermediate stage Fig. 4. Enthalpyentropy diagram of an intermediate stage. The blade profile loss-coefficients riand sjare functions of parameters of the working fluid and blade geometry. They can be calculated using various methods and are considered to be constants. When riandsjare functions of the parameters of the working fluid and blade geometry, the loss coefficients can be calculated using the method of Ref. 24, which was employed and described in Ref. 21. The optimization problem can be solved using the iterative method: (1) First, select the original values of riandsjand then calculate the parameters of the stage. (2) Secondly, calculate the values of riand sj, and repeat the first step until the differences between the calculated values and the original ones are small enough. The work required by the jth stage is j 2 j u , 2 j 2 j - 1 u , 2 j - 1 2 j 2 j 2 j - 1 2 j - 12 j 2 j 2 j - 1 2 j - 1GGh u c u c u c t g u c t gFF （ 5） The work required by the jth rotor is: 2 2 2 22 j - 1 2 j 2 j 2 j - 1rj 22w w u uh （ 6） The degree of reaction of the jth stage compressor is defined as rj j/hh . Hence, one has u , 2 j2 2 2a , 2 j 2 j 2 j - 1ja , 2 j 2 j 2 j - 11112k c t g c t gk k c t g c t g （ 7） Whereu,ik， a,i 12k i nare the velocity coefficients, and they are defined as: a , i a , i a , 1 1 1 i i/k c c F Fandu,i i 1/k u uThe constraint conditions can be obtained from the energy-balance equation for the one-dimensional flow j 2*22 j - 1 1 2 j i 2 j 2 j 2 ji = 1 / 1 / 2 0A i i h G F c t g （ 8） j 22 j 1 2 j + 1 i 2 j + 1 2 j 1 2 j + 1i1 / 1 / 2 0A i i h G F c t g （ 9） 3. Mathematical model for the behaviour of the multi-stage compressor The compression work required by each stage is j 1h j n. The total compression work required by the multi-stage compressor is ncjj=1hh . The stagnation isentropic enthalpy rise of every stage is *s,jh. The sum of the stagnation isentropic enthalpy rise of each stage is n *s,jj=1h, while the stagnation isentropic enthalpy rise of the multi-stage compressor is *sch . One has n *s , j z s cj = 1 (1 )hh ,The stagnation isentropic efficiency of the multi-stage axial-flow compressor is n* * *s c s c c s c ii = 1/h h h h （ 10） The total energy-balance of a n-stage compressor gives: n n n*2 n + 1 j Z s c j r s jj = 1 j 1 j 110A h h h h （ 11） Eq. (11) can be rewritten as 1 2 21 : , 0j A c t g 2 2 3 2 3, , , 0A c t g c t g . 2 j - 1 2 2 j 2 2 j. . . , . . . 0A c t g c t g 2 j 2 2 j 1 2 2 j 1. . . , . . . 0A c t g c t g (12) 2 n 2 2 n 1 2 2 n 1: . . . , . . . 0j n A c t g c t g *2 n 1 2 2 n 1 2 2 n + 1 s c. . . , . . . , 0A c t g c t g h For convenience, in order to make the constraints dimensionless, some parameters are defined: 2 * 2 2 2 2 2j 1 1 1 j j j 1/ 2 1 1 / 1c i c t g y f c t g （ 13） *2u j 1 1 1 u j j j j 1/ 2 1 / 1ju c i k c t g y f c t g （ 14） 2 * 2 2 2j 1 1 u j 1/ 2 1 / 1u i k c t g （ 15） 2 * 2 * * 2 *j 1 j 1 j u j 1 j 1/ 2 / 2 / / 2w i c i u c i u i （ 16） Where 1()1()are the aerodynamic functions, and *11/ca , where *a is the stagnation sound velocity and * 2 *12 ( 1 ) / ( 1 )a i k k ，j j 1 1 u j j/ / ( )f F F l k lis the relative area, *j j 1/y is the relative density, where l is the height of the blade, and a,1 1/cu is flow coefficient. Introducing the isentropic coefficient used by Boiko 23, one has 1ijjj i1e x pssR （ 17） Where k / k -1i is i/ii （ 18） Therefore, the constraint conditions can be rewritten as： j11 u , 2 i 2 i u , 2 i - 1 2 i - 1k - 1 1 - k2 j - 1 2 j 2 j - 1 2i = 1 2 i 2 i 2 i - 1 2 i - 112111k c t g k c t gAyy f y fc t g 2 2j211 2 2 22 j 2 j 111101c t gy f c t g （ 19） j11 u , 2 i 2 i u , 2 i - 1 2 i - 1k - 1 1 - k2 j 2 j + 1 2 j 2i1 2 i 2 i 2 i - 1 2 i 112111k c t g k c t gAyy f y fc t g 2 2 j 1211 2 2 22 j + 1 2 j + 1 111101c t gy f c t g （ 20） n u , 2 i 2 i u , 2 i - 1 2 i - 12 n + 1 1 z S Ci1 2 i 2 i 2 i 1 2 i 11k c t g k c t gA y f y f 1 222n 1 2 i 1u , 2 i - 1 r i22i1 2 i - 1 2 i - 1 2 i - 1 2 i - 112c t gky f y f 122n 22 i s i22i = 12 i 2 i1 102 c t gyf （ 21） and th