2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 (山東卷 )2011 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 數(shù)學（文） 解析版 注意事項： 1 答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上并將準考證 號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置，用 2B 鉛筆將答題卡上試卷類型 B 后的方框涂黑。 2 選擇題的作答：每小題選出答案后，用 2B 鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。 如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號。咎在試題卷、草稿紙上無效。 3 填空題和解答題用 0 5 毫米黑色墨水箍字筆將答案直接答在答題卡上對應的答題區(qū) 域內(nèi)。答在試題卷、 草稿紙上無效。 4 考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試 題卷和答題卡一并上交。 第卷（共 60 分） 一、選擇題：本大題共 l0 小題每小題 5分，共 50 分在每小題給出的四個選項中，只 有一項是滿足題目要求的 . 1.設集合 M =x|(x+3)(x-2)0， N =x|1 x 3,則 M N = （ A） 1,2) (B)1,2 (C)( 2,3 (D)2,3 【答案】 A 【解析】因為 | 3 2M x x ，所以 | 1 2M N x x ，故選 A. 2.復數(shù) z=22 ii(i 為虛數(shù)單位 )在復平面內(nèi)對應的點所在象限為 （ A）第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限 【答案】 D 【解析】因為 22 ( 2 ) 3 42 5 5i i iz i ,故復數(shù) z 對應點在第四象限 ,選 D. 3.若點（ a,9）在函數(shù) 3xy 的圖象上，則 tan=6a的值為 （ A） 0 (B) 33(C) 1 (D) 3 【答案】 D 【解析】由題意知 :9=3a ,解得 a =2,所以 2t a n t a n t a n 36 6 3a ,故選 D. 2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 4.曲 線 2 11yx在點 P(1， 12)處的切線與 y 軸交點的縱坐標是 (A)-9 (B)-3 (C)9 (D)15 5.已知 a， b， cR ，命題 “ 若 abc =3，則 2 2 2abc3” ，的否命題是 (A)若 a+b+c3 ，則 2 2 2abc 0)在 區(qū)間 0,3上單調(diào)遞增，在區(qū)間 ,32上單調(diào)遞減，則 = (A)23(B)32(C) 2 (D)3 【答案】 B 【解析】由題意知 ,函數(shù)在3x 處取得最大值 1,所以 1=sin3,故選 B. 7.設變量 x， y 滿足約束條件 2 5 0200xyxyx ，則目標函數(shù)2 3 1z x y 的最大值為 (A)11 (B)10 (C)9 (D)8.5 【答案】 B 【解析】畫出平面區(qū)域表示的可行域如圖所示 ,當直線 2 3 1z x y 平移至點 A(3,1)時 , 目標函數(shù) 2 3 1z x y 取得 最大值為 10,故選 B. 8.某產(chǎn)品的廣告費用 x 與銷售額 y 的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表 2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 根據(jù)上表可得回歸方程 y bx a中的 b 為 9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為 6 萬元時銷售額為 (A)63.6 萬元 (B)65.5 萬元 (C)67.7 萬元 (D)72.0 萬元 【答案】 B 【解析】由表可計算 4 2 3 5 742x , 4 9 2 6 3 9 5 4 424y ,因為點 7( ,42)2在回歸直線 y bx a上 ,且 b 為 9.4， 所以 7 4 2 9 .42 a , 解得 $9.1a ,故 回歸方程 為 9.4 9.1yx, 令 x=6 得 y 65.5,選 B. 9.設 M(0x，0y)為拋物線 C： 2 8xy 上一點， F 為拋物線 C 的焦點，以 F 為圓心、 FM 為半徑的圓和拋物線 C 的準線相交，則0y的取值范圍是 (A)(0， 2) (B)0， 2 (C)(2， +) (D)2 ， +) 【答案】 C 【解析】設圓的半徑為 r,因為 F(0,2)是圓心 , 拋物線 C 的準線 方程為 2y ,由圓與 準線相 切知 4r,因為點 M(0x，0y)為拋物線 C： 2 8xy 上一點， 所以有 2008xy,又點 M(0x，0y)在圓 2 2 2( 2 )x y r ,所以 2 2 200( 2 ) 1 6x y r ,所以 2008 ( 2 ) 1 6yy ,即有 2004 1 2 0yy ,解得0 2y 或0 6y , 又因為0 0y , 所以0 2y , 選 C. 的距離為0 2y , 【解析】因為 1 2 c o s2yx,所以令 1 2 c o s 02yx ,得 1cos4x,此時原函數(shù)是增函2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 數(shù) ；令 1 2 c o s 02yx ,得 1cos4x,此時原函數(shù)是減函數(shù) ,結合余弦函數(shù)圖象，可得選 C正確 . 11.下 圖是長和寬分別相等的兩個矩形給定下列三個命題： 存在三棱柱 ，其正 (主 )視圖、俯視圖如 下 圖； 存在四棱柱，其正 (主 )視圖、俯視圖如 下 圖； 存在圓柱，其正 (主 )視圖、俯視圖如 下 圖其中真命題的個數(shù)是 (A)3 (B)2 (C)1 (D)0 【答案】 A 【解析】對于 ,可以是放倒的三棱柱；容易判斷可以 . 12.設1A，2A，3A，4A是平面直角坐標系中兩兩不同的四 點，若1 3 1 2A A A Auuuuv uuuuv(R) ，1 4 1 2A A A Auuuuv uuuuv(R) ，且 112,則稱3A，4A調(diào)和分割1A，2A,已知點 C(c， o),D(d，O) (c， dR) 調(diào)和分割點 A(0， 0)， B(1， 0)，則下面說法正確的是 (A)C 可能是線段 AB 的中點 (B)D 可能是線段 AB 的中點 (C)C， D 可能同時在線段 AB 上 (D) C， D 不可能同時在線段 AB 的延長線上 【答案】 D 【解析】由 1 3 1 2A A A Auuuuv uuuuv (R) ， 1 4 1 2A A A Auuuuv uuuuv (R) 知 :四點1A，2A，3A，4A在同一條直線上 , 因為 C,D 調(diào)和分割點 A,B,所以 A,B,C,D 四點在同一直線上 ,且112cd, 故選 D. 2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 第 II 卷（共 90 分） 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 4分，共 16分 13.某高校甲、乙、丙、丁四個專業(yè)分別有 150、 150、 400、 300 名學生，為了解學生的就業(yè)傾向，用分層抽樣的方法從該校這四個專業(yè)共抽取 40 名學生進行調(diào)查，應在丙專業(yè)抽取的學生人數(shù)為 . 【答案】 16 【解析】由題意知 ,抽取比例為 3:3:8:6,所以應在丙專業(yè)抽取的學生人數(shù)為 40 820=16. 14.執(zhí)行右圖所示的程序框圖，輸入 l=2， m=3， n=5，則輸出的 y 的值是 【答案】 68 【解析】由輸入 l=2， m=3， n=5，計算得出 y=278,第一次得新的 y=173；第二次得新的 y=680,因為直線 OD 的方程為3myx,所以由22313myxx y 得交點 G 的縱坐標為 22 3Gmym ,又因為213Eny k , Dym ,且 2OG OD OE ，所以 2223 1 3mnmmk,又由（）知 : 1m k ,所以解得 kn ,所以直線 l 的方程為2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 :l y kx k,即有 : ( 1)l y k x,令 1x 得 ,y=0,與實數(shù) k 無關 ,所以直線 l 過定點(-1,0). （ ii）假設點 B ， G 關于 x 軸對稱 ,則有 ABGV 的外接圓的圓心在 x 軸上 ,又在線段 AB 的中垂線上 , 由（ i）知點 G(23(,3m 2 )3mm ,所以點 B(23(,3m 2 )3mm,又因為直線 l 過定點 (-1,0),所以直線 l 的斜率為 2233 13mm km ，又因為 1mk，所以解得 2 1m 或 6，又因為 230m,所以 2 6m 舍去 ,即 2 1n ，此時 k=1， m=1， E 3(,4 1)4， AB 的中垂線為2x+2y+1=0，圓心坐標為 1( ,0)2， G( 3(,2 1)2,圓半徑為 52，圓的方程為 2215()24xy .綜上所述 , 點 B ， G 關于 x 軸對稱 ,此時 ABGV 的外接圓的方程為 2215()24xy . 2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 2011 年普通高等學校全國統(tǒng)一考試（山東卷） 理科數(shù)學 解析版 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的的四個選項中，只有一個項是符合題目要求的。 （ 1）設集合 2 6 0 M x x x ， 1 3N x x ，則 MNI A. 1,2) B. 1,2 C. (2,3 D. 2,3 解析： 3 2 M x x ， 1, 2 )MNI ， 答案應選 A。 （ 2）復數(shù) 2 (2 izii 為虛數(shù)單位）在復平面內(nèi)對應的點所在的象限為 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析： 22 ( 2 ) 3 42 5 5i i iz i 對應的點為 34( , )55在第四象限，答案應選 D. （ 3）若點 ( ,9)a 在函數(shù) 3xy 的圖象上，則 tan6a的值為 A. 0 B. 33C. 1 D. 3 解析： 23 9 3a ， 2a ， t a n t a n 363a，答案應選 D. （ 4）不等式 5 3 1 0xx 的解集是 A. 5,7 B. 4,6 C. ( , 5 7 , ) U D. ( , 4 6 , ) U 解析：當 5x 時，原不等式可化為 2 2 10x ， 解得 6x ；當 35x 時，原不等式可化為 8 10 ，不成立；當 3x 時，原不等式可化為 2 2 10x ，解得 4x .綜上可知 6x ，或 4x ，答 案應選 D。 另解 1：可以作出函數(shù) 53y x x 的圖象，令 5 3 1 0xx =可得 4x = 或 6x ，觀察圖像可得 6x ，或 4x 可使 5 3 1 0xx 成立，答案應選 D。 另解 2：利用絕對值的幾何意義， 53xx 表示實數(shù)軸上的點 x 到點 3x 與 5x 的距離之和，要使點 x 到點 3x 與 5x 的距離之和等于 10，只需 4x = 或 6x ，于是當6x ，或 4x 可使 5 3 1 0xx 成立，答案應選 D。 （ 5）對于函數(shù) ()y f x ， xR ，“ ()y f x 的圖象關于 y 軸對稱”是“ ()y f x 是奇函數(shù)”的 2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 A 充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.即不充分也不必要條件 解析：若 ()y f x 是奇函數(shù)，則 ()y f x 的圖象關于 y 軸對稱；反之不成立，比如偶函數(shù) ()y f x ，滿足 ()y f x 的圖象關于 y 軸對稱，但不一定是奇函數(shù)，答案應選 B。 （ 6）若函數(shù) ( ) s i n ( 0 )f x x在區(qū)間 0, 3上單調(diào)遞增，在區(qū)間 , 32上單調(diào)遞減，則 A. 3 B. 2 C. 32D. 23解析：函數(shù) ( ) s i n ( 0 )f x x在區(qū)間 0, 2上單調(diào)遞增，在區(qū)間 3 , 22上單調(diào)遞減， 則23，即 32，答案應選 C。 另解 1：令 2 , 2 ( )22x k k k Z得函數(shù) ()fx在 22,22kkx 為增函數(shù)，同理可得函數(shù) ()fx在 2 2 3 , 22kkx 為減函數(shù)，則當 0,23k 時符合題意，即 32，答案應選 C。 另解 2：由題意可知當3x 時，函數(shù) ( ) s i n ( 0 )f x x取得極大值，則 )03f ，即 cos 03，即 ()32kk Z，結合選擇項即可得答案應選 C。 另解 3：由題意可知當3x 時，函數(shù) ( ) s i n ( 0 )f x x取得最大值， 則 2 ( )32kk Z， 36 ( )2kk Z，結合選擇項即可得答案應選 C。 （ 7）某產(chǎn)品的廣告費用 x 與銷售額 y 的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表： 廣告費用 x （萬元） 4 2 3 5 銷售額 y （萬元） 49 26 39 54 根據(jù)上表可得回歸方程 y bx a中的 b 為 9.4，據(jù)此模型預報廣告費用為 6 萬元是銷售額為 A.63 .6 萬元 B. 65.5 萬元 C. 67.7 萬元 D. 72.0 萬元 解析：由題意可知 3 .5, 4 2xy，則 $ $4 2 9 . 4 3 . 5 , 9 . 1,aa 9 . 4 6 9 . 1 6 5 . 5y ，答案應選 B。 （ 8）已知雙曲線 22 1 ( 0 , 0 )xy abab 的兩條漸近線均和圓 22: 6 5 0C x y x 相切，且雙曲線的右焦點為圓 C 的圓心，則該雙曲線的方程為 A. 22154xyB. 22145xyC. 22136xyD. 22163xy2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 解析：圓 22: ( 3 ) 4C x y ， 3,c 而 3 2bc ，則 22, 5ba，答案應選 A。 （ 9）函數(shù) 2 sin2xyx的圖象大致是 解析：函數(shù) 2 sin2xyx為奇函數(shù)，且 1 2 c o s2yx ，令 0y 得 1cos4x，由于函數(shù) cosyx 為周 期函數(shù) ，而 當 2x 時， 2 s i n 02xyx ，當 2x 時，2 s i n 02xyx ，則答案應選 C。 （ 10）已知 ()fx是 R 上最小正周期為 2 的周期函數(shù)，且當 02x 時， 3()f x x x，則函數(shù) ()fx的圖象在區(qū)間 0,6 上與 x 軸的交點的個數(shù)為 A.6 B.7 C.8 D.9 解析：當 02x 時 32( ) ( 1 )f x x x x x ，則 (0 ) (1) 0ff，而 ()fx是 R 上最小正周期為 2 的周期函數(shù)，則 ( 2 ) ( 4 ) ( 6 ) ( 0 ) 0f f f f ， ( 3 ) ( 5 ) (1 ) 0f f f ，答案應選 B。 (11)右圖是長和寬分別相等的兩個矩形。給定三個命題： 存在三棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右 圖； 存在四棱柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖； 存在圓柱，其正（主）視圖、俯視圖如右圖。 其中真，命題的個數(shù)是 A.3 B.2 C.1 D.0 解析： 均是正確的，只需底面是等腰直角三角形的直四棱柱， 讓其直角三角形直角邊對應的一個側面平臥；直四棱柱的兩個側面 是正方形或一正四棱柱平躺；圓柱平躺即可使得三個命題為真， 答案選 A。 （ 12）設1 2 3 4, , ,A A A A是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若 1 3 1 2 ()A A A ARuuuur uuuur , 1 4 1 2 ()A A A ARuuuur uuuur ,且 112，則稱 34,AA調(diào)和分割 12,AA，已知平面上的點 ,CD調(diào)和分割點 ,AB，則下面說法正確的是 2 x A. O y 4 2 x B. O y 4 2 x C. O y 4 2 x D. O y 4 正（主）視圖 俯視圖 2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 A. C 可能是線段 AB 的中點 B. D 可能是線段 AB 的中點 C. C,D 可能同時在線段 AB 上 D. C,D 不可能同時在線段 AB 的延長線上 解析：根據(jù)題意可知 112cd，若 C 或 D 是線段 AB 的中點，則 12c，或 12d，矛盾； 若 C,D 可能同時在線段 AB 上，則 0 1, 0 1,cd 則 112cd矛盾，若 C,D 同時在線段AB 的延長線上 ，則 1, 1cd， 1102cd ，故 C,D 不可能同時在線段 AB 的延長線上，答案選 D。 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 4 分，共 16 分。 （ 13）執(zhí)行右圖所示的程序框圖，輸入 2 , 3 , 5l m n ， 則輸出的 y 的值是 。 解析： 1 4 0 6 3 7 5 2 7 8 ,y 2 7 8 1 0 5 1 7 3 , 1 7 3 1 0 5 6 8yy 。 答案應填： 68. （ 14）若 62()ax x 展開式的常數(shù)項為 60， 則常數(shù) a 的值為 。 解析： 62()ax x 的展開式 616 2()k k kkaT C x x 636 ()kkC a x ，令 6 3 0 , 2 ,kk 226 ( ) 1 5 6 0 , 4C a a a ，答案應填： 4. （ 15）設函數(shù) ( ) ( 0 )2xf x xx，觀察： 1 ( ) ( ) 2xf x f x x ，21( ) ( ( ) ) 34xf x f f x x ，32( ) ( ( ) ) 78xf x f f x x ， 43( ) ( ( ) ) 1 5 1 6xf x f f x x ， 根據(jù)上述事實，由歸納推理可得： 當 *nN ，且 2n 時，1( ) ( ( ) )nnf x f f x。 解析：21 22( ) ( ( ) ) ( 2 1 ) 2xf x f f x x ，32 33( ) ( ( ) ) ( 2 1 ) 2xf x f f x x ， 43 44( ) ( ( ) ) ( 2 1 ) 2xf x f f x x ，以此類推可得1( ) ( ( ) ) ( 2 1 ) 2nn nnxf x f f x x 。 開始 輸入非負整數(shù) l， m， n 2 2 2 0l m n 7 0 2 1 1 5y l m n 105y 105y 105yy 輸出 y 結束 2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 答案應填：(2 1) 2nnxx。 16.已知函數(shù) ( ) l o g ( 0 ,af x x x b a 且 1)a 。 當 2 3 4ab 時函數(shù) ()fx的零點為0 ( , 1 ) ( * )x n n n N， 則 n 。 解析：根據(jù) ( 2 ) l o g 2 2 l o g 2 3 0aaf b a ， ( 3 ) l o g 3 2 l o g 3 4 0aaf b a ，而函數(shù) ()fx在 (0, ) 上連續(xù)，單調(diào)遞增，故函數(shù) ()fx的零點在區(qū)間 (2,3) 內(nèi)，故 2n 。答案應填： 2. 三、解答題：本大題共 6 小題，共 74 分。 17.（本小題滿分 12 分） 在 ABC 中，內(nèi)角 ,ABC 的對邊分別為 ,abc，已知 c o s 2 c o s 2c o sA C c aBb， （ ）求 sinsinCA的值；（ ）若 1c o s , 24Bb，求 ABC 的面積 S。 解： （ ）在 ABC 中，由 c o s 2 c o s 2c o sA C c aBb及正弦定理可得 c o s 2 c o s 2 s i n s i nc o s s i nA C C ABB， 即 s i n s i n 2 c o s s i n 2 s i n c o s s i n c o sA B C B C B A B 則 s i n s i n s i n c o s 2 s i n c o s 2 c o s s i nA B A B C B C B s i n ( ) 2 s i n ( )A B C B ，而 A B C ，則 sin 2 sinCA ， 即 sin 2sinCA 。 另解 1：在 ABC 中，由 c o s 2 c o s 2c o sA C c aBb可得 c o s 2 c o s 2 c o s c o sb A b C c B a B 由余弦定理可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 222b c a a b c a c b a c bc a a c ， 整理可得 2ca ，由正弦定理可得 sin 2sin CcAa。 另解 2：利用教材習題結論解題，在 ABC 中有結論 c o s c o s , c o s c o s , c o s c o sa b C c B b c A a C c a B b A . 由 c o s 2 c o s 2c o sA C c aBb可得 c o s 2 c o s 2 c o s c o sb A b C c B a B 即 c o s c o s 2 c o s 2 c o sb A a B c B b C ，則 2ca ， 2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 由正弦定理可得 sin 2sin CcAa。 （ ）由 2ca 及 1c o s , 24Bb可得 2 2 2 2 2 24 2 c o s 4 4 ,c a a c B a a a a 則 1a ， 2c ， S 21 1 1 5s i n 1 2 1 c o s2 2 4a c B B ，即 154S 。 （ 18）（本題滿分 12 分） 紅隊隊員甲、乙、丙與藍隊隊員 A、 B、 C 進行圍棋比賽，甲對 A、乙對 B、丙對C 各一盤。已知甲勝 A、乙勝 B、丙勝 C 的概率分別為 0.6,0.5,0.5.假設各盤比賽結果相互獨立。 （ ）求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率； （ ）用 表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求 的分布列和數(shù)學期望 E 。 解析： （ ）記 甲對 A、乙對 B、丙對 C 各一盤中甲勝 A、乙勝 B、丙勝 C 分別為事件 ,DE F ,則甲不勝 A、乙不勝 B、丙 不勝 C 分別為事件 ,D E F ，根據(jù)各盤比賽結果相互獨立可得 故紅隊至少兩名隊員獲勝的概率為 ( ) ( ) ( ) ( )P P D E F P D E F P D E F P D E F ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P D P E P F P D P E P F P D P E P F P D P E P F 0 . 6 0 . 5 ( 1 0 . 5 ) 0 . 6 ( 1 0 . 5 ) 0 . 5 ( 1 0 . 6 ) 0 . 5 0 . 5 0 . 6 0 . 5 0 . 5 0.55 . （ ）依題意可知 0,1, 2,3 ， ( 0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) (1 0 . 6 ) (1 0 . 5 ) (1 0 . 5 ) 0 . 1P P D E F P D P E P F ； ( 1 ) ( ) ( ) ( )P P D E F P D E F P D E F 0 . 6 ( 1 0 . 5 ) ( 1 0 . 5 ) ( 1 0 . 6 ) 0 . 5 ( 1 0 . 5 ) ( 1 0 . 6 ) ( 1 0 . 5 ) 0 . 5 0 . 3 5 ； ( 2 ) ( ) ( ) ( )P P D E F P D E F P D E F 0 . 6 0 . 5 ( 1 0 . 5 ) ( 1 0 . 6 ) 0 . 5 0 . 5 0 . 6 ( 1 0 . 5 ) 0 . 5 0 . 4 ； ( 3 ) ( ) 0 . 6 0 . 5 0 . 5 0 . 1 5P P D E F .故 的分布列為 0 1 2 3 P 0.1 0.35 0.4 0.15 故 0 0 . 1 1 0 . 3 5 2 0 . 4 3 0 . 1 5 1 . 6E . 2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 19. （ 本小題滿分 12 分） 在如圖所示的幾何體中，四邊形 ABCD 為平行四邊形， 090ACB， EA 平面 ABCD ， /EF AB ， /FG BC ， /EG AC ， 2AB EF （ ）若 M 是線段 AD 的中點，求證： /GM 平面 ABFE ； （ ）若 2A C B C A E，求二面角 A BF C的大小 幾何法： 證明： （ ） /EF AB ， 2AB EF 可知延長 BF 交 AE 于點 P ，而 /FG BC ， /EG AC ， 則 P BF平面 ,B F G C P A E平面 AEGC ，即 P 平面 BFGCI 平面 AEGC GC ， 于是 ,BF CG AE 三線共點， 1/2FG BC，若 M 是線段 AD 的中點 ，而 /AD BC , 則 /FG AM ，四 邊形 AMGF 為平行四邊形，則 /GM AF ，又 GM 平面 ABFE ， 所以 /GM 平面 ABFE ； （ ） 由 EA 平面 ABCD ，作 CH AB ，則 CH 平面 ABFE ，作 HT BF ，連接 CT ，則 CT BF ，于是 CTH 為 二面角 A BF C的平面角。 若 2A C B C A E，設 1AE ，則 2AC BC， 2 2 , 2A B C H， H 為 AB 的中點， 2 2 2t a n222A E A EFBAA B E F A B ， 3s in3FBA， 36s i n 2 33H T B H A B F ，在 Rt CHT 中 t a n 3CHC T H HT , 則 60CTHo ，即 二面角 A BF C的大小 為 60o 。 坐標法： （ ） 證明：由 四邊形 ABCD 為平行四邊形， 090ACB， EA 平面 ABCD ，可得以點 A 為坐標原點， ,AC AD AE 所在直線分別為 ,xyz 建立直角坐標系， 設 = , ,A C a A D b A E c，則 (0,0,0)A , 1( , 0 , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( 0 , , 0 ) , ( , , 0 )2C a D b M b B a b. 由 /EG AC 可得 ()E G A CRuuur uuur ， 1( , , )2G M G E E A A M a b c u u u ur u u ur u uur u u u ur 由 /FG BC 可得 ()F G B C A D Ruuur uuur uuur, 1122G M G F F A A M A D B A E A A D u u ur u u ur u u ur u u u ur u u ur u u ur u u ur u u ur AB CDEF GM2011 年高考數(shù)學試卷解析版 -山東卷文理兩份 1( , (1 ) , )2 a b c ，則 12， 12GM BA EAuuuur uuur uuur，而 GM 平面 ABFE ， 所以 /GM 平面 ABFE ； （ ） （ ）若 2AC BC AE，設 1AE ，則 2AC BC， ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 2 , 2 , 0 ) , ( 1 , 1 , 1 )C E B F,則 ( 0 , 2 , 0 )B C A Duuur uuur , ( 1,1,1)BF uuur , ( 2 , 2 , 0 )AB uuur ,設 1 1 1 1 2 2 2 2( , , ) , ( , , )x y z x y zn = n分別為平面 ABF 與平面 CBF 的法向量。 則 111 1 12 2 00xyx y z ，令1 1x，則111, 0yz，1 (1,1,0)n=； 22 2 2200yx y z ，令2 1x ，則220, 1yz，2 (1, 0,1)n。 于是1212121c o s2 nnn , nnn，則12 60 o