1 3.5 模糊模式識別 模式識別是科學(xué)、工程、經(jīng)濟、社會以至生活中經(jīng)常遇到并要處理的基本問題。這一問題的數(shù)學(xué)模式就是在已知各種標準類型 (數(shù)學(xué)形式化了的類型 )的前提下，判斷識別對象屬于哪個類型？對象也要數(shù)學(xué)形式化，有時數(shù)學(xué)形式化不能做到完整，或者形式化帶有模糊性質(zhì)，此時識別就要運用模糊數(shù)學(xué)方法。 2 在科學(xué)分析與決策中 ， 我們往往需要將搜集到的歷史資料歸納整理 ， 分成若干類型 ， 以便使用管理 。 當我們?nèi)〉揭粋€新的樣本時 ， 把它歸于哪一類呢 ？ 或者它是不是一個新的類型呢 ？ 這就是所謂的模式識別問題 。 在經(jīng)濟分析 ， 預(yù)測與決策中 ， 在知識工程與人工智能領(lǐng)域中 ， 也常常遇到這類問題 。 本節(jié)介紹兩類模式識別的模糊方法 。 一類是元素對標準模糊集的識別問題 點對集 ；另一類是模糊集對標準模糊集的識別問題 集對集 。 3 例 1. 蘋果的分級問題 設(shè)論域 X = 若干蘋果 。蘋果被摘下來后要分級。一般按照蘋果的大小、色澤、有無損傷等特征來分級。于是可以將蘋果分級的標準模型庫規(guī)定為 = 級， 級， 級， 級 ， 顯然，模型 級， 級， 級， 級是模糊的。當果農(nóng)拿到一個蘋果 x0 后，到底應(yīng)將它放到哪個等級的筐里，這就是一個元素（點）對標準模糊集的識別問題。 4 例 2. 醫(yī)生給病人的診斷過程實際上是模糊模型識別過程 。 設(shè)論域 X = 各種疾病的癥候 (稱為癥候群空間 ) 。 各種疾病都有典型的癥狀 ， 由長期臨床積累的經(jīng)驗可得標準模型庫 = 心臟病 ， 胃潰瘍 ， 感冒 ， ，顯然 ， 這些模型 (疾病 )都是模糊的 。 病人向醫(yī)生訴說癥狀 (也是模糊的 )， 由醫(yī)生將病人的癥狀與標準模型庫的模型作比較后下診斷 。 這是一個模糊識別過程 ，也是一個模糊集對標準模糊集的識別問題 。 5 3.5.1 模糊模式識別的直接方法 點對集 1. 問題的數(shù)學(xué)模型 (1) 第一類模型： 設(shè)在論域 X 上有若干模糊集：A1， A2， ， AnF ( X )， 將這些模糊集視為 n 個標準模式， x0 X 是待識別的對象，問 x0 應(yīng)屬于哪個標準模式 Ai ( i =1， 2， ， n ) ? 6 (2) 第二類模型： 設(shè) AF ( X )為標準模式， x1, x2, , xn X 為 n 個待選擇的對象，問最優(yōu)錄選對象是哪一個 xi (i =1， 2， ， n ) ? 7 2. 最大隸屬 (度 )原則 （針對第一類模型） 設(shè) A1， A2， ， AnF ( X )， x0 X 是待識對象，若 Ai 滿足條件 Ai (x0) = max A1(x0)， A2(x0)， ， An(x0) (3.5.1) 則認為 x0 相對隸屬于 Ai。 8 3. 最大隸屬 (度 )原則 （針對第二類模型） 設(shè) AF ( X ) 為標準模式， x1， x2， ， xn X 為待選對象，若 xi 滿足條件 A (xi ) = max A (x1)， A (x2)， ， A (xn) (3.5.2) 則 xi 為最優(yōu)錄選對象 。 9 例 3.5.1 設(shè)有三個三角形的模糊集： I 表示“近似等腰三角形”， R 表示“近似直角三角形”， E 表示“近似正三角形”，它們是論域 X= (A, B, C) | A + B + C =180, A B C 0 上的模糊集，其隸屬函數(shù)規(guī)定如下： 。CACBAEACBARCBBACBAI18011,909011,m i n6011,10 容易驗證，當 A =B 或 B = C 時， I ( A, B, C ) =1； I(120, 60, 0) = 0； 當 A = 90 時， R( A， B， C ) =1； R(180， 0， 0) = 0； 當 A = B = C 時 ， E(60， 60， 60) =1； E(180, 0, 0)=0。這說明以上隸屬函數(shù)在邊界情況下是合理的。 （ 參閱 P48 邊界法 ） 現(xiàn)有一三角形，其三個內(nèi)角分別為 A = 70， B = 60， C = 50， 問這個三角形應(yīng)該算作哪一類三角形 ？ 11 計算 按最大隸屬度原則 ，這個三角形比較接近“近似正三角形” 。889.018020150,60,70,778.09020150,60,70,833.06010150,60,70ERI12 例 3.5.2 癌細胞識別問題。在識別癌細胞時，把細胞分成四個標準類型，即：癌細胞 ( M )，重度核異質(zhì)細胞 ( N )，輕度核異質(zhì)細胞 ( R )， 正常細胞 ( T )。選取表征細胞狀況的七個特征為論域： X = x = ( x1， x2， ， x7), x1：核面積 （ 拍照 ） x2：核周長 x3：細胞面積 x4：細胞周長 x5：核內(nèi)總光密度 x6：核內(nèi)平均光密度 x7：核內(nèi)平均透光率 13 根據(jù)病理知識，反映細胞是否癌變的因素有以下六個，它們都是 X 上的模糊集。 A：核增大， （ x10 為正常核面積） B：核染色增深， C：核漿比例倒置， ,1121101xxxA ,11252xxB ,11213xxC14 D：核內(nèi)染色質(zhì)不均， E：核畸形， F：細胞畸形， （ x30， x40 是正常細胞周長和正常細胞面積） ,lg11267274xxxxD ,41121225xxxE ,112302403246xxxxxF15 上述 1， 2， 3， 4， 5， 6 是可以調(diào)整的參數(shù) 。 由 A， B， ， F 這六個因素模糊集 ， 可以組合成如下細胞識別中的幾個標準模型 （ 模糊集 ） ： M：癌 M = ( A B C (D E ) F ; N： 重度核異質(zhì) N = A B C MC ; R：輕度核異質(zhì) R =A1/2 B1/2 C1/2 MC NC 16 K：正常 K = MC NC RC。 上述定義中的模糊集 A1/2 表示其隸屬函數(shù)為 A1/2(x) = (A(x)1/2, 另外兩個模糊集 B1/2、 C1/2 的隸屬函數(shù)有類似的意義 。 給定一個待識細胞 xX， 可以測出其七個特征值： x1, x2, , x7， 由此計算出 A(x), B(x), , F(x)， 再由此計算出 M(x)、 N(x)、 R(x)、 K(x)， 最后按最大隸屬度原則 可以鑒別它應(yīng)歸屬于 M、 N、 R、 K 中的哪一類 。 17 例 3.5.3 選擇優(yōu)秀考生。設(shè)考試的科目有六門 x1：政治 x2：語文 x3：數(shù)學(xué) x4：理、化 x5：史、地 x6：外語 考生為 y1， y2， ， yn， 組成問題的論域 Y = y1, y2, , yn。 設(shè) A = “優(yōu)秀”，是 Y 上的模糊集， A(yi) 是第 i 個學(xué)生隸屬于優(yōu)秀的程度。給定 A(yi) 的計算方法如下： 18 式中 i =1, 2, , n 是考生的編號， j =1, 2, ,6 是考試科目的編號， j 是第 j 個考試科目的權(quán)重系數(shù)。按照最大隸屬度原則 ， 就可根據(jù)計算出的各考生隸屬于“優(yōu)秀”的程度（隸屬度）來排序。 例如若令 1= 2= 3=1， 4= 5= 0.8， 6= 0.7, 有 四個考生 y1, y2, y3, y4， 其考試成績分別如表 3.4 ,6001 61jijji xyA 19 表 3.4 考生成績表 yi x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 y2 y3 y4 71 85 63 92 63 82 68 89 82 63 95 61 90 84 94 63 85 91 62 87 70 82 70 81 20 則可以計算出 于是這四個考生在“優(yōu)秀”模糊集中的排序為： y2, y4, y1, y3. .6 9 8.06 0 07.4 1 8,6 6 6.06 0 08.3 9 9,7 1 2.06 0 04.4 2 7,6 7 5.06 0 04 0 54321yAyAyAyA21 例： 考慮通貨膨脹問題。設(shè)論域為 R+ = x R| x0，它表示價格指數(shù)的集合，將通貨狀態(tài)分成 5 個類型 （ x 表示物價上漲 x %)： 通貨穩(wěn)定 輕度通貨膨脹 ;5,35e x p,50,1)( 21xxxxA;,510e x p)(22 RxxxA22 中度通貨膨脹 重度通貨膨脹 惡性通貨膨脹 RxxxA23 720e x p)( RxxxA24 730e x p)( .50,1,500,1550e x p)(25xxxxA23 當 x0 = 8 時 ， 即物價上漲率為 8 %， 我們有 ： A1(8) = 0.3679， A2 (8) = 0.8521， A3(8) = 0.0529 A4(8) 0， A5 (8) 0。 此時，通貨狀態(tài)屬于輕度通貨膨脹。 當 x0 = 40 時 ， 即物價上漲率為 40 %， 我們有 ： A1(40) 0， A2 (40 ) 0， A3(40) = 0.0003 A4(40) = 0.1299， A5 (40) = 0.6412。 此時，通貨狀態(tài)屬于惡性通貨膨脹。 24 4. 閾值原則 有時我們要識別的問題，并非是已知若干模糊集求論域中的元素最大隸屬于哪個模糊集（第一類模型），也不是已知一個模糊集，對論域中的若干元素選擇最佳隸屬元素（第二類模型），而是已知一個模糊集，問論域中的元素，能否在某個閾值的限制下隸屬于該模糊集對應(yīng)的概念或事物，這就是閾值原則，該原則的數(shù)學(xué)描述如下： 25 已知 AF ( X )， x X， 給定閾值 0， 1， 若 A(x) , (3.5.3) 則認為 x 隸屬于 A 對應(yīng)的概念或事物。 閾值原則也可以用截集的概念來描述，即 已知 AF ( X )， xX， 給定閾值 0， 1 ， 若有 x A , (3.5.4) 則認為 x 隸屬于 A 對應(yīng)的概念或事物。 26 例 3.5.4 對于例 3.5.1 之三角形識別問題，若給定 1= 0.85， 則因 E (70, 60, 50) = 0.8891， 所以 (70, 60, 50) 可認為屬于“近似正三角形”。 若給定 2= 0.8, 則因 I(70, 60, 50) = 0.8332， E(70, 60,5 0) = 0.889 2， 所以 (70, 60, 50) 可認為既屬于“近似等腰三角形”又屬于“近似正三角形”。 這就是說在模糊集的識別問題中，有時也不是唯一的，也存在著“亦此亦彼”的情況。 27 例 3.5.5 已知 “青年人” 模糊集 Y，其隸屬度規(guī)定為例 3.1.8 的情況，即 對于 x1 = 27 歲及 x2 = 30 歲的人來說，若取閾值 .20025,5251,250,1)(12xxxxY28 1 = 0.7， 則因 Y(27) = 0.862 1， 而 Y(30) = 0.5 2， 而 Y(30) = 0.5 = 2 ， 故認為 27 歲和 30 歲的人都屬于“青年人” 范疇。 29 例 3.5.6 按氣候諺語來預(yù)報地區(qū)冬季的降雪量 內(nèi)蒙古豐鎮(zhèn)地區(qū)流行三條諺語： 夏熱冬雪大 ， 秋霜晚冬雪大 ， 秋分刮西北風(fēng)冬雪大 。 現(xiàn)在根據(jù)三條言語來預(yù)報豐鎮(zhèn)地區(qū)冬季降雪量 。 為描述 “ 夏熱 ” ( A1 )、 ” 秋霜晚 ” ( A2 )、 ” 秋分刮西北風(fēng) ” ( A3 ) 等概念 ， 在氣象現(xiàn)象中提取以下特征： x1：當年 6-7月平均氣溫 ， x2：當年秋季初霜日期 ， x3：當年秋分日的風(fēng)向與正西方的夾角 。 30 于是模糊集 A1、 A2、 A3 的隸屬函數(shù)可分別定義為 其中 是豐鎮(zhèn)地區(qū)若干年 6、 7 月份氣溫的平均值，1 為方差 。實際預(yù)報時取 =19 ， 212=0.98 ,2,2,11111111xxxxxxx1x1x ,0,1222222axaxxA ,0211,12112111xxxA ,2222222axxxaxx31 其中 是若干年秋季初霜日的平均值 ， a2 是經(jīng)驗參數(shù) 。 實際預(yù)報時取 =17 ( 即 9月 17日 )， a2=10（ 即9月 10日 ） 。 取論域 X= x| x = (x1， x2， x3), “冬雪大 ” 可以表示為論域 X上的模糊集 C， 其隸屬函數(shù)為 2x2x .900,c o s,18090,0,270180,s i n,360270,133333333xxxxxxxA32 采用閾值原則，取閾值 =0.8， 測定當年氣候因子 x = (x1， x2， x3)， 計算 C (x)，若 C(x)0.8， 則預(yù)報當年冬季“多雪”，否則預(yù)報“少雪”。 用這一方法對豐鎮(zhèn) 1959-1970 年間的 12 年作了預(yù)報，除 1965 年以外均報隊，歷史擬合率達 11/12。 .332211 xAxAxAxC 33 3.5.2 模糊距離與模糊度 在實際問題中，我們常常要比較兩個模糊集的模糊距離或模糊貼近度，前者反映兩個模糊集的差異程度，后者則表示兩個模糊集相互接近的程度，這是一個事情的兩個方面。如果待識別的對象不是論域 X 中的元素 x，而是模糊集 A，已知的模糊集是 A1, A2, , An，那么問 A 屬于哪個 Ai (i = 1, 2, n)？ 就是另一類模糊模式識別問題 集對集 。解決這個問題，就必須先了解模糊集之間的距離或貼近度。 34 1. 模糊距離 定義 3.5.1 設(shè) A、 B F ( X )。 稱如下定義的 dP(A, B) 為 A 與 B 的 Minkowski (閔可夫斯基 ) 距離 (P1)： ) 當 X = x1, x2, , xn 時 ， ) 當 X = a, b 時 ， )5.5.3(,1,/11 pxBxABAdpnipiip )6.5.3(.1, /1 pdxxBxABAd pbapp35 特別地， p=1 時，稱 d 1(A, B) 為 A 與 B 的 Hamming (海明 ) 距離 。 p=2 時，稱 d2(A, B) 為 A 與 B 的 Euclid (歐幾里德 ) 距離 。 有時為了方便起見，須限制模糊集的距離在 0, 1中，因此定義模糊集的相對距離 dp(A, B) ，相應(yīng)有 (1) 相對 Minkowski 距離 7.5.3,1,/11pnipiip xBxAnBAd 36 (2) 相對 Hamming 距離 8.5.3.1,/1 pbaPp dxxBxAabBAd 9.5.3,1,11 niii xBxAnBAd 10.5.3,1,1 dxxBxAabBAdba 37 (3) 相對 Euclid 距離 11.5.3,1,2/1122 niii xBxAnBAd 12.5.3.1,2/122 badxxBxAabBAd38 有時對于論域中的元素的隸屬度的差別還要考慮到權(quán)重 W(x)0，此時就有加權(quán)的模糊集距離。 一般權(quán)重函數(shù)滿足下述條件： 當 X = x1， x2， ， xn 時，有 當 X = a, b 時，有 加權(quán) Minkowski 距離 定義為 14.5.3.,13.5.3,/1/11pbapPpnipiiipdxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdw ;11niixW .1 dxxWba39 加權(quán) Hamming 距離 定義為 加權(quán) Euclid 距離 定義為 16.5.3.,15.5.3,111dxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdwbaiinii 18.5.3.,17.5.3,2/1222/1122 baniiiidxxBxAxWBAdwxBxAxWBAdw40 例 3.5.7 欲將在 A 地生長良好的某農(nóng)作物移植到 B地或 C 地，問 B、 C 兩地哪里最適宜 ？ 氣溫、濕度、土壤是農(nóng)作物生長的必要條件，因而 A、 B、 C 三地的情況可以表示為論域 X = x1 (氣溫 )， x2 (濕度 )， x3 (土壤 ) 上的模糊集，經(jīng)測定，得三個模糊集為 .5.06.06.0,3.05.09.0,6.04.08.0321321321xxxCxxxBxxxA41 設(shè)權(quán)重系數(shù)為 W = ( 0.5, 0.23, 0.27 )。 計算 A 與 B 及 A 與 C 的加權(quán) Hamming 距離，得 由于 dw1( A, B ) ， 則 .)()()()( xAxAxAxA.)()()()( xAxAxAxA.)()()()( xAxAxAxA48 例 3.5.8 設(shè) A=0.2/x1, 0.8/x2, 0.5/x3, 0.3/x4, 1/x5, 0/x6, 0.9/x7, 0.4/x8， 則有 A =0/x1, 1/x2, 0/x3, 0/x4, 1/x5, 0/x6, 1/x7, 0/x8。 顯然一個模糊集 A 與其最接近的普通集的距離愈遠，則其模糊性愈大， 所以我們就用距離 d(A, A)來定義模糊度。 49 定義 3.5.4 設(shè) AF ( X )， 與 A 最接近的普通集為 A，則 A 的 模糊度 v (A)，定義如下： (1) 離散情況： 19.5.3,)()(2),(215.05.011 niii xAxAnAAdnAv 20.5.3.)()(2),(221215.05.022 niii xAxAnAAdnAv50 (2) 連續(xù)情況： 式中分子取 2，是因為 0 d (A, A) 0.5， 取 2 以后就能保證 0 v (A， A) 1。 22.5.3.22/125.02 badxxAxAabAv 21.5.3,2 5.01 dxxAxAabAv ba 51 (3) 一般情況： 其中常數(shù) k 是為了保證 v(A) 在 0， 1 之間。 ),( 5.0 AAkdAv52 命題 3.5.1 設(shè) AF ( X )，則有 證明： 這里只證結(jié)論對 v1 成立。因為，一方面有 23.5.3.21inixAAnAv ,21,21,1xAxAxAxAxAA 53 另一方面又有 故有 所以 ,21,21,1xAxAxAxAxAxA ,xAxAxAA .22,21111 niiniii xAAnxAxAnAAdnAv 54 對于 v2(A), vp(A) 的情況 (3.5.23) 亦然成立。 推論 證明 ： 因為 所以 .AvAv ,xAAxAA .222111AvxAAnxAAnxAAnAviniiniini55 命題 3.5.2 設(shè) A, B F ( X )， A, BP ( X )， 則對 A、B 有下列性質(zhì) : (3) 已于命題 3.5.1 中已證明。 (1) (2)易證，證明從略。 .,3;2;1xAAxAxAXxBABABABA56 例 3.5.9 由例 3.5.8，我們有 于是 ,/6.0,/1.0,/1,/0,/7.0,/5.0,/2.0,/8.0 87654321 xxxxxxxxA ,/4.0,/1.0,/0,/0,/3.0,/5.0,/2.0,/2.0 87654321 xxxxxxxxAA 4 2 5.08211 inixAAAv 57 若已知 A， B F ( X )， 則對于模糊度 v(A)、 v(B) 我們可以按上述定義求出，我們知道 AB及 A B也是模糊集，那么這兩個模糊集的模糊度是比 A 或 B 的模糊度大還是小 ？ 例 3.5.10 已知 A, B, A, BF (x1, x2, x3)， 可以計算出 AB， AB及相應(yīng)的各模糊集的模糊度如 下 : 58 .66.0,2.06.04.0;60.0,2.07.04.0;53.0,8.06.08.0;40.0,1.03.02.0;60.0,8.03.06.0;46.0,1.06.02.0132113211321132113211321BAvxxxBABvxxxBAvxxxABAvxxxBABvxxxBAvxxxA59 由上可見， AB 的模糊度比 A 及 B 的模糊度小，但 AB 的模糊度又分別比 A 及 B 的模糊度大。對于 A B 的模糊度也有同樣的情況。所以模糊集的交與并的模糊度與原來模糊集的模糊度相比，不能肯定是大些還是小些。 注： 模糊集的大小與其對應(yīng)的模糊度無關(guān)。 60 3. 用 “ 熵 ” 來定義模糊度 以上是 用距離來定義模糊度 。 這一定義 的缺陷是沒有考慮一個模糊集的隸屬度的不均勻的程度 。例如若有一個模糊集 則可計算出 v1(A) = 0.2， 也就是說這個模糊集 A 的模糊度很小 ， 其實這個模糊集是無多大意義的 ， 因為每個元素的隸屬度都很小 。 ,1.01.01.021 nxxxA 61 “熵” 原是一個熱力學(xué)概念，統(tǒng)計物理學(xué)用它來表示分子不規(guī)則運動的程度，信息論中則把它作為隨機變量無約束程度的一種度量。用它來表示模糊度，可以 突出隸屬度的不均勻性 。 設(shè)系統(tǒng)有 n 個狀態(tài)，每個狀態(tài)出現(xiàn)的概率分別為 p1, p2, , pn， 則系統(tǒng)的 “熵” 定義為 25.5.3.ln,121 iniin pppppH 62 由此易知： H = 0 (Hmin)， 當 pr=1， r 1, 2, , n， pi=0， i r, H = lnn (Hmax)， 當 p1= p2= pn= p=1/n 。 若我們用下述公式表示熵 則熵 H 0, 1， 并且有 Hmin= 0， Hmax= 1。 H = 0 的狀態(tài)是系統(tǒng)最不均勻的狀態(tài)，而 H =1 的狀態(tài)則是系統(tǒng)達到平衡的狀態(tài)。 26.5.3,lnln1,121 iniin ppnpppH 63 例 3.5.11 設(shè) 令 于是有 ,15.06.009.07.0654321 xxxxxxA ,61iiiiAxAxAx ,3710,375,376,0,379,377654321xxxxxxAAAAAA64 .89.03710ln3710375ln375376ln376379ln379377ln3776ln1ln6ln1,61621 iAiiAAAAxxxxxH 將 A(xi) 視作 pi ，應(yīng)用 (3.5.26) 式的熵的表示式，就有 65 定義 3.5.5 設(shè) 令 則模糊熵 H 的定義如下： ,2211 nnxxAxxAxxAA 27.5.3,1niiiiAxAxAx 28.5.3.lnlnln1lnln1,1111121iniiniiniiniiiAniiAnAAAxAxAxAxAxAnxxnxxxH 66 定義 3.5.6 用信息論中的 Shannon ( 香農(nóng) ) 函數(shù) S(x) 來定義“熵”。香農(nóng)函數(shù)是 S(x) = x lnx (1 x) ln(1 x)， x (0， 1), 約定 .0lim1,0lim0 10 xSSxSS xx67 設(shè) A =A(xi)/xi | i =1, 2, , n， 以 A(xi) 代入香農(nóng)函數(shù)中的 x，再求和，則模糊集 A 的模糊熵可以如下定義： 29.5.3.lnln2ln12ln111niiiiiniixAxAxAxAnnkxASkAH 取68 注意到熵 H 愈接近 1， 則系統(tǒng)愈接近平衡狀態(tài) ， 對模糊集來說 ， 其模糊性的程度愈??；而當 H 愈接近 0 時 ， 則系統(tǒng)愈不均勻 ，對模糊集來說 ， 其模糊性的程度愈大 。 但是就其本質(zhì)而言 ， 不均勻性 、 不平衡性與模糊性畢竟是不同的概念 ， 所以用 “ 熵 ” 來表示模糊性并非是良策 。 69 定義： v ： F ( X ) 0, 1，若映射 v 滿足以下性質(zhì)，就稱其為 F ( X ) 上的 模糊度 (函數(shù) ) ： (1) 清晰性： v (A) = 0 A P ( X )； (2) 模糊性： v (A) = 1 A(x) = 0.5， x X ； (3) 對稱性： v (A) = v (Ac) ； (4) 單調(diào)性：若對 x X 有 A(x)A(x)0.5 或 A(x)A(x)0.5， 則 v (A)v (A)； (5) 可加性： v (A B) +v (AB) = v (A) +v (B) ， 對于 A F ( X )， v (A) 稱為 A 的模糊度。 70 3.5.3 貼近度 表示兩個模糊集接近程度的度量，稱為貼近度。正如 “距離” 的概念一樣，貼近度也有公理化的數(shù)學(xué)定義。 定義 3.5.7 映射 ： F ( X ) F ( X ) 0, 1 (A, B) (A, B)， 稱為貼近度 (函數(shù) ) ， 如果它滿足條件： 71 ( 1 ): (A, A) =1， (, X) = 0； ( 2 ): (A, B) = (B, A)； ( 3 ): ABCF (X) (A, C) (A, B) (B, C)。 稱 (A, B) 為 A 與 B 的貼近度。若將 ( 1 ) 換為下面的 ( 4 )， 則 稱 為 嚴格 貼近度函數(shù) ， ( 4): (A, B) =1 A = B， 且 (, X) = 0。 72 ( 3): 設(shè) A， B， CF (X)， 若它們滿足 | A(x) C(x)| | A(x) B(x)| ( x X )， 則有 ( A, C ) ( A, B)。 命題 ： ( 3) ( 3 )。 證明 ： 設(shè) A BCF (X)， 則 | A(x) C(x)| | A(x) B(x)| ( x X ) 73 從而 ( A, C ) ( A, B)。 又由 A BCF (X)， 有 | A(x) C(x) | | C(x) B(x)| ( x X ) 從而 ( A, C ) ( B, C )。 故 ( A, C ) ( A, B) ( B, C )。 74 貼近度的形式很多，下面介紹幾種常見的貼近度公式。 1. 用距離定義貼近度 定義 3.5.8 設(shè) d p(A, B) 是 F (X) 上的 Minkowski 距離，用 d p(A, B) 定義貼近度 p(A, B) 如下： 其中 k, 是兩個適當選擇的參數(shù)，使 0 p(A, B) 1 30.5.3,1, BAdkBA p .1,/11 pxBxABAdpnipiip75 若取 k =1, =1， 取相對閔氏距 ，便有 相對 Minkowski 貼近度 ： BAd p , 31.5.3,11,/11pnipiip xBxAnBA 32.5.311,/1 pbapp dxxBxAabBA 76 若分別取相對 Hamming 距離 (p =1) 和相對 Euclid 距離 (p =2) 時，可得 相對 Hamming 貼近度 ： 33.5.3,11,11 niii xBxAnBA 34.5.311,1 badxxBxAabBA77 以及 相對 Euclid 貼近度 ： 容易驗證，上述各式定義的貼近度 均滿足定義 3.5.7 的三條公理 。 36.5.311, 2/122 badxxBxAabBA 35.5.3,11,2/1122 niii xBxAnBA78 2. 用模糊度來表示貼近度 定義 3.5.9 設(shè) A， B F (X) ， xX， 令 (AB) (x)= 稱 為“ 模糊均差 ”。 顯然， ABF (X)， 且 AB1/2。 37.5.3,121 xBxA 79 命題 3.5.3 令 ( A, B) = v1 ( AB)， 則 v1 ( AB) 是 F (X) 上的貼近度。 證明： 驗證 v1 ( AB) 符合定義 3.5.7 的三條公理 (1) (3)。 (1): x X， A F (X) ， 因為 ( AA) (x) = ，故由 (3.5.19) 式可知 ， v1 ( A A) = ( A, A) =1。 80 (2): 因 AB= B A， 故 ( A, B) = ( B, A) 。 (3): 設(shè) | A(x) C(x)| | A(x) B(x)|， 則 ( AC ) (x) ( AB) (x) 1/2 , 從而 ( A, C ) = v1 ( AC ) v1 ( AB) = (A, B) 。 事實上，我們可以很容易地直接驗證。 若采用 (3.5.23) 式定義，則有 81 ( A, B) = v1 ( AB) = | (AB) (xi) (AB) (xi) | = |(AB) (xi) | ( 因為 (AB) (xi) 1/2 ) 這就是 Hamming 貼近度。 nin 12nin 12 niii xBxAn112112 iinixBxAn 12121 niii xBxAn1.1182 3. 用模糊集的內(nèi)積與外積來表示貼近度 定義 3.5.10 設(shè) A， B F (X)， 稱 為 A 與 B 的 內(nèi)積 ，稱 A B= 為 A 與 B 的 外積 。 按上述定義可知，模糊集的內(nèi)積與外積是兩個實數(shù)。 )39.5.3()()( xBxAXx )38.5.3()()( xBxABA Xx 83 若 X =x1, x2, xn， 記 A(xi) = ai， B(xi) = bi， 則 與經(jīng)典數(shù)學(xué)中的向量 a = a1, a2, an 與向量 b = b1, b2, bn 的內(nèi)積 比較，可以看出 AB 與 ab 十分相似，只要把經(jīng)典數(shù)學(xué)中的內(nèi)積運算的加 “ +” 與乘 “ ” 換成邏輯加 “ ” 與邏輯乘 “ ” 運算，就得到 AB。 .1 iinibaBA inii baba 184 若 AF (X)， 記 A 的 “ 高 ” 為 Ah ， A 的 “ 低 ” 為 Ab 即 Ah= A(x) | xX , (3.5.40) Ab= A(x) | xX , (3.5.41) 則 AB = ( AB )h， (3.5.42) A B= ( A B )b。 (3.5.43) 85 為方便起見，我們在閉區(qū)間 0， 1 中定義 “余” 運算：對于任意實數(shù) a 0， 1， 稱 ac =1 a 為 a 的余 。 86 命題 3.5.4 內(nèi)積與外積運算有以下性質(zhì)： (1) ( AB)C=AC BC， ( A B)= AC BC； (2) AB Ah Bh， A B AbBb； (3) AA =Ah， A A = Ab， AAC ， A AC ； (4) 0, 1， 則 (A)B= ( AB)= A (B)； (5) A B 則 AC BC， A C B C 。 87 證明 僅證 (1) 的第一式，第二式類似。 (2) (5)可以根據(jù)內(nèi)積與外積的定義直接驗證。因為 故 ( AB)C 是數(shù)集 1 ( A(x) B(x) | xX 的一個下界 ， 從而 ,1)(11XxxBxAxBxABABAXxC 44.5.3.1 xBxABA XxC 88 以下證明 (3.5.44) 式中只有等號成立。因為，如果有 即 于是 按上確界的定義， x0 X， 使得 ,1)(1 xBxAxBxAXxXx ,1 xBxABA XxC ),(11 xBxAxBxAXxXx 89 即 這與下確界的定義矛盾，因此 (3.5.44) 式只有等式成立，即有 AC BC. xBxAxBxAxBxABACCXxXxXxC111 ),(11 00 xBxAxBxAXx ,1)(1 00 xBxAxBxAXx 90 例 3.5.12 設(shè) X =x1, x2, x3, x4, x5, x6, 則 A B ,6.08.018.06.04.0,4.06.08.018.06.0654321654321xxxxxxBxxxxxxA ,8.06.04.08.06.018.08.016.08.04.06.0BA ,6.06.04.08.06.018.08.016.08.04.06.091 定義 3.5.11 設(shè) A， BF (X)， 稱 L( A， B) = ( AB) ( A B)C (3.5.45) 或 L( A， B) =1/2 ( AB) + ( A B)C (3.5.46) 為用內(nèi)積、外積表示的貼近度 ( 簡稱 內(nèi)、外積貼近度 )。 (3.5.45) 式定義的內(nèi)、外積貼近度又稱為 格貼近度 。 92 注： 這里定義的內(nèi)、外積貼近度僅是一種習(xí)慣稱呼，它們并不滿足貼近度定義 3.5.7 的所有公理 。 事實上定義 (3.5.45) 和定義 (3.5