課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)（四十八） 圓錐曲線中的最值、范圍、證明問題一般難度題全員必做1已知橢圓e：1(ab0)的一個(gè)焦點(diǎn)為f2(1,0)，且該橢圓過(guò)定點(diǎn)m.(1)求橢圓e的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)q(2,0)，過(guò)點(diǎn)f2作直線l與橢圓e交于a，b兩點(diǎn)，且，2，1，以qa，qb為鄰邊作平行四邊形qacb，求對(duì)角線qc長(zhǎng)度的最小值解：(1)由題易知c1，1，又a2b2c2，解得b21，a22，故橢圓e的標(biāo)準(zhǔn)方程為y21.(2)設(shè)直線l：xky1，由得(k22)y22ky10，4k24(k22)8(k21)0.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，則可得y1y2，y1y2.(x1x24，y1y2)，|2|216，由此可知，|2的大小與k2的取值有關(guān)由可得y1y2，(y1y20)從而，由2，1得，從而2，解得0k2.令t，則t，|28t228t1682，當(dāng)t時(shí)，|qc|min2.2(2018河南洛陽(yáng)統(tǒng)考)已知拋物線c：x22py(p0)，過(guò)焦點(diǎn)f的直線交c于a，b兩點(diǎn)，d是拋物線的準(zhǔn)線l與y軸的交點(diǎn)(1)若abl，且abd的面積為1，求拋物線的方程；(2)設(shè)m為ab的中點(diǎn)，過(guò)m作l的垂線，垂足為n.證明：直線an與拋物線相切解：(1)abl，|fd|p，|ab|2p.sabdp21.p1，故拋物線c的方程為x22y.(2)證明：顯然直線ab的斜率存在，設(shè)其方程為ykx，a，b.由消去y整理得，x22kpxp20.x1x22kp，x1x2p2.m(kp，k2p)，n.k an.又x22py，y.拋物線x22py在點(diǎn)a處的切線斜率k.直線an與拋物線相切3(2018合肥模擬)已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的橢圓c，其上一點(diǎn)p到兩個(gè)焦點(diǎn)f1，f2的距離之和為4，離心率為.(1)求橢圓c的方程；(2)若直線ykx1與曲線c交于a，b兩點(diǎn)，求oab面積的取值范圍解：(1)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為1(ab0)，由條件知，解得a2，c，b1，故橢圓c的方程為x21.(2)設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)，由得(k24)x22kx30，故x1x2，x1x2，設(shè)oab的面積為s，由x1x20，yt在t3，)上單調(diào)遞增，t，0，0b0)的右焦點(diǎn)f(1,0)作直線l與橢圓c交于不同的兩點(diǎn)a，b，設(shè)|fa|fb|，t(2,0)(1)求橢圓c的方程；(2)若12，求abt中ab邊上中線長(zhǎng)的取值范圍解：(1)e ，c1，a，b1，即橢圓c的方程為y21.(2)當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，顯然不成立設(shè)直線l：xmy1，a(x1，y1)，b(x2，y2)，聯(lián)立得(m22)y22my10，則y1y2，y1y2，由|fa|fb|，得y1y2，2，m2，又ab邊上的中線長(zhǎng)為 | .2(2018武昌調(diào)研)已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，a(2,0)，b(0,1)是它的兩個(gè)頂點(diǎn)，直線ykx(k0)與直線ab相交于點(diǎn)d，與橢圓相交于e，f兩點(diǎn)(1)若6，求k的值；(2)求四邊形aebf面積的最大值解：(1)由題設(shè)條件可得，橢圓的方程為y21，直線ab的方程為x2y20.設(shè)d(x0，kx0)，e(x1，kx1)，f(x2，kx2)，其中x10)，即k時(shí)，等號(hào)成立故四邊形aebf面積的最大值為2.較高難度題學(xué)霸做1(2018石家莊市質(zhì)量檢測(cè))已知橢圓c：1(ab0)的左、右頂點(diǎn)分別為a，b，且長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8，t為橢圓上任意一點(diǎn)，直線ta，tb的斜率之積為.(1)求橢圓c的方程；(2)設(shè)o為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)m(0,2)的動(dòng)直線與橢圓c交于p，q兩點(diǎn)，求的取值范圍解：(1)設(shè)t(x，y)，由題意知a(4,0)，b(4,0)，設(shè)直線ta的斜率為k1，直線tb的斜率為k2，則k1，k2.由k1k2，得，整理得1.故橢圓c的方程為1.(2)當(dāng)直線pq的斜率存在時(shí)，設(shè)直線pq的方程為ykx2，點(diǎn)p，q的坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，直線pq與橢圓方程聯(lián)立，得消去y，得(4k23)x216kx320.所以x1x2，x1x2.從而，x1x2y1y2x1x2(y12)(y22)2(1k2)x1x22k(x1x2)420.所以20.當(dāng)直線pq的斜率不存在時(shí)，的值為20.綜上，的取值范圍為.2(2018沈陽(yáng)質(zhì)量監(jiān)測(cè))已知橢圓1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為f1，f2，且|f1f2|6，直線ykx與橢圓交于a，b兩點(diǎn)(1)若af1f2的周長(zhǎng)為16，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若k，且a，b，f1，f2四點(diǎn)共圓，求橢圓離心率e的值；(3)在(2)的條件下，設(shè)p(x0，y0)為橢圓上一點(diǎn)，且直線pa的斜率k1(2，1)，試求直線pb的斜率k2的取值范圍解：(1)由題意得c3，根據(jù)2a2c16，得a5.結(jié)合a2b2c2，解得a225，b216.所以橢圓的方程為1.(2)法一：由得x2a2b20.設(shè)a(x1，y1)，b(x2，y2)所以x1x20，x1x2，由ab，f1f2互相平分且共圓，易知，af2bf2，因?yàn)?x13，y1)，(x23，y2)，所以(x13)(x23)y1y2x1x290.即x1x28，所以有8，結(jié)合b29a2，解得a212(a26舍去)，所以離心率e.法二：設(shè)a(x1，y1)，又ab，f1f2互相平分且共圓，所以ab，f1f2是圓的直徑，所以xy9，又由橢圓及直線方程綜合可得：由前兩個(gè)方程解得x8，y1，將其代入第三