橢 圓一.考試必“背”1 橢圓的兩種定義：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于定長的點(diǎn)的軌跡，即點(diǎn)集M=P| |PF1|+|PF2|=2a，2a|F1F2|；（時(shí)為線段，無軌跡）。其中兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫焦點(diǎn)，定點(diǎn)間的距離叫焦距。平面內(nèi)一動點(diǎn)到一個(gè)定點(diǎn)和一定直線的距離的比是小于1的正常數(shù)的點(diǎn)的軌跡，即點(diǎn)集M=P| ，0e1的常數(shù)。（為拋物線；為雙曲線）2 標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)：（ab0）；焦點(diǎn)F1（c，0）， F2（c，0）。其中（一個(gè)）（2）焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)：（ab0）；焦點(diǎn)F1（0，c），F(xiàn)2（0，c）。其中注意：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有ab0，并且橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上；兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1 （A0，B0，AB），當(dāng)AB時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，AB時(shí)焦點(diǎn)在y軸上。3參數(shù)方程 ：橢圓的參數(shù)方程 4.性質(zhì)：對于焦點(diǎn)在x軸上，中心在原點(diǎn)：（ab0）有以下性質(zhì)：坐標(biāo)系下的性質(zhì)： 范圍：|x|a，|y|b； 對稱性：對稱軸方程為x=0，y=0，對稱中心為O（0，0）； 頂點(diǎn)：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b），長軸|A1A2|=2a，短軸|B1B2|=2b；（半長軸長，半短軸長）； 準(zhǔn)線方程：；或 焦半徑公式：P（x0，y0）為橢圓上任一點(diǎn)。|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0；|PF1|=a+ey0，|PF2|=a-ey0;平面幾何性質(zhì)： 離心率：e=（焦距與長軸長之比）；越大越_，是_。 焦準(zhǔn)距；準(zhǔn)線間距二、焦點(diǎn)三角形結(jié)論一：若、是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，且，當(dāng)點(diǎn)P位于_時(shí)最大，cos=_.|PF1|PF2|的最大值為_. 結(jié)論二：過橢圓焦點(diǎn)的所有弦中通徑(垂直于焦點(diǎn)的弦)最短，通徑為_。結(jié)論三：已知橢圓方程為兩焦點(diǎn)分別為設(shè)焦點(diǎn)三角形，則橢圓的離心率。結(jié)論四：四心的軌跡(1)、焦點(diǎn)三角形內(nèi)心的軌跡及其方程(2)、焦點(diǎn)三角形重心的軌跡及其方程：(3)、焦點(diǎn)三角形垂心的軌跡及其方程：(4)、焦點(diǎn)三角形的外心的軌跡及其方程（）三中點(diǎn)弦問題是橢圓的一條弦，中點(diǎn)M坐標(biāo)為，則直線的斜率為 。四弦長問題. (1)斜率為的直線與圓錐曲線相交于兩點(diǎn)，則所得的弦長 或 .(2)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可求出交點(diǎn)的坐標(biāo)，直接運(yùn)算；(3)經(jīng)過圓錐曲線的焦點(diǎn)的弦(也稱為焦點(diǎn)弦)的長度問題，可利用圓錐曲線的定義，將其轉(zhuǎn)化為利用 ，往往比利用弦長公式簡單。五X軸正半軸到橢圓的最短距離問題：已知橢圓，則點(diǎn)(m ，O)到橢圓的最短距離為：_.六過橢圓上點(diǎn)切線問題若在橢圓上，則過的橢圓的切線方程是.習(xí) 題1、已知橢圓方程，橢圓上點(diǎn)M到該橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離是2，N是MF1的中點(diǎn)，O是橢圓的中心，那么線段ON的長是（ ）（A）2（B）4（C）8（D）2點(diǎn)P是橢圓上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，且PF1F2的內(nèi)切圓半徑為1，當(dāng)P在第一象限時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_. 3.（2009年上海卷理）已知、是橢圓（0）的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上一點(diǎn)，且.若的面積為9，則=_.4.（2009北京文）橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P在橢圓上，若，則 ；的大小為 .4已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、F2，點(diǎn)P在橢圓上，若P、F1、F2是一個(gè)直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，則點(diǎn)P到軸的距離為（ ）（A） （B）3 （C） （D）5橢圓的焦點(diǎn)、，點(diǎn)為其上的動點(diǎn)，當(dāng)為鈍角時(shí),點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是_. 。6.橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在X軸上，離心率3/2，橢圓上各點(diǎn)到直線l的最短距離為1，則該橢圓方程是？直線l為x-y+0 7.設(shè)點(diǎn)P（x，y）在橢圓，（1）試求點(diǎn)P到直線的距離d的最大值和最小值。(2) 求x+2y的最小值8已知橢圓的離心率為，過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn)若，則（A）1 （B） （C） （D）29.已知點(diǎn)P是橢圓方程x2/3+y2=1上的動點(diǎn)，M,N是直線L：y=x上的兩個(gè)動點(diǎn)，且滿足|MN|=t，則 （1）存在實(shí)數(shù)t使MNP為正三角形的點(diǎn)僅有一個(gè)（2）存在實(shí)數(shù)t使MNP為正三角形的點(diǎn)僅有兩個(gè)（3）存在實(shí)數(shù)t使MNP為正三角形的點(diǎn)僅有三個(gè)（4）存在實(shí)數(shù)t使MNP為正三角形的點(diǎn)僅有四個(gè)（5）存在實(shí)數(shù)t使MNP為正三角形的點(diǎn)有無數(shù)個(gè)上述命題中正確的序號是_.10.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)A（-1,1）關(guān)于原點(diǎn)O對稱，P是動點(diǎn)，且直線AP與BP的斜率之積等于.()求動點(diǎn)P的軌跡方程；()設(shè)直線AP和BP分別與直線=3交于點(diǎn)M,N，問：是否存在點(diǎn)P使得PAB與PMN的面積相等？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由(探究（面積）)11.（2007四川理）設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn).（）若是該橢圓上的一個(gè)動點(diǎn)，求的最大值和最小值;（）設(shè)過定點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)、，且為銳角（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的斜率的取值范圍.（最值、求取值范圍）12.（本小題共14分）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)（是其左頂點(diǎn)，點(diǎn)在橢圓上，且，（）求橢圓的方程；（）若平行于的直線和橢圓交于兩個(gè)不同點(diǎn)，求面積的最大值，并求此時(shí)直線的方程（最值）13.（2009浙江文）（本題滿分15分）已知拋物線：上一點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為 （I）求與的值； （II）設(shè)拋物線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn)若是的切線，求的最小值SJS14（本題滿分14分） 已知橢圓的離心率為，長軸長為，直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)，（）求橢圓的方程；（）若，且，求的值（點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（）若坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值FT15、（13分）在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)到F1、F2的距離之和是4，點(diǎn)的軌跡與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，不過點(diǎn)的直線：與軌跡交于不同的兩點(diǎn)和（1）求軌跡的方程；（2）當(dāng)時(shí)，求與的關(guān)系，并證明直線過定點(diǎn)（過定點(diǎn)）16.（12分）已知點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，,是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),且滿足.()求橢圓的方程及離心率; ()設(shè)點(diǎn),是橢圓上的兩點(diǎn),直線,的傾斜角互補(bǔ),試判斷直線的斜率是否為定值?并