抽象函數(shù)的對稱性與周期性一、抽象函數(shù)的對稱性 性質1 若函數(shù)yf(x)關于直線xa軸對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(ax)f(ax) （2）f(2ax)f(x) （3）f(2ax)f(x)性質2 若函數(shù)yf(x)關于點（a，0）中心對稱，則以下三個式子成立且等價：（1）f(ax)f(ax) （2）f(2ax)f(x) （3）f(2ax)f(x)易知，yf(x)為偶（或奇）函數(shù)分別為性質1（或2）當a0時的特例。二、復合函數(shù)的奇偶性定義1 若對于定義域內的任一變量x，均有fg(x)fg(x)，則復數(shù)函數(shù)yfg(x)為偶函數(shù)。定義2 若對于定義域內的任一變量x，均有fg(x)fg(x)，則復合函數(shù)yfg(x)為奇函數(shù)。說明：（1）復數(shù)函數(shù)fg(x)為偶函數(shù)，則fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)，復合函數(shù)yfg(x)為奇函數(shù)，則fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)。（2）兩個特例：yf(xa)為偶函數(shù)，則f(xa)f(xa)；yf(xa)為奇函數(shù)，則f(xa)f(ax)（3）yf(xa)為偶（或奇）函數(shù)，等價于單層函數(shù)yf(x)關于直線xa軸對稱（或關于點（a，0）中心對稱）三、復合函數(shù)的對稱性性質3 復合函數(shù)yf(ax)與yf(bx)關于直線x（ba）/2軸對稱性質4 復合函數(shù)yf(ax)與yf(bx)關于點（ba）/2，0）中心對稱證明 性質3： 令（m，n）為yf(ax)上任一點，則nf(am)令bxma，xbma 則（bma，n）為yf(bx)上相應的一點又點（m，n）與點（bma，n）關于直線x軸對稱yf(ax)與yf(bx)關于直線x（ba）/2軸對稱性質4 令（m，n）為yf(ax)上任一點，則nf(am)則（bma，n）為yf(bx)上相應一點點（m，n）與點（bma，n）關于點（(mbma)/2，0）即（(b-a)/2，0）中心對稱yf(ax)與yf(bx)關于點（ba）/2，0）中心對稱推論1 復合函數(shù)yf(ax)與yf(ax)關于y軸軸對稱推論2 復合函數(shù)yf(ax)與yf(ax)關于原點中心對稱四、函數(shù)的周期性若a是非零常數(shù)，若對于函數(shù)yf(x)定義域內的任一變量x點有下列條件之一成立，則函數(shù)yf(x)是周期函數(shù)，且2|a|是它的一個周期。f(xa)f(xa) f(xa)f(x)f(xa)1/f(x) f(xa)1/f(x)五、函數(shù)的對稱性與周期性性質4 若函數(shù)yf(x)同時關于直線xa與xb軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T2|ab|性質5 若函數(shù)yf(x)同時關于點（a，0）與點（b，0）中心對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T2|ab|性質6 若函數(shù)yf(x)既關于點（a，0）中心對稱，又關于直線xb軸對稱，則函數(shù)f(x)必為周期函數(shù)，且T4|ab|下證性質6 f(x)關于點（a，0）中心對稱，f(2ax)f(x)f(x)關于直線xb軸對稱，f(2bx)f(x) f(2ax)f(2bx)令t2ax 則x2at f(t)f(2b2a)tf(t4b4a)f(x)為周期函數(shù)且T4|ab|例題與應用例1 函數(shù)yf(x)是定義在實數(shù)集R上的函數(shù)，那么yf(x4)與yf(6x)的圖象之間（ ） （2002年3X高考預測試題（四月卷）A關于直線x5對稱 B關于直線x1對稱C關于點（5，0）對稱 D關于點（1，0）對稱解：據(jù)復合函數(shù)的對稱性知函數(shù)yf(x4)與yf(6x)之間關于點（64）/2，0）即（1，0）中心對稱，故選D。（原卷錯選為C）例2 設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，其圖象關于x1對稱，證明f(x)是周期函數(shù)。（2001年理工類第22題）證明：f(x)關于x0和x1軸對稱 f(x)為周期函數(shù)且T2例3 設f(x)是（，）上的奇函數(shù)，f(x2)f(x)，當0x1時f(x)x，則f(7.5)等于（ ）（1996年理工類第15題）A0.5 B0.5 C1.5 D1.5解：f(x)f(x2)f(x4)f(x4) f(x)為周期為4的周期函數(shù)f(7.5)f(0.5)f(0.5)0.5，故選B。例4 設f(x)是定義在R上的函數(shù)，且滿足f(10x)f(10x)，f(20x)f(20x)，則f(x)是（ ）A偶函數(shù)，又是周期函數(shù) B偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)C奇函數(shù)，