A題 車燈線光源的最優(yōu)設(shè)計 參賽隊員： 王之元 谷德峰 饒彬 指導(dǎo)老師 ：毛紫陽 學(xué)校： 湖南長沙國防科技大學(xué) 2 A 題 車燈線光源的最優(yōu)設(shè)計 摘 要 車燈線光源的設(shè)計具有很強的實際應(yīng)用意義。該問題屬于單目標(biāo)規(guī)劃中的非線性規(guī)劃問題。本文通過已知條件求出了燈光焦點，以及任一條反射光線的空間解析表達式和對應(yīng)屏上的坐標(biāo)位置表達式。然后建立 光子跟蹤模型 進行求解。光子跟蹤模型的原理是把光線粒 子化，及時跟蹤光子的運行方向，最后以單位面積打到屏上的光子數(shù)來衡量光照度大小，進而反映光強度在屏上的分布規(guī)律。這是一種離散型處理方法，其本質(zhì)是 計算機模擬 。這個模型中基于不同原理又提出了好幾種算法：等 間距光子跟蹤算法，改進的等間距跟蹤算法，等效立體角跟蹤算法和隨機方向跟蹤算法。每一種算法的原理都不一樣，層層遞增，一步比一步深入，并分別作圖進行比較。另外還結(jié)合邊界條件討論了線光源長度的臨界值以及B、 C 兩點光強隨線光源長度變化的規(guī)律。 在進一步討論中，我們分析了光線直射到屏上時的情況，對二次反射的影響也做了分析，進 而證明了問題的合理性。 本文我們得出的結(jié)論是： 滿足功率最小時的燈絲長度為 4.337mm，第二問的答案見下圖，圖的大概形狀是一個心形。 關(guān)鍵詞： 光子跟蹤模型 計算機模擬 3 一、 問題重述與分析： 1、 問題重述 車燈線光源的設(shè)計是一個非常實際的問題。已知車燈的形狀為一旋轉(zhuǎn)拋物面，其開口半徑 36 毫米，深度 21.6毫米。 經(jīng)過車燈的焦點，在與對稱軸相垂直的水平方向，對稱地放置一定長度的均勻分布的線光源。要求在某一設(shè)計規(guī)范標(biāo)準(zhǔn)下確定使光源功率最小的線光源長度 （規(guī)范化要求略，見原題）；并對得到的線光源長度，在有標(biāo)尺的坐標(biāo)系中畫出測試屏上反射光的亮區(qū)和討論該設(shè)計規(guī)范的合理性。 2、 問題分析 顯然在線光源單位長度光通量一定的情況時，要使光源功率最小，線光源的長度也應(yīng)該較小。但線光源的長度太小了，有可能出現(xiàn) C點的光強度小于額定值；線光源的長度過大，雖然能同時滿足 B、 C 兩點光強度的要求，但線光源的功率也增大了。我們的目的就是在 B、 C 兩點光強度滿足題目要求的情況下，求出最小的線光源長度。 另外還要特別注意對“光強度”這一概念的理解，我們認(rèn)為它和物理學(xué)上的“發(fā)光強度”是一 致的。按光度學(xué)中的定義，發(fā)光強度是某一方向上單位立體角內(nèi)所輻射的光通量大小。一般不是用肉眼可以觀察到的，主要的測量儀器是前照燈檢測儀（參看中國汽車檢測網(wǎng) 前照燈檢測）。其構(gòu)件 一般是采用具有把吸收的光能變成電流的光電池元件，按照前照燈主光軸照射光電池產(chǎn)生電流的比例，來測量前照燈的發(fā)光強度 。由于本題中的光源不是點光源，直接求光強度比較困難，我們通過對光照度的測量來近似反映 B、 C 兩點光強度的大小。光照度是單位面積上所接受的光通量的大小，用來衡量被照明表面明暗程度的物理量。 二、 模型假設(shè)： 1、基本假設(shè) （ 1） 光線通過車 燈的前玻璃時能量無損失。 （ 2） 光線在拋物面進行一次反射時，能量考慮成無損失。 （ 3） 不考慮二次反射。 （ 4） 不考慮光的干涉和衍射現(xiàn)象。 （ 5） 截取線光源上很小的一段 dl ，可以看成是在空間呈均勻輻射的點光源。于是線光源可以看成是無窮多個點光源的疊加。 （ 6） 不考慮線光源對反射光能量的阻擋和吸收，即是說線光源不考慮厚度，反射光線可以毫無影響地穿過線光源區(qū)域。 2、 符號說明 h -車燈的深度， h=21.6mm f -車燈的焦距 4 l -線光源的長度 Q -單位長度上線光源的光通量，一個點光源的光通量可以近似記為 Qdl F - 一個點光源的光通量大小 F =Qdl I - 一個點光源的發(fā)光強度 ， I F4 三、 模型建立及求解： 定理 1： 燈泡的焦距 f =15mm 證明：我們以光軸的正方向為 x軸，豎直 方向為 z軸，水平方向 (AC方向 )為 y軸，拋物面的頂點為原點建立空間直角坐標(biāo)系。如圖是拋物面在 z=0時的函數(shù)圖象，設(shè)函 數(shù)為 pxy 22 則焦距 f =2p ，由拋物線的定義 MNMF ，得 6.212)26.21(26.21 2 ppp 解得 p=30,所以 f =15mm。 # 因此曲面方程： xy 602 ， 6.21,0x 作出的圖象見右圖。 5 該模型是一個單目標(biāo)非線性規(guī)劃問題 Min )(lP 其中 K 是某一要求的額定光強度 , EB ,EC 分別表示線光源在 B,C 兩點的光強度 我們的目的就是求出滿足 P 最小的 l 光子跟蹤模型： 本題中線光源可以看成是許多個點光源的疊加，只有焦點處的那個點光源通過拋物面后的反射光線是平行光束。其它點光源的反射光線都不是平行光束，因此射到屏上的總光線分布比較復(fù)雜，難以求出解析表達式。但并不是無規(guī)律所尋，給定了 空間的一個點光源 G(15,y1,0) ，（其中 2,21 lly ），再給定拋物面T: xzy 6022 （ )6.210 x 上的一任點 P(x0,y0,z0),則反射光線就可以根據(jù) y1,x0,y0,z0 這四個參數(shù)唯一確定了。下面我們就根據(jù)光的微觀粒子性結(jié)合反射光線的曲線分布建立光子跟蹤模型。 這一模型的主要思想是把光能粒子化，及時紀(jì)錄每一個“光子”的運動軌跡，判斷最終到達屏上的具體位置。最后把每個小面積區(qū)域內(nèi)的“光子 ”總數(shù)進行疊加，就得到了屏上光通量的分布圖，進而求出光照度和光強度的分布。例如對于點光源 G(15,y1,0) ，（ 2,21 lly ），設(shè)其光通量為 F ，單位時間內(nèi)輻射出的“光子”數(shù)為 M(為提高精度， M 可以取得大一些，如 1000， 000 個 )，則每個光子所帶能量為 F /M（一秒鐘內(nèi)） ,且這些“光子”圍繞 G點在空間是均勻發(fā)射的。一部分“光子”通過燈泡外玻璃殼直接射出（這一部分能量非常小，我們在模型的 進一步討論中將繼續(xù)討論），絕大多數(shù)的“光子”通過拋物面反射一次后射出，還有可能出現(xiàn)“光子”在拋物面反射兩次，在反射第二次時，我們設(shè)想該“光子”就被牢牢的地粘在了拋物面上（這種情況概率也很小，模型改進中將繼續(xù)討論）。通過把線光源選取一定步長 dl做為一個點光源，可以得到 N個點光源 (N= dll),kEkEBC2 6 我們把這 N 個點光源在屏上某一小區(qū)域內(nèi)的光子數(shù)進行求和 ,就可以求得該小區(qū)域內(nèi)的光照度值 我們先分析一下任一個 點光源 G(15,y1,0) ，（ 2,21 lly ）在拋物面上任一點 P(x0,y0,z0)的反射曲線 . 為了直觀的理解我們在平面上做出了大致反射光線圖 ,實際上這些點圖并不是在一個平面上的（見圖 2）。 G是點光源， P是反射點， E是 G點關(guān)于過 P點切平面的鏡面對稱點， PN是反射方向。 由空間解析幾何的知識，我們不難得出 E點坐標(biāo)： x2 15 2 3600 x0 60 y0 2 120 y0 y1 60 z0 23600 4 y0 2 4 z0 2 y2 y1 2 1800 y0 120 x0 y0 4 y0 3 3600 y1 4 y0 z0 2 4 y1 z0 23600 4 y0 2 4 z0 2 z2 2 1800 z0 120 x0 z0 4 y0 2 z0 4 y0 y1 z0 4 z0 33600 4 y0 2 4 z0 2 進而由反射光線 PN 和屏面方程 x=25015 可以求出反射光線打在屏上的坐標(biāo)K(x3,y3,z3),由 7 Mathematica 計算結(jié)果見下表。公式較長，但我 們在用計算機進行模擬時需要用到 y325015y0 y12 1800 y0 120 x0 y0 4 y033600 y1 4y0 z024 y1 z023600 4 y024 z0215 x02 3600 x0 60 y02120 y0 y1 60 z023600 4 y024 z02y0 15 x02 3600 x0 60 y02120 y0 y1 60 z023600 4 y024 z02x0y0 y12 1800 y0 120 x0 y0 4 y033600 y1 4y0 z024 y1 z023600 4 y024 z0215 x02 3600 x0 60 y02120 y0 y1 60 z023600 4 y024 z02,z325015 z02 1800 z0 120 x0 z0 4 y02z0 4 y0 y1 z0 4 z033600 4 y024 z0215 x02 3600 x0 60 y02120 y0 y1 60 z023600 4 y024 z02z0 15 x02 3600 x0 60 y02120 y0 y1 60 z023600 4 y024 z02x0z02 1800 z0 120 x0 z0 4 y02z0 4 y0 y1z0 4 z033600 4 y024 z0215 x02 3600 x0 60 y02120 y0 y1 60 z023600 4 y024 z02,x3 25015 8 數(shù)據(jù)采樣： 下面我們就給出具體做法，首先要進行數(shù)據(jù)采樣，即是說給定一個點光源 G，讓它遍歷拋物面上的所有點。我們遍歷的參數(shù)是和 r ( 36,0r ,0,360degree)。 其中 r 是拋物面上的一點到 x 軸的垂直距離，垂心為 xr是以 xr為圓心， r 為半徑上的圓轉(zhuǎn)過的角度。則拋物面方程化為sincos602rzryrx（如圖 3） 當(dāng)我們的 ， r 定了時，拋物面上一點也定了。 ， r 分別變動很小的 d,dr 時，光線將在拋物面上掃出一個小面積 dS1， 這個面積非常小，我們可以近似的認(rèn)為是一個小平面，光線照射就可以看成是鏡面反射。我們設(shè)想有一個虛擬光源 G, G 是 G 關(guān)于 dS1 的鏡面對稱點 .則從 G 點反射出的光線完全可以等效看成是從 G點直射出的光。設(shè) G點通過 dS1 射到屏上的面積為 dS2,由光度學(xué)的知識可以得到 dS2 上的光照度 E dFdS2 Icosd2 其中 dF 是點光源 G 在 dS1 面上的光通量 ,d 是 G到 dS2 的距離， 是從 G射出 9 光線與 x 軸的夾角。給定點光源 G，給定 ， r 和 d,dr 時，光線在屏上的位置和照度就唯一確定了。 下面我們就建立算法來實現(xiàn)遍歷過程。 1、 等間距光子跟蹤算法 step 1 選定點光源步長 dl,確定點光源個數(shù) N= dll,每個點光源 1秒內(nèi)通過的光子數(shù)為設(shè)為 M=100000, step 2 將吸收屏均勻分割成面積為 ds 許多小正方形 ,記下位置和編號 step 3 選定 d,dr ,分別確定 和 r 的遍歷次數(shù) , N1 36dr , N2 2d ,每次遍歷對應(yīng)的 dS1 通過的光子數(shù)記為相同 step 4 for(I=1;I0 的圖象，）。 由圖可以看出斜率是單調(diào)下降的， x0=0 處斜率最小，但不為 0 ，原因是 y1不等于 0， y1 越大，圖象在 y 軸的截距也將大些。由圖象的單調(diào)性我們可以推知，線光源 長度下界 1l 應(yīng)滿足的臨界條件是點光源 G(15,y1,0)在（ 21.6,-36,0）處的反射光線恰好過 C 點，由于只 考慮了（ 21.6,-36,0）的情況，還應(yīng)該考慮（ 21.6,36,0）點的情況，二者求出的較小一個 2 y1 值就是長度下界 1l 。對于長度上界滿足的鄰界條件剛好相反。臨界條件是點光源 G(15,y1,0)在（ 21.6,36,0）處的反射光線恰好過 C 點 。 經(jīng) 過 解 方 程 計 算 得 到 1.53881 = l /2 =2P 時 ,C 點光照度必滿足 =P; 當(dāng) B 點光照度大于等于 C 點光照度 2 倍時 , 制約額定功率 P 大小的必要條件是 C 點光照度 ,因為 ,當(dāng) C 點光照度滿足 =P 時 ,B 點光照度必滿足 =2P; 我們是在功率一定的條件下對線光源長度進行模擬搜索 ,所得數(shù)據(jù)點經(jīng)過擬合處理后 ,得到上面的兩條曲線 ,當(dāng) L 增大時 ;起初 , B 點光照度大于等于 C 點光照度 2 倍 , B 是制約額定功率 P 大小的主要因素 ,經(jīng)過一段距離后 ,B 點光照度小于等于 C 點光照度 2 倍 , C 成為制約額定功率 P 大小的主要因素 ;綜 合分析得L/2=2.1685 倍附近時 ,得到滿足在功率一定的條件下的最大額定功率條件 ,而原題恰好是一個逆向思維 ,當(dāng)額定功率一定時 ,分析求解滿足最小功率條件的線光源的長度 ,可見 ,這于固定功率 ,求可滿足的最大額定功率是等價的。我們作出了在線光源長度 L=4.337mm 情況下屏上的反射光亮區(qū)（見圖 11），這即是第二問的答案 四、 模型的進一步討論： 前面的模型都是不考慮直射的情況得出來的，實際上射到屏上的一部分光還有來自于燈泡直射的部分。因此嚴(yán)格的說光斑的形狀 還要大些，但也不是圓形，而應(yīng)該接近于橢圓型。只是由于直射部分的能量占的比重太小，看起來還是心型起絕對作用。但這也反映了設(shè)計規(guī)范性的合理問題。 下面我們就來推導(dǎo)一下直射時光照度應(yīng)滿足的規(guī)律 設(shè)點光源 G(15,y1,0) ，所帶光通量為 Qdy1,直射到屏上 AC 方向的坐標(biāo)為M(25015,y3,0) 則該點光源在 M點的光照度為 E I cos d 2 I 25000y3 y1 2 25000 2 32Qdy 14 25000y3 y1 2 25000 2 32 那么線光源在 M 點的光照度就是這些點光源在該點的積分 (y1 2/,2/ ll ) 19 E Ml2l2 Qdy14 25000y3 y1 2 25000 2 32y 1將這一部分光強也考慮進去，我們得到更加合理的線光源長度值 L=4.337mm 這個值比僅考慮反射的情況要稍微大一些。但也可以看出直射光線的能量相對于 反射光線的能量是很小的一部分，近似計算中完全可以不考慮。 另外還需要考慮 2 次反射的情況，可以根據(jù)反射光線與拋物面方程的交點來判別是否出現(xiàn) 2 次反射。如果有兩個交點就會出現(xiàn)二次反射。二次反射在實際生活中一般是有能量損失的。為了設(shè)計更加合理，我們可以對發(fā)生二次反射的光線進行加權(quán)處理，比如我們可以設(shè)所有發(fā)生二次反射的光線能量損失 10%。對本題我們進行模擬求解，得到的 L=4.303mm，這個長度和不考慮二次反射的值完全一樣。我們可 以認(rèn)為幾乎沒有光線發(fā)生二次反射或者說是只有幾