附錄 I 外文文獻(xiàn)翻譯 估計(jì)導(dǎo)致工程幾何分析錯(cuò)誤的一個(gè)正式理論 械工程系，威斯康辛大學(xué)，麥迪遜分校， 2006年 9月 30 日 摘要 ： 幾何分析 是著名的計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) /計(jì)算機(jī)輔助工藝簡(jiǎn)化 “ 小或無(wú)關(guān)特征 ” 在 的程序 ， 如有限元分析 。 然而 ，幾何分析 不可避免地 會(huì)產(chǎn)生 分析錯(cuò)誤 ， 在目前的理論框架實(shí)在不容易量化 。 本文 中，我們 對(duì)快速 計(jì)算 處理這些幾何分析錯(cuò)誤 提供了嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚?。尤?， 我們集中力量解決地方的特點(diǎn)，被 簡(jiǎn)化 的任意形狀和大小的 區(qū)域 。提出的理論 采用 伴隨 矩陣 制定邊值問(wèn)題抵達(dá)嚴(yán)格界限幾何分析性分析錯(cuò)誤。該理論通過(guò)數(shù)值例子說(shuō)明。 關(guān)鍵詞 :幾何分析 ;工程分析 ;誤差估計(jì) ;計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì) /計(jì)算機(jī)輔助 教學(xué) 1. 介紹 機(jī)械 零件 通常包含了許多幾何特征。不過(guò)，在工程分析 中 并不是所有的特 征 都是至關(guān)重要的。以前的分析 中 無(wú)關(guān)特征往往被 忽略 ，從而提高自動(dòng)化及運(yùn)算速度。 舉例來(lái)說(shuō)，考慮一個(gè)剎車轉(zhuǎn)子 ，如圖 1(a)。轉(zhuǎn)子包含 50多個(gè)不同 的特 征 ，但所有這些 特征 并不是都 是 相關(guān)的 。就拿一個(gè)幾何化的 剎車轉(zhuǎn)子 的 熱 量 分析 來(lái)說(shuō)，如圖 1(b)。有限元分析的全功能的模型 如 圖 1(a)， 需要超過(guò) 150,000 度的自由 度 ， 幾何 模型圖 1(b)項(xiàng)要求小于 25， 000個(gè)自由度，從而導(dǎo)致 非常緩慢的 運(yùn)算速度。 圖 1(a)剎車轉(zhuǎn)子 圖 1(b)其 幾何分析 版本 除了提高速度，通常 還能 增加自動(dòng)化水平，這比較容易實(shí)現(xiàn)自動(dòng)化的有限元網(wǎng)格 幾何分析 組成。內(nèi)存要求也 跟著 降低，而 且 條件數(shù)離散系統(tǒng) 將得以 改善 ;后者起著重要作用迭代線性系統(tǒng)。 但是，幾何分析還不是很普及 。 不穩(wěn)定性到底 是 “ 小而 局部 化 ”還是“ 大 而擴(kuò)展化” ，這取決于各種因素。例如， 對(duì)于 一個(gè)熱問(wèn)題，想刪除其中的一個(gè)特 征，不穩(wěn)定性 是 一個(gè)局部問(wèn)題 :(1)凈熱通量邊界的特點(diǎn)是零。 (2)特征簡(jiǎn)化時(shí) 沒(méi)有新的熱源 產(chǎn)生 ; 4對(duì)上述規(guī)則 則 例外。展示這些物理特征被稱為自我平衡。結(jié)果，同樣存在結(jié)構(gòu)上的問(wèn)題。 從幾何分析角度 看 ，如果特征遠(yuǎn)離該 區(qū)域，則 這種自我平衡的特 征可以忽略 。但是，如果功能接近該 區(qū)域我 們必須謹(jǐn)慎，。 從 另一 個(gè)角度看 ，非自我平衡的特 征應(yīng)值得重視 。 這些特征的簡(jiǎn)化 理論上 可以在系統(tǒng)任意位置被施用 ,但是會(huì) 在系統(tǒng)分析 上 構(gòu)成重大的挑戰(zhàn)。 目前，尚無(wú)任何系統(tǒng)性的程序 去 估算幾何分析 對(duì) 上述兩個(gè)案例 的 潛在影響。 這就必須依靠工程判斷和經(jīng)驗(yàn)。 在這篇文章中，我們制定了理論估計(jì)幾何分析影響工程分析自動(dòng)化的 方式 。任意形狀和大小的 形 體 如何 被 簡(jiǎn)化是本文重點(diǎn)要 解決 的 地方。伴隨 矩陣 和單調(diào)分析 這 兩個(gè)數(shù)學(xué)概念被合并成一個(gè)統(tǒng)一的理論來(lái)解決雙方的自我平衡和非 自我平衡的 特點(diǎn)。數(shù)值例子涉及二階證實(shí)他的理論。 本文還包含以 下 內(nèi)容 。第 二節(jié)中 ，我們就幾何分析總結(jié)以往的工作。在第三節(jié)中，我們解決幾何分析引起的錯(cuò)誤分析，并討論了擬議的方法。 第四部分 從數(shù)值試驗(yàn)提供結(jié)果。 第五部分討論如何加快設(shè) 計(jì)開發(fā) 進(jìn)度 。 2. 前期工作 幾何分析過(guò)程可分為三個(gè)階段 : 識(shí)別 :哪些特 征 應(yīng)該 被簡(jiǎn)化； 簡(jiǎn)化： 如何在一個(gè)自動(dòng)化和幾何一致的方式 中簡(jiǎn)化 特征 ； 分析 :簡(jiǎn)化的結(jié)果。 第一 個(gè)階段 的相關(guān)文獻(xiàn)已 經(jīng)很多 。 例如 ，企業(yè)的規(guī)模和相對(duì)位置 這 個(gè)特點(diǎn)，經(jīng)常被用來(lái)作為度量鑒定。此外，也有人提議以有意義的力學(xué)判據(jù)確定這種特征。 自動(dòng)化幾何分析過(guò)程，事實(shí)上，已成熟到一個(gè)商業(yè) 化 幾何分析 的 地步。但我們注意到，這些商業(yè)軟件包 僅 提供一個(gè)純粹的幾何解決。因?yàn)闆](méi)有保證隨后進(jìn)行的分析錯(cuò)誤 ，所以 必須十分 小心使用。另外， 固有 的幾何問(wèn)題依然存在，并且 還在研究當(dāng)中 。 本文的重點(diǎn)是放在第三階段，即 快速 幾何分析 。 建立一個(gè)有系統(tǒng)的方法， 通過(guò)幾何分析引起的誤差 是 可以計(jì)算出來(lái)的。 再分析的 目的是迅速 估計(jì) 改良系統(tǒng) 的 反應(yīng)。其中 最著名的再分析理論 是著名的謝爾曼 對(duì)于 兩種有著相似的網(wǎng)狀結(jié)構(gòu) 和剛度矩陣設(shè)計(jì)， 再分析 這種技術(shù)特別有效 。 然而，過(guò)程幾何分析在網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)的剛度矩陣 會(huì) 導(dǎo)致一個(gè)戲劇性的變化， 這與再分析 技術(shù)不太相關(guān)。 3. 擬議的方法 我們把注意力 放 在這個(gè)文件中的工程問(wèn)題， 標(biāo)量 二階偏微分方程式 ( .).( 許多 工程技術(shù)問(wèn)題，如熱，流體靜磁 等 問(wèn)題，可能 簡(jiǎn)化為 上述 公式 。 作為一個(gè) 說(shuō)明性 例子，考慮散熱問(wèn)題的二維 模 塊 如圖 2所示 。 圖 2二維熱座裝配 熱量 置 列為 半導(dǎo)體裝置 位于 這兩個(gè)地方 都屬于 ，有相同的材料屬性，其余 將 在 后面 討 論。 特別令人感興趣的是數(shù)量，加權(quán)溫度 見圖 2)。一個(gè)時(shí)段，認(rèn)定為 進(jìn) 如圖 2，會(huì)受到抑制，其對(duì) 界的時(shí)段 稱為 余的界線將 稱為 。邊界溫度 假定為零。兩種可能的邊界條件 認(rèn)為是 :(a)固定熱源，即 (t)n=q， (b)有 一定溫度，即 T=種情況會(huì)導(dǎo)致兩種不同幾何分析引起的誤差的結(jié)果。 設(shè) T(x， y)是未知的溫度場(chǎng)和 后，散熱問(wèn)題可以通過(guò)泊松方程式表示 : )1()().)(00).(s l c ts l c ts l c tc o i lc o i E )2(),(),( d e v i c m p u t e d e v i c e 其中 H(x， y)是一些加權(quán)內(nèi)核?，F(xiàn)在考慮的問(wèn)題 是幾何分析簡(jiǎn)化 的插槽是 簡(jiǎn)化 之前分析 ，如圖 3所示 。 圖 3配模塊 現(xiàn)在有一個(gè)不同的邊值問(wèn)題，不同領(lǐng)域 t(x， y): )3(0t 0Q). ( - E c o i ls l o tc o i l (),(),( d e v i d ed e v i c o m p u t t(x， y)已經(jīng)消失了，因?yàn)椴垡呀?jīng)不存在了 （ 關(guān)鍵性變化 ） ! 解決的問(wèn)題是 : 設(shè)定 t(x， y)的值 ，估計(jì) 這是一個(gè) 較難 的問(wèn)題 ，是 我們尚未解決 的 。在這篇文章中，我們將從上限和下限 分析些方向是明確被俘引理 3、 4和 3、 6。至于其余的這一節(jié)，我們將發(fā)展基本概念和理論，建立這兩個(gè) 引理 。值得注意的是，只要它不重疊 ， 定位槽與 相關(guān) 的裝置或熱源沒(méi)有任何限制。上下界 的 陣 方法 我們需要的第一個(gè)概念是，伴隨 矩陣公式表達(dá)法 。應(yīng)用伴隨 矩陣 論點(diǎn)的微分積分方程，包括其應(yīng)用的控制理論，形狀優(yōu)化，拓?fù)鋬?yōu)化等。 我們 對(duì)這一概念歸納如下。 相關(guān)的問(wèn)題都可以定義 為 一個(gè)伴隨 矩陣 的問(wèn)題， 控制 伴隨 矩陣 t_(x， y)，必須符合下列公式計(jì)算 23 : e v i c es l o td e v i c (0).(* 伴隨場(chǎng) t_(x， y)基本上是一個(gè)預(yù)定量，即加權(quán)裝置溫度控制的應(yīng)用熱源。 可以 觀察到，伴隨問(wèn)題的解決是復(fù)雜的原始問(wèn)題 ;控制 方程是相同的 ;這些問(wèn)題就是所謂的自 身伴隨矩陣 。大部分工程技術(shù)問(wèn)題的實(shí)際利益，是自 身伴隨矩陣 ，就很容易計(jì)算伴隨 矩陣 。 另一方面， 在幾何分析 問(wèn)題 中 ，伴隨 矩陣 發(fā)揮著關(guān)鍵作用 。 表現(xiàn)為以下引理綜述 : 引理 知和未知裝置溫度 的 區(qū)別，即 (以歸納為以下的邊界積分比 幾何分析 插槽 : s l o ts l o d e v i c ed e v i c e).)().(*在上述引理 中 有兩點(diǎn)值得注意 : 1、 積分只牽涉到邊界 這是令人鼓舞的?；蛟S，處理剛剛過(guò)去的被 簡(jiǎn)化 信息特點(diǎn)可以計(jì)算誤差。 2、 右 側(cè) 牽涉到的未知 區(qū) 域 T(x， y)的全功能的問(wèn)題。特別是第一 周期 涉及的差異，在正常的梯度，即涉及 n;這是一個(gè)已知數(shù)量邊界條件 t未知狄里克萊條件作出規(guī)定 t另一方面，在第二個(gè) 周 期內(nèi)涉及的差異，在這兩個(gè)領(lǐng)域， 即 T 管 ; 因?yàn)?這是一個(gè)已知數(shù)量 邊界條件 此。 引理 差額 (等式 l o ts l o ts l o td e v i c ed e v i c es l o ts l o ts l o td e v i c ed e v i c *22*).()()().()()().() ) .()(然而，伴隨 矩陣 技術(shù)不能完全消除未知 區(qū) 域 T(x， y)。為了消除 T(x， y)我們把 重點(diǎn)轉(zhuǎn)向單調(diào)分析。 單調(diào)性 分析是由數(shù)學(xué)家在 19世紀(jì)和 20 世紀(jì)前建立的各種邊值問(wèn)題。例如，一個(gè)單調(diào)定理 : 添加幾何約束到一個(gè)結(jié)構(gòu)性問(wèn)題，是指在位移 (某些 )邊 界不減少 。 觀察發(fā)現(xiàn)，上述理論提供了一個(gè)定性的措施 以 解決邊值問(wèn)題。 后來(lái)， 工程師利用 之前的 “ 計(jì)算機(jī)時(shí)代 ” 上限或下限同樣的定理， 解決了 具有挑戰(zhàn)性的問(wèn)題。當(dāng)然， 隨著計(jì)算機(jī)時(shí)代的到來(lái) ， 這些 相當(dāng)復(fù)雜的直接求解 方法已經(jīng)不為人所用 。 但是 ，在當(dāng)前的幾何分析，我們證明這些定理采取更為有力的作用，尤其 應(yīng) 當(dāng)配合使用伴隨理論。 我們現(xiàn)在利用一些單調(diào)定理，以消除上述引理 T(x， y)。遵守先前 規(guī)定 ，右邊是區(qū)別已知和未知的領(lǐng)域，即 T(x， y)-t(x， y)。因此，讓我們?cè)诮缍ㄒ粋€(gè)領(lǐng)域 E(x， y)在區(qū)域?yàn)?: e(x， y)=t(x， y)-t(x， y)。 據(jù) 悉， T(x， y)和 T(x， y)都是明確的界定，所以是 e(x， y)。事實(shí)上，從 公式 (1)和(3)，我們可以推斷， e(x， y)的正式滿足邊值問(wèn)題 : s lo ts lo v e)().)(00).(解決上述問(wèn)題 就能 解決 所有 問(wèn)題 。 但是，如果我們能計(jì)算 區(qū) 域 e(x， y)與正常的坡度超過(guò)插槽，以有效的方式，然后 ( 就 評(píng)價(jià)表示 e(X， Y)的效率，我們現(xiàn)在考慮在上述方程兩種可能的情況 如 (a)及 (b)。 例 (a)邊界條件較第一插槽，審議本案時(shí)槽原本指 定 一 個(gè) 邊界條件。為了估算 e(x， y)，考慮以下問(wèn)題 : )6(,0),(.(22lv e s l o ts l o 討 論域，以上問(wèn)題計(jì)算 較簡(jiǎn)單 。經(jīng)典邊界積分 /邊界元方法可以 引用 。關(guān)鍵是計(jì)算機(jī)領(lǐng)域 e1(x， y)和未知領(lǐng)域的 e(x， y)透過(guò) 引理 兩個(gè)領(lǐng)域 e1(x，y)和 e(x， y)滿足以下單調(diào)關(guān)系 : 222 )(m a x)() s l o ts l o t m e a s u r s l o ts l o 們綜合 在一起，我們有以下結(jié)論引理。 引理 知 的裝置溫度 插槽具有邊界條件，東至以下限額的計(jì)算，只要求 :(1)原始及伴隨場(chǎng) 何分析 域 (2)解決 s l o ts l o td e v i c el o w e rd e v i c ed e v i c e 2* ).().( )(m a x)(,).().(22*s l o ts l o ts l o ts l o td e v i c eu p p e rd e v i c ed e v i c em e as ur l o ，雙方都是獨(dú)立的未知 區(qū) 域 T(x， y)。 例 (b) 插槽 界條件 我們 假定 插槽都維持在定溫 慮任何領(lǐng)域，即包含域 和 插槽。界定一個(gè) 區(qū)域e(x， y)在滿足 : )7(00).(s l o ts l o t ov e 現(xiàn)在建立一個(gè)結(jié)果與 e-(x， y)及 e(x， y)。 引理 s l o ts l o 22 ).().( 注意到，公式 (7)的 計(jì)算較 為簡(jiǎn)單 。這 是 我們最終 要的 結(jié)果。 引理 知 的裝置溫度 插槽有 至以下限額的計(jì)算，只要求 :(1)原始及伴隨場(chǎng) 何分析。 (2) 圍繞插槽解決 失敗 了 的 邊界問(wèn)題， : s l o ts l o ts l o ts l o td e v i c eu p p e rd e v i c ed e v i c es l o ts l o ts l o ts l o td e v i c el o w e rd e v i c ed e v i c 2*22*.)()().(.)()(.(再次觀察這兩個(gè)方向都是獨(dú)立的未知領(lǐng)域 T(x， y)。 4. 數(shù)值例子說(shuō)明 我們的理論發(fā)展，在上一節(jié)中，通過(guò)數(shù)值例子。設(shè) k = 5W/mC, Q = 105 W/m3 = 。 表 1:結(jié)果表 表 1給出了不同時(shí)段的邊界條件。第一裝置溫度欄的共同溫度為所有 幾何分析 模式 (這不取決于插槽邊界條件 及插 槽 幾何分析 )。 接下來(lái) 兩欄的上下界 說(shuō)明引理 后一欄是實(shí)際的裝置溫度所得的全功能模式 (前幾何分析 )，是列在這里比較 前列的 。 在 全部 例子 中，我們可以看到最后一欄則是介于第二和第三 列。 對(duì)于絕緣插槽 來(lái)說(shuō)， 觀察到的各種預(yù)測(cè)為零。不同之處在于這個(gè)事實(shí) :在第一個(gè)例子，一個(gè)零 致一個(gè)自我平衡的特點(diǎn)，因此， 其對(duì)裝置 基本沒(méi)什么影響 。另一方面，有 界條件的插槽結(jié)果在一個(gè)非自我平衡的特點(diǎn)，其缺失可能導(dǎo)致器件溫度 的 大變化在。 不過(guò)，固定非零槽溫度預(yù)測(cè)范圍為 20 度到 0度 。這可以歸因于插槽溫度接近于裝置的溫度，因此，將其刪除少了影響。 的確，人們不難計(jì)算上限和下限的不同 圖 4說(shuō)明了 變化的實(shí)際裝置的溫度和計(jì)算式。 預(yù)測(cè)的上限和下限的實(shí)際溫度裝置 表明理論是正確的 。另外， 跟預(yù)期結(jié)果一樣， 限制槽溫度大約等于裝置的溫度。 5. 快速分析設(shè)計(jì)的情景 我們認(rèn)為對(duì)所提出的理論分析 什么 的設(shè)計(jì)方案，現(xiàn)在有 著 廣泛的影響。研究顯示設(shè)計(jì) 如 圖 5，現(xiàn)在由兩個(gè)具有單一熱量 能源的 器件。 如 預(yù)期 結(jié)果 兩設(shè)備將不會(huì) 有 相同的平均溫度。由于其相對(duì)靠近熱源 ， 該裝置 的 左邊將 處 在一個(gè)較高的溫度，。 圖 4估計(jì)式 圖 5雙熱器座 圖 6正確特征可能性位置 為了消除 這種不平 衡狀況 ，加上一 個(gè) 小孔，固定直徑 ;五個(gè)可能的 位置 見圖 6。兩者的平均溫度在這兩個(gè)地區(qū)最低。 強(qiáng)制 進(jìn)行有限元分析每個(gè)配置。 這是 一個(gè)耗時(shí)的過(guò)程。 另一種方法 是把該 孔 作為一個(gè)特 征 ，并研究其影響，作為后處理步驟。換言之，這是一個(gè)特殊 的“ 幾何分析 ”例子 ，而擬議的方法同樣適用于 這種 情況。我們可以解決原始和伴隨 矩陣 的問(wèn)題，原來(lái)的配置 (無(wú)孔 )和使用的理論發(fā)展在前兩節(jié)學(xué)習(xí)效果加 孔 在每個(gè)位置是我們的目標(biāo)。目的是在平均溫度兩個(gè)裝置最大限度的差異。表 2概括了利用這個(gè)理論和實(shí)際的價(jià)值。 從上表可以看到，位置 為它 有 最低均值預(yù)期目標(biāo)的功能。 附錄 文文獻(xiàn)原文 A 3706, 3 006; 0 006 is a AE or a to as to In we a In we on of of to at on is . to to a 1(a). 0 of a A is 1(b). of 1(a) 50,000 of 1(b) 25,000 to a 1. (a) A (b) an in is an of in it is to of a 1,2. of an in 3. in an of on in a a is (1) on of is 2) no is 4 to 5. a of if of be if to of On of be a no of in of on In we a to of on in an In we on of a to nd to of is as , we on , we . A of on is . . 2. he be in an is of in of a is as a in 2,6. In 1,7. To of 8 a of 9 10 to a 11,12. a to . be no on In 13. of is on to a be We on of is to of a by of in is 14 of of a of 1517. is to 何分析 in a in A is in is of 13, is to An in is is 3. e in to a u by a nd .).( A of as be to A