自動控制原理 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 五章 頻率響應(yīng)法 連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 對 數(shù) 坐 標 圖 對數(shù)頻率特性曲線由對數(shù)幅頻曲線和對數(shù)相頻曲線兩張圖組成，是工程中廣泛使用的一組曲線。它又稱為伯德曲線或伯德圖。 伯德圖表示的頻率特性的主要優(yōu)點： 在研究頻率范圍很寬的頻率特性時，縮小了比例尺，在一張圖上，既畫出了頻率的中、高頻頻率段，有能清楚地畫出其低頻段； 它可以把幅頻特性的乘除運算轉(zhuǎn)換為加減運算，可以大大簡化繪制系統(tǒng)頻率特性的工作。 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 對數(shù)幅頻曲線 對數(shù)相頻曲線 橫坐標按 度，單位為弧度 /秒（ s），縱坐標是將幅頻 A() 取常用對數(shù)并乘以 20，作為縱坐標，用L() 線性分度，單位是分貝 ( 對數(shù)相頻曲線的縱坐標按() 線性分度，單位為度( ),橫坐標按 度，單位為弧度 /秒（ s） ( ) 2 0 l g ( )橫軸坐標原點不能為 0 十倍頻程，用符號 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 典型因子的伯德圖 采用對數(shù)坐標圖的主要優(yōu)點是繪制頻率響應(yīng)曲線比較容易。在一個任意的傳遞函數(shù)中，最常出現(xiàn)的基本因子是： (1) 比例 (子 K (2) 一階因子 (or (3) 積分 (微分因子 (4) 二階因子 (or (5) 滯后因子 (1(1 j )T j ) j ( j ) 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 ！串聯(lián) 2()1()12()1()(比例環(huán)節(jié) 一階微分環(huán)節(jié) 二階微分環(huán)節(jié) 積分環(huán)節(jié) 慣性環(huán)節(jié) 振蕩環(huán)節(jié) 延遲環(huán)節(jié) 純微分環(huán)節(jié) 典型環(huán)節(jié) ( 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 1. 比例因子 K 的水平線，它的相角為 0 。 改變開環(huán)頻率特性表達式中 使開環(huán)對數(shù)幅頻特性升高或降低一個常量，但不影響相角的大小。 顯然，在以 數(shù)與它的倒數(shù)之間只差一個符 號，即 2 0 l g d 自動控制原理 2. 一階因子 一階因子 的對數(shù)幅頻和相頻表達式分別為 1(1 j )T r c t a n)( 其中 當(dāng) 時，略去上式中的 項，則得L()20 21)(1(1 j )T 這表示 L()的低頻漸近線為 0 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 當(dāng) 時，略去式中的 1，則得 可見， L()高頻部分的漸近線是一條斜率為 20dB/輸入信號的頻率每增加十倍頻程時對應(yīng)輸出信號的幅值便下降 20 兩條漸近線相交點的頻率 稱為轉(zhuǎn)折頻率 (轉(zhuǎn)角頻率 ) 。 低通濾波器 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 在高于轉(zhuǎn)折頻率 的一倍頻程處即 最大的幅值誤差產(chǎn)生在轉(zhuǎn)折頻率 處，它近似等于 3是因為 2 0 l g 1 1 2 0 l g 1 3 . 0 3 d B 又如在 處，其誤差為 12 0 l g 1 2 0 l g 1 0 . 9 7 d 122 0 l g 1 2 2 0 l g 2 0 . 9 7 d B 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 由于 與 互為倒數(shù)，因而它們的對數(shù)幅頻和相頻特性只相差一個符號，即有 1(1 j )T 12 0 l g 1 j 2 0 l 1a r g ( 1 j ) a r g ( )1 (1 j )T大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 G(s)= 1 100 G(s)= s+5 10 1 () 00 40 20 20 100 慣性環(huán)節(jié) L() 26o - 30o - 45o - 60o - 90o 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 G(s)= G(s)= (L()0 1 00 40 20 20 100 一階微分環(huán)節(jié) L() 0o +30o + 45o + 60o + 90o +20 +20 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 3. 積分、微分因子 的對數(shù)幅頻和相頻特性的表達式分別為 1( j ) j90)(2 0 l g 1 0 2 0 d B 2 0 l g 因而 是一條斜率為 的直線。 2 0 d B / d e c同理， 的對數(shù)幅值表達式為 j 是一條斜率為 的直線。 因子的相角恒為 90 。 2 0 /d B d e c j大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 ( a ) ( j )- 1的伯德圖 ( b ) j 的伯德圖 由圖可見， 和 伯德圖的差異是兩者幅頻特性的斜率和相角都相差一個符號。在 時它們的對數(shù)幅值都為 0 1/ j j1大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 且在 處， 如果傳遞函數(shù)中含有 的因子，則它的對數(shù)幅頻表達式分別為 ( ( ) 2 0 l g 2 0 l g 2 0 l g( j ) 90)( 是一簇斜率為 的直線 1 KL d ec/v不同斜率的直線通過 01)(大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 積分環(huán)節(jié) L() G(s)= 1 s G(s)= 10 s 1 G(s)= 5s 10 1 () 00 40 20 20 100 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 G(s)= s G(s)= 2s G(s)= 0 1 () 00 40 20 20 100 +20 +20 +20 純微分環(huán)節(jié) L() 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 4. 二階因子 121 2 j ( j ) 221( j )1 j 2其中 。如果 ，那么該二階因子可以用兩個具有實數(shù)極點的一階因子的乘積表示。 1 1如果 ，則該二階因子可以用兩個共軛復(fù)數(shù)因子的乘積表示。對于阻尼比 比較小的二階因子，其頻率響應(yīng)曲線的漸近線近似表示是不精確的。這是因為二階因子的幅值和相角不僅與轉(zhuǎn)角頻率有關(guān)，還于阻尼比 有關(guān)。 10 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 0在低頻時，即 1n在高頻時，即 1n 20)( 2 ( ) 2 0 l g 1 0 d 2222)2()1( 4 0 l g 4 0 l g 1 0 d 因為在 時 n 所以高頻漸近線方程是一條斜率為 40dB/ 高頻漸近線與低頻漸近線在 處相交。這個頻率就是上述二階因子的轉(zhuǎn)折頻率。 n 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 上面導(dǎo)出的兩條漸近線都是與 值無關(guān)的。然而當(dāng)頻率接近 時，將會產(chǎn)生諧振峰值。阻尼比 確定了諧振峰值的大小。顯然，當(dāng)用漸近直線來近似表示時，必然產(chǎn)生誤差。誤差的大小與 值有關(guān)。 n 值越小，對數(shù)幅頻曲線的峰值就越大，它們漸近線之間的誤差也就越大。 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 221( j )1 j 2在什么條件下，其幅值會有峰值出現(xiàn)，這個峰值和相應(yīng)的頻率應(yīng)如何計算。 22221( j )(1 ) ( 2 )2222)2()1()( 如果 在某一頻率上具有峰值時，則該頻率稱為 諧振頻率 。因為 的分子為常數(shù)，所以當(dāng) 達到最小值時， 將達到峰值。 ( j )G ( j )G )(g( j )G 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 22 2 2222( 1 2 )( ) 4 ( 1 ) 2222)2()1()( 所以 的最小值發(fā)生在 處。因此，諧振頻率為 )(g 212n 212 7 0 21 0 0 . 7 0 721 ，當(dāng) 時，不產(chǎn)生諧波峰值。 當(dāng) 趨近于零時， 。 自動控制原理 二階因子的相頻特性表達式為 相角 是 和 的函數(shù)。當(dāng) =0時，相角等于 0 ； 而 =管 值的大小相角總是等于 90 。 當(dāng) 時，相角等于 180 。 由于因子 與上述振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性互為倒數(shù)關(guān)系，因而它們的對數(shù)幅值和相角與上述的震蕩環(huán)節(jié)都只差一個符號。 222/( ) a r c t a 21 2 ( j )大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 振蕩環(huán)節(jié) L() 10 1 () 00 40 20 20 100 2222大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 5. 滯后因子 j( j ) e 1G )(滯后因子的幅頻和相頻表達式分別為 由此可知，它的對數(shù)幅頻特性為一條 0相角 與頻率 呈線性關(guān)系。 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 繪制開環(huán)系統(tǒng)伯德圖的一般步驟 設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 )()()()( 21 n則其對應(yīng)的對數(shù)幅頻和相頻特性分別為 1212( ) 2 0 l g ( j ) 2 0 l g ( j ) 2 0 l g ( j )( ) a r g ( j ) a r g ( j ) a r g ( j ) G G 要作出 所含各因子的對數(shù)幅頻和相頻特性曲線，然后對它們分別進行代數(shù)相加，就能畫出開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖。顯然，這樣做既不便捷又浪費時間。 ( j )G 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 為此，工程上常用下述方法，直接畫出開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖，其步驟如下： (1)寫出開環(huán)頻率特性的表達式，把其所含各因子的轉(zhuǎn)折頻率由小到大依次標在頻率軸上。 (2)繪制開環(huán)對數(shù)幅頻曲線的漸近線。漸近線由若干條分段直線組成，其低頻段的斜率為 ，其中 處， 。以低頻段作為分段直線的起始段，從它開始，沿著頻率增大的方向，每遇到一個轉(zhuǎn)折頻率就改變一次分段直線的斜率。 2 0 d B / d e KL 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 如遇到 因子的轉(zhuǎn)折頻率 ，當(dāng) 時，分段直線斜率的變化量為 ；如遇到 因子的轉(zhuǎn)折頻率 ，當(dāng) 時，分段直線斜率的變化量為 ，其他因子用類似的方法處理。分段直線最后一段是開環(huán)對數(shù)幅頻曲線的高頻漸近線，其斜率為 。 (3) 作出以分段直線表示的漸近線后，如果需要，再按照各典型因子的誤差曲線對相應(yīng)的分段直線進行修正，就可得到實際的對數(shù)幅頻特性曲線。 (4) 作相頻特性曲線。根據(jù)開環(huán)相頻特性的表達式，在低頻，中頻及高頻區(qū)域中各選擇若干個頻率進行計算，然后連成曲線。 11(1 j )T 1/1 d B / d e c11 T2(1 j )T 2/1 2 0 d B / d e c2 0 ( ) d B / d e 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 例 5已知一反饋控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試繪制開環(huán)系統(tǒng)的伯德圖 (幅頻特性用分段直線表示 )。 )0)()(1 0 1 j )j 1 解： 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 由此可知，該系統(tǒng)是由比例、積分、一階比例微分和慣性環(huán)節(jié)所組成。 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 它的對數(shù)幅頻特性為 22101 10a r c t a r c t a 1 d B / d e c12 0 l g 1 0 2 0 d B22 0 d B / d e c 4 0 d B / d e c104 0 d B / d e c2 0 d B / d e c大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 )s(s)s(.)s(s / ( L 10 0 40 60 20 +20 60 20 60 連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 最小相位系統(tǒng)與非最小相位系統(tǒng) 凡在右半 為非最小相位系統(tǒng)。反之為最小相位系統(tǒng)。 定義 : 對于最小相位系統(tǒng)，根據(jù)系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性就可以 唯一地 確定相應(yīng)的相頻特性和傳遞函數(shù)。因此，從系統(tǒng)建模與分析設(shè)計的角度看，只要繪出系統(tǒng)的幅頻特性，就可以確定出系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型（傳遞函數(shù)）。 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 通過一個例子說明這兩種系統(tǒng)相頻特性的差異。 設(shè)有 a和 們的傳遞函數(shù)分別為 11)(120 它們的零點一個在個在 ( a ) ( b ) 這兩個系統(tǒng)的極點完全相同，且位于 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 它們的頻率特性分別為 21211j( j )1j )1由于 ，所以兩個系統(tǒng)的幅頻特性完全相同。而它們的相頻特性表達式分別為 221 j 1 1212a r c t a na r c t a n)(a r c t a na r c t a n)(大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 最小相位系統(tǒng)的相位變化量總是小于非最小相位系統(tǒng)的相位變化量，這就是“ 最小相位 ”名稱的由來。從波德圖上看，一個對數(shù)幅頻特性所代表的環(huán)節(jié)，能給出最小可能相位移的，稱為最小相位環(huán)節(jié)，不給出最小相位移的，稱為非最小相位環(huán)節(jié)。 最小相位系統(tǒng)的 對數(shù)幅頻 特性和 相頻 特性曲線的 變化趨勢 基本相一致，這表明它們之間有著一定的內(nèi)在關(guān)系。對于最小相位環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)） 當(dāng)給出了環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)）的幅頻特性時，也就決定了相頻特性；或者，給定了環(huán)節(jié)（或系統(tǒng)）的相頻特性，也就決定了幅頻特性。 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 對于非最小相位系統(tǒng)，它的對數(shù)幅頻和相頻特性曲線的變化趨勢并 不完全一致 ，兩者之間不存在著唯一的對應(yīng)關(guān)系。因此對于非最小相位系統(tǒng)，只有知道了它的對數(shù)幅頻和相頻特性曲線后，才能正確地估計出系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。 當(dāng) 時，雖然最小相位系統(tǒng)和非最小相位系統(tǒng)對數(shù)幅頻特性的斜率都為 ，但前者的相位 ，而后者的相位為 。 這個特征一般可用于判別被測試的系統(tǒng)是否是最小相位系統(tǒng) 。 2 0 ( ) d B / d e )(90)( )(90 大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 系統(tǒng)的類型與對數(shù)幅頻特性曲線低頻漸近線的對應(yīng)關(guān)系 對數(shù)幅頻特性的低頻段是由因式 來表征的。我們知道，系統(tǒng)的類型是按照積分環(huán)節(jié)數(shù)的數(shù)值來劃分的。對實際的控制系統(tǒng)，通常為 0、1或 2。下面用具體的例子說明系統(tǒng)的類型與對數(shù)幅頻特性曲線低頻漸近線斜率的對應(yīng)關(guān)系及開環(huán)增益 ( j )K大連民族學(xué)院機電信息工程學(xué)院 自動控制原理 設(shè) 0型系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為 ( j )1則其對數(shù)幅頻特性的表達式為 2)1(1 由圖可見， 0型系統(tǒng)的對數(shù)幅頻特性低頻漸近線為一條 對應(yīng)的增益 20101. 0型系統(tǒng) 大連民族學(xué)院