難點(diǎn) 36 函數(shù)方程思想 函數(shù)與方程思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，高考中所占比重較大，綜合知識(shí)多、題型多、應(yīng)用技巧多 將所研究的問(wèn)題借助建立函數(shù)關(guān)系式亦或構(gòu)造中間函數(shù)，結(jié)合初等函數(shù)的圖象與性質(zhì)，加以分析、轉(zhuǎn)化、解決有關(guān)求值、解（證）不等式、解方程以及討論參數(shù)的取值范圍等問(wèn)題；方程思想即將問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為方程模型加以解決 . 難點(diǎn)磁場(chǎng) 1.（）關(guān)于 x 的不等式 2 32x 3x+a 3 0，當(dāng) 0 x 1 時(shí)恒成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 . 2.（ ）對(duì)于函數(shù) f(x)，若存在 R,使 f(稱 f(x)的不動(dòng)點(diǎn) f(x)=b+1)x+(b 1)(a 0) （ 1）若 a=1,b= 2 時(shí)，求 f(x)的不動(dòng)點(diǎn)； （ 2）若對(duì)任意實(shí)數(shù) b，函數(shù) f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求 a 的取值范圍； （ 3）在（ 2）的條件下，若 y=f(x)圖象上 A、 f(x)的不動(dòng)點(diǎn)，且 A、B 關(guān)于直線 y=2 12 b 的最小值 . 例 1已知函數(shù) f(x)=)若 f(x)的定義域?yàn)?， ，（ 0），判斷 f(x)在定義域上的增減性，并加以說(shuō)明； (2)當(dāng) 0 m 1 時(shí)，使 f(x)的值域?yàn)?m( 1)， m( 1)的定義域區(qū)間為 , ( 0)是否存在？請(qǐng)說(shuō)明理由 . 命題意圖：本題重在考查函數(shù)的性質(zhì)，方程思想的應(yīng)用 級(jí)題目 . 知識(shí)依托：函數(shù)單調(diào)性的定義判斷法；單調(diào)性的應(yīng)用；方程根的分布；解不等式組 . 錯(cuò)解分析：第 (1)問(wèn)中考生易忽視“ 3”這一關(guān)鍵隱性條件；第 (2)問(wèn) 中轉(zhuǎn)化出的方程，不能認(rèn)清其根的實(shí)質(zhì)特點(diǎn)，為兩大于 3 的根 . 技巧與方法：本題巧就巧在采用了等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法，借助函數(shù)方程思想，巧妙解題 . 解：（ 1） 033 3 或 x 3. f(x)定義域?yàn)?, , 3 設(shè) ，有 0)3)(3( )(63333 21 212211 xx m 1 時(shí)， f(x)為減函數(shù)，當(dāng) m 1 時(shí)， f(x)為增函數(shù) . （ 2）若 f(x)在 , 上的值域?yàn)?1), 1) 0 m 1, f(x)為減函數(shù) . )1(lo g)()1(lo g)(,0)1(3)12(0)1(3)12(22 又即 , 為方程 2m 1)x 3(m 1)=0 的大于 3 的兩個(gè)根 0)3(32120116161020 m4 32故當(dāng) 0 m4 32時(shí)，滿足題意條件的 m 存在 . 例 2已知函數(shù) f(x)=(m+1)x+m(m R) (1)若 方程 f(x)+4=0 的兩個(gè)實(shí)根， A、 B 是銳角三角形 兩個(gè)內(nèi)角 m 5; (2)對(duì)任意實(shí)數(shù) ,恒有 f(2+ 0，證明 m 3; (3)在 (2)的條件下，若函數(shù) f(的最大值是 8，求 m. 命題意圖：本題考查函數(shù)、方程與三角函數(shù)的相互應(yīng)用；不等式法求參數(shù)的范圍 級(jí)題目 . 知識(shí)依托：一元二次方程的韋達(dá)定理、特定區(qū)間上正負(fù)號(hào)的充要條件，三角函數(shù)公式 . 錯(cuò)解分析：第 (1)問(wèn)中易漏掉 0 和 +B) 0，第 (2)問(wèn)中如何保證 f(x)在 1,3恒小于等于零為關(guān)鍵 . 技巧與方法：深挖題意，做到題意條件都明確，隱性條件注意列 周到，不遺漏 . （ 1）證明： f(x)+4=0 即 (m+1)x+m+4= 04t (4)1( 2、 B 銳角為三角形內(nèi)兩內(nèi)角 2 A+B +B) 0，即 031t a nt a n1 t a nt a n)t a n( 031040101522m 5 (2)證明： f(x)=(x 1)(x m) 又 1 1， 1 2+ 3，恒有 f(2+ 0 即 1 x 3 時(shí)，恒有 f(x) 0 即 (x 1)(x m) 0 m x 但 ， m (3)解： f(= (m+1)m=4 )1()2 1( s 且21m 2,當(dāng) 1 時(shí)， f(有最大值 8. 即 1+(m+1)+m=8， m=3 函數(shù)與方程的思想是最重要的一種數(shù)學(xué)思想，要注意函數(shù)，方程與不等式之間的相互聯(lián)系和轉(zhuǎn)化 （ 1）深刻理解一般函數(shù) y=f(x)、 y=f 1(x)的性質(zhì)（單調(diào)性、奇 偶性、周期性、最值和圖象變換），熟練掌握基本初等函數(shù)的性質(zhì)，這是應(yīng)用函數(shù)思想解題的基礎(chǔ) . （ 2）密切注意三個(gè)“二次”的相關(guān)問(wèn)題，三個(gè)“二次”即一元二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，具有豐富的內(nèi)涵和密切的聯(lián)系 次方程實(shí)根分布條件，二次不等式的轉(zhuǎn)化策略 . 一、選擇題 1.（）已知函數(shù) f(x)=x (2a)2對(duì)任意 x21,+都有意義 ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ( ) A.(0,41 B.(0,41) C.41,1) D.(41,21） 2.（）函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?R，且 x 1，已知 f(x+1)為奇函數(shù)，當(dāng) x 1 時(shí)，f(x)=2x+1，那么當(dāng) x 1 時(shí)， f(x)的遞減區(qū)間是 ( ) A.45， + ) B.(1,45 C.47,+ ) D.(1,47 二、填空題 3.（）關(guān)于 x 的方程 lg(1) lg(x 3)=1 有解，則 a 的取值范圍是 . 4.（）如果 y=1 最小值為 4，則 m 的值為 . 三、解答題 5.（）設(shè)集合 A=x 4x 2x+2+a=0,x R. （ 1）若 A 中僅有一個(gè)元素，求實(shí)數(shù) a 的取值集合 B； （ 2）若對(duì)于任意 a B，不等式 6x a(x 2)恒成立，求 x 的取值范圍 . 6.（）已知二次函數(shù) f(x)=bx(a,b 為常數(shù)，且 a 0)滿足條件 :f(x 1)=f(3 x)且方程 f(x)=2x 有等根 . （ 1）求 f(x)的解析式； （ 2）是否存在實(shí)數(shù) m， n(m n，使 f(x)定義域和值域分別為 m,n和 4m,4n，如果存在，求出 m、 n 的值；如果不存在，說(shuō)明理由 . 7.（）已知函數(shù) f(x)=6x 6函數(shù) g1(x)=f(x), g2(x)=f g1(x) , g3(x)=f g2(x) , gn(x)=f 1(x) , （ 1）求證：如果存在一個(gè)實(shí)數(shù) 足 g1(么對(duì)一切 n N， gn( （ 2）若實(shí)數(shù) gn(稱 求出所有這些穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)； （ 3）設(shè)區(qū)間 A=（ ,0） ,對(duì)于任意 x A，有 g1(x)=f(x)=a 0, g2(x)=f g1(x) =f(0) 0， 且 n 2 時(shí)， gn(x) （ A B ），對(duì)于區(qū)間內(nèi)任意實(shí)數(shù) x，只要n 2，都有 gn(x) 0. 8.（）已知函數(shù) f(x)=1(a 0,x 0). （ 1）求證 :f(x)在 (0,+ )上是增函數(shù)； （ 2）若 f(x) 2x 在 (0,+ )上恒成立，求 （ 3）若 f(x)在 m,n上的值域是 m,n (m n)，求 a 的取值范圍 . 參 考 答 案 難點(diǎn)磁場(chǎng) t=3x，則 t 1,3，原不等式可化為 a 3 2t2+t,t 1,3 . 等價(jià)于 a 3 大于 f(t)= 2t2+1,3上的最大值 . 答案： ( , 1) (2,+ ) 1）當(dāng) a=1,b= 2 時(shí)， f(x)=x 3，由題意 可知 x=x 3，得 1,. 故當(dāng) a=1,b= 2 時(shí)， f(x)的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為 1,3. （ 2） f(x)=b+1)x+(b 1)(a 0)恒有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)， x=b+1)x+(b 1)，即 b 1)=0 恒有兩相異實(shí)根 =4a 0(b R)恒成立 . 于是 =(4a)2 16a 0 解得 0 a 1 故當(dāng) b R， f(x)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)時(shí)， 0 a 1. （ 3）由題意 A、 B 兩點(diǎn)應(yīng)在直線 y=x 上，設(shè) A(x1,B(x2,又 A、 B 關(guān)于 y=2 12 k= B 的中點(diǎn)為 M(x ,y ) x1,b 1)=0 的兩個(gè)根 . x =y =2 21 ，又點(diǎn) M 在直線12 12 12 122 2 a 0， 2a+2 2 當(dāng)且 僅當(dāng) 2a=a=22 (0,1)時(shí)取等號(hào)， 故 b 221 ，得 b 的最小值 42 . 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、 查函數(shù) x 和 2a)然有 0 2a 1)2(21 a得 a=41，再結(jié)合指數(shù)函數(shù)圖象 性質(zhì)可得答案 . 答案： A 題意可得 f( x+1)= f(x+1).令 t= x+1，則 x=1 t，故 f(t)= f(2 t)，即 f(x)= f(2 x). 當(dāng) x 1,2 x 1，于是有 f(x)= f(2 x)= 2(x47)287，其遞減區(qū)間為47， + ). 答案： C 然有 x 3，原方程可化為 1031 10 a) x=29,必有 10 a 0 得 a 10 又 x=a1029 3 可得 a31. 答案：31 a 10 式化為4)2(c o . 當(dāng)2m 1,+m= 4 m= 5. 當(dāng) 12m 1,2m = 4 m= 4 不符 . 當(dāng)2m 1， m= 4 m=5. 答案： 5 二、 (1)令 2x=t(t 0)，設(shè) f(t)=4t+a. 由 f(t)=0 在 (0,+ )有且僅有一根或兩相等實(shí)根，則有 f(t)=0 有兩等根時(shí)， =0 16 4a=0 a=4 驗(yàn)證： 4t+4=0 t=2 (0,+ )，這時(shí) x=1 f(t)=0 有一正根和一負(fù)根時(shí) ,f(0) 0 a 0 若 f(0)=0，則 a=0，此時(shí) 4x 4 2x=0 2x=0（舍去），或 2x=4, x=2，即 A 中只有一個(gè)元素 綜上所述， a 0 或 a=4，即 B=a a 0 或 a=4 （ 2）要使原不等式對(duì)任意 a ( ,0 4恒成立 .即 g(a)=(x 2)a (6x) 0 恒成立 175081020)4( 02 2 x 2 1）方程 x 有等根， =(b 2)2=0,得 b=2. 由 f(x 1)=f(3 x)知此函數(shù)圖象的對(duì)稱軸方程為 x=得 a= 1，故 f(x)= x. （ 2） f(x)= (x 1)2+1 1， 4n 1，即 n41而拋物線 y= x 的對(duì)稱軸為 x=1 n41時(shí)， f(x)在 m,n上為增函數(shù) . 若滿足題設(shè)條件的 m,n 存在，則4)( 2020424222又 m n41, m= 2,n=0，這時(shí)定義域?yàn)?2,0，值域?yàn)?8,0 . 由以上知滿足條件的 m、 n 存在， m= 2,n=0. 7.(1)證明：當(dāng) n=1 時(shí)， g1( 設(shè) n=k 時(shí)，有 gk(x0(k N)成立， 則 (f gk( =f(g1( n=k+1 時(shí)，命題成立 . 對(duì)一切 n N,若 g1( gn(（ 2）解：由（ 1）知，穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn) f( f( 66 或 5穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)為 0 和65. (3)解： f(x) 0，得 6x 60 x 0 或 x 1. gn(x) 0 f 1(x) 0 1(x) 0或 1(x) 1 要使一切 n N,n 2，都有 gn(x) 0，必須有 g1(x) 0 或 g1(x) 1. 由 g1(x) 0 6x 60 x 0 或 x 1 由 g1(x) 0 6x 616 336 33 6 33,6 33 )和 (1,+ )內(nèi)的任意實(shí)數(shù) x,只要 n 2,n N，都有 gn(x) 0. 8.(1)證明：任取 0,f( f(2121122111)11()11( xx 0, 0， 0, f( f( 0，即 f( f(故 f(x)在