第 1 頁(yè)（共 27 頁(yè)） 2016 年湖南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（四） 一、選擇題（本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5分，共 60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 1+z=（ 1 z） i，則 |z|=（ ） A B 1 C D 2 2已知 R 是實(shí)數(shù)集， ，則 N ） A（ 1， 2） B 0， 2 C D 1， 2 3已知 ，則 a， b， c 的大小關(guān)系是（ ） A a c b B c a b C a b c D c b a 4已知等差數(shù)列 四項(xiàng)中第二項(xiàng)為 606，前四項(xiàng)和 834，則該數(shù)列第 4 項(xiàng)為（ ） A 2004 B 3005 C 2424 D 2016 5閱讀如圖的程序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出 S 的值為（ ） A 10 B 6 C 14 D 18 6以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次 英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 x， y 的值分別為（ ） 第 2 頁(yè)（共 27 頁(yè)） A 2， 5 B 5， 5 C 5， 8 D 8， 8 7下列說(shuō)法正確的是（ ） A對(duì)于任意的 x 都有 |x|2x 恒成立 B同時(shí)向上拋擲 2 枚硬幣， 2 枚都是反面朝上的概率是 C回歸直線必須過(guò)（ 0， 0）并呈現(xiàn)一條直線 D在 k 班高三數(shù)學(xué)期中測(cè)試中，平均數(shù)能夠代表 K 班數(shù)學(xué)總體水平 8 已知圓 C： x2+4x 4y=0 與 x 軸相交于 A， B 兩點(diǎn)，則弦 對(duì)的圓心角的大?。?） A B C D 9將 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再將圖象上所有點(diǎn)向左平移 個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為（ ） A B C D 10圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為 r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為 16+20，則 r=（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 11已知 ， ， ，點(diǎn) C 在 ， 0則向量 等于（ ） A B C D 第 3 頁(yè)（共 27 頁(yè)） 12已知雙曲線 =1 （ a 0， b 0）的一條漸近線過(guò)點(diǎn)（ 2， ），且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 x 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5分，共 20分，把答案填在答題卷的橫線上 . 13已知隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布 B（ n， p），若 E（ X） =30， D（ X） =20，則 P= 14（ x2+x+y） 5 的展開(kāi)式中， 系數(shù)為 15若不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于 ，則 m 的值為 16已知函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =f（ x），且當(dāng) x（ ， 0）時(shí)， f（ x） +f（ x） 0， a=20.1f（ b=（ f（ c=（ f（ ，則 a， b， c 的大小關(guān)系是 三、解答題：本大題共 5 小題，滿分 60分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 17設(shè) 內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c， a= （ ）證明： （ ）若 ，且 B 為鈍角，求 A， B， C 18退休年齡延遲是平均預(yù)期壽命延長(zhǎng)和人口老齡化背景下的一種趨勢(shì)某機(jī)構(gòu)為了解某城市市民的年齡構(gòu)成，從該城市市民中隨機(jī)抽取年齡段在 20 80 歲（含 20 歲和 80 歲）之間的 600 人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡層次 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60）， 60， 70）， 70， 80繪制頻率分布直方圖，如圖所示若規(guī)定年齡分布在 20， 40）歲的人為 “青年人 ”， 40， 60）為 “中年人 ”， 60，80為 “老年人 ” 第 4 頁(yè)（共 27 頁(yè)） （ ）若每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點(diǎn)值來(lái)代替，試估算所調(diào)查的 600 人的平均年齡； （ ）將上述人口分布的頻率視為該城市在 20 80 年齡段的人口分布的概率從該城市 20 80 年齡段市民中隨機(jī)抽取 3 人，記抽到 “老年人 ”的人數(shù)為 X，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 19在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 E， F 分別為 中點(diǎn) （ ）求證： 平面 （ ）求異面直線 成的角的余弦值； （ ）在棱 是否存在一點(diǎn) P，使得二面角 P B 的大小為 30？若存在，求出 長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 20已知拋物線 y 的焦點(diǎn) F 也是橢圓 + =1（ a b 0）的一個(gè)焦點(diǎn)， 2的公共弦的長(zhǎng)為 2 ，過(guò)點(diǎn) F 的直線 l 與 交于 A， B 兩點(diǎn)，與 交于 C， D 兩點(diǎn)，且 與同向 （ ）求 方程； （ ）若 |求直線 l 的斜率 21已知函數(shù) f（ x） = （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間； （ ）證明；當(dāng) x 1 時(shí)， f（ x） x 1； 第 5 頁(yè)（共 27 頁(yè)） （ ）確定實(shí)數(shù) k 的所有可能取值，使得存在 1，當(dāng) x（ 1， ，恒有 f（ x） k（ x 1） 請(qǐng)考生在第（ 22）、（ 23）（ 24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題 記分，選修422如圖所示，已知 交于 A、 B 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A 作 ，過(guò)點(diǎn) 別交 、 E， 交于點(diǎn) P （ ）求證： （ ）若 切線，且 ， ， ，求 長(zhǎng) 選修 423在平面直角坐標(biāo)系 ，以原點(diǎn) O 為極點(diǎn)， x 軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，已知點(diǎn) ， ），直線 l 的極坐標(biāo)方程為 ） =a，且點(diǎn) A 在直線 l 上 （ 1）求 a 的值及直線 l 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）若圓 C 的參數(shù)方程為 （ 為參數(shù)），試判斷直線 l 與圓 C 的位置關(guān)系 選修 424已知函數(shù) f（ x） =|x 1|+|x 3|+|x a| （ ）當(dāng) a=1 時(shí)，求不等式 f（ x） 4 的解集； （ ）設(shè)函數(shù) f（ x）的最小值為 g（ a），求 g（ a）的最小值 第 6 頁(yè)（共 27 頁(yè)） 2016 年湖南省高考數(shù)學(xué)模擬試卷（理科）（四） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共 12 個(gè)小題，每小題 5分，共 60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的） 1設(shè)復(fù)數(shù) z 滿足 1+z=（ 1 z） i，則 |z|=（ ） A B 1 C D 2 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)求模 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；綜合法；數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù) 【分析】 由 1+z=（ 1 z） i，可得 z= ，再利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計(jì)算公式即可得出 【解答】 解： 1+z=（ 1 z） i， z= = = =i， 則 |z|=1 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的定義、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與技能數(shù)列，屬于基礎(chǔ)題 2已知 R 是實(shí)數(shù)集， ，則 N ） A（ 1， 2） B 0， 2 C D 1， 2 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題 【分析】 先化簡(jiǎn)兩個(gè)集合 M、 N 到最簡(jiǎn)形式求出 M， N，依照補(bǔ)集的定義求出 按照交集的定義求出 N 【解答】 解： M=x| 1=x|x 0，或 x 2， N=y|y= +1=y|y1 ， x|0x2， 故有 Ny|y1 x|0x2 第 7 頁(yè)（共 27 頁(yè)） =1， +） 0， 2 =1， 2， 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)的值域求法，不等式的解法，以及求集合的補(bǔ)集和交集的方法 3已知 ，則 a， b， c 的大小關(guān)系是（ ） A a c b B c a b C a b c D c b a 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)值大小的比較 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)指數(shù)的運(yùn)算求出 a 的范圍，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性 質(zhì)得到 b， c 的范圍，比較即可 【解答】 解： = = 2， 0， 0 1， 即 a 2， b 0， 0 c 1， 即 a c b， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了指數(shù)以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題 4已知等差數(shù)列 四項(xiàng)中第二 項(xiàng)為 606，前四項(xiàng)和 834，則該數(shù)列第 4 項(xiàng)為（ ） A 2004 B 3005 C 2424 D 2016 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【專題】 等差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析】 根據(jù)等差數(shù)列前 n 項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式之間的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)即可 【解答】 解：已知 06， 834， 則 S3=a1+a2+818 即 4 834 1818=2016， 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查等差數(shù)列的前 n 項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，比較基礎(chǔ) 5閱讀如圖的程 序框圖，運(yùn)行相應(yīng)的程序，則輸出 S 的值為（ ） 第 8 頁(yè)（共 27 頁(yè)） A 10 B 6 C 14 D 18 【考點(diǎn)】 程序框圖 【專題】 圖表型；算法和程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的 i， S 的值，當(dāng) i=8 時(shí)滿足條件 i 5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 6 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 S=20， i=1 i=2， S=18 不滿足條件 i 5， i=4， S=14 不滿足條件 i 5， i=8， S=6 滿足條件 i 5，退出循環(huán)，輸出 S 的值為 6 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖，正確寫(xiě)出每次 循環(huán)得到的 i， S 的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題 6以下莖葉圖記錄了甲、乙兩組各五名學(xué)生在一次英語(yǔ)聽(tīng)力測(cè)試中的成績(jī)（單位：分）已知甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為 15，乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為 x， y 的值分別為（ ） A 2， 5 B 5， 5 C 5， 8 D 8， 8 第 9 頁(yè)（共 27 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 莖葉圖 【專題】 概率與統(tǒng)計(jì) 【分析】 求乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是把所有乙組數(shù)據(jù)加起來(lái)，再除以 5找甲組數(shù)據(jù)的中位數(shù)要把甲組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，位于最中間的一個(gè)數(shù)為中位數(shù)據(jù)此列式 求解即可 【解答】 解：乙組數(shù)據(jù)平均數(shù) =（ 9+15+18+24+10+y） 5= y=8； 甲組數(shù)據(jù)可排列成： 9， 12， 10+x， 24， 27所以中位數(shù)為： 10+x=15， x=5 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了中位數(shù)和平均數(shù)的計(jì)算平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)將一組數(shù)據(jù)從小到大依次排列，把中間數(shù)據(jù)（或中間兩數(shù)據(jù)的平均數(shù)）叫做中位數(shù) 7下列說(shuō)法正確的是（ ） A對(duì)于任意的 x 都有 |x|2x 恒成立 B同時(shí)向上拋擲 2 枚硬幣， 2 枚都是反面朝上的概率是 C回歸直線必須過(guò)（ 0， 0）并呈現(xiàn)一條直線 D在 k 班高三數(shù)學(xué)期中測(cè)試中，平均數(shù)能夠代表 K 班數(shù)學(xué)總體水平 【考點(diǎn)】 線性回歸方程；命題的真假判斷與應(yīng)用 【專題】 不等式的解法及應(yīng)用；概率與統(tǒng)計(jì) 【分析】 舉出反例 x 0，可判斷 A；求出滿足條件的事件的概率，可判斷 B；根據(jù)回歸直線的幾何特征，可判斷 C；根據(jù)平均數(shù)表示刻畫(huà)數(shù)據(jù)總體水平的適用范圍，可判斷 D 【解答】 解：當(dāng) x 0 時(shí)， |x| 2x，故 A 錯(cuò)誤； 同時(shí)向上拋擲 2 枚硬幣， 2 枚都是反面朝上的概率是 ，故 B 正確； 回歸直線必須過(guò)（ ， ）并呈現(xiàn)一條直線，但不一定經(jīng)過(guò)（ 0， 0）點(diǎn)，故 C 錯(cuò)誤； 如果數(shù)學(xué)成績(jī)差距較大，則平均數(shù)不能夠代表 K 班數(shù)學(xué)總體水平，故 D 錯(cuò)誤， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，此類題型往往綜合較多的其它知識(shí)點(diǎn)，綜合性強(qiáng)，難度中檔 第 10 頁(yè)（共 27 頁(yè)） 8已知圓 C： x2+4x 4y=0 與 x 軸相交于 A， B 兩點(diǎn)，則弦 對(duì)的圓心角 的大?。?） A B C D 【考點(diǎn)】 直線與圓的位置關(guān)系 【專題】 綜合題；直線與圓 【分析】 根據(jù)條件令 x=0，求出 長(zhǎng)度，結(jié)合三角形的勾股定理求出三角形 直角三角形即可得到結(jié)論 【解答】 解：當(dāng) y=0 時(shí)，得 4x=0，解得 x=0 或 x=4， 則 0=4， 半徑 R=2 ， 2 ） 2+（ 2 ） 2=8+8=16=（ 2， 直角三角形， 0， 即弦 對(duì)的圓心角的大小為 90， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查圓心角的求解，根據(jù)條件求出先 長(zhǎng)度是解決本題的關(guān)鍵 9將 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo) 縮短到原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變，再將圖象上所有點(diǎn)向左平移 個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 正弦函數(shù)的圖象 【專題】 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì) 【分析】 由條件利用 y=x+）的圖象變 換規(guī)律，可得所得圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，求得所得函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸 【解答】 解：將 的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的一半，縱坐標(biāo)不變， 可得函數(shù) y=2x+ ）的圖象； 再把所得圖象象左平移 個(gè)單位，則所得函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的解析式為 y=（ x+ ） + =2x+ ）， 第 11 頁(yè)（共 27 頁(yè)） 令 2x+ =，求得 x= ， kz，故所得函數(shù)的圖象的對(duì)稱軸方程為 x= ， kz 結(jié)合所給的選項(xiàng)， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查 y=x+）的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱性，屬于基礎(chǔ)題 10圓柱被一個(gè)平面截去一部分后與半球（半徑為 r）組成一個(gè)幾何體，該幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示若該幾何體的表面積為 16+20，則 r=（ ） A 1 B 2 C 4 D 8 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【專題】 立體幾何 【分析】 通過(guò)三視圖可知該幾何體是一 個(gè)半球拼接半個(gè)圓柱，計(jì)算即可 【解答】 解：由幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖可知， 截圓柱的平面過(guò)圓柱的軸線， 該幾何體是一個(gè)半球拼接半個(gè)圓柱， 其表面積為： 4r2r+2r2r+ 又 該幾何體的表面積為 16+20， 56+20，解得 r=2， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查由三視圖求表面積問(wèn)題，考查空間想象能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題 11已知 ， ， ，點(diǎn) C 在 ， 0則向量 等于（ ） 第 12 頁(yè)（共 27 頁(yè)） A B C D 【考點(diǎn)】 平面向量的基本定理及其意義；向量的線性運(yùn)算性質(zhì)及幾何意義 【專題】 計(jì)算題 【分析】 過(guò)點(diǎn) C 做 到兩個(gè)三角形相似，根據(jù)三角形相似得到對(duì)應(yīng)邊成比例，把 用 表示，代入比例式，求出 值，做出向量之間的關(guān)系 【解答】 解：過(guò)點(diǎn) c 做 設(shè) 度為 a 有 （ 1） 0 則 = E= 代入（ 1）中化簡(jiǎn)整理可解： a= = = = 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查平面向量基本定理及其意義，本題解題的關(guān)鍵是構(gòu)造平行四邊形，利用平行四邊形法則來(lái)解題，本題是一個(gè)易錯(cuò)題 12已知雙曲線 =1 （ a 0， b 0）的一條漸近線過(guò)點(diǎn)（ 2， ），且雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 x 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為（ ） 第 13 頁(yè)（共 27 頁(yè)） A =1 B =1 C =1 D =1 【考點(diǎn)】 雙曲 線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【專題】 計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程易得其準(zhǔn)線方程，從而可得雙曲線的左焦點(diǎn)，再根據(jù)焦點(diǎn)在 x 軸上的雙曲線的漸近線方程漸近線方程，得 a、 b 的另一個(gè)方程，求出 a、 b，即可得到雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【解答】 解：由題意， = ， 拋物線 x 的準(zhǔn)線方程為 x= ，雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 x 的準(zhǔn)線上， c= ， a2+b2=， a=2， b= ， 雙曲線的方程為 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查雙曲線和拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5分，共 20分，把答案填在答題卷的橫線上 . 13已知隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布 B（ n， p），若 E（ X） =30， D（ X） =20，則 P= 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差 【專題】 概率與統(tǒng)計(jì) 【分析】 直接利用二項(xiàng)分布的期望與方差列出方程求解即可 【解答】 解：隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布 B（ n， p），若 E（ X） =30， D（ X） =20， 可得 0， 0， q= ，則 p= ， 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的期望以及方差的求法，考查計(jì)算能力 第 14 頁(yè)（共 27 頁(yè)） 14（ x2+x+y） 5 的展開(kāi)式中， 系數(shù)為 30 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì) 【專題】 計(jì)算題；二項(xiàng)式定理 【分析】 法一：利用分部相乘原理，可以得出 法二：利用二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，先確定 y 的次數(shù)，再確定 x 的次數(shù)也可 【解答】 解法一：（ x2+x+y） 5 可看作 5 個(gè)（ x2+x+y）相乘， 從中選 2 個(gè) y，有 種選法； 再?gòu)氖Ｓ嗟娜齻€(gè)括號(hào)里邊選出 2 個(gè) 后一個(gè)括號(hào)選出 x，有 種選法； 系數(shù)為 =30； 解法二： （ x2+x+y） 5=（ x2+x） +y5， 其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為 = （ x2+x） 5 r 令 r=2，得（ x2+x） 3的通項(xiàng)公式為 （ 3 mm， 再令 6 m=5，得 m=1， （ x2+x+y） 5的展開(kāi)式中， 系數(shù)為 =30 故 答案為： 30 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了二項(xiàng)式定理的靈活應(yīng)用問(wèn)題，也考查了分步相乘原理的應(yīng)用問(wèn)題，是基礎(chǔ)題目 15若不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)槿切?，且其面積等于 ，則 m 的值為 1 【考點(diǎn)】 二元一次不等式（組）與平面區(qū)域 【專題】 數(shù)形結(jié)合；綜合法；不等式的解法及應(yīng)用 【分析】 作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，求出三角形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可 【解答】 解：作出不等式組對(duì)應(yīng)的 平面區(qū)域如圖： 第 15 頁(yè)（共 27 頁(yè)） 若表示的平面區(qū)域?yàn)槿切危?由 ，得 ，即 A（ 2， 0）， 則 A（ 2， 0）在直線 x y+2m=0 的下方， 即 2+2m 0， 則 m 1， 則 A（ 2， 0）， D（ 2m， 0）， 由 ，解得 ，即 B（ 1 m， 1+m）， 由 ，解得 ，即 C（ ， ） 則三角形 面積 S S = |= （ 2+2m）（ 1+m ） =（ 1+m）（ 1+m ） = ， 即（ 1+m） = ， 即（ 1+m） 2=4 解得 m=1 或 m= 3（舍） 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查線性規(guī)劃以及三角形面積的計(jì)算，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合三角形的面積公式是解決本題的關(guān)鍵 第 16 頁(yè)（共 27 頁(yè)） 16已知函數(shù) f（ x）滿足 f（ x） =f（ x），且當(dāng) x（ ， 0）時(shí)， f（ x） +f（ x） 0， a=20.1f（ b=（ f（ c=（ f（ ，則 a， b， c 的大小關(guān)系是 c a b 【考點(diǎn)】 函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系 【專題】 方程思想；構(gòu)造法；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 【分析】 通過(guò)構(gòu)造復(fù)合函數(shù)，求導(dǎo)，求符合函數(shù)單調(diào)性，通過(guò)單調(diào)性判斷函數(shù)值的大小 【解答】 解：設(shè)函數(shù) h（ x） =x），有函數(shù) y=f（ x）是 R 上的偶函數(shù)， y=x 是奇函 數(shù)， 得 h（ x） =x）是函數(shù) R 上的奇函數(shù)， 由 x（ ， 0）時(shí)， h（ x） =f（ x） + x） 0 成立， h（ x）在（ ， 0）單調(diào)遞減，在（ 0， +）單調(diào)遞增， 3 1， 0 1， 丨 丨 =3 h（ 3） h（ h（ 又 a=20.1f（ b=2） f（ c=（ ） f（ ）， b a c 故答案為 c a b 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查通過(guò)已知條件，構(gòu)造符合函數(shù)，通過(guò)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間比較函數(shù)值的大小，屬于中檔題 三、解答題：本大題共 5 小題，滿分 60分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 17設(shè) 內(nèi)角 A， B， C 的對(duì)邊分別為 a， b， c， a= （ ）證明： （ ）若 ，且 B 為鈍角，求 A， B， C 【考點(diǎn)】 正弦定 理 【專題】 解三角形 【分析】 （ ）由正弦定理及已知可得 = ，由 ，即可證明 第 17 頁(yè)（共 27 頁(yè)） （ ）由兩角和的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)已知可得 ，由（ 1） 得 ，結(jié)合范圍可求 B，由 A 的范 圍可求 A，由三角形內(nèi)角和定理可求 C 【解答】 解：（ ）證明： a= = 由正弦定理： ，又 ， = ， ， 證 （ ） （ A+B） =A+B） = ，由（ 1） ， 0 B ， ， B 為鈍角， B= ， 又 ， A= ， C= A B= ， 綜上， A=C= ， B= 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了正弦定理，三角形內(nèi)角和定理，兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 18退休年齡延遲是平均預(yù)期壽命延長(zhǎng)和人口老齡化背景下的一種趨勢(shì)某機(jī)構(gòu)為了解某城市市民的年齡構(gòu)成，從該城市市民中隨機(jī)抽取年齡段在 20 80 歲（含 20 歲和 80 歲）之間的 600 人進(jìn)行調(diào)查，并按年齡層次 20， 30）， 30， 40）， 40， 50）， 50， 60）， 60， 70）， 70， 80繪制頻率分 第 18 頁(yè)（共 27 頁(yè)） 布直方圖，如圖所示若規(guī)定年齡分布在 20， 40）歲的人為 “青年人 ”， 40， 60）為 “中年人 ”， 60，80為 “老年人 ” （ ）若每一組數(shù)據(jù)的平均值用該區(qū)間中點(diǎn)值來(lái)代替，試估算所調(diào)查的 600 人的平均年齡； （ ）將上述人口分布的頻率視為該城市在 20 80 年齡段的人口分布的概率 從該城市 20 80 年齡段市民中隨機(jī)抽取 3 人，記抽到 “老年人 ”的人數(shù)為 X，求隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【考點(diǎn)】 離散型隨機(jī)變量的期望與方差；頻率分布直方圖；離散型隨機(jī)變量及其分布列 【專題】 概率與統(tǒng)計(jì) 【分析】 （ ）由頻率分布直方圖能估算所調(diào)查的 600 人的平均年齡 （ ）由頻率分布直方圖知 “老年人 ”所點(diǎn)頻率為 ，依題意， X 的可能取值為 0， 1， 2， 3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量 X 的分布列和數(shù)學(xué)期望 【解答】 解：（ ）由頻率分布直方圖估 算所調(diào)查的 600 人的平均年齡為： 25555558（歲） （ ）由頻率分布直方圖知 “老年人 ”所點(diǎn)頻率為 ， 從該城市 20 80 年齡段市民中隨機(jī)抽取 1 人，抽到 “老年人 ”的概率為 ， 依題意， X 的可能取值為 0， 1， 2， 3， P（ X=0） = ， P（ X=1） = = ， P（ X=2） = = ， P（ X=3） = = ， X 的分布列為： X 0 1 2 3 第 19 頁(yè)（共 27 頁(yè)） P = 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查頻率分布直方圖的應(yīng)用，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一 19在棱長(zhǎng)為 2 的正方體 E， F 分別為 中點(diǎn) （ ）求證 ： 平面 （ ）求異面直線 成的角的余弦值； （ ）在棱 是否存在一點(diǎn) P，使得二面角 P B 的大小為 30？若存在，求出 長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 【考點(diǎn)】 異面直線及其所成的角；直線與平面平行的判定；與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題 【專題】 綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法 【分析】 如圖分別以 在的直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 D 寫(xiě)出各點(diǎn)坐標(biāo)： （ I）取 點(diǎn) G，則 G（ 1， 0， 1）， =（ 1， 2， 1），又 =（ 1， 2， 1），證明 與共線即可； （ 出兩異面直線的方向向量，用數(shù)量積公式求夾角余弦即可，易求； （ 設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn) P 的空間坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)中所給的條件二面角 P B 的大小為 30利用數(shù)量積公式建立關(guān)于引入的參數(shù)的方程即可，若求得的參數(shù) 符合題意，則說(shuō)明存在，否則說(shuō)明不存在 【解答】 解：如圖分別以 在的直線為 x 軸、 y 軸、 z 軸建立空間直角坐標(biāo)系 D 已知得 D（ 0， 0， 0）、 A（ 2， 0， 0）、 B（ 2， 2， 0）、 C（ 0， 2， 0）、 2， 2， 2）、 0， 0， 2）、 E（ 1， 0， 2）、 F（ 0， 2， 1） 第 20 頁(yè)（共 27 頁(yè)） （ I）取 點(diǎn) G，則 G（ 1， 0， 1）， =（ 1， 2， 1），又 =（ 1， 2， 1），由 ， 與 共線 從而 面 面 平面 （ =（ 0， 2， 0） = （ 設(shè)滿足條件的點(diǎn) P 存在，可設(shè)點(diǎn) P（ 2， 2， t） ，（ 0 t2）， =（ 0， 2， t）， =（ 2，2， 0） 平面 一個(gè)法向量為 則 取 =（ 1， 1， ），易知平面 一 個(gè)法向量 =（ 0， 0， 2）依題意知 |= = 解得 t= （ 0， 2） 在棱 存在一點(diǎn) P，當(dāng) 長(zhǎng)為 時(shí)，二面角 P B 的大小為 30 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查用向量法證明線面平行，求異面直線所成的角以及二面角，用向量方法解決立體幾何中的位置關(guān)系、夾角及距離問(wèn)題是空間向量的一個(gè)重要運(yùn)用，學(xué)習(xí)時(shí)注意總結(jié)向量法解立體幾何題的規(guī)律，此方法也是近幾年高考比較熱的一個(gè)考點(diǎn) 第 21 頁(yè)（共 27 頁(yè)） 20已知拋物線 y 的焦點(diǎn) F 也是橢圓 + =1（ a b 0）的一個(gè)焦點(diǎn)， 2的公共弦的長(zhǎng)為 2 ，過(guò)點(diǎn) F 的直線 l 與 交于 A， B 兩點(diǎn)，與 交于 C， D 兩點(diǎn)，且 與同向 （ ）求 方程； （ ）若 |求直線 l 的斜率 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【專題】 開(kāi)放型；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 （ ）通過(guò) ，通過(guò) 2的公共弦的長(zhǎng)為 2 且 圖象都關(guān)于 y 軸對(duì)稱可得 ，計(jì)算即得結(jié)論； （ ）設(shè) A（ B（ C（ D（ 通過(guò) = 可得（ x1+24 x3+2 4直線 l 方程為 y=，分別聯(lián)立直線與拋物線、直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理計(jì)算即可 【解答】 解：（ ）由 （ 0， 1）， F 也是橢圓 一個(gè)焦點(diǎn)， ， 又 公共弦的長(zhǎng)為 2 ， 2 的圖象都關(guān)于 y 軸對(duì)稱， 易得 2的公共點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ， ）， ， 又 ， ， ， =1； （ ）如圖，設(shè) A（ B（ C（ D（ 第 22 頁(yè)（共 27 頁(yè)） 與 同向，且 | = ， x2= （ x1+2 4 x3+2 4 設(shè)直線 l 的斜率為 k，則 l 方程： y=， 由 ，可得 44=0， 由韋達(dá)定理可得 x1+k， 4， 由 ，得（ 9+8664=0， 由韋達(dá)定理可得 x3+ ， ， 又 （ x1+2 4 x3+2 4 16（ ） = + ， 化簡(jiǎn)得 16（ ） = ， （ 9+82=169，解得 k= ， 即直線 l 的斜率為 【點(diǎn)評(píng)】 本題是一 道直線與圓錐曲線的綜合題，考查求橢圓方程以及直線的斜率，涉及到韋達(dá)定理等知識(shí)，考查計(jì)算能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題 第 23 頁(yè)（共 27 頁(yè)） 21已知函數(shù) f（ x） = （ ）求函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間； （ ）證明；當(dāng) x 1 時(shí)， f（ x） x 1； （ ）確定實(shí)數(shù) k 的所有可能取值，使得存在 1，當(dāng) x（ 1， ，恒有 f（ x） k（ x 1） 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【專題】 綜合題；開(kāi)放型；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用 【分析】 （ ）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)大于 0，可求函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間； （ ）令 F（ x） =f（ x）（ x 1），證明 F（ x）在 1， +）上單調(diào)遞減，可得結(jié)論； （ ）分類討論，令 G（ x） =f（ x） k（ x 1）（ x 0），利用函數(shù)的單調(diào)性，可得實(shí)數(shù) k 的所有可能取值 【解答】 解：（ ） f（ x） =， f（ x） = 0（ x 0）， 0 x ， 函數(shù) f（ x）的單調(diào)增區(qū)間是（ 0， ）； （ ）令 F（ x） =f（ x）（ x 1），則 F（ x） = 當(dāng) x 1 時(shí)， F（ x） 0， F（ x）在 1， +）上單調(diào)遞減， x 1 時(shí)， F（ x） F（ 1） =0， 即當(dāng) x 1 時(shí)， f（ x） x 1； （ ）由（ ）知， k=1 時(shí)，不存在 1 滿足題意； 當(dāng) k 1 時(shí)，對(duì)于 x 1，有 f（ x） x 1 k（ x 1），則 f（ x） k（ x 1）， 從而不存 在 1 滿足題意； 當(dāng) k 1 時(shí)，令 G（ x） =f（ x） k（ x 1）（ x 0），則 第 24 頁(yè)（共 27 頁(yè)） G（ x） = =0，可得 0， 1， 當(dāng) x（ 1， ， G（ x） 0，故 G（ x）在（ 1， 單調(diào)遞增， 從而 x（ 1， ， G（ x） G（ 1） =0，即 f（ x） k（ x 1）， 綜上， k 的取值范圍為（ ， 1） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí) 的綜合運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查不等式的證明，正確構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵 請(qǐng)考生在第（ 22）、（ 23）（ 24）三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分，選修422如圖所示，已知 交于 A、 B 兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) A 作 ，過(guò)點(diǎn) 別交 、 E， 交于點(diǎn) P （ ）求證： （ ）若 切線，且 ， ， ，求 長(zhǎng) 【考點(diǎn)】 圓的切線的性質(zhì)定理的證明；直線與圓相交的性質(zhì)；直線 與圓的位置關(guān)系；與圓有關(guān)的比例線段 【專題】 計(jì)算題；證明