昌平區(qū) 2016 年高三年級第二次統(tǒng)一練習 數學試卷（理科） （ 滿分 150 分，考試時間 120 分鐘 ） 生須知： 1 本試卷共 6 頁，分第卷選擇題和第卷非選擇題兩部分。 2 答題前考生務必將答題卡上的學校、班級、姓名、考試編號用黑色字跡的簽字筆填寫 。 3 答題卡上第 I 卷 (選擇題 )必須用 2B 鉛筆作答，第 (非選擇題 )必須用黑色字跡的簽字筆作答，作圖時可以使用 2B 鉛筆。請按照題號順序在各題目的答題區(qū)內作答，未在對應的答題區(qū)域內作答或超出答題區(qū)域作答的均不得分。 4 修改時，選擇題部分用塑料橡皮擦涂干凈，不得使用涂改液。保持答題卡整潔，不要折疊、折皺、破損。不得在答題卡上做任何標記。 5 考試結束后，考生務必將 答題卡 交 監(jiān)考老師收回，試卷自己妥善保存。 第 卷（選擇題 共 40 分） 一、 選擇題 (本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 ) （ 1）復數 A 1 1C 1D 1 2） 已知雙曲線 22:1C m x n y的一個 焦點為 ( 5,0)F ，實軸長為 6，則雙曲線 C 的漸近線方程為 A 43B. 34C. 53D. 35(3) 若 , 1 0 ,2 0 , 則 2z x y的最小值為 A 4 B. 1 C. 0 D. 12（ 4）設 ,是兩個不同的平面， b 是直線且 “ b ”是“ ”的 A 充分不必 要條件 B 必要不充分條件 C 充要條件 D 既不充分也不必要條件 E （ 5）如圖， 過點 的 直線交C)， C 5,則 A. 1 B. 2C. 2 D. 5 （ 6） 執(zhí)行如圖所示的程序框圖， 如果輸出的，則判斷框 內應填入的判斷條件為 A. 2iB. 3C4（ 7） 已知 函數 f (x) 是定 義在 3, 0) (0, 3 U 上的奇函數 ， 當 (0,3x 時， f (x) 的圖象如圖所示，那么 滿足不等式 ( ) 2 1 的 x 的取值范圍 是 A. 3, 2 2 , 3 U B. 3, 2 (0 ,1U C. 2, 0) 1, 3 U D. 1, 0) (0,1 U 否 是 0, 1 1 開始 2 2lo g ( 2 )輸出 S 結束 俯視圖側 （ 左 ） 視圖1 11正 （ 主 ） 視圖11e 18） 將一圓的八個等分點分成相間的兩組，連接每組的四個點得到兩個正方形 圖所示 ，并且12, e O B eur 到 正 八 角 星 16 個 頂 點 的 向 量 ， 都 寫 成 為12, , ur 的最大值為 A 2 B. 2 C. 12 D. 22 第 卷（非選擇題 共 110 分） 二、 填空題（本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分） （ 9） 已知 比 數列na(n N )的前 項和，若3 14S，公比 2q， 則數列 （ 10） 在極坐標系中， O 為極點，點 A 為 直線 : s i n c o s 2l 上 一點， 則 |的最小值為 _. (11) 如圖，點 D 是 的邊 一點， 7 , 2 , 1 , 4 5 A D B D A C B 那么 _; _. (12) 某 三 棱錐 的 三視圖如圖所示，則該 三 棱 錐中最長棱的棱長為 _. （ 13） 2016 年 3 月 12 日，第四屆北京農業(yè)嘉年華在昌平拉開帷幕 三館兩園一帶一谷 ”七大板塊 .“三館 ”即精品農業(yè)館、創(chuàng)意農業(yè)館、智慧農業(yè)館； “兩園 ”即主題狂歡樂園、農事體驗樂園；“一帶 ”即草莓休閑體驗帶； “一谷 ”即延壽生態(tài)觀光谷 于時間有限，他們準備選擇其中的“一 館 一 園一帶一谷 ”進行參觀，那么他們參觀的不同路線最多有 _種 . （用數字作答） （ 14） 已知數列 (0 1),a a a *11 , 1 ,( ) ( 1 ) ,2 N 若3 1,6a 則 a _； 記12 . . . ,a a a 則2016S _. 三、解答題 (本大題共 6 小題，共 80 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 ) （ 15）（本小題滿分 13 分） 已知函數 ( ) s i n ( ) ( 0 , 0 , | | )2f x A x A 的部分圖象如圖所示 . （ ） 寫出 函數 ()x 的值 ； （ ） 求函數 () , 44上的最大 值 與最小值 . （ 16） （本小題滿分 13 分） 為了解高一新生數學基 礎，甲、乙兩校對高一新生進行了數學測試 . 現(xiàn)從兩校各隨機抽取 10名新生的成績作為樣本，他們的測試成績的莖葉圖如下： （ I） 比較甲、乙兩校新生的數學測試樣本成績的平均值及方差的大?。唬ㄖ恍枰獙懗鼋Y論） （ 如果將數學基礎 采用 A、 B、 C 等級制，各等級 對應的測試成績 標準 如下表： （滿分 100 分，所有學生成績均在 60 分以上） 甲校 乙校 5 1 9 1 1 2 4 3 3 8 4 7 7 4 3 2 7 7 8 8 6 5 7 8 C 1B 1A 185,10070,85)(60,70)基礎 等級 A B C 假設每個新生的 測試 成績互相獨立 給 數據，以事件 發(fā)生的頻率作為相應事件發(fā)生的概率 . 從甲、乙兩校新生中各隨機抽取一名新生，求甲校 新生的數學 基礎 等級高于 乙校 新生的數學基礎 等級 的概率 . （ 17） （本小題滿分 14 分） 如圖，三棱柱1 1 1 B C中，于正方形112 , 1A C B C， D 為 點， E 為線段 1的一點（端點除外）， 平面1D 交于點 F . （ I）若 E 不是1證：1 /F; （ 若 E 是1 平面 成角的正弦值 ; （ 在線段 1是否存在點 E ，使得1 ,A E 存在，求出1值，若不存在，請說明理由 . （ 18）（本小題滿分 13 分） 已知函數( ) 2( ) ( , , )g x x b x c a b c R，且曲線()y f )y g x 在它們的交點 (0, )c 處具有公共切線 . 設( ) ( ) ( )h x f x g x. （ I）求 c 的值，及 , （ 函數() （ 0a ，若對于任意12, 0,1都有12( ) ( ) e 1h x h x ，求 （ 19）（本小題滿分 13 分） 已知橢圓 M ： 22 10xy 的 焦距 為 2 ，點 0, 3D 在橢圓 M 上， 過原點 O 作直線交橢圓 M 于 A 、 B 兩點，且點 A 不是 橢圓 M 的頂點，過點 A 作 x 軸 的垂線，垂足為 H ，點 C 是線段中點，直線 橢圓 M 于點 P ，連接 （ ）求橢圓 M 的 方程及 離心率 ； （ ） 求證： P . （ 20）（本小題滿 分 14 分） 定義 1 2 3m a x x , x , , 3 x , x , , 已知數列 1000na n， 2000nb m， 1500nc p，其中 200 n m p ， m , , , n m p k *N m a xn n n nd a , b , c. （ I） 求 b ； （ 2k 時，求 （ k *N ， 求 昌平區(qū) 2016 年高三年級第二次統(tǒng)一練習 數學試卷參考答案及評分標準 （理科） 、選擇題 (本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項 ) 題號 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B A D A C B B C 二、 填空題（本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分） （ 9） *2 ( N )n n （ 10） 2 （ 11） 120 ; 6 （ 12） 5 （ 13） 144 （ 14） 1;15123三、 解答題 (本大題共 6 小題，共 80 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 ) （ 15）（本小題滿分 13 分） 解：（ I）0 23( ) 2 s i n ( 2 ) , 4f x x x 7 分 B 1A 1由 5 , , 2 , 4 4 3 6 6 ， 9 分 當 236x 時，即4x ，m i n( ) ( ) 1;4f x f 當 232x 時，即12x ，m a x( ) ( ) 2 x f 13 分 （ 16）（本小題滿分 13 分） 解： （ I）兩校 新生 的數學測試樣本成績的平均值相同；甲校 新生 的數學測試樣本成績的方差小于乙校 新生 的數學測試樣本成績的方差 . 6 分 （ 設事件 D=“ 從甲、乙兩校新生中各隨機抽取一名新生，甲校 新生的數學 基礎 等級高于 乙校 新生的數學 基礎 等級 ” . 設事件1E=“ 從甲校新生中隨機抽取一名新生，其 數學 基礎 等級 為 A”，1 1( ) ,5事件2=“ 從甲校新生中隨機抽取一名新生，其 數學 基礎 等級 為 B”，2 7( ) ,10設事件1F=“ 從乙校新生中隨機抽取一 名新生，其 數學 基礎 等級 為 B”，1 3( ) ,10事件2=“ 從乙校新生中隨機抽取一名新生，其 數學 基礎 等級 為 C”，2 3( ) ,根據題意，1 1 1 2 2 2 ,D E F E F E F 所以 1 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )P D P E F P E F P E F P E P F P E P F P E P F 1 3 1 3 7 3 335 10 5 10 10 10 100 . 因此， 從甲、乙兩校新生中各隨機抽取一名新生，甲校 新生的數學 基礎 等 級 高于乙校 新生的數學 基礎 等級 13 分 （ 17）（本小題滿分 14 分） （ I）證明：連接 交 1點 G ，連接 在三棱柱 111 中， G 為 1點 , 且 D 為 點， 所以 1/B . 因為 1G D B C D 平 面 , 1 平面 所以11/A B B C . 2 分 由已知， 平面1 ， 所以1F A B 平 面 ， A B E F 平 面， 又1E F B C D 平 面， 所以 11B C D A B E F E F 平 面, 所以 1 /F . 4 分 (建立空間直角坐標系 11C A C B 如圖所示 . 11( 2 , 2 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 2 , 0 ) , ( 0 , 0 , 0 ) ,1( 0 , 2 , 1 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( 0 , 1 , ) , (1 , 2 , 0 ) C E 111( 2 , 1 , ) , ( 0 , 2 , 1 ) , ( 1 , 2 , 0 )2A E C B C D u u ur u u u r u u u 設平面 1法向量為 ( , , )n x y zr 由 110 , 0 ,n C B n C Dr r 0,2 , 令 1,y ,得 ( 2,1, 2 )n r . 6 分 4 2 1c o s , | | |A E n u u ur ru u ur r gu u ur r 8 分 所以， 平面1成角的正弦值為 4 2163. 9 分 (在線段 1存在點 E ，使得 1 ,A E 且114 假設在線段 1存在點 E ，使得1 ,E 設 11(0, , )E y z ,1( 0 ). 則1C 1 1 1 1( 0 , 2 , 1 ) ( 0 , , )y z y z . 112 ,11 ,1 21( 0 , , )11E . 11 分 1 21( 2 , , )11 21( 0 , , )11 2241 0(1 ) (1 ) , 解得 : 14 . 13 分 所以， 在線段 1存在點 E ，使得1 ,A E 114. 14 分 （ 18） (本小題滿分 13 分） 解：（ I）因為函數( ) 2() g x x b x c， 所以 函數( ) x a， ( ) 2 g x x b. 又因為 曲線()y f 線 ()y g x 在它們的交點 (0, )c 處具有公共切線 ， 所以(0) (0),(0) (0)即1, 4 分 （ 已知，2( ) ( ) ( ) e 1x f x g x x . 所以( ) e 2x a x a . 設( ) ( ) e 2x h x a x a ，所以2( ) a， ( ) 0所以() , ) 上為單調遞增函數 . 6 分 由（ I）得，(0) (0),以 ( 0 ) ( 0 ) ( 0 ) 0h f g ，即 0 是 () 所以，函數()的導函數 () 7 分 所以(及 符號變化如下， x,0)( )() 0 極小值 所以函數()的單調遞減區(qū)間為( ,0)， 單調遞增區(qū)間為(0 ). 9 分 （ （ 當 ,1x時，()是增函數 . 對于任意12, 0,1都有12( ) ( ) e 1h x h x 等價于 m a x m ) ( ) ( 1 ) ( 0) e e 1ah x h x h h a ， 等價于當 0a 時，( ) e ( e 1 ) 0aG a a ， 因為( ) e 1 0 ，所以(), )上是增函數， 又(1) 0G ，所以0,1a. 13 分 （ 19）（本小題滿分 13 分） 解： （ I） 由題意知1,c 3b， 則2 2 2 4a b c ， 所以橢圓 M 的方程為22143， 橢圓 M 的 離心率為 12. 5 分 （ 0 0 1 1( , ) , ( , )A x y P x y，則 00 0 0( , ) , ( , ) x y C x由點 ,以001 11 點 A 不是 橢圓 M 的頂點， - 得 2210221034. 法一：又 01 0 01 0 0 0332,24P B B y x x x 且點 ,點共線， 所以1 0 01 0 034y y yx x x , 即 0 1 00 1 04 ( ) )y y yx x x 所以， 220 1 0 1 0 1 0 1 00 1 0 1 0 1 0 1 04 ( ) 4 ( ) 43 ( ) 1 ,3 ( ) 3 ( ) 3 4A B P Ay y y y y y y y x x x x x x x x x g g g 即 P . 13 分 法二： 由 已 知 斜率都存在， 221 0 1 0 1 0221 0 1 0 1 0P A P By y y y y x x x x x )344 又003 ,4P B B x 得 00,PA xk y則00( ) 1A B P A 即 P . 13 分 （ 20）（本小題滿分 14 分） 解： （ I） 由題意， 1 0 0 0 2 0 0 0m a x m a b ,n k n ， 因為 1 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 0 2 ( k )n k n k n， 所以，當 1k 時， 1000 2000n 2000m a xn n b b n， 當 2k 時， 1000 2000n 1000m a xn n b a n， 當 3k 時， 1000 2000n 1000m a xn n b a n. 4 分 （ 當 2k 時