第 1 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 2016 年廣西桂林市、北海市、崇左市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，每小題給出四個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求 . 1已知全集 U=R，集合 A=x|1x3， B=x|x 2，則 A于（ ） A x|1 x2 B x|1x 2 C x|1x2 D x|1x3 2復(fù)數(shù) =（ ） A i B i C i D i 3等差數(shù)列 ， a4+0， ，則公差 d 等于（ ） A B C 2 D 4已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ f（ 2）等于（ ） A B 2 C 1 D 1 5下列函數(shù)中，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的是（ ） A y= y= y=|x| D y=已知 （ （ 0， ），則 +2） =（ ） A B C D 7如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖（注：正視圖也稱(chēng)主視圖，側(cè)視圖也稱(chēng)左視圖），其中正視圖、側(cè)視圖都是由邊長(zhǎng)為 4 和 6 的矩形以及直徑等于 4 的圓組成，俯視圖是直徑等于 4 的圓，該幾何體的體積是（ ） 第 2 頁(yè)（共 24 頁(yè)） A B C D 8閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的 S=（ ） A 45 B 35 C 21 D 15 9函數(shù) 的零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ） A（ 3， 4） B（ 2， 3） C（ 1， 2） D（ 0， 1） 10已知向量 與 的夾角為 120，且 | |=2， | |=3，若 = + ，且 ，則實(shí)數(shù) 的值為（ ） A B 13 C 6 D 11設(shè)點(diǎn) P 是雙曲線 =1（ a 0， b 0）與圓 x2+y2=a2+第一象限的交點(diǎn)， 別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且 |2|則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 12已 知函數(shù) f（ x） = x（ 0， e（ e 為自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù) f（ x）的最小值為 3，則 ） 第 3 頁(yè)（共 24 頁(yè)） A e B 2e D 2、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13若函數(shù) f（ x） =x+ ）為奇函數(shù)，則 a= 14已知實(shí)數(shù) x， y 滿足不等式組 ，則 z=x 2y 的最小值為 15若圓 C 以拋物線 x 的焦點(diǎn)為圓心，截此拋物 線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為 6，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 16已知四棱錐 P 頂點(diǎn)都在球 O 的球面上，底面 矩形，平面 底面 正三角形， ，則球 O 的表面積為 三、解答題：本大題共 5 小題，滿分 60 分，解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . 17在 ，內(nèi)角 A， B， C 對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為 a， b， c，且滿足 c（ b） = （ ）求角 A； （ 2）求 最大值 18某市規(guī)定，高中學(xué)生在校期間須參加不少于 80 小時(shí)的社區(qū)服務(wù)才合格某校隨機(jī)抽取 20 位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時(shí)間段 75， 80）， 80， 85）， 85， 90）， 90， 95）， 95， 100（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示 （ ）求抽取的 20 人中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于 90 小時(shí)的學(xué)生人數(shù)； （ ）從參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于 90 小時(shí)的學(xué)生中任意選取 2 人，求所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率 第 4 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 19在如 圖所示的多面體 ， 平面 平面 D=1， ，E=2 （ ）在線段 取一點(diǎn) F，作 平面 需指出 F 的位置，不需證明）； （ ）對(duì)（ ）中的點(diǎn) F，求三棱錐 B 體積 20如圖，已知圓 C 與 y 軸相切于點(diǎn) T（ 0， 2），與 x 軸正半軸相交于兩點(diǎn) M， N（點(diǎn) M 必在點(diǎn) 且 |3，已知橢圓 D： 的焦距等于 2|且過(guò)點(diǎn) （ I）求圓 C 和橢圓 D 的方程； （ ）若過(guò)點(diǎn) M 斜率不為零的直線 l 與橢圓 D 交于 A、 B 兩點(diǎn)，求證：直線 直線 傾角互補(bǔ) 21已知函數(shù) f（ x） =ax+aR） （ 1）若函數(shù) f（ x）在區(qū)間 e， +）上為增函數(shù)，求 a 的取值范圍； （ 2）當(dāng) a=1 且 kz 時(shí)，不等式 k（ x 1） f（ x）在 x（ 1， +）上恒成立，求 k 的最大值 請(qǐng)考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修 4何證明選講 22如圖，四邊形 O 的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng) 交于點(diǎn) P， = ， = 第 5 頁(yè)（共 24 頁(yè)） （ ）求 的值； （ ）若 O 的直 徑，且 ，求 長(zhǎng) 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程是 =4極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為 x 軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直 l 的參數(shù)方程是 （ t 是參數(shù)） （ 1）將曲線 C 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程； （ 2）若直線 l 與曲線 C 相交于 A、 B 兩點(diǎn)，且 | ，求直線的傾斜角 的值 選修 4等式選講 24（選做題）已知 f（ x） =|x+1|+|x 1|，不等式 f（ x） 4 的解集為 M （ 1）求 M； （ 2）當(dāng) a， bM 時(shí)，證明： 2|a+b| |4+ 第 6 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 2016 年廣西桂林市、北海市、崇左市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分，每小題給出四個(gè)選項(xiàng)，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求 . 1已知全集 U=R，集合 A=x|1x3， B=x|x 2，則 A于（ ） A x|1 x2 B x|1x 2 C x|1x2 D x|1x3 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【專(zhuān)題】 集合 【分析】 根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可 【解答】 解： A=x|1x3， B=x|x 2， Ax|1x3x|x2=x|1x2， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查集合的基本運(yùn)算，要求熟練掌握集合的交并補(bǔ)運(yùn)算，比較基礎(chǔ) 2復(fù)數(shù) =（ ） A i B i C i D i 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【專(zhuān)題】 數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù) 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則即可得出 【解答】 解： = = = 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于基礎(chǔ)題 3等差數(shù) 列 ， a4+0， ，則公差 d 等于（ ） 第 7 頁(yè)（共 24 頁(yè)） A B C 2 D 【考點(diǎn)】 等差數(shù)列的通項(xiàng)公式 【專(zhuān)題】 等差數(shù)列與等比數(shù)列 【分析】 由已知求得 后結(jié)合 代入等差數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案 【解答】 解：在等差數(shù)列 ，由 a4+0，得 20， 又 ，則 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題 4已知函數(shù) f（ x） = ，則 f（ f（ 2）等于（ ） A B 2 C 1 D 1 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；函數(shù)的值 【專(zhuān)題】 計(jì)算題 【分析】 先由解析式求得 f（ 2），再求 f（ f（ 2） 【解答】 解： f（ 2） = ， f（ 1） =2 1= ， 所以 f（ f（ 2） =f（ 1） = ， 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查對(duì)數(shù)、指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，分段函數(shù)求值關(guān)鍵是 “對(duì)號(hào)入座 ” 5下列函數(shù)中，圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的是（ ） A y= y= y=|x| D y=考點(diǎn)】 奇偶函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性 【專(zhuān)題】 計(jì)算題 【分析】 根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，要找圖象關(guān) 于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，即在 4 個(gè)選項(xiàng)中找出奇函數(shù)即可，結(jié)合選項(xiàng)利用排除法 【解答】 解：根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)， 第 8 頁(yè)（共 24 頁(yè)） A： y=非奇非偶函數(shù)，錯(cuò)誤 B： y=偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，錯(cuò)誤 C： y=|x|為偶函數(shù)，圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，錯(cuò)誤 D： y=奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，正確 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了函數(shù)奇、偶函數(shù)的性質(zhì)可得奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，偶函數(shù)的圖象關(guān)于 y 軸對(duì)稱(chēng)，奇偶函數(shù)的判斷，注意：再判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，不但要檢驗(yàn) f（ x）與 f（ x）的關(guān)系，更不 能漏掉對(duì)函數(shù)的定義域要求對(duì)稱(chēng)的檢驗(yàn) 6已知 （ （ 0， ），則 +2） =（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 二倍角的余弦 【專(zhuān)題】 轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的求值 【分析】 由條件利用誘導(dǎo)公 式、二倍角的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得 +2）的值 【解答】 解： ， （ 0， ）， 則 +2） =+2） = 2 = = ， 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查誘導(dǎo)公式、二倍角的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題 7如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖（注：正視圖也稱(chēng)主視圖，側(cè)視圖也稱(chēng)左視圖），其中正視圖、側(cè)視圖都是由邊長(zhǎng)為 4 和 6 的矩形以及直徑等于 4 的圓組成，俯視圖是直徑等于 4 的圓，該幾何體的體積是（ ） 第 9 頁(yè)（共 24 頁(yè)） A B C D 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【專(zhuān)題】 計(jì)算題 【分析】 由三視圖得此幾何體的幾何特征：上球、下圓柱，并得到球的半徑、圓柱的底面半徑和高，由體積公式計(jì)算出幾何體的體積 【解答】 解：由三視圖知幾何體是一個(gè)簡(jiǎn)單組合體：上球、下圓柱組成， 且球的底面半徑是 2，圓柱的底面半徑是 2、高是 6， 所以幾何體的體積 V= = ， 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查由三視圖求體積，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三視圖的作圖規(guī)則，由三視圖還原出實(shí)物圖的幾何特征及測(cè)度 8閱讀如圖所示的程序框圖，則輸出的 S=（ ） A 45 B 35 C 21 D 15 【考點(diǎn)】 循環(huán)結(jié)構(gòu) 第 10 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 【專(zhuān)題】 圖表型 【分析】 根據(jù)所給 s、 i 的值先執(zhí)行 T=2i 1， s=sT， i=i+1，然后判斷 i 與 4 的關(guān)系，滿足條件算 法結(jié)束，不滿足條件繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，從而到結(jié)論 【解答】 解：因?yàn)?s=1， i=1， 執(zhí)行 T=21 1=1， s=11=1， i=1+1=2； 判斷 2 4，執(zhí)行 T=22 1=3， s=13=3， i=2+1=3； 判斷 3 4，執(zhí)行 T=23 1=5， s=35=15， i=3+1=4； 此時(shí) 44，滿足條件，輸出 s 的值為 15 故選 D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)中的直到型循環(huán)，直到型循環(huán)是先執(zhí)行后判斷，不滿足條件進(jìn)入循環(huán)，滿足條件算法結(jié)束 9函數(shù) 的 零點(diǎn)所在的區(qū)間是（ ） A（ 3， 4） B（ 2， 3） C（ 1， 2） D（ 0， 1） 【考點(diǎn)】 函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【專(zhuān)題】 計(jì)算題 【分析】 由題意可得 f（ 2） 0， f（ 3） 0，滿足 f（ 2） f（ 3） 0，由零點(diǎn)的存在性定理可判 【解答】 解： 函數(shù) ， f（ 2） = = 0， f（ 3） = = 0， f（ 2） f（ 3） 0 由零點(diǎn)的存在性定理可知：零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ 2， 3） 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查函數(shù)零點(diǎn)的判定，涉及對(duì)數(shù)的運(yùn)算，屬基礎(chǔ)題 10已知向量 與 的夾角為 120，且 | |=2， | |=3，若 = + ，且 ，則實(shí)數(shù) 的值為（ ） A B 13 C 6 D 第 11 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【專(zhuān)題】 平面向量及應(yīng)用 【分析】 由 ，得 =0，用向量 表示后展開(kāi)，結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù) 的值 【解答】 解： = + ，且 ， =（ + ） （ ） = = =0 向量 與 的夾角為 120，且 | |=2， | |=3， 23（ 1） 4+9=0 解得： 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查向量垂直與數(shù)量積間的關(guān)系，是基礎(chǔ)題 11設(shè)點(diǎn) P 是雙曲線 =1（ a 0， b 0）與圓 x2+y2=a2+第一象限的交點(diǎn)， 別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，且 |2|則雙曲線的離心率為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【專(zhuān)題】 計(jì)算題 【分析】 由 P 是雙曲線 與圓 x2+y2=a2+導(dǎo)出 0再由 |2|知 |4a， |2a，由此求出 c= a，從而得到雙曲線的離心率 【解答】 解： P 是雙曲線 與圓 x2+y2=a2+ 點(diǎn) P 到原點(diǎn)的距離 | ， 0， |2| 第 12 頁(yè)（共 24 頁(yè)） | |2a， |4a， |2a， 16 c= a， 故選 A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要注意公式的靈活運(yùn)用 12已知函 數(shù) f（ x） = x（ 0， e（ e 為自然常數(shù)）時(shí)，函數(shù) f（ x）的最小值為 3，則 ） A e B 2e D 2考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【專(zhuān)題】 綜合題；分類(lèi)討論；轉(zhuǎn)化法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用 【分析】 先求出其導(dǎo)函數(shù)，通過(guò)分類(lèi)討論分別求出導(dǎo)數(shù)為 0 的根，以及單調(diào)性和極值，再與 f（ x）的最小值是 3 相結(jié)合，即可得出結(jié)論 【解答】 解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?0， +），函數(shù)的導(dǎo)數(shù) ， 當(dāng) a0 時(shí)， f（ x） 0， f（ x）在 x（ 0， e）上單調(diào)遞減 f（ e） 0，與題意不符； 當(dāng) a 0 時(shí)， f（ x） =0 的根為 當(dāng) 時(shí)， ，解得 a= 當(dāng) 時(shí)， f（ x） 0， f（ x）在 x（ 0， e）上單調(diào)遞減 f（ e） 0，與題意不符； 綜上所述 a= 故 選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用利用函數(shù)單調(diào)性最值和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，利用分類(lèi)討論的思想進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵 二、填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 . 13若函數(shù) f（ x） =x+ ）為奇函數(shù)，則 a= 1 第 13 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的性質(zhì) 【專(zhuān)題】 計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 由 f（ x）為奇函數(shù)便可得到 ，進(jìn)行分子有理化和對(duì)數(shù)的運(yùn)算便可得到 = ，從而便可得出 ，這便得到 a=1 【解答】 解： f（ x）為奇函數(shù)； f（ x） = f（ x）； 即 = ； ； a=1 故答案為： 1 【點(diǎn)評(píng)】 考查奇函數(shù)的定義，以及分子有理化和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 14已知實(shí)數(shù) x， y 滿足不等式組 ，則 z=x 2y 的最小值為 4 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃 【專(zhuān)題】 計(jì)算題；函數(shù)思想；對(duì)應(yīng)思想；數(shù)形結(jié)合法；不等式 【分析】 由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案 【解答】 解：由約束條件 作出可行域如圖， 第 14 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 聯(lián)立 ，解得 A（ 2， 3）， 化目標(biāo)函數(shù) z=x 2y 為 ， 由圖可知，當(dāng)直線 過(guò) A 時(shí)，直線在 y 軸上的截距最小， z 有最大值為 2 23= 4 故答案為： 4 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題 15若圓 C 以拋物線 x 的焦點(diǎn)為圓心，截此拋物線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為 6，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是 （ x 1） 2+3 【考點(diǎn)】 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【專(zhuān)題】 直線與圓 【分析】 確定拋物線的準(zhǔn)線方程 及焦點(diǎn)坐標(biāo)，求出圓的圓心及半徑，即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【解答】 解：拋物線 x 的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（ 1， 0），準(zhǔn)線方程為 x= 1， 圓 C 截此拋物線的準(zhǔn)線所得弦長(zhǎng)為 6， 圓的半徑為 = 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（ x 1） 2+3 故答案為：（ x 1） 2+3 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的幾何性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題 16已知四棱錐 P 頂點(diǎn)都在球 O 的球面 上，底面 矩形，平面 底面 正三角形， ，則球 O 的表面積為 第 15 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積 【專(zhuān)題】 計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離 【分析】 求出 在圓的半徑，利用勾股定理求出球 O 的半徑 R，即可求出球 O 的表面積 【解答】 解：令 在圓的圓心為 圓 半徑 r= ， 因?yàn)槠矫?底面 所以 ， 所以球 O 的半徑 R= = ， 所以球 O 的表面積 =4 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查球 O 的表面積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，比較基礎(chǔ) 三、解答題：本大題共 5 小題，滿分 60 分，解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟 . 17在 ，內(nèi)角 A， B， C 對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)分別為 a， b， c，且滿足 c（ b） = （ ）求角 A； （ 2）求 最大值 【考點(diǎn)】 余弦定理；正弦定理 【專(zhuān)題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)形結(jié)合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；解三角形 【分析】 （ 1）由余弦定理化簡(jiǎn)已知可得 a2=c2+據(jù)余弦定理可求 = ，結(jié)合范圍 A（ 0， ） ，即可解得 A 的值 （ 2）利用三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡(jiǎn)可得 B+ ），結(jié)合范圍 B（ 0， ），可求 B+ （ ， ），利用正弦函數(shù)的性質(zhì)即可解得 最大值 【解答】 （本題滿分為 12 分） 解：（ 1） c（ b） = 由余弦定理可得： a2+2得： a2=c2+ = ， 第 16 頁(yè)（共 24 頁(yè)） A（ 0， ）， A= 6 分 （ 2） A+B） = B+ ）， B（ 0， ）， B+ （ ， ）， B+ ） （ ， 1， 最大值為 12 分 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了余弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題 18某市規(guī)定，高中學(xué)生在校期間須參加不少于 80 小 時(shí)的社區(qū)服務(wù)才合格某校隨機(jī)抽取 20 位學(xué)生參加社區(qū)服務(wù)的數(shù)據(jù)，按時(shí)間段 75， 80）， 80， 85）， 85， 90）， 90， 95）， 95， 100（單位：小時(shí)）進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其頻率分布直方圖如圖所示 （ ）求抽取的 20 人中，參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于 90 小時(shí)的學(xué)生人數(shù)； （ ）從參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于 90 小時(shí)的學(xué)生中任意選取 2 人，求所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率 【考點(diǎn)】 古典概型及其概率計(jì)算公式 【專(zhuān)題】 概率與統(tǒng)計(jì) 【分析】 （ I） 利用頻率分布直方圖，求出頻率，進(jìn)而根據(jù)頻數(shù) =頻率 樣本容量，得到答案； （ 計(jì)算從參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于 90 小時(shí)的學(xué)生中任意選取 2 人的情況總數(shù)，再計(jì)算所選學(xué)生的參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的情況數(shù)，代入古典概型概率計(jì)算公式，可得答案 【解答】 解：（ ）由題意可知， 第 17 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段 90， 95）的學(xué)生人數(shù)為 20=4（人）， 參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段 95， 100的學(xué)生人數(shù)為 20=2（人） 所以參加社區(qū)服務(wù)時(shí)間不少于 90 小時(shí)的學(xué)生人數(shù)為 4+2=6（人） （ ） 設(shè)所選學(xué)生的服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)為事件 A 由（ ）可知， 參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段 90， 95）的學(xué)生有 4 人，記為 a， b， c， d； 參加社區(qū)服務(wù)在時(shí)間段 95， 100的學(xué)生有 2 人，記為 A， B 從這 6 人中任意選取 2 人有 15 種情況 事件 A 包括 7 種情況 所以所選學(xué)生的服務(wù)時(shí)間在同一時(shí)間段內(nèi)的概率 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的 知識(shí)點(diǎn)是古典概型概率計(jì)算公式，其中熟練掌握利用古典概型概率計(jì)算公式求概率的步驟，是解答的關(guān)鍵 19在如圖所示的多面體 ， 平面 平面 D=1， ，E=2 （ ）在線段 取一點(diǎn) F，作 平面 需指出 F 的位置，不需證明）； （ ）對(duì)（ ）中的點(diǎn) F，求三棱錐 B 體積 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判 定 【專(zhuān)題】 整體思想；轉(zhuǎn)化法；空間位置關(guān)系與距離 【分析】 （ ）根據(jù)線面平行的判定定理即可確定 F 的位置 （ ）根據(jù)三棱錐的體積公式進(jìn)行求解即可求三棱錐 B 體積 第 18 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 【解答】 證明：（ ）取線段 中點(diǎn) F，連接 平面 （ ） 0， 平面 D=D， 平面 平面 平面 面 面 平面 B 到平面 距離為 S S ， 三棱錐 B 體積 V= S 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查線面平行的判斷以及三棱錐體積的計(jì)算，根據(jù)相應(yīng)的判定定理以及體積公式是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ) 20如圖，已知圓 C 與 y 軸相切于點(diǎn) T（ 0， 2），與 x 軸正半軸相交于兩點(diǎn) M， N（點(diǎn) M 必在點(diǎn) 且 |3，已知橢圓 D： 的焦距等于 2|且過(guò)點(diǎn) （ I）求圓 C 和橢圓 D 的方程； （ ）若過(guò)點(diǎn) M 斜率不為零的直線 l 與橢圓 D 交于 A、 B 兩點(diǎn)，求證：直線 直線 傾角互補(bǔ) 第 19 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【專(zhuān)題】 圓錐 曲線的定義、性質(zhì)與方程 【分析】 （ I） 設(shè)圓的半徑為 r，則圓心為（ r， 2），由 |3，利用垂徑定理得即可解得 r于是得到圓的方程，可求得點(diǎn) N， M 的坐標(biāo) 由 得到 2c，得到 a2=b2+橢圓過(guò)點(diǎn) ，代入橢圓的方程又得到關(guān)于 a， b 的一個(gè)方程，聯(lián)立即可解出 a， b，進(jìn)而得到橢圓的方程 （ 直線 l 的方程為 y=k（ x 4），與橢圓的方程聯(lián)立，得到根與系數(shù)的關(guān)系，表示出 明其和等于 0 即可 【解答】 （ I）解： 設(shè)圓的半徑為 r，則圓心為（ r， 2）， 由 |3，得 = ，解得 r= 所以 C 的方程為 令 y=0，解得 x=1 或 4 N（ 1， 0）， M（ 4， 0） 2c=2，得 c=1 橢圓過(guò)點(diǎn) ， 聯(lián)立 ，解得 橢圓的方程為 （ 直線 l 的方程為 y=k（ x 4）， 聯(lián)立 消去 y 得到（ 3+432412=0，（ *） 設(shè) A（ B（ 第 20 頁(yè)（共 24 頁(yè)） ， = = 25（ x1+8 = =0 當(dāng) 或 時(shí)， ，此時(shí)方程（ *）的 =0，不 合題意，應(yīng)舍去 因此直線 直線 傾角互補(bǔ) 【點(diǎn)評(píng)】 熟練掌握?qǐng)A的標(biāo)準(zhǔn)方程、垂徑定理、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、 直線 直線 傾角互補(bǔ)（斜率存在） 等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵 21已知函數(shù) f（ x） =ax+aR） （ 1）若函數(shù) f（ x）在區(qū)間 e， +）上為增函數(shù)，求 a 的取值范圍； （ 2）當(dāng) a=1 且 kz 時(shí)，不等式 k（ x 1） f（ x）在 x（ 1， +）上恒成立，求 k 的最大值 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；利 用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值 【專(zhuān)題】 綜合題；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用 【分析】 （ 1）易求 f（ x） =a+1+題意知，當(dāng) xe 時(shí)， a+1+ 恒成立，即 xe 時(shí)， a（ 1 而可得 a 的取值范圍； （ 2）依題意， 對(duì)任意 x 1 恒成立，令 則 ，再令 h（ x） =x 2（ x 1），易知 h（ x）在（ 1， +）上單增，從而可 求得 g（ x） 3， 4），而 kz，從而可得 k 的最大值 【解答】 解：（ 1） f（ x） =ax+ f（ x） =a+1+函數(shù) f（ x）在區(qū)間 e， +）上為增函數(shù)， 第 21 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 當(dāng) xe 時(shí)， a+1+ 恒成立， a（ 1 1 2，即 a 的取值范圍為 2， +）； （ 2）當(dāng) x 1 時(shí)， x 1 0，故不等式 k（ x 1） f（ x） k ， 即 對(duì)任 意 x 1 恒成立 令 則 ， 令 h（ x） =x 2（ x 1）， 則 在（ 1， +）上單增 h（ 3） =1 0， h（ 4） =2 0， 存在 3， 4）使 h（ =0， 即當(dāng) 1 x ， h（ x） 0，即 g（ x） 0， 當(dāng) x ， h（ x） 0，即 g（ x） 0， g（ x）在（ 1， 單減，在（ +）上單增 令 h（ =2=0，即 2，= 3， 4）， k g（ x） kZ， 即 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，著重考查等價(jià)轉(zhuǎn)化思想與函數(shù)恒成立問(wèn)題，屬于難題 請(qǐng)考生在 22、 23、 24 三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分 選修 4何證明選講 22如圖，四邊形 O 的內(nèi)接四邊形，延長(zhǎng) 交于點(diǎn) P， = ， = （ ）求 的值； （ ）若 O 的直徑，且 ，求 長(zhǎng) 第 22 頁(yè)（共 24 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段 【專(zhuān)題】 壓軸題；選作題；推理和證明 【分析】 （ ）證明 似，即可求 的值； （ ）求出 用勾股定理求 長(zhǎng) 【解答】 解：（ ）由 A= A，得 似， 設(shè) PA=x， PD=y 則有 ， 所以 （ ）因?yàn)?， = ，所以 ， 因 為 B=C， = ，所以 ， 因?yàn)?O 的直徑，所