六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)（ ）專用資料 六 年級(jí) 講 教師版 3745924769 數(shù)學(xué)探討群： 95519702 本講知識(shí)點(diǎn)屬于計(jì)算大板塊內(nèi)容，分為三個(gè)方面系統(tǒng)復(fù)習(xí)和學(xué)習(xí)小升初常考計(jì)算題型 . 1、 裂項(xiàng)： 是計(jì)算中需要發(fā)現(xiàn)規(guī)律、利用公式的過(guò)程，裂項(xiàng)與通項(xiàng)歸納是密不可分的，本講要求學(xué)生掌握裂項(xiàng)技巧及尋找通項(xiàng)進(jìn)行解題的能力 2、 換元： 讓學(xué)生能夠掌握等量代換的概念，通過(guò)等量代換講復(fù)雜算式變成簡(jiǎn)單算式。 3、 循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)拆分： 掌握循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化，循環(huán)小數(shù)之間簡(jiǎn)單的加、減運(yùn)算，涉及循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的主要利用運(yùn)算定律進(jìn)行 簡(jiǎn)算的問(wèn)題 4、通項(xiàng)歸納法 通項(xiàng)歸納法也要借助于代數(shù)，將算式化簡(jiǎn)，但換元法只是將“形同”的算式用字母代替并參與計(jì)算，使計(jì)算過(guò)程更加簡(jiǎn)便，而通項(xiàng)歸納法能將“形似”的復(fù)雜算式，用字母表示后化簡(jiǎn)為常見的一般形式 一、裂項(xiàng)綜合 （一）、“裂差”型運(yùn)算 (1)對(duì)于分母可以寫作兩個(gè)因數(shù)乘積的分?jǐn)?shù)，即 1式的，這里我們把較小的數(shù)寫在前面，即 ，那么有 1 1 1 1()a b b a a b(2)對(duì)于分母上為 3個(gè)或 4個(gè)連續(xù)自然數(shù)乘積形式的分?jǐn)?shù)，即： 1( 1) ( 2 )n n n ， 1( 1 ) ( 2 ) ( 3 )n n n n 形式的，我們有： 1 1 1 1( 1 ) ( 2 ) 2 ( 1 ) ( 1 ) ( 2 )n n n n n n n 1 1 1 1( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) 3 ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )n n n n n n n n n n 裂差型裂項(xiàng)的三大關(guān)鍵特征： （ 1）分子全部相同，最簡(jiǎn)單形式為都是 1的，復(fù)雜形式可為都是 x(的，但是只要將 的運(yùn)算。 （ 2）分母上均為幾個(gè)自然數(shù)的乘積形式，并且滿足相鄰 2個(gè)分母上的因數(shù)“首尾相接” （ 3）分母上幾個(gè)因數(shù)間的差是一個(gè)定值。 （二）、“裂和”型運(yùn)算： 知識(shí)點(diǎn)撥 教學(xué)目標(biāo) 第一講：分?jǐn)?shù)的速算與巧算 六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)（ ）專用資料 六 年級(jí) 講 教師版 3745924769 數(shù)學(xué)探討群： 95519702 常見的裂和型運(yùn)算主要有以下兩種形式： （ 1） 11a b a ba b a b a b b a （ 2） 2 2 2 2a b a b a ba b a b a b b a 裂和型運(yùn)算與裂差型運(yùn)算的對(duì)比： 裂差型運(yùn)算的核心環(huán)節(jié)是“兩兩抵消達(dá)到簡(jiǎn)化的目的”，裂和型運(yùn)算的題目不僅有“兩兩抵消”型的，同時(shí)還有轉(zhuǎn)化為“分?jǐn)?shù)湊整”型的，以達(dá)到簡(jiǎn)化目的。 三、整數(shù)裂項(xiàng) (1) 1 2 2 3 3 4 . . . ( 1 ) 1 ( 1 ) ( 1 )3 n n n (2) 11 2 3 2 3 4 3 4 5 . . . ( 2 ) ( 1 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 1 )4n n n n n n n 二、換元 解數(shù)學(xué)題時(shí)，把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用 另 一個(gè)量去代替它，從而使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化， 這叫換元法 換元的實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化 ，將復(fù)雜的式子化繁為簡(jiǎn) 三、循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù) 1、 循環(huán)小數(shù)化分?jǐn)?shù)結(jié)論： 純循環(huán)小數(shù) 混循環(huán)小數(shù) 分子 循環(huán)節(jié)中的數(shù)字所組成的數(shù) 循環(huán)小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字所組成的數(shù)與 不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字所組成的數(shù)的差 分母 n 個(gè) 9，其中 節(jié)所含的數(shù)字個(gè)數(shù) 按循環(huán)位數(shù)添 9，不循環(huán)位數(shù)添 0，組成分母，其中 9在 0的左側(cè) 0. 9； 0. 99； 10 . 0 9 9 1 0 9 9 0a b a ； 0. 990 ， 2、 單位分?jǐn)?shù)的拆分： 例： 110= 1120 20= 11= 11= 11= 11分析：分?jǐn)?shù)單位的拆分，主要方法是： 從分母 m和 n,有： 1 1 ( )( ) ( ) ( )m n m m n N m n N m n =11題 10 的約數(shù)有 :1,10,2,5.。 例如：選 1和 2，有： 1 1 ( 1 2 ) 1 2 1 11 0 1 0 ( 1 2 ) 1 0 ( 1 2 ) 1 0 ( 1 2 ) 3 0 1 5 本題具體 的解有： 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 1 1 1 1 0 1 2 6 0 1 4 3 5 1 5 3 0 六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)（ ）專用資料 六 年級(jí) 講 教師版 3745924769 數(shù)學(xué)探討群： 95519702 模塊一、 分?jǐn)?shù)裂項(xiàng) 【例 1】 1 1 1 1 11 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 6 7 8 9 7 8 9 1 0 【 解解 析析 】 原式 1 1 1 1 1 1 13 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 7 8 9 8 9 1 0 13 1 2 3 8 9 1 0 1192160 【 鞏鞏 固固 】 3 3 3. 3 4 2 3 4 5 1 7 1 8 1 9 2 0 【 解解 析析 】 原式 1 1 1 1 1 1 13 ( . . . ) 3 1 2 3 2 3 4 2 3 4 3 4 5 1 7 1 8 1 9 1 8 1 9 2 0 1 1 3 1 9 2 0 1 1 1 3 91 2 3 1 8 1 9 2 0 1 8 1 9 2 0 6 8 4 0 【例 2】 計(jì)算： 5 7 1 91 2 3 2 3 4 8 9 1 0 L 【 解解 析析 】 如果式子中每一項(xiàng)的分子都相同，那么就是一道很常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的題目但是本題中分子不相同，而是成等差數(shù)列，且等差數(shù)列的公差為 2相比較于 2， 4， 6，這一公差為 2 的等差數(shù)列 (該數(shù)列的第 n 個(gè)數(shù)恰好為 n 的 2 倍 )，原式中分子所成的等差數(shù)列每一項(xiàng)都比其大 3，所以可以先把原式中每一項(xiàng)的 分子都分成 3與另一個(gè)的和再進(jìn)行計(jì)算 原式 3 2 3 4 3 1 61 2 3 2 3 4 8 9 1 0 1 1 2 8321 2 3 2 3 4 8 9 1 0 1 2 3 2 3 4 8 9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 12 1 2 2 3 2 3 3 4 8 9 9 1 0 2 3 3 4 9 1 0 1 1 1 1 1 1 1 122 1 2 9 1 0 2 3 3 4 9 1 0 L 3 1 1 1 122 2 9 0 2 1 0 7 1 14 60 5 2315 也可以直接進(jìn)行通項(xiàng)歸納根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，可知分子的通項(xiàng)公式為 23n ，所以 2 3 2 31 2 1 2 1 2nn n n n n n n n ，再將每一項(xiàng)的 212 與例題精講 六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)（ ）專用資料 六 年級(jí) 講 教師版 3745924769 數(shù)學(xué)探討群： 95519702 312n n n 分別加在一起進(jìn)行裂項(xiàng)后面的過(guò)程與前面的方法相同 【 鞏鞏 固固 】 (2009年迎春杯初賽五年級(jí) )計(jì)算： 5 7 1 7 1 911552 3 4 3 4 5 8 9 1 0 9 1 0 1 1 L（ ）【 解解 析析 】 本題的重點(diǎn)在于計(jì)算括號(hào)內(nèi)的算式： 5 7 1 7 1 92 3 4 3 4 5 8 9 1 0 9 1 0 1 1 L這個(gè)算式不同于我們常見的分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)的地方 在于每一項(xiàng)的分子依次成等差數(shù)列，而非常見的分子相同、或分子是分母的差或和的情況所以應(yīng)當(dāng)對(duì)分子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，使之轉(zhuǎn)化成我們熟悉的形式 觀察可知 5 2 3 ， 7 3 4 ，即每一項(xiàng)的分子都等于分母中前兩個(gè)乘數(shù)的和，所以 5 7 1 7 1 92 3 4 3 4 5 8 9 1 0 9 1 0 1 1 L 2 3 3 4 9 1 02 3 4 3 4 5 9 1 0 1 1 L 1 1 1 1 1 13 4 2 4 4 5 3 5 1 0 1 1 9 1 1 1 1 1 13 4 4 5 1 0 1 1 2 4 3 5 9 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 13 4 4 5 1 0 1 1 2 2 4 3 5 4 6 8 1 0 9 1 1 1 1 1 1 1 13 1 1 2 2 1 0 3 1 1 8 1 2 83 3 2 5 3 3155 所以原式 311 1 5 5 6 5 155 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 3 4 5 1 21 2 4 5 2 3 5 6 3 4 6 7 1 0 1 1 1 3 1 4 L【 解解 析析 】 觀察可知原式每一項(xiàng)的分母中如果補(bǔ)上分子中的數(shù)，就會(huì)是 5 個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積，所以可以先將每一項(xiàng)的分子、分母都乘以分子中的數(shù)即： 原 式 2 2 2 23 4 5 1 21 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 要對(duì)分子進(jìn)行分拆，考慮到每一 項(xiàng)中分子、分母的對(duì)稱性，可以 用平方差公式： 23 1 5 4 ， 24 2 6 4 ， 25 3 7 4 【 解解 析析 】 原式 2 2 2 23 4 5 1 21 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 4 2 6 4 3 7 4 1 0 1 4 41 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 L 六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)（ ）專用資料 六 年級(jí) 講 教師版 3745924769 數(shù)學(xué)探討群： 95519702 1 1 1 12 3 4 3 4 5 4 5 6 1 1 1 2 1 34 4 4 41 2 3 4 5 2 3 4 5 6 3 4 5 6 7 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 1 12 2 3 3 4 3 4 4 5 1 1 1 2 1 2 1 31 1 1 1 1 11 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 5 3 4 5 6 1 0 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2 1 3 1 4 1 1 12 2 3 1 2 1 3 1 2 3 4 1 1 1 2 1 3 1 4 1 1 1 11 2 2 1 2 1 3 2 4 1 1 1 2 1 3 1 4 1 7 7 18 1 1 1 2 1 3 1 4 118 2 1 1 1 4 1 1 7 58 3 0 8 6 1 6 【例 3】 1 2 3 4 92 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 1 0 L L【 解解 析析 】 原式 1 2 3 4 92 2 3 2 3 4 2 3 4 5 2 3 4 1 0 L 3 1 4 1 1 0 12 2 3 2 3 4 2 3 4 1 0 L L 1 1 1 1 1 1 11 2 2 2 3 2 3 2 3 4 2 3 4 9 2 3 4 9 1 0 L 3 6 2 8 7 9 91 2 3 4 9 1 0 3 6 2 8 8 0 0 L 【例 4】 1 1 1 11 1 2 1 2 3 1 2 1 0 0 【 解解 析析 】 本題為典型的“隱藏在等差數(shù)列求和公式背后的分?jǐn)?shù)裂差型裂項(xiàng)”問(wèn)題。此類問(wèn)題需要從最簡(jiǎn)單的項(xiàng)開始入手，通過(guò)公式的運(yùn)算尋找規(guī)律。從第一項(xiàng)開始，對(duì)分母進(jìn)行等差數(shù)列求和運(yùn)算公式的代入有 1 1 2(1 1 ) 11 1 22 ， 1 1 2(1 2 ) 21 2 2 32， 原式 2 2 2 2 1 2 0 0 9 92 ( 1 ) 11 2 2 3 3 4 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 鞏鞏 固固 】 2 3 4 5 01 ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 3 4 ) ( 1 2 3 4 9 ) ( 1 2 3 5 0 ) L 解解 析析 】 原式 213 336 46 10 510 15 501225 1275（ 11 13）（ 13 16）（ 16 110）（ 11225 11275） 12741275六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)（ ）專用資料 六 年級(jí) 講 教師版 3745924769 數(shù)學(xué)探討群： 95519702 【 鞏鞏 固固 】 2 3 4 1 0 01 ( 1 2 ) ( 1 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 3 4 ) ( 1 2 9 9 ) ( 1 2 1 0 0 ) L 解解 析析 】 2 1 11 (1 2 ) 1 1 2 ， 3 1 1( 1 2 ) ( 1 2 3 ) 1 2 1 2 3 ， 1 0 0 1 1( 1 2 9 9 ) ( 1 2 1 0 0 ) 1 2 9 9 1 2 1 0 0 L L L L，所以 原式 111 2 1 0 0 0 4 91 5 0 5 0 5 0 5 0 【 鞏鞏 固固 】 2 3 1 011 1 2 ( 1 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 3 9 ) ( 1 2 3 1 0 ) L ）【 解解 析析 】 原式 2 3 4 1 01 ( )1 3 3 6 6 1 0 4 5 5 5 1 1 1 1 111 3 3 6 6 1 0 4 5 5 5 L 11155 155 【例 5】 (仁華學(xué)校入學(xué)測(cè)試題 ) 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 13 1 5 1 7 1 9 1 1 1 1 1 3 1 . 【 解解 析析 】 這題是利用平方差公式進(jìn)行裂項(xiàng)： 22 ( ) ( )a b a b a b ， 原式 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 4 4 6 6 8 8 1 0 1 0 1 2 1 2 1 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1()2 4 4 6 6 8 8 1 0 1 0 1 2 1 2 1 4 2 1 1 1 3()2 1 4 2 1 4 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算：2 2 2 2 2 2 2 23 5 7 1 51 2 2 3 3 4 7 8 L【 解解 析析 】 原式 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 22 1 3 2 4 3 8 71 2 2 3 3 4 7 8 L 2 2 2 2 2 2 21 1 1 1 1 1 11 2 2 3 3 4 7 8 6364六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)（ ）專用資料 六 年級(jí) 講 教師版 3745924769 數(shù)學(xué)探討群： 95519702 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 2 2 2 2 22 2 2 2 23 1 5 1 7 1 1 9 9 3 1 1 9 9 5 13 1 5 1 7 1 1 9 9 3 1 1 9 9 5 1 L 【 解解 析析 】 原式2 2 2 2 22 2 2 2 21 1 1 1 13 1 5 1 7 1 1 9 9 3 1 1 9 9 5 1 L 2 2 2997 2 4 4 6 1 9 9 4 1 9 9 6 L 1 1 1 1 1 1997 2 4 4 6 1 9 9 4 1 9 9 6 1 9 9 6 9979971996 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 2 2 2 21 2 3 5 01 3 3 5 5 7 9 9 1 0 1 L 【 解解 析析 】 式子中每一項(xiàng)的分子與分母初看起來(lái)關(guān)系不大，但是如果將其中的分母根據(jù)平方差公式分別變?yōu)?21 ， 241 ， 261 ， 2100 1 ，可以發(fā)現(xiàn)如果分母都加上 1，那么恰好都是分子的 4 倍，所以可以先將原式乘以 4后進(jìn)行計(jì)算，得出結(jié)果后除以 4就得到原式的值了 原式 2 2 2 22 2 2 21 2 4 6 1 0 04 2 1 4 1 6 1 1 0 0 1 2 21 1 1 1 11 1 1 14 2 1 4 1 6 1 1 0 0 1 L 1 1 1 1 1504 1 3 3 5 5 7 9 9 1 0 1 L 1 1 1 1 1 1 1 1 15 0 14 2 3 3 5 5 7 9 9 1 0 1 15 0 14 2 1 0 1 1 50504 10 6312101 【 鞏鞏 固固 】 2 2 4 4 6 6 8 8 1 0 1 01 3 3 5 5 7 7 9 9 1 1 【 解解 析析 】 （法 1）：可先找通項(xiàng) 22211111 1 ( 1 ) ( 1 )n na n n n n 原式 1 1 1 1 1( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )1 3 3 5 5 7 7 9 9 1 1 1 1 5 55 ( 1 ) 5 52 1 1 1 1 1 1 （法 2）：原式 2 8 8 1 8 1 8 3 2 3 2 5 0 5 0( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 5 5 7 7 9 9 1 1 6 1 0 1 4 1 8 5 0 6 52 1 0 4 53 5 7 9 1 1 1 1 1 1 六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)（ ）專用資料 六 年級(jí) 講 教師版 3745924769 數(shù)學(xué)探討群： 95519702 【例 6】 111 3 1 9 9 921 1 1 1 1 11 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 2 3 2 3 1 9 9 9 解解 析析 】 11 2 1 111 2 ( )1 1 1 2 ( 1 ) ( 2 ) 1 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 )2 3 1 2n n n 1 1 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) 22 3 3 4 4 5 1 9 9 9 2 0 0 0 L1000999100011 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 1 1 111 2 1 2 3 1 2 2 0 0 7 【 解解 析析 】 先找通項(xiàng)公式 1 2 1 12 ( )1 2 ( 1 ) 1na n n n n n 1 11 2 ( 2 1 ) 3 ( 3 1 ) 2 0 0 7 ( 2 0 0 7 1 )2 2 2 2 21 2 2 3 3 4 2 0 0 7 2 0 0 8 L 20072 2008 20071004 【 鞏鞏 固固 】 1 1 1 13 3 5 3 5 7 3 5 7 2 1 L L【 解解 析析 】 先找通項(xiàng)： 1 1 113 5 2 1 22 1 32na n n L， 原式 1 1 1 1 1 11 3 2 4 3 5 4 6 9 1 1 1 0 1 2 1 1 1 11 3 3 5 9 1 1 2 4 4 6 1 0 1 2 1 1 1 1 12 1 1 1 2 2 1 2 175264 【例 7】 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 3 5 02 2 3 2 3 4 2 3 5 0 【 解解 析析 】 找通項(xiàng) ( 1 ) ( 1 )2( 1 ) ( 1 ) 212 原式 2 3 3 4 4 5 5 6 2 3 3 4 4 5 5 64 1 0 1 8 2 8 1 4 2 5 3 6 4 7 通過(guò)試寫我們又發(fā)現(xiàn)數(shù)列存在以上規(guī)律，這樣我們就可以輕松寫出全部的項(xiàng)，所以有 原式 2 3 3 4 4 5 5 6 4 8 4 9 4 9 5 0 5 0 5 11 4 2 5 3 6 4 7 4 7 5 0 4 8 5 1 4 9 5 2 0 2321 52 26 六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)（ ）專用資料 六 年級(jí) 講 教師版 3745924769 數(shù)學(xué)探討群： 95519702 【例 8】 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 23 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 2 61 1 2 1 2 3 1 2 3 4 1 2 2 6 【 解解 析析 】 2 2 2223 3 3( 1 ) ( 2 1 )1 2 2 2 1 2 1 16 ()( 1 )1 2 3 ( 1 ) 3 14nn n n n n n 原式 = 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 3 1 2 2 3 3 4 2 6 2 7 2 1 5 2(1 )3 2 7 8 1 【 鞏鞏 固固 】 2 2 21 1 11 1 12 1 3 1 9 9 1 L 【 解解 析析 】 22221 ( 1 ) ( 1 )1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 ( 2 )n n n n n 原式 2 2 3 3 9 8 9 8 9 9 9 9( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 3 1 ) ( 3 1 ) ( 9 8 1 ) ( 9 8 1 ) ( 9 9 1 ) ( 9 9 1 ) 3 3 4 4 5 5 9 8 9 8 9 9 9 9 2 9 9 4 913 1 4 2 5 3 6 4 9 9 9 7 1 0 0 9 8 1 1 0 0 5 0 L 【例 9】 計(jì)算： 2 2 22 2 22 3 9 92 1 3 1 9 9 1 L 【 解解 析析 】 通項(xiàng)公 式： 22111 1 1 1 2n n n ， 原式 2 2 3 3 4 4 9 8 9 8 9 9 9 9( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 3 1 ) ( 3 1 ) ( 4 1 ) ( 4 1 ) ( 9 8 1 ) ( 9 8 1 ) ( 9 9 1 ) ( 9 9 1 ) 3 3 4 4 5 5 9 8 9 8 9 9 9 93 1 4 2 5 3 6 4 9 9 9 7 1 0 0 9 8 L 2 2 3 3 4 4 9 8 9 8 9 9 9 91 3 2 4 3 5 9 7 9 9 9 8 1 0 0 9 991 100 0 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 2 2 22 2 21 2 9 91 1 0 0 5 0 0 0 2 2 0 0 5 0 0 0 9 9 9 9 0 0 5 0 0 0 L 【 解解 析析 】 本 題 的 通 項(xiàng) 公 式 為 22 1 0 0 5 0 0 0 ， 沒(méi) 辦 法 進(jìn) 行 裂 項(xiàng) 之 類 的 處 理 注 意 到 分 母 2 1 0 0 5 0 0 0 5 0 0 0 1 0 0 5 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0n n n n n n ，可以看出如果把 n 換成100n 的話分母的值不變，所以可以把原式子中的分?jǐn)?shù)兩兩組合起來(lái)，最后單獨(dú)剩下一個(gè)22505 0 5 0 0 0 5 0 0 0 將項(xiàng)數(shù)和為 100的兩項(xiàng)相加，得 六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)（ ）專用資料 六 年級(jí) 講 教師版 0 3745924769 數(shù)學(xué)探討群： 95519702 22 22222 2 21 0 0 1 0 0 2 2 0 0 1 0 0 0 0 21 0 0 5 0 0 0 1 0 0 5 0 0 0 1 0 0 5 0 0 01 0 0 1 0 0 1 0 0 5 0 0 0n n nn n nn n n n n ， 所以原式 2 49 1 99 （或者，可得原式中 99 項(xiàng)的平均數(shù)為 1，所以原式 1 99 99 ） 【例 10】 222222 1021121 11 12120 154 132 124 【 解解 析析 】 雖然很容易看出3213121，5415141 可是再仔細(xì)一看，并沒(méi)有什么效果，因?yàn)檫@不象分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)那樣能消去很多項(xiàng)我們?cè)賮?lái)看后面的式 子，每一項(xiàng)的分母容易讓我們想到公式 ， 于是我們又有)12()1( 6321 1 2222 減號(hào)前面括號(hào)里的式子有 10項(xiàng)，減號(hào)后面括號(hào)里的式子也恰好有 10 項(xiàng)，是不是“一個(gè)對(duì)一個(gè)”呢？ 222222 1021 121 11 12120 154 132 124 2111101532 1321 162120 154 132 124 2122201564 1342 1242120 154 132 124 212220 12120 1564 154 1342 132 124 2220164 142 124 1110132 121 16 11116 1160 模塊二、換元與公式應(yīng)用 【例 11】 計(jì)算： 3 3 3 3 3 3 3 31 3 5 7 9 1 1 1 3 1 5 【解析】 原式 3 3 3 3 3 3 3 3 31 2 3 4 1 4 1 5 2 4 1 4 22 3 3 31 5 1 5 1 8 1 2 74 L 2257600 2 7 84 8128 【 鞏鞏 固固 】 1 3 2 4 3 5 9 1 1 L 【解析】 原式 2 1 2 1 3 1 3 1 1 0 1 1 0 1 L 六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)（ ）專用資料 六 年級(jí) 講 教師版 1 3745924769 數(shù)學(xué)探討群： 95519702 2 2 22 2 22 2 2 22 1 3 1 1 0 12 3 1 0 91 2 3 1 0 1 01 0 1 1 2 11 0 3 7 56 【 鞏鞏 固固 】 計(jì)算： 1 2 3 2 3 4 3 4 5 8 9 1 0 L 【解析】 原式 2 2 2 22 2 1 3 3 1 4 4 1 9 9 1 L 3 3 3 32 3 4 9 2 3 4 9 21 2 3 9 1 2 3 4 9 24 5 4 5 1 9 8 0 【例 12】 計(jì)算：234561 1 1 1 1 11 3 3 3 3 3 3 【解析】 法一：利用等比數(shù)列求和公式。 原式7111 311371 3 2 6 4113 2 7 2 9 法二：錯(cuò)位相減法 設(shè)234561 1 1 1 1 11 3 3 3 3 3 3S 則23451 1 1 1 13 3 1 3 3 3 3 3S ，61333 ，整 理可得 3641729S 法三：本題與例 3相比，式子中各項(xiàng)都是成等比數(shù)列，但是例 3中的分子為 3，與公比 4差 1， 所以可以采用“借來(lái)還去”的方法，本題如果也要采用“借來(lái)還去”的方法，需要將每一項(xiàng) 的分子變得也都與公比差 1由于公比為 3，要把分子變?yōu)?2，可以先將每一項(xiàng)都乘以 2進(jìn)行算，最后再將所得的結(jié)果除以 2即得到原式的值 由題設(shè)，234562 2 2 2 2 222 3 3 3 3 3 3S ，則運(yùn)用“借來(lái)還去”的方法可得到61233S ， 整理得到 3641729S 【例 13】 計(jì)算： 2 2 2 2 2 2 2 2( 2 4 6 1 0 0 ) ( 1 3 5 9 9 )1 2 3 9 1 0 9 8 3 2 1 六六老師數(shù)學(xué)網(wǎng)（ ）專用資料 六 年級(jí) 講 教師版 2 3745924769 數(shù)學(xué)探討群： 95519702 【解析】 原式 2 2 2 2 2 2 2 22( 2 1 ) ( 4 3 ) ( 6 5 ) ( 1 0 0 9 9 )10 ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 4 3 ) ( 4 3 ) ( 6 5 ) ( 6 5 ) ( 1 0 0 9 9 ) ( 1 0 0 9 9 )100 1 2 3 4 9 9 1 0 0 5 0 5 0 1501 0 0 1 0 0 2 【 鞏鞏 固固 】 (浙江省小學(xué)數(shù)學(xué)活動(dòng)課夏令營(yíng) ) 231415926 31415925 31415927 _； 221 2 3 4 8 7 6 6 2 4 6 8 8 7 6 6 _ 【解析】 觀察可知 31415925和 31415927都與 31415926 相差 1，設(shè) 31415926a ， 原式 2 2 21 1 1 1a a a a a 原式 221 2 3 4 8 7 6 6 2 1 2 3 4 8 7 6 6 2 21 2 3 4 8 7 6 6 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 【 鞏鞏 固固 】 (北京二中入學(xué)選拔試題 ) 計(jì)算： 2 2 2 2 2 2 21 2 3 4 2 0 0 5 2 0 0 6 2 0 0 7 L 【解析】 原式 2 2 2 2 2 2 22 0 0 7 2 0 0 6 5 4 3 2 1 L ( 2 0 0 7 2 0 0 6 ) ( 2 0 0 7 2 0 0 6 ) ( 2 0 0 5 2 0 0 4 ) ( 2 0 0 5 2 0 0 4 ) ( 3 2 ) ( 3 2 ) 1 L 2 0 0 7 2 0 0 6 2 0 0 5 2 0 0 4 3 2 1 L 1 2 0 0 7 1 2 0 0 7 2 0 1 5 0 2 82 【例 14】 計(jì)算： 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 2 2 3 3 4 4