用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 復(fù)數(shù)模長(zhǎng)可用來(lái)干什么復(fù)數(shù)模長(zhǎng)可用來(lái)干什么 復(fù)數(shù)模長(zhǎng)是復(fù)數(shù)的一個(gè)基本要素 也是復(fù)數(shù)問(wèn)題中經(jīng)常出現(xiàn)的一種題設(shè)條件 但它能用 來(lái)解決哪些問(wèn)題呢 本文就從三個(gè)方面來(lái)闡述這一問(wèn)題 一一 利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)求值利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)求值 例 1 設(shè)為復(fù)數(shù) 且求的值 z 11 zz1 z 分析 分析 若能由已知條件 求出 z 則可求 z 1 而確定一個(gè)復(fù)數(shù) z 需要一對(duì)實(shí)數(shù) 因 此需設(shè)兩個(gè)未知數(shù) 而已知條件中恰有兩個(gè)等式 故而可列出關(guān)于復(fù)數(shù) z 的實(shí)部 虛部的 兩個(gè)方程 解 解 設(shè) zabi abR zabizz 1111 且 ab ab ab ab ab aba 22 22 22 22 22 22 1 11 1 11 1 20 解方程組 得 a b 1 2 3 4 2 zabiabiab1111 1 2 1 3 4 3 222 注 注 一般地 欲求一個(gè)復(fù)數(shù) 通常先設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式 a bi a b R 而后利用 已知條件列出關(guān)于 a b 的方程組 求解出 a b 也即求得了這個(gè)復(fù)數(shù) 在這里 方程的 思想方法得到了充分運(yùn)用 二二 利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)確定復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)確定復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡 例 2 若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足 求復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所表示的曲線 z41 2 2 izzz 分析 分析 欲求點(diǎn)的軌跡 在難以直接由條件作出判斷的情況下 一般先求出軌跡方程 再 由方程的特征判斷軌跡是何種曲線 而此處的求軌跡方程的已知條件是關(guān)于復(fù)數(shù)的等式 即方程 需設(shè)出 z 的代數(shù)形式 x yi 即設(shè)出動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo) 才能把復(fù)數(shù)形式的方程化為 我們熟悉的軌跡方程 F x y 0 解 解 設(shè) 代入已知等式 得zxyixyR xyixyii 14 22 xyxy 114 2222 整理 得xy 20 復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是一條直線 z 例 3 若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足求復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡 z 1 ziz432 分析 分析 若設(shè)復(fù)數(shù) 2z 3 4i 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為 W x y 顯然 x y 是隨著 z 對(duì)應(yīng)的點(diǎn) Z 的坐標(biāo)的 變化而變化的 即點(diǎn) W 與點(diǎn) Z 是一對(duì)相關(guān)點(diǎn) 且已知點(diǎn) Z 的運(yùn)動(dòng)有規(guī)律 Z 在以原點(diǎn)為圓 心 以 1 為半徑的圓上 因此聯(lián)想到求軌跡方程的相關(guān)點(diǎn)法 需設(shè)出點(diǎn) Z W 的坐標(biāo) 然 后列出它們的關(guān)系式 進(jìn)而代入消去點(diǎn) Z 的坐標(biāo) 而得到點(diǎn) W 的軌跡方程 進(jìn)而可判斷其 軌跡 用心 愛(ài)心 專(zhuān)心 解 解 設(shè) 另設(shè)復(fù)數(shù) 且 zabi abRzixyi xyR 234 則xyiabiiabi 2342324 由復(fù)數(shù)相等 得 xa yb a x b y 23 24 3 2 4 2 即 1 z 1 22 ba1 2 4 2 3 22 yx 443 22 yx 它表示以 為圓心 以 為半徑的圓342 注 注 本題也可不必設(shè)出點(diǎn) Z 點(diǎn) W 表示的復(fù)數(shù) 而直接由復(fù)數(shù) z 與 之間的關(guān)系 求 得復(fù)數(shù)形式的軌跡方程 解法如下 設(shè) 則iz432 iz43 2 1 即 1 z 143 2 1 i 243 i 這就是所求的軌跡方程 由方程特征 易知 對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以 3 4 為圓心 以 2 為半徑的圓 三三 利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)求最值利用復(fù)數(shù)模長(zhǎng)求最值 例 4 若 求的最大值和最小值 11 izz 方法一 方法一 設(shè) 則 Ryxyixz zixy 1111 22 即 xy 111 22 而 zxy 22 這是關(guān)于 x y 的二元函數(shù) 消元略顯繁瑣 因此代數(shù)解法不簡(jiǎn)明 換角度看問(wèn)題 方法二 方法二 由模的性質(zhì)有 zizi 111 即 解得 zz 212112 z 的最小值為 最大值為2112 方法三 方法三 可利用復(fù)數(shù)運(yùn)算幾何意義化歸為幾何問(wèn)題 zizi 111 zi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為圓心 以 為半徑的圓 11 而 z 則表示該圓 上的點(diǎn)到原點(diǎn) O 的距離 畫(huà)出方程 表示的軌跡 見(jiàn)下圖 zi 11 由平面幾何知識(shí)可知 使圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離取最大 最小 值的點(diǎn)在直線 OC 與圓 的