中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué) 運(yùn)動(dòng)型問題運(yùn)動(dòng)型問題 淺析淺析 中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué) 運(yùn)動(dòng)型問題運(yùn)動(dòng)型問題 淺析淺析 內(nèi)容摘要 運(yùn)動(dòng)型問題是近年來中考的一個(gè)熱點(diǎn)問題 解這類題目要 以靜制動(dòng) 即把動(dòng)態(tài)問題 變?yōu)殪o態(tài)問題來解 一般方法是抓住變化中的 不變量 以不變應(yīng)萬 變 關(guān)鍵詞 點(diǎn)線面運(yùn)動(dòng)型問題 不變應(yīng)萬變 數(shù)形結(jié)合 分類討論 正文 運(yùn)動(dòng)型問題是近年來中考的一個(gè)熱點(diǎn)問題 這類題型能較全面地考查學(xué)生的數(shù)學(xué) 思想和綜合應(yīng)用能力 是歷年各地中考的壓軸首選題 解這類題目要 以靜制動(dòng) 即把動(dòng)態(tài)問題 變?yōu)殪o態(tài)問題來解 一般方法是抓 住變化中的 不變量 以不變應(yīng)萬變 首先根據(jù)題意理清題目中兩個(gè)變量 x y 的變 化情況并找出相關(guān)常量 其次按照?qǐng)D形中的幾何性質(zhì)及相互關(guān)系 找出一個(gè)基本關(guān)系 式 把相關(guān)的量用一個(gè)自變量的表達(dá)式表達(dá)出來 然后再根據(jù)題目的要求 依據(jù)幾何 代數(shù)知識(shí)解出 最后確定自變量的取值范圍 畫出相應(yīng)的圖象 一 一 點(diǎn)點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)型問題運(yùn)動(dòng)型問題 點(diǎn) 運(yùn)動(dòng)型問題就是在三角形 四邊形 圓形等一些幾何圖形上 設(shè)計(jì)一個(gè)或兩 個(gè)動(dòng)點(diǎn) 點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)引起一些圖形形狀變化的問題 其變化過程中伴隨著等量關(guān)系 變 量關(guān)系 圖形的特殊狀態(tài) 圖形間的特殊關(guān)系等 這類問題起點(diǎn)不高 但考查較全面 常常集幾何 代數(shù)于一體 主要體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合或分類討論 有較強(qiáng)的綜合性 1 1 例題剖析 例題剖析 在正方形 ABCD 中 AB 1 弧 AC 是以點(diǎn) B 為圓心 AB 長(zhǎng)為半徑的圓的一段 點(diǎn) E 是邊 AD 上的任意一點(diǎn) 點(diǎn) E 與點(diǎn) A D 不重合 過 E 作弧 AC 所在圓的切線 交邊 DC 于點(diǎn) F G 為切點(diǎn) 1 當(dāng)時(shí) 求證 G 為線段 EF 的中點(diǎn) 0 45DEF 2 設(shè) AE x FC y 求 y 關(guān)于 x 的函數(shù)解析式 并寫出函數(shù)定義域 3 將 DEF 沿直線 EF 翻折后得 D1EF 如圖 11 當(dāng)時(shí) 討論與 6 5 EF DAD1 是否相似 如果相似 請(qǐng)加以證明 如果不相似 只要求寫出結(jié)論 不FED1 要求寫出理由 本題綜合運(yùn)用了正方形 等腰三角形 圓的切線 全等三角形的性質(zhì)和勾股定理 切線長(zhǎng)定理以及相似三角形的判定等 考查了數(shù)形結(jié)合思想 圖形運(yùn)動(dòng)思想 方程思 想 字母表示數(shù)以及分類思想 解 1 證明 DEF 450 得 DFE 900 DEF 450 DFE DEF DE DF AD DC AE FC 因?yàn)?AB 是圓 B 的半徑 AD AB 所以 AD 切圓 B 于點(diǎn) A 同理 CD 切圓 B 于點(diǎn) C 又因?yàn)?EF 切圓 B 于點(diǎn) G 所以 AE EG FC FG 因此 EG FG 即 G 為線段 EF 的中點(diǎn) 2 AE EG x FC FG y ED 1 x FD 1 y 在 Rt DEF 中 由 ED2 FD2 EF2 得 1 x 2 1 y 2 x y 2 10 1 1 x x x y 3 當(dāng)時(shí) 由 2 得 EF EG FG AE FC 得 6 5 EF x x x 1 1 6 5 2 1 3 1 21 xx 即或 當(dāng)時(shí) 證明 設(shè)直線 EF 交線段 DD1于 3 1 AE 2 1 AE 2 1 AEDAD1 FED1 點(diǎn) H 又 EF DD1且 DH D1H FDEEDF 11 得 AE ED EH AD1 D1AD FED FED1 2 1 AE1 AE AD1D EHD 900 又 ED1F EDF 900 ED1F AD1D DAD1 FED1 當(dāng)時(shí) 與不相似 3 1 AEDAD1 FED1 2 2 拓展練習(xí) 拓展練習(xí) 直角坐標(biāo)系中 點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 1 0 以線段 OA 為邊在第四象限內(nèi)作等邊 AOB 點(diǎn) C 為 x 正半軸上一動(dòng)點(diǎn) OC 1 連結(jié) BC 以線段 BC 為邊在第四象限內(nèi)作等邊 CBD 直線 DA 交 y 軸于點(diǎn) E 1 OBC 與 ABD 全等嗎 判斷并證明你的結(jié)論 2 隨著點(diǎn) C 位置的變化 點(diǎn) E 的位置是否 會(huì)發(fā)生變化 若沒有變化 求出點(diǎn) E 的坐標(biāo) 若有變化 請(qǐng)說明理由 二 二 線線 運(yùn)動(dòng)型問題運(yùn)動(dòng)型問題 從運(yùn)動(dòng)變化角度來看 線 運(yùn)動(dòng)型問題 的設(shè)計(jì)有一定的難度 易出現(xiàn)的錯(cuò)誤在于不能準(zhǔn)確把握運(yùn)動(dòng)過程中直線運(yùn)動(dòng)的可能位 置而導(dǎo)致結(jié)果可能的變化 解題時(shí)需要用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察和研究圖形 把握 直線運(yùn)動(dòng)與變化的全過程 抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系 并特別關(guān)注一些不變量 x y E O B C D A 不變關(guān)系或特殊關(guān)系 雖然試題大多屬于靜態(tài)的知識(shí)和方法 但是這些試題中常滲透 著運(yùn)動(dòng)與變化的思想方法 需要用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)去研究和解決 1 1 例題剖析 例題剖析 已知 如圖 矩形 ABCD 的邊 AB 在 x 軸上 AB 的中點(diǎn)與原點(diǎn)重合 AB 2 AD 1 定點(diǎn) Q 的坐標(biāo)為 0 2 動(dòng)點(diǎn) P 在 x 軸上移動(dòng) 若過點(diǎn) P Q 兩點(diǎn)的直線與矩形 ABCD 的邊 有公共點(diǎn) 則動(dòng)點(diǎn) P 的橫坐標(biāo) a 的取值范圍是多少 解析 分別連接點(diǎn) Q 與 D C 兩點(diǎn) 求直線 QD QC 與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo) 即可求得 2 a 2 2 2 拓展練習(xí) 拓展練習(xí) 圖 1 是用鋼絲制作的一個(gè)幾何探究工具 其中 ABC 內(nèi)接于 G AB 是 G 的直徑 AB 6 AC 3 現(xiàn)將制作的幾何探究工具放在平面直角坐標(biāo)系中 如圖 2 然后點(diǎn) A 在 射線 OX 上由點(diǎn) O 開始向右滑動(dòng) 點(diǎn) B 在射線 OY 上也隨之向點(diǎn) O 滑動(dòng) 如圖 3 當(dāng)點(diǎn) B 滑動(dòng)至與點(diǎn) O 重合時(shí)運(yùn)動(dòng)結(jié)束 試說明在運(yùn)動(dòng)過程中 原點(diǎn) O 始終在 G 上 設(shè)點(diǎn) C 的坐標(biāo)為 試探求與 之間的函數(shù)關(guān)系式 并寫出自變量 的取xyyxx 值范圍 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中 點(diǎn) C 運(yùn)動(dòng)的路程是多少 三 三 面面 運(yùn)動(dòng)型問題運(yùn)動(dòng)型問題 解答 面 運(yùn)動(dòng)型問題的關(guān)鍵在于弄清圖形運(yùn)動(dòng)過程中的幾個(gè)分界點(diǎn) 再結(jié)合有 P x y BA C D Q O 關(guān)性質(zhì)定理及判定定理或公式進(jìn)行求解 初中數(shù)學(xué)的面運(yùn)動(dòng)有平移 翻折和旋轉(zhuǎn) 圖 形變換是一種重要的思想方法 它是一種以變化的 運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)來處理孤立的 離散 的問題的思想 很好地領(lǐng)會(huì)這種解題的思想實(shí)質(zhì) 并能準(zhǔn)確合理地使用 在解題中會(huì) 收到奇效 也將有效地提高思維品質(zhì) 在解題中我們要通過實(shí)驗(yàn) 操作 觀察和想象 的方法掌握運(yùn)動(dòng)的本質(zhì) 在面 圖形 的運(yùn)動(dòng)中找到不變量 然后解決問題 1 1 例題剖析 例題剖析 在邊長(zhǎng)為 2 的菱形 ABCD 中 B 45 AE 為 BC 邊上的高 將 ABE 沿 AE 所在 直線翻折后得 AB E 那么 AB E 與四邊形 AECD 重疊部分的面積是 本題考查了圖形的翻折問題 既考查了軸對(duì)稱的有關(guān)概念和性質(zhì) 又考查了對(duì)圖 形運(yùn)動(dòng)變化的理解能力和空間想象力 解題思路 這類題體現(xiàn)了運(yùn)動(dòng)變化的過程 如果圖形不能打開思路之門 不妨動(dòng) 手折折試試 如圖 我們知道平面圖形經(jīng)過翻折運(yùn)動(dòng)后所得的圖形與原圖形是全等 形 那么 BAE EAF DAF 則我們可以證明 ABE ADG S ABE S ADG 22 2 1 1 又因?yàn)?S菱形 2 所以 AB E 與四邊形 AECD 重疊部分222 的面積 四邊形 AECG 的面積 222 2 2 拓展練習(xí) 拓展練習(xí) 在 Rt ABC 中 A B CM 是斜邊 AB 上的中線 將 ACM 沿直線 CM 折疊 點(diǎn) A 落在點(diǎn) D 處 如果 CD 恰好與 AB 垂直 那么 A 等于 度 考查目標(biāo) 本題考