用心 愛心 專心 1 第七章第七章 直線和圓的方程直線和圓的方程 三三 圓的方程圓的方程 考點闡述 圓的標準方程和一般方程 圓的參數(shù)方程 考試要求 6 掌握圓的標準方程和一般方程 了解參數(shù)方程的概念 理解圓的參數(shù)方程 7 會判斷直線 圓的位置關系 考題分類 一 選擇題 共 8 題 1 安徽卷理 7 設曲線C的參數(shù)方程為 23cos 1 3sin x y 為參數(shù) 直線l的方程為 320 xy 則曲線C上到直線l距離為 7 10 10 的點的個數(shù)為 A 1B 2C 3D 4 答案 B 解析 化曲線C的參數(shù)方程為普通方程 22 2 1 9xy 圓心 2 1 到直線 320 xy 的距離 23 1 2 7 103 1010 d 直線和圓相交 過圓心和l平行 的直線和圓的 2 個交點符合要求 又 7 107 10 3 1010 在直線l的另外一側沒有圓上的 點符合要求 所以選 B 方法總結 解決這類問題首先把曲線C的參數(shù)方程為普通方程 然后利用圓心到直線的 距離判斷直線與圓的位置關系 這就是曲線C上到直線l距離為 7 10 10 然后再判斷知 7 107 10 3 1010 進而得出結論 2 廣東卷文 6 若圓心在x軸上 半徑為 5 的圓O位于 y 軸左側 且與直線 20 xy 相切 則圓O的方程是 A 22 5 5xy B 22 5 5xy C 22 5 5xy D 22 5 5xy 用心 愛心 專心 2 解析 由題意知 圓心在 y 軸左側 排除 A C 在 AORt 0 2 1 0 k A OA 故 50 5 1 0 5 0 0 O OO A 選 D 3 湖北卷理 9 文 9 若直線 y x b 與曲線 2 34yxx 有公共點 則 b 的取值范圍是 A 1 12 2 B 1 2 2 12 2 C 1 2 2 3 D 12 3 答案 C 解析 曲線方程可化簡為 22 2 3 4 13 xyy 即表示圓心為 2 3 半徑為 2 的半圓 依據(jù)數(shù)形結合 當直線 yxb 與此半圓相切時須滿足圓心 2 3 到直線 y x b 距離等于 2 解得 12 212 2bb 或 因為是下半圓故可得 12 2b 舍 當直線過 0 3 時 解得 b 3 故1 2 23 b 所以 C 正確 4 江西卷理 8 直線 3ykx 與圓 22 3 2 4xy 相交于 M N 兩點 若 MN 2 3 則k 的取值范圍是 A 3 0 4 B 3 0 4 C 33 33 D 2 0 3 答案 A 解析 考查直線與圓的位置關系 點到直線距離公式 重點考察數(shù)形結合的運用 解法 1 圓心的坐標為 3 2 且圓與 y 軸相切 當 MN 2 3 時 由點到直線距離公式 解得 3 0 4 解法 2 數(shù)形結合 如圖由垂徑定理得夾在兩直線之間即可 不 取 排除 B 考慮區(qū)間不對稱 排除 C 利用斜率估值 選 A 5 江西卷文 10 直線 3ykx 與圓 22 2 3 4xy 相 交于 M N 兩點 若 MN 2 3 則k的取值范圍是 A 3 0 4 B 33 33 C 3 3 D 2 0 3 答案 B 解析 考查相交弦問題 法一 可聯(lián)立方程組利用弦長公式求 MN 再結合 MN 2 3可 得答案 法二 利用圓的性質(zhì)知 圓心到直線的距離的平方加上弦長的一半的平方等于半徑的平方 求出 MN 再結合 MN 2 3可得答案 用心 愛心 專心 3 6 全國 卷理 11 文 11 已知圓 O 的半徑為 1 PA PB 為該圓的兩條切線 A B 為倆切 點 那么PA PB 的最小值為 A 42 B 32 C 42 2 D 32 2 答案 D 命題意圖 本小題主要考查向量的數(shù)量積 運算與圓的切線長定理 著重考查最值的求法 判 別式法 同時也考查了考生綜合運用數(shù)學知識解題的能 力及運算能力 解析 如圖所示 設 PA PB x 0 x APO 則 APB 2 PO 2 1x 2 1 sin 1x cos2PA PBPAPB 22 1 2sin x 22 2 1 1 xx x 42 2 1 xx x 令 PA PBy 則 42 2 1 xx y x 即 42 1 0 xy xy 由 2 x 是實數(shù) 所以 2 1 4 1 0yy 2 610yy 解得 32 2y 或 32 2y 故 min 32 2PA PB 此時 21x 7 重慶卷理 8 直線 y 3 2 3 x 與圓心為 D 的圓 33cos 13sin x y 0 2 交 與 A B 兩點 則直線 AD 與 BD 的傾斜角之和為 A 7 6 B 5 4 C 4 3 D 5 3 答案 C 解析 數(shù)形結合 301 302 由圓的性質(zhì)可知 21 3030 故 4 3 8 重慶卷文 8 若直線 yxb 與曲線 2cos sin x y 0 2 有兩個不同的公 共點 則實數(shù)b的取值范圍為 P A B O 用心 愛心 專心 4 A 2 2 1 B 22 22 C 22 22 D 2 2 22 答案 D 解析 2cos sin x y 化為普通方程 22 2 1xy 表示圓 因為直線與圓有兩個不同的交點 所以 2 1 2 b 解得2 222b 法 2 利用數(shù)形結合進行分析得 22 22ACbb 同理分析 可知2 222b 二 填空題 共 11 題 1 廣東卷理 12 已知圓心在 x 軸上 半徑為 2的圓 O 位于 y 軸左側 且與直線 x y 0 相切 則圓 O 的方程是 答案 22 5 5xy 解析 設圓心為 0 0 aa 則 22 2 0 5 12 a r 解得 5a 2 湖南卷文 14 若不同兩點 P Q 的坐標分別為 a b 3 b 3 a 則線段 PQ 的垂直 平分線 l 的斜率為 圓 x 2 2 y 3 2 1 關于直線對稱的圓的方程為 答案 線段 PQ 的垂直平分線 l 的斜率為 1 圓 x 2 2 y 3 2 1 關于直線對稱的圓的 方程為 3 江蘇卷 9 在平面直角坐標系 xOy 中 已知圓 4 22 yx 上有且僅有四個點到直線 12x 5y c 0 的距離為 1 則實數(shù) c 的取值范圍是 答案 13 13 解析 考查圓與直線的位置關系 圓半徑為 2 圓心 0 0 到直線 12x 5y c 0 的距離小于 1 1 13 c c的取值范圍是 13 13 4 全國 新卷理 15 過點 A 4 1 的圓 C 與直線 x y 0 相切于點 B 2 1 則圓 C 的方程 為 答案 22 3 2xy 解析 設圓的方程為 222 xaybr 則根據(jù)已知條件得 用心 愛心 專心 5 222 222 2 4 1 3 2 1 0 21 2 abra abrb rab r 5 全國 新卷文 13 圓心在原點上與直線 20 xy 相切的圓的方程為 答案 22 2xy 解析 設圓的方程為 222 xyr 根據(jù)題意得 2 2 2 r 所以所求圓的方程為 22 2xy 6 山東卷理 16 已知圓 C 過點 1 0 且圓心在 x 軸的正半軸上 直線 l y x 1 被圓 C 所截得的弦長為 22 則過圓心且與直線 l 垂直的直線方程為 答案 x y 3 0 解析 由題意 設所求的直線方程為x y m 0 設圓心坐標為 a 0 則由題意知 22 a 1 2 a 1 2 解得a 3或 1 又因為圓心在 x 軸的正半軸上 所以a 3 故圓心坐 標為 3 0 因為圓心 3 0 在所求的直線上 所以有3 0 m 0 即m 3 故所求 的直線方程為x y 3 0 命題意圖 本題考查了直線的方程 點到直線的距離 直線與圓的關系 考查了同學們 解決直線與圓問題的能力 7 山東卷文 16 已知圓 C 過點 1 0 且圓心在 x 軸的正半軸上 直線 l 1yx 被 該圓所截得的弦長為2 2 則圓 C 的標準方程為 答案 22 3 4xy 解析 由題意 設圓心坐標為 a 0 則由直線 l 1yx 被該圓所截得 的弦長為2 2得 22 a 1 2 a 1 2 解得a 3或 1 又因為圓心在 x 軸的正半軸上 所以a 3 故圓心坐標為 3 0 又已知圓 C 過點 1 0 所以所求圓的半徑為 2 故圓 C 的標準方程為 22 3 4xy 用心 愛心 專心 6 命題意圖 本題考查了直線的方程 點到直線的距離 直線與圓的關系 考查了同學們 解決直線與圓問題的能力 8 上海卷理 5 文 7 圓 22 2440C xyxy 的圓心到直線 l 3 440 xy 的 距離d 解析 考查點到直線距離公式 圓心 1 2 到直線3 440 xy 距離為 3 5 42413 9 四川卷理 14 文 14 直線 250 xy 與圓 22 8xy 相交于 A B 兩點 則 AB 解析 圓心為 0 0 半徑為 2 2圓心到直線 250 xy 的距離為 d 22 005 5 1 2 故 2 AB 得 AB 2 3 答案 2 3 10 天津卷理 13 已知圓 C 的圓心是直線 1 1 x t yt 為參數(shù) 與 x 軸的交點 且圓 C 與 直線 x y 3 0 相切 則圓 C 的方程為 答案 22 1 2xy 解析 令 y 0 得 t 1 所以直線 1 t t t為參數(shù) 與 軸的交點為 1 0 因為 直線與圓相切 所以圓心到直線的距離等于半徑 即 1 03 2 2 r 故圓 C 的方 程為 22 1 2xy 命題意圖 本題考查直線的參數(shù)方程 圓的方程 直線與圓的位置關系等基礎知識 11 天津卷文 14 已知圓 C 的圓