第 1 頁（共 17 頁） 2015年福建省南平市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5分，滿分 60分） 1已知直線 x 在 y 軸上的截距是 2，則 a 等于（ ） A B C 2 D 2 2已知集合 A=1， 2， 3， 4， 5， B=x|x 2，則 AB 等于（ ） A 1 B 1， 2 C 1， 2， 3 D 1， 2， 3， 4 3函數(shù) f（ x） =3x+x 5，則函數(shù) f（ x）的零點(diǎn)一定在區(qū)間（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 4以（ 2， 1）為圓心且與直線 x+y=3 相切的圓的方程為（ ） A（ x 2） 2+（ y+1） 2=2 B（ x+2） 2+（ y 1） 2=4 C（ x 2） 2+（ y+1） 2=8 D（ x+2） 2+（ y 1） 2=8 5已知直線 l 平面 ，直線 m平面 ，下列命題正確的是（ ） A若 ，則 l m B若 l m，則 C若 l ，則 m D若 ，則 l m 6已知 a= b=5c=3 ，則 a， b， c 的大小關(guān)系為（ ） A a b c B a c b C b a c D b c a 7兩平行線 3x 4y 2=0 與 3x 4y+8=0 之間的距離為（ ） A 2 B C 1 D 2 8若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ） 第 2 頁（共 17 頁） A B C 1 D 2 9已知 a 0 且 a1，下列函數(shù)中，在區(qū)間（ 0， a）上一定是減函數(shù)的是（ ） A f（ x） = B f（ x） =3 C f（ x） = f（ x） =0已知直線 l 與直線 2x 3y+4=0 關(guān)于直線 x=1 對稱，則直線 l 的方程為（ ） A 2x+3y 8=0 B 3x 2y+1=0 C x+2y 5=0 D 3x+2y 7=0 11設(shè)全集 U=R，集合 A=x| 4 x 1， B=x|4 ，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ） A（ 2， 1 B（ 1， +） C（ ， 4 D（ ， 4 （ 2， 1） 12函數(shù) y=（ 1） e|x|的圖象大致是（ ） A B C D 二、填空題（共 4小題，每小題 5分，滿分 20分） 13已知點(diǎn)（ 1， 1， 2）關(guān)于 x 軸對稱點(diǎn)為 A，則點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 第 3 頁（共 17 頁） 14已知球 O 的表面積是其半徑的 6倍，則該球的體積為 15已知定義在（ ， +）的函數(shù) f（ x）滿足 f（ x+1） f（ x） =x ），若 f（ 1） =2，則 f（ 2） = 16已知圓 C： x2+4x+m=0 與圓（ x 3） 2+（ y+2 ） 2=4 外切，點(diǎn) P 是圓 C 上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) 4y+4=0 的距離的最大值為 三、解答題（共 6小題，滿分 70分） 17已知集合 A=x|1x 4， B=x|x a 0 （ 1）當(dāng) a=3 時(shí) ，求 AB， A B； （ 2）若 AB，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 18已知直線 l： x 2y 1=0，直線 1， 2） （ 1）若 l，求直線 （ 2）若 l，求直線 19已知函數(shù) f（ x）滿足 f（ ） =x+ （ 1）求函數(shù)的解析式； （ 2）判斷函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ ， +）上的單調(diào)性，并用定義法加以證明 20已知四棱錐 P 底面是菱形 D， E 為 中點(diǎn) （ ）求證： 平面 （ ）求證：平面 平面 第 4 頁（共 17 頁） 21已知函數(shù) f（ x） =（ ） x+a 的圖象經(jīng)過第二、三、四象限 （ 1）求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 2）設(shè) g（ a） =f（ a） f（ a+1），求 g（ a）的取值范圍 22已知圓 C 關(guān)于直線 x+y+2=0 對稱，且過點(diǎn) P（ 2， 2）和原點(diǎn) O （ 1）求圓 C 的方程； （ 2）相互垂直的兩條直線 （ 1， 0），若 所截得弦長相等，求此時(shí)直線 第 5 頁（共 17 頁） 2015年福建省南平市高一（上）期末數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題（共 12 小題，每小題 5分，滿分 60分） 1已知直線 x 在 y 軸上的截距是 2，則 a 等于（ ） A B C 2 D 2 【考點(diǎn)】 直線的截距式方程 【專題】 計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓 【分析】 直接把點(diǎn)（ 0， 2）代入直線方程，求出 a 即可 【解答】 解：已知直線 x 在 y 軸上的截距是 2， 即直線過（ 0， 2），代入得： 2a=4， 則 a= 2， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，是一道基礎(chǔ)題 2已知集合 A=1， 2， 3， 4， 5， B=x|x 2，則 AB 等于（ ） A 1 B 1， 2 C 1， 2， 3 D 1， 2， 3， 4 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題；集合思想；集合 【分析】 由 A 與 B， 求出兩集合的交集即可 【解答】 解： A=1， 2， 3， 4， 5， B=x|x 2， AB=1， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了交集及其運(yùn)算，熟練掌握交集的定義是解本題的關(guān)鍵 3函數(shù) f（ x） =3x+x 5，則函數(shù) f（ x）的零點(diǎn)一定在區(qū)間（ ） A（ 0， 1） B（ 1， 2） C（ 2， 3） D（ 3， 4） 【考點(diǎn)】 二分法求方程的近似解 第 6 頁（共 17 頁） 【專題】 計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，若 f（ x） =3x+x 5 若在區(qū)間（ a， b）上存在零點(diǎn)，則 f（ a） f（ b） 0，我 們根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在定理，對四個(gè)答案中的區(qū)間進(jìn)行判斷，即可得到答案 【解答】 解：當(dāng) x=1 時(shí)， f（ 1） =31+1 5= 1 0 當(dāng) x=2 時(shí)， f（ 2） =32+2 5=6 0 即 f（ 1） f（ 2） 0 又 函數(shù) f（ x） =3x+x 5 為連續(xù)函數(shù) 故函數(shù) f（ x） =3x+x 5 的零點(diǎn)一定位于區(qū)間（ 1， 2） 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是零點(diǎn)存在定理，我們求函數(shù)的零點(diǎn)通常有如下幾種方法： 解方程；利用零點(diǎn)存在定理； 利用函數(shù)的圖象，其中當(dāng)函數(shù)的解析式已知時(shí)（如本題），我們常采用零點(diǎn)存在定理 4以（ 2， 1） 為圓心且與直線 x+y=3 相切的圓的方程為（ ） A（ x 2） 2+（ y+1） 2=2 B（ x+2） 2+（ y 1） 2=4 C（ x 2） 2+（ y+1） 2=8 D（ x+2） 2+（ y 1） 2=8 【考點(diǎn)】 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 【專題】 計(jì)算題；方程思想；綜合法；直線與圓 【分析】 直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，所以利用點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到已知直線的距離 d，即為所求圓的半徑 r，然后由圓心和求出的 r 寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可 【解答】 解：由所求的圓與直線 x+y 3=0 相切， 得到圓心（ 2， 1）到直線 x+y 3=0 的距離 d= =2 ， 則所求圓的方程為：（ x+2） 2+（ y 1） 2=8 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與圓位置關(guān)系判別方法為：當(dāng)d r 時(shí)，直線與圓相離；當(dāng) d=r 時(shí)，直線與圓相切；當(dāng) 0 d r 時(shí)，直線與圓相交（ d 為圓心到直線的距離， r 為圓的半徑），同時(shí)要求學(xué)生會(huì)根據(jù)圓心和半徑寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程 5已知直線 l 平面 ，直線 m平面 ，下列命題正 確的是（ ） 第 7 頁（共 17 頁） A若 ，則 l m B若 l m，則 C若 l ，則 m D若 ，則 l m 【考點(diǎn)】 空間中直線與直線之間的位置關(guān)系 【專題】 綜合題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間位置關(guān)系與距離 【分析】 直接由空間中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系逐一核對四個(gè)選項(xiàng)得答案 【解答】 解：對于 A、 B， 如圖，由圖可知 A， B 不正確； 直線 l 平面 ， l ， ， 對于 C， m平面 ， m 與 不一定垂直， C 不正確 對于 D， l 平面 ，直線 m平 面 若 ，則 l 平面 ，有 l m， D 正確； 故選： D 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了命題的真假判斷與應(yīng)用，考查了空間中的點(diǎn)線面的位置關(guān)系，是中檔題 6已知 a= b=5c=3 ，則 a， b， c 的大小關(guān)系為（ ） A a b c B a c b C b a c D b c a 【考點(diǎn)】 對數(shù)值大小的比較 【專題】 計(jì)算題；函數(shù)思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù) 的圖象和性質(zhì)即可判斷 【解答】 解： a= ， b=550=1， 0 3 = 30=1， a c b， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，關(guān)鍵求出與 0， 1 的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題 7兩平行線 3x 4y 2=0 與 3x 4y+8=0 之間的距離為（ ） A 2 B C 1 D 2 【考點(diǎn)】 兩條平行直線間的距離 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；直線與圓 第 8 頁（共 17 頁） 【分析】 利用兩條平行線之間的距離公式即可得出 【解答】 解：兩平行線 3x 4y 2=0 與 3x 4y+8=0 之間的距離 = =2 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了兩條平行線之間的距離公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 8若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（ ） A B C 1 D 2 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【專題】 計(jì)算題 【分析】 幾何體的三視圖可知幾何體是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，利用三視圖的數(shù)據(jù)，直接求出棱柱的體積即可 【解答】 解：由題意可知幾何體的三視圖可知幾何體是放倒的三棱柱，底面是直角三角形，直角邊分別為： 1， ，棱柱的高為 ，所以幾何體的體積為： =1 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，考查想的視圖能力與空間想象能力 9已知 a 0 且 a1，下列函數(shù)中，在區(qū)間（ 0， a）上一定是減函數(shù)的是（ ） A f（ x） = B f（ x） =3 C f（ x） = f（ x） =考點(diǎn)】 函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明 【專題】 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性，對選項(xiàng)中的每一個(gè)函數(shù)進(jìn)行判斷即可 第 9 頁（共 17 頁） 【解答】 解：對于 A， a 0 時(shí)，函數(shù) f（ x） = =2 在區(qū)間（ 0， a）上是增函數(shù)，不滿足條件； 對于 B，函數(shù) f（ x） =3 在區(qū)間（ ， a）上是減函數(shù)， 在區(qū)間（ 0， a）上是減函數(shù)； 對于 C、 D，函數(shù) f（ x） =f（ x） =+區(qū)間（ 0， a）上可能是增函數(shù)，也可能是減函數(shù) 綜上，滿足條件的是 B 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了判斷常見的基本初等 函數(shù)的單調(diào)性問題，是基礎(chǔ)題目 10已知直線 l 與直線 2x 3y+4=0 關(guān)于直線 x=1 對稱，則直線 l 的方程為（ ） A 2x+3y 8=0 B 3x 2y+1=0 C x+2y 5=0 D 3x+2y 7=0 【考點(diǎn)】 與直線關(guān)于點(diǎn)、直線對稱的直線方程 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；綜合法；直線與圓 【分析】 設(shè) P（ x， y）為直線 l 上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 關(guān)于直線 x=1 的對稱點(diǎn)為 P（ 2 x， y），代入直線 2x 3y+4=0 即可得出 【解答】 解：設(shè) P（ x， y）為直線 l 上的任意一點(diǎn)，則點(diǎn) P 關(guān)于直線 x=1 的對稱點(diǎn)為 P（ 2 x， y）， 代入直線 2x 3y+4=0 可得： 2（ 2 x） 3y+4=0，化為 2x+3y 8=0， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了軸對稱性質(zhì)、直線方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 11設(shè)全集 U=R，集合 A=x| 4 x 1， B=x|4 ，則圖中陰影部分所表示的集合為（ ） A（ 2， 1 B（ 1， +） C（ ， 4 D（ ， 4 （ 2， 1） 【考點(diǎn)】 表達(dá)集合的關(guān)系及運(yùn)算 【專題】 數(shù)形結(jié)合；轉(zhuǎn)化思想；集合 【分析】 由陰影部分表示的集合為 MN，然后根據(jù)集合的運(yùn)算即可 【解答】 解：由圖象可知陰影部分對應(yīng)的集合為 U（ A B）， 第 10 頁（共 17 頁） 由 4 得 24x 即 4x =4 2， 則 x 2，即 B=（ 2， +）， A=x| 4 x 1， A B=（ 4， +）， 則 U（ A B） =（ ， 4， 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查集合的基本運(yùn)算，利用 確定集合的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵 12函數(shù) y=（ 1） e|x|的圖象大致是（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 函數(shù)的圖象 【專題】 作圖題；函數(shù)思想；數(shù)形結(jié)合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)函數(shù)的函數(shù)奇偶性，值域即可判斷 【解答】 解：因?yàn)?f（ x） =（ 1） e|x|=f（ x）， 所以 f（ x）為偶函數(shù)， 所以圖象關(guān)于 y 軸對稱，故排除 B， 當(dāng) x+時(shí)， y+，故排除 A 當(dāng) x 1 時(shí)， y 0，故排除 D 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，關(guān)鍵掌握函數(shù)奇偶性，值域，屬于基礎(chǔ)題 二、填 空題（共 4小題，每小題 5分，滿分 20分） 13已知點(diǎn)（ 1， 1， 2）關(guān)于 x 軸對稱點(diǎn)為 A，則點(diǎn) A 的坐標(biāo)為 （ 1， 1， 2） 【考點(diǎn)】 空間中的點(diǎn)的坐標(biāo) 【專題】 計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；空間向量及應(yīng)用 【分析】 一個(gè)點(diǎn)關(guān)于 x 軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是只有橫標(biāo)不變，縱標(biāo)和豎標(biāo)改變符號(hào) 【解答】 解： 點(diǎn)（ 1， 1， 2）關(guān)于 x 軸對稱點(diǎn)為 A， 一個(gè)點(diǎn)關(guān)于 x 軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是只有橫標(biāo)不變，縱標(biāo)和豎標(biāo)改變符號(hào)， 第 11 頁（共 17 頁） 點(diǎn)（ 1， 1， 2）關(guān)于 x 軸對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 1， 1， 2）， A（ 1， 1， 2） 故答案為：（ 1， 1， 2） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意對稱性質(zhì)的合理運(yùn)用 14已知球 O 的表面積是其半徑的 6倍，則該球的體積為 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積 【專題】 計(jì)算題；球 【分析】 設(shè)球 O 的半徑為 r，由球的表面積公式，解方程求得 r，再由球的體積公式，計(jì)算即可得到 【解答】 解：設(shè)球 O 的半徑為 r， 則 4r， 解得 r= ， 則球的體積為 V= = 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查球的表面積和體積的公式的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題 15已知定義在（ ， +）的函數(shù) f（ x）滿足 f（ x+1） f（ x） =x ），若 f（ 1） =2，則 f（ 2） = 1 【考點(diǎn)】 抽象函數(shù)及其應(yīng)用 【專題】 方程思想；轉(zhuǎn)化法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系，利用賦值法進(jìn)行求解即可 【解答】 解： 定義在（ ， +）的函數(shù) f（ x）滿足 f（ x+1） f（ x） =x ），且 f（ 1）=2， 當(dāng) x=1 時(shí)， f（ 2） f（ 1） =1 ） = 1， 即 f（ 2） = 1+f（ 1） = 1+2=1， 則 f（ 2） =1， 第 12 頁（共 17 頁） 故答案為： 1 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查函數(shù)值的計(jì)算，利用抽象函數(shù)關(guān)系利用賦值法是解決本題的關(guān)鍵比較基礎(chǔ) 16已知圓 C： x2+4x+m=0 與圓（ x 3） 2+（ y+2 ） 2=4 外切，點(diǎn) P 是圓 C 上一動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn) 4y+4=0 的距離的最大值為 3 【考點(diǎn) 】 圓與圓的位置關(guān)系及其判定 【專題】 直線與圓 【分析】 根據(jù)兩圓外切求出 m 的值，利用直線和圓的位置關(guān)系即可得到結(jié)論 【解答】 解：圓 C 的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ x 2） 2+ m， 兩圓相外切， ，解得 m=3， 圓心 C（ 2， 0）到 3x 4y+4=0 的距離 d= ， 點(diǎn) P 到直線 3x 4y+4=0 的距離的最大值為 2+1=3， 故答案為： 3 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查點(diǎn)到直線距離的求解，根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求 出 m 是解決本題的關(guān)鍵 三、解答題（共 6小題，滿分 70分） 17已知集合 A=x|1x 4， B=x|x a 0 （ 1）當(dāng) a=3 時(shí)，求 AB， A B； （ 2）若 AB，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【考點(diǎn)】 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用；并集及其運(yùn)算；交集及其運(yùn)算 【專題】 計(jì)算題；方程思想；綜合法；集合 【分析】 （ 1）當(dāng) a=3 時(shí)，利用兩個(gè)集合的交、并集的定義求得 AB， A B （ 2）由題意知，集合 A=x|1x 4，集合 B=x|x a，由 AB，可得 a4，從而求得實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解：（ 1）當(dāng) a=3 時(shí)， B=x|x 3 AB=x|1x 3， A B=x|x 4； （ 2） AB， B=x|x a， a4， 第 13 頁（共 17 頁） 故實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 4， +） 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查兩個(gè)集合的并集的求法，集合間的包含關(guān)系，求集合中參數(shù)的范圍，屬于基礎(chǔ)題 18已知直線 l： x 2y 1=0，直線 1， 2） （ 1）若 l，求直線 （ 2）若 l，求直線 【考點(diǎn)】 待定系數(shù)法求直線方程 【專題】 方程思想；綜合法；直線與圓 【分析】 （ 1）由 l，可設(shè)直線 x+y+m=0，把點(diǎn)（ 1， 2）代入可得 2+2+m=0，解得 m （ 2）由 l，直線 方程為 x 2y+n=0，把點(diǎn)（ 1， 2）代入即可得出 【解答】 解：（ 1） l， 可設(shè)直線 x+y+m=0， 把點(diǎn)（ 1， 2）代入可得 2+2+m=0， 解得 m=0 直線 x+y=0 （ 2） l， 直線 x 2y+n=0， 把點(diǎn)（ 1， 2）代入可得 1 4+n=0，解得 n=5 直線 x 2y+5=0 【點(diǎn)評(píng)】 本題 考查了相互垂直、平行的直線斜率之間的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題 19已知函數(shù) f（ x）滿足 f（ ） =x+ （ 1）求函數(shù)的解析式； （ 2）判斷函數(shù) f（ x）在區(qū)間（ ， +）上的單調(diào)性，并用定義法加以證明 【考點(diǎn)】 函數(shù)解析式的求解及常用方法 【專題】 轉(zhuǎn)化思想；定義法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用 【分析】 （ 1）利用換元法進(jìn)行求解即可 （ 2）利用函數(shù)單調(diào)性的 定義進(jìn)行證明即可 第 14 頁（共 17 頁） 【解答】 解：（ 1）設(shè) t= ，則 x=2t， 即 f（ t） =2t+ ， 即 f（ x） =2（ x+ ）， x0 （ 2）函數(shù)在（ ， 1）上為減函數(shù)，則（ 1， +）為增函數(shù)， 對任意的 1 則 f（ f（ =2（ ） =2（ ， 1 1，則 1 0， 0， f（ f（ 0，即 f（ f（ 函數(shù)在區(qū)間（ 1， +）上是單調(diào)遞增函數(shù) 同理函數(shù)在（ ， 1）上為減函數(shù) 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)單調(diào)性的證明，利用定義法和換元法是解決本題的關(guān)鍵 20已知四棱錐 P 底面是菱形 D， E 為 中點(diǎn) （ ）求證： 平面 （ ）求證：平面 平面 【考點(diǎn)】 平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定 【專題】 常規(guī)題型 【分析】 （ I）設(shè)菱形對角線的交點(diǎn)為 O，連接 得 三角形 中位線，得到 合直線與平面平行的判定定理，得到 平面 第 15 頁（共 17 頁） （ 接 用等腰三角形的中線與高合一，得到 根據(jù)菱形 ， 合直線與平面垂直的判定定理，得到 平面 后用平面與平面垂直的判定定理，得到平面 平面 【解答】 解：（ ）設(shè) O 為 交點(diǎn)，連接 E， O 分別為 中點(diǎn)， 面 面 平面 （ ）證明：連接 D， O 為