第 1 頁（共 16 頁） 2015年北京市順義區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷（理科） 一、選擇題：本大題供 8 小題，每小題 5 分，供 40 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 . 1直線 的傾斜角是（ ） A B C D 2直 線 l 過點 P（ 2， 2），且與直線 x+2y 3=0 垂直，則直線 l 的方程為（ ） A 2x+y 2=0 B 2x y 6=0 C x 2y 6=0 D x 2y+5=0 3一個幾何體的三視圖如圖所示，如果該幾何體的側面面積為 12，則該幾何體的體積是（ ） A 4 B 12 C 16 D 48 4在空間中，下列命題正確的是（ ） A如果直線 m 平面 ，直線 n內(nèi)，那么 m n B如果平面 內(nèi)的兩條直線都平行于平面 ，那么平面 平面 C如果平面 外的一條直線 m 垂直于平面 內(nèi)的兩條相交直線，那么 m D如果平面 平面 ，任取直線 m，那么必有 m 5如果直線 3ax+y 1=0 與直線（ 1 2a） x+=0 平行那么 a 等于（ ） A 1 B C 3 D 1 或 6方程 ax+（ a 0）表示的圓（ ） A關于 x 軸對稱 B關于 y 軸對稱 C關于直線 y=x 軸對稱 D關于直線 y= x 軸對稱 7如圖，正方體 ，點 E， F 分別是 中點，則 ） A 0 B 45 C 60 D 90 8如果過點 M（ 2， 0）的直線 l 與橢圓 有公共點，那么直線 l 的斜率 k 的取值范圍是（ ） A B C D 二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 . 第 2 頁（共 16 頁） 9已知雙曲線的標準方程為 ，則該雙曲線的焦點坐標為， 漸近線方程為 10已知向量 ， 且 ，則 y= 11已知點 A（ m， 2， n），點 B（ 5， 6， 24）和向量 且 則點 A 的坐標為 12直線 2x+3y+6=0 與坐標軸所圍成的三角形的面積為 13拋物線 8x 上到焦點距離等于 6 的點的坐標是 14已知點 A（ 2， 0），點 B（ 0， 3），點 C 在圓 x2+ 上，當 面積最小時，點 三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程 . 15如圖，在三棱錐 A ， 平面 E， F， G 分別是 C 的中點求證： （ I） 平面 （ 面 平面 16已知斜率為 2 的直線 l 被圓 x2+4y+24=0 所截得的弦長為 ，求直線 l 的方程 17如圖，在四棱錐 P ，平面 平面 為 中點， M 在 （ I）求證： （ ）若 ，則當 為何值時，平面 平面 （ ）在（ 條件下，求證： 平面 18如圖，在四棱錐 P ，底面 正方形，平面 底面 D， D， E 為 中點 （ I）求證： （ ）求二面角 P E 的余弦值 第 3 頁（共 16 頁） 19已知斜率為 1 的直線 l 經(jīng)過拋物線 p 0）的焦點 F，且與拋物線相交于 A， |4 （ I）求 p 的值； （ ）設經(jīng)過點 B 和拋物線對稱軸平行的直線交拋物線 準線于點 D，求證： A， O，D 三點共線（ O 為坐標原點） 20已知橢圓 的左焦點為 F，離心率為 ，過點 M（ 0， 1）且與 x 軸平行的直線被橢圓 G 截得的線段長為 （ I）求橢圓 G 的方程； （ 動點 P 在橢圓 G 上（ P 不是頂點），若直線 斜率大于 ，求直線 O 是坐標原點）的斜率的取值范圍 第 4 頁（共 16 頁） 2015年北京市順義區(qū)高二（上）期末數(shù)學試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題供 8 小題，每小題 5 分，供 40 分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是 符合題目要求的 . 1直線 的傾斜角是（ ） A B C D 【考點】 直線的傾斜角 【分析】 先求出直線 的斜率，再根據(jù)斜率是傾斜角的正切值，計算傾斜角即可 【解答】 解 ：設傾斜角為 ， 直線 的斜率為 ， ， 0 180， =30 故選 A 2直線 l 過點 P（ 2， 2），且與直線 x+2y 3=0 垂直，則直線 l 的方程為（ ） A 2x+y 2=0 B 2x y 6=0 C x 2y 6=0 D x 2y+5=0 【考點】 直線的一般式方程與直線的垂直關系 【分析】 由直線的垂直關 系可得直線的斜率，可得點斜式方程，化為一般式即可 【解答】 解： 直線 x+2y 3=0 的斜率為 ， 與直線 x+2y 3=0 垂直的直線斜率為 2， 故直線 l 的方程為 y（ 2） =2（ x 2）， 化為一般式可得 2x y 6=0 故選： B 3一個幾何體的三視圖如圖所示，如果該幾何體的側面面積為 12，則該幾何體的體積是（ ） A 4 B 12 C 16 D 48 【考點】 由三視圖求面積、 體積 第 5 頁（共 16 頁） 【分析】 幾何體為圓柱，底面半徑為 2，根據(jù)側面積求出圓柱的高 h，代入體積公式計算即可 【解答】 解：由三視圖可知幾何體是底面半徑為 2 的圓柱， 幾何體的側面積為 2 2 h=12，解得 h=3， 幾何體的體積 V= 22 3=12 故選 B 4在空間中，下列命題正確的是（ ） A如果直線 m 平面 ，直線 n內(nèi)，那么 m n B如果平面 內(nèi)的兩條直線都平行于平面 ，那么平面 平面 C如果平面 外的一條直線 m 垂直于平面 內(nèi)的兩條相交直線，那么 m D如果平面 平面 ，任取直線 m，那么必有 m 【考點】 空間中直線與平面之間的位置關系 【分析】 利用線面平行、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，線面垂直、平面與平面垂直的判定與性質(zhì)，即可得出結論 【解答】 解：對于 A，直線 m 平面 ，直線 n內(nèi)，則 m 與 n 可能平行，可能異面，故不正確； 對于 B，如果平面 內(nèi)的兩條相交直線都平行于平面 ，那么平面 平面 ，故不正確； 對于 C，根據(jù)線面垂直的判定定理可得正確； 對于 D，如果平面 平面 ，任取直線 m，那么可能 m ，也可能 m 和 斜交，； 故選： C 5如果直線 3ax+y 1=0 與直線（ 1 2a） x+=0 平行那么 a 等于（ ） A 1 B C 3 D 1 或 【考點】 直線的一般式方程與直線的平行關系 【分析】 由直線的平行關系可得 a 的方程，解方程排除直線重合即可 【解答】 解： 直線 3ax+y 1=0 與直線（ 1 2a） x+=0 平行， 3aa=1（ 1 2a），解得 a= 1 或 a= ， 經(jīng)檢驗當 a= 1 時，兩直線重合，應舍去， 故選： B 6方程 ax+（ a 0）表示的圓（ ） A關于 x 軸對稱 B關于 y 軸對稱 C關于直線 y=x 軸對稱 D關于直線 y= x 軸對稱 【考點】 圓的一般方程 【分析】 方程 ax+（ a 0）可化為（ x+a） 2+y2=心為（ a， 0），即可得出結論 【解答】 解：方程 ax+（ a 0）可化為（ x+a） 2+y2=心為（ a， 0）， 方程 ax+（ a 0）表示的圓關于 x 軸對稱， 故選： A 第 6 頁（共 16 頁） 7如圖，正方體 ，點 E， F 分別是 中點，則 ） A 0 B 45 C 60 D 90 【考點】 異面直線及其所成的角 【分析】 由 成角，由此能求出 【解答】 解：連結 正方體 ，點 E， F 分別是 中點， 成角， 1B= 0 成角為 60 故選： C 8如果過點 M（ 2， 0）的直線 l 與橢圓 有公共點，那么直線 l 的斜率 k 的取值范圍是（ ） A B C D 【考點】 直線與圓錐曲線的關系；橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 設過點 M（ 2， 0）的直線 l 的方程為 y=k（ x+2），與橢圓方程聯(lián)立，得（ 2）2=0，由此利用根的判別式能求出直線 l 的斜率 k 的取值范圍 【解答】 解：設過點 M（ 2， 0）的直線 l 的方程為 y=k（ x+2）， 聯(lián)立 ，得（ 2） 2=0， 過點 M（ 2， 0）的直線 l 與橢圓 有公共點， =644（ 2）（ 82） 0， 整理，得 第 7 頁（共 16 頁） 解得 k 直線 l 的斜率 k 的取值范圍是 ， 故選： D 二、填空題：本大題共 6 小題，每 小題 5 分，共 30 分 . 9已知雙曲線的標準方程為 ，則該雙曲線的焦點坐標為， （ ， 0） 漸近線方程為 y= 2x 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 求出雙曲線的 a， b， c，即可得到焦點坐標；由漸近線方程為 y= x，可得所求漸近線方程 【解答】 解：雙曲線 的 a=2， b=4， c= =2 ， 可得焦點的坐標為（ ， 0）， 漸近線方程為 y= x，即為 y= 2x 故答案為：（ ， 0）， y= 2x 10已知向量 ， 且 ，則 y= 4 【考點】 空間向量的數(shù)量積運算 【分析】 代入數(shù)量積公式列方程解出 【解答】 解： ， =0，即 10 3y 2=0，解得 y= 4 故答案為 4 11已知點 A（ m， 2， n），點 B（ 5， 6， 24）和向量 且 則點 A 的坐標為 （ 1， 2， 0） 【考點】 共線向量與共面向量 【分析】 根據(jù)空間向量的坐標表示與運算，求出 ，再根據(jù)共線定理列出方程組求出 m、 可得出點 A 的坐標 【解答】 解： 點 A（ m， 2， n），點 B（ 5， 6， 24）， =（ 5 m， 8， 24 n）； 又向量 ，且 ， = ， 第 8 頁（共 16 頁） 即 ， 解得 =2， m=1， n=0； 點 A 的坐標為（ 1， 2， 0） 故答案為：（ 1， 2， 0） 12直線 2x+3y+6=0 與坐標軸所圍成的三角形的面積為 3 【考點】 直線的一般式方程 【分析 】 由直線方程可得直線與坐標軸的交點，由三角形的面積公式可得 【解答】 解：把 x=0 代入 2x+3y+6=0 可得 y= 2，把 y=0 代入 2x+3y+6=0 可得 x= 3， 直線與坐標軸的交點為（ 0， 2）和（ 3， 0）， 故三角形的面積 S= 2 3=3， 故答案為： 3 13拋物線 8x 上到焦點距離等于 6 的點的坐標是 （ 4， ） 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 算出拋物線的焦點為 F（ 2， 0），準線為 x=2設拋物線上點 P（ m， n）到焦點 ，利用拋物線的定義可得 m+2=6，解得 m= 4，進而利用拋物線方程解出 n= 4 ，可得所求點的坐標 【解答】 解： 拋物線方程為 8x，可得 2p=8， =2 拋物線的焦點為 F（ 2， 0），準線為 x=2 設拋物線上點 P（ m， n）到焦點 F 的距離等于 6， 根據(jù)拋物線的定義，得點 P 到 F 的距離等于 P 到準線 的距離， 即 | m+2=6，解得 m= 4， m=32，可得 n= 4 ， 因此，點 P 的坐標為（ 4， ） 故答案為：（ 4， ） 14已知點 A（ 2， 0），點 B（ 0， 3），點 C 在圓 x2+ 上，當 面積最小時，點 （ ， ） 【考點】 圓的標準方程 【分析】 設 C（ a， b）根據(jù)點 A、 B 的坐標利用待定系數(shù)法求得直線 程，然后根據(jù)點到直線的距離和不等式的性質(zhì)得到 a、 b 的數(shù)量關系，將其代入圓的方程即可求得 a、 b 的值，即點 C 的坐標 【解答】 解：設 C（ a， b）則 a2+， 點 A（ 2， 0），點 B（ 0， 3）， 直線 解析式為： 3x+2y 6=0 如圖，過點 C 作 點 F，欲使 面積最小，只需線段 短 第 9 頁（共 16 頁） 則 ，當且僅當 2a=3b 時，取 “=”， a= ， 聯(lián)立 求得： a= ， b= ， 故點 C 的坐標為（ ， ） 故答案是：（ ， ） 三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分，解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程 . 15如圖，在三棱錐 A ， 平面 E， F， G 分別是 C 的中點求證： （ I） 平面 （ 面 平面 【考點】 平面與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定 【分析】 （ I）利用線線平行證 明線面平行，利用三角形中位線的性質(zhì)證明 可； （ 明 平面 得 平面 而可證平面平面 平面 【解答】 證明：（ I）在三棱錐 A ， E， G 分別是 中點 所以 因為 面 面 以 平面 （ 為 平面 面 以 又 C=B 第 10 頁（共 16 頁） 所以 平面 又 E， F 分別是 中點 所以 以 平面 又 面 所以平面平面 平面 16已知斜率為 2 的直線 l 被圓 x2+4y+24=0 所截得的弦長為 ，求直線 l 的方程 【考點】 直線與圓的位置關系 【分析】 先設直線的方程，再求出圓心到直線的距離，再由半徑的平方等于圓心到直線的距離平方與弦長一半的平方的和建立方程求解 【解答】 解：將圓的方程寫成標準形式，得 y+7） 2=25， 所以，圓心坐標是（ 0， 7），半徑長 r=5 因為直線 l 被圓所截得的弦長是 ， 所以，弦心距為 ， 即圓心到所求直線 l 的距離為 因為直線 l 的斜率為 2，所以可設所求直線 l 的方程為 y=2x+b，即 2x y+b=0 所以圓心到直線 l 的距離為 ， 因此， 解得 b= 2，或 b= 12 所以，所求直線 l 的方程為 y=2x 2，或 y=2x 12 即 2x y 2=0，或 2x y 12=0 17如圖，在四棱錐 P ，平面 平面 為 中點， M 在 （ I）求證： （ ）若 ，則當 為何值時，平面 平面 （ ）在（ 條件下，求證： 平面 【考點】 直線與平面平行的判定；空間中直線與直線之間的位置關系；平面與平面垂直的 判定 【分析】 （ I）由平面 平面 得 平面 而得出 第 11 頁（共 16 頁） （ 平面 知當 ，平面 平面 中位線，所以 = ； （ 中點為 F，連接 可證 面 中位線定理得 而 平面 【解答】 （ I）證明： 平面 平面 面 面 B， 平面 面 （ ：由（ I）可知， 平面 E 為 中點， 當 M 為 中點時， 平面 面 平面 平面 此時， （ 中點為 F，連接 （ 知， M 為 中點 B， 平行四邊形 B， E， M， F 四點共面 面 又 面 平面 18如圖，在四棱錐 P ，底面 正方形，平面 底面 D， D， E 為 中點 （ I）求證： （ ）求二面角 P E 的余弦值 【考點】 二面角的平面角及求法；空間中直線與直線之間的位置關系 【分析】 （ I）推導出 底面 而 正方形性質(zhì)得 而 平 面 此能證明 第 12 頁（共 16 頁） （ 導出 立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角 P E 的余弦值 【解答】 證明：（ I）因為平面 底面 直于這兩個平面的交線 所以 底面 又 面 以 因為底面 正方形，所以 又 D=D，所以 平面 因為 面 以， （ ：由（ I）可知 由題可知 如圖所示 建立空間直角坐標系， 點 D 為坐標原點， 設 ，依題意得 A（ 1， 0， 0）， C（ 0， 1， 0）， P（ 0， 0， 1） 因為底面 正方形， 所以點 B 的坐標為（ 1， 1， 0） 因為， E 為 中點， 所以，點 E 的坐標為 . 設平面 法向量為 ， 則 ，即 ， 令 z=1，得 x=1， y= 1 所以， 又平面 一個法向量為 所以， 由題知二面角 P E 為銳角， 所以二面角 P E 的余弦值為 第 13 頁（共 16 頁） 19已知斜率為 1 的直線 l 經(jīng)過拋物線 p 0）的焦點 F，且與拋物線相交于 A， |4 （ I）求 p 的值； （ ）設經(jīng)過點 B 和拋物線對稱軸平行的直線交拋物線 準線于點 D，求證： A， O，D 三點共線（ O 為坐標原點） 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 （ I）由 消 y 并整理，利用 |x1+x2+p=4，求 p 的值； （ ）寫出點 A、 B、 D 的坐標，可利用斜率相等，證明三點共線 【解答】 解：（ I）由題意可知，拋物線 p 0）的焦點坐標為 ， 準線方程為 所以，直線 l 的方程為 由 消 y 并整理，得 設 A（ B（ 則 x1+p， 又 |x1+x2+p=4， 所以， 3p+p=4， p=1 （ （ I）可知，拋物線的方程為 x 設點 B 的坐標為 ，又焦點 ， 當 時，直線 斜率為 所以，直線 方程為 ，即 第 14 頁