第 1 頁（共 16 頁） 2015年福建省泉州市四校聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學試卷（理科） 一、選擇題（每小題 4 分，共 40 分，每小題只有一個正確答案，請你把正確的選擇涂在答題卡中相應位置） 1下列函數(shù)求導運算正確的個數(shù)為（ ） （ 3x） =3 （ = （ = （ ） =x； （ x= A 1 B 2 C 3 D 4 2已知 A、 B、 C 三點不共線 ， O 是平面 的任一點，下列條件中能確定點 M 與點 A、B、 C 一定共面的是（ ） A B C D 3 命題 “若 3x+2=0，則 x=1”的逆否命題為： “若 x 1，則 3x+2 0” “x=1”是 “4x+3=0”的充要條件； 若 p q 為假命題，則 p、 q 均為假 命題 對于命題 p： R， 0，則 p： x R， x+2 0 上面四個命題中正確是（ ） A B C D 4若雙曲線 的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為（ ） A B 5 C D 2 5已知拋物線 y2=n 0）與雙曲線 =1 有一個相同的焦點，則動點（ m， n）的軌跡是（ ） A橢圓的一部分 B雙曲線的一部分 C拋物線的一部分 D直線的一部分 第 2 頁（共 16 頁） 6在正三棱柱 ，已知 ， ，則異面直線 成角的余弦值為（ ） A 0 B C D 7已知方程 ax+by+c=0（其中 0， a b， c 0），它們所表示的曲線可能是（ ） A B C D 8過點（ 2， 0）與拋物線 y 只有一個公共點的直線有（ ） A 1 條 B 2 條 C 3 條 D無數(shù)條 9已知平行六面體 ABCD中， ， ， 5， 60，則 長為（ ） A 5 B C 10 D 10橢圓 的左右焦點分別為 內(nèi)切圓周長為 ，A， B 兩點的坐標分別為（ （ 則 |為（ ） A B C D 二、填空題（每小題 4 分，共 16 分） 11已知向量 =（ k， 12， 1）， =（ 4， 5， 1）， =（ k， 10， 1），且 A、 B、 C 三點共線，則 k= 12橢圓 + 中，以點 M（ 1， ）為中點的弦所在直線方程是 13已知拋物線 x 上的任意一點 P，記點 P 到 y 軸的距離為 d，對于給定點 A（ 4， 5），則 |d 的最小值為 14設(shè)點 M（ x， y），其軌跡為曲線 C，若 =（ x 2， y）， =（ x+2， y）， | | | |=2，則曲線 C 的離心率等于 三、解答題（共 44 分） 15已知 m R，設(shè)命題 p：方程 + =1 表示焦點在 y 軸上的橢圓；命題 q：函數(shù) f（ x） =3mx+m+ 有零點 第 3 頁（共 16 頁） （ 1）若 p 為真命題，求 m 的取值范圍； （ 2）若 “p q”為真，求 m 的取值范圍 16在邊長為 1 的正方體 ， E 是 中點， F 是 中點 （ 1）求證： 平面 （ 2）求直線 平面 成角的余弦值 17在四棱錐 P ，底面 邊長為 1 的正方形，且 面 （ 1）求證： （ 2）過直線 垂直于直線 平面交 點 E，且三棱錐 E 體積取到最大值， 求此時 長度； 求此時二面角 A B 的余弦值的大小 18在直角坐標系 ，橢圓 =1（ a b 0）的左、右焦點分別為 2： x 的焦點，點 M 為 第一象限的交點，且 | （ ）求 方程； （ ）平面上的點 直線 l 與 ， ，求直線 l 的方程 第 4 頁（共 16 頁） 2015年福建省泉州市四校聯(lián)考高二（上）期末數(shù)學試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（每小題 4 分，共 40 分，每小題只有一個正確答案，請你把正確的選擇涂在答題卡中相應位置） 1下列函數(shù)求導運算正 確的個數(shù)為（ ） （ 3x） =3 （ = （ = （ ） =x； （ x= A 1 B 2 C 3 D 4 【考點】 導數(shù)的運算 【分析】 根據(jù)（ = = ，（ = 即可作出判斷 【解答 】 解： （ 3x） =3錯誤； （ = ，故正確； （ =正確； （ ） = ，故錯誤； （ x=ex+x錯誤 故選： B 2已知 A、 B、 C 三點不共線， O 是平面 的任一點，下列條件中能確定點 M 與點 A、B、 C 一定共面的是（ ） A B C D 【考點】 共線向量與共面向量 【分析】 根據(jù)共面向量定理 ，說明 M、 A、 B、 C 共面，判斷選項的正誤 【解答】 解：由共面向量定理 ， 說明 M、 A、 B、 C 共面， 可以判斷 A、 B、 C 都是錯誤的， 第 5 頁（共 16 頁） 則 D 正確 故選 D 3 命題 “若 3x+2=0，則 x=1”的逆否命題為： “若 x 1，則 3x+2 0” “x=1”是 “4x+3=0”的充要條件； 若 p q 為假命題，則 p、 q 均為假命題 對于命題 p： R， 0，則 p： x R， x+2 0 上面四個命題中正確是（ ） A B C D 【考點】 命題的真假判斷與應用 【分析】 根據(jù)逆否命題的定義進行判斷 根據(jù)充分條件和必要條件的定義進行判斷 根據(jù)復合命題的真假關(guān)系進行判斷 根據(jù)含有量詞的命題的否定進行判斷 【解答】 解： 命題 “若 3x+2=0，則 x=1”的逆否命題為： “若 x 1，則 3x+2 0”正確，故 正確， 由 4x+3=0 得 x=1 或 x=3，故 “x=1”是 “4x+3=0”的充分不必要條件；故 錯誤， 若 p q 為假命題，則 p、 q 至少有一個均為假命題故 錯誤， 對于命題 p： R， 0，則 p： x R， x+2 0，正確，故 正確， 故正確是命題是 ， 故選： C 4若雙曲線 的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為（ ） A B 5 C D 2 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 由已知中雙曲線的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，通過漸近線、離心率等幾何元素，溝通 a， b， c 的關(guān)系，即可求出該雙曲線的離心率 【解答】 解： 焦點到漸近線的距離等于實軸長， b=2a， =1+ =5、 e= 故選 A 5已知拋物線 y2=n 0）與雙曲線 =1 有一個相同的焦點，則動點（ m， n）的軌跡是（ ） A橢圓的一部分 B雙曲線的一部分 C拋物線的一部分 D直線的一部分 第 6 頁（共 16 頁） 【考點】 圓錐曲線的共同特征 【分析】 根據(jù)拋物線的方程求出拋物線焦點坐標 F（ ， 0）也是雙曲線的焦點，根據(jù)雙曲線的方程中三個參數(shù)的關(guān)系得到 8+m= 即為 6m+64（ n 0）得到動點（ m， n）的軌跡是拋物線的一部分 【解答】 解：拋物線焦點坐標 F（ ， 0）根據(jù)題意，也是雙曲線的焦點 則有 8+m= 6m+128（ n 0） 所以動點（ m， n）的軌跡是拋物 線的一部分 故選 C 6在正三棱柱 ，已知 ， ，則異面直線 成角的余弦值為（ ） A 0 B C D 【考點】 異面直線及其所成的角 【分析】 連接 E，連 接 用四邊形 平行四邊形及其三角形的中位線定理證明 得 其補角為異面直線 成的角，再利用余弦定理即可得出 【解答】 解：如圖所示 連接 E，連接 四邊形 平行四邊形， C 又 C 其補角為異面直線 成的角， 在 ， ， ， =0， 異面直線 成角的余弦值為 0 故選： A 第 7 頁（共 16 頁） 7已知方程 ax+by+c=0（其中 0， a b， c 0），它們所表示的曲線可能是（ ） A B C D 【考點】 圓錐曲線的軌跡問題 【分析】 根據(jù)題意，可以整理方程 ax+by+c=0 變形為標準形式和斜截式，可以判斷其形狀，進而分析直線所在的位置可得答案 【解答】 解：方程 成： ， ax+by+c=0 化成： y= x ， 對于 A：由雙曲線圖可知： b 0， a 0， 0，即直線的斜率大于 0，故錯； 對于 C：由橢圓圖可知： b 0， a 0， 0，即直線的斜率小于 0，故錯； 對于 D：由橢圓圖可知： b 0， a 0， 0，即直線的斜率小于 0，故錯； 故選 B 8過點（ 2， 0）與拋物線 y 只有一個公共點的直線有（ ） A 1 條 B 2 條 C 3 條 D無數(shù)條 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 當過點（ 2， 0）的直線的斜率不存在時，直線的方程為 x=2；當過點（ 2， 0）的直線的斜率等于 0 時，直線的方程為 y=0；當過點（ 2， 0）的直線斜率存在且不為零時，設(shè)為k，把 y=k（ x 2），代入拋物線方程，由判別式等于 0，求得 k 的值，從而得到結(jié)論 【解答】 解：拋物線 y 的焦點為（ 0， 2）， 當過點（ 2， 0）的直線的斜率不存在時，直線的方程為 x=2， 與拋物線 y 只有一個公共點； 當過點（ 2， 0）的直線的斜率等于 0 時，直線的方程為 y=0， 與拋物線 y 只有一個公共點； 當過點（ 2， 0）的直線斜率存在且不為零時，設(shè)為 k， 那么直線方程為： y=k（ x 2）， 代入拋物線方程，可得 86k=0， 由判別式等于 0，可得 6464k=0， 可得 k=1 或 0，此時直線的方程為 y=x 2 或 y=0 第 8 頁（共 16 頁） 綜上，滿足條件的直線共有 3 條， 故選： C 9已知平行六面體 ABCD中， ， ， 5， 60，則 長為（ ） A 5 B C 10 D 【考點】 棱柱的結(jié)構(gòu)特征 【分析】 如圖所示， = ，可得 = + +2+2 +2 ，利用數(shù)量積運算即可得出 【解答】 解：如圖所示， = ， = + +2 +2 +2 =42+32+52+2 4 3 2 4 5 2 3 5 =97 = 故選： D 10橢圓 的左右焦點分別為 內(nèi)切圓周長為 ，A， B 兩點的坐標分別為（ （ 則 |為（ ） A B C D 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 先根據(jù)橢圓方程求得 a 和 c，及左右焦點 的坐標，進而根據(jù)三角形內(nèi)切圓周長求得內(nèi)切圓半徑，進而根據(jù) 面積 = 面積 + 面積求得 面積=3|而根據(jù)內(nèi)切圓半徑和三角形周長求得其面積，建立等式求得 |值 【解答】 解：橢圓： ， a=5， b=4， c=3， 第 9 頁（共 16 頁） 左、右焦點 3， 0）、 3， 0）， 內(nèi)切圓周長為 ，則內(nèi)切圓的半徑為 r= ， 而 面積 = 面積 + 面積 = | | | （ | |3| A、 B 在 x 軸的上下兩側(cè)） 又 面積 = |r（ | = （ 2a+2a） =a=5 所以 3|5， | 故選 A 二、填空題（每小題 4 分，共 16 分） 11已知向量 =（ k， 12， 1）， =（ 4， 5， 1）， =（ k， 10， 1），且 A、 B、 C 三點共線，則 k= 【考點】 共線向量與共面向量 【分析】 利用向量的坐標運算和向量共線定理即可得出 【解答】 解： 向量 =（ k， 12， 1）， =（ 4， 5， 1）， =（ k， 10， 1）， =（ 4 k， 7， 0）， =（ 2k， 2， 0） 又 A、 B、 C 三點共線， 存在實數(shù) 使得 ， ，解得 故答案為： 12橢圓 + 中，以點 M（ 1， ）為中點的弦所在直線 方程是 x+2y 2=0 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 判斷 M 在橢圓內(nèi)，設(shè)弦 端點為（ （ 代入橢圓方程，運用點差法，結(jié)合直線的斜率公式和中點坐標公式，再由點斜式方程，即可得到所求方程 【解答】 解：由 M 點代入橢圓方程可得， + 1， 即 M 在橢圓內(nèi)，則直線與橢圓相交 設(shè)弦 端點為（ （ 即有 +， +， 兩式相減可得， +（ y1+=0， 第 10 頁（共 16 頁） 由中點坐標公式可得， x1+， y1+， 代入上式，可得 = = ， 即有弦所在的直線方程為 y = （ x 1）， 即為 x+2y 2=0 故答案為： x+2y 2=0 13已知拋物線 x 上的任意一點 P，記點 P 到 y 軸的距離為 d，對于給定點 A（ 4， 5），則 |d 的最小值為 1 【考點】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 拋物線 x 的焦點 F（ 1， 0），準線 l： x= 1，過點 P 作 l 交 y 軸于點 M，垂足為 N，則 | |d | 1即可得出 【解答】 解：拋物線 x 的焦點 F（ 1， 0），準線 l： x= 1 如圖所示，過點 P 作 l 交 y 軸于點 M，垂足為 N， 則 | d=| 1， |d | 1= 1= 1 當且僅當 A， P， F 三點共線時，取得最小值 1 故答案為： 1 14設(shè)點 M（ x， y），其軌跡為曲線 C，若 =（ x 2， y）， =（ x+2， y）， | | | |=2，則曲線 C 的離心率等于 2 【考點】 雙曲線的簡單性質(zhì) 【分析】 由題意可得 | |=2，即有 M 到兩定點（ 2， 0），（ 2， 0）的距離的差的絕對值為常數(shù) 2，由雙曲線的定義可得 M 的軌跡為以定點為焦點的雙曲線，求得 c=2， a=1，運用離心率公式即可得到所求值 【解答】 解：由 =（ x 2， y）， =（ x+2， y）， | | | |=2， 可得 | |=2， 即有 M 到兩定點（ 2， 0），（ 2， 0）的距離的差的絕對值為常數(shù) 2， 第 11 頁（共 16 頁） 由雙曲線的定義可得 M 的軌跡為以（ 2， 0），（ 2， 0）為焦點，實軸長為 2 的雙曲線， 由 c=2， a=1，可得 e= =2 故答案為： 2 三、解答題（共 44 分） 15已知 m R，設(shè)命題 p：方程 + =1 表示焦點在 y 軸上的橢圓；命題 q：函數(shù) f（ x） =3mx+m+ 有零點 （ 1）若 p 為真命題，求 m 的取值范圍； （ 2）若 “p q”為真，求 m 的取值范圍 【考點】 復合命題的真假 【分析】 （ 1） p： m 1 5 m 0，解出 m 范圍，由于 p 為真命題，可得 p 為假命題，即可得出 （ 2）函數(shù)有零點，可得 0，由于 “p q”為真，可得 m P Q 【解答】 解：（ 1） p： m 1 5 m 0， 3 m 5， p 為真命題， p 為假命題 m 3 或 m 5 （ 2）函數(shù)有零點， 0， 0， m 4 或 m 1 設(shè) Q=m|m 4 或 m 1， P=m|3 m 5 “p q”為真， m P Q，即 m 3 或 m 1 16在邊長為 1 的正方體 ， E 是 中點， F 是 中點 （ 1）求證： 平面 （ 2）求直線 平面 成角的余弦值 【考點】 直線與平面所成的角；直線與平面平行的判定 【分析】 （ 1）取 點 M，連接 導出平行四邊形 此能證明 平面 （ 2）以 D 為坐標原點， 在直線為軸建系，利用向量法能求出直線 平面 成角的余弦值 【解答】 解：（ 1）取 點 M，連接 F 為 點， 第 12 頁（共 16 頁） 又 ， E， 平行四邊形 又 平面 （ 2）以 D 為坐標原點， 在直線為軸建系， 則 A（ 1， 0， 0）， 1， 0， 1）， E（ ， 1， 0）， =（ 0， 0， 1），面 法向量可取 ， = = ， 直線 平面 成角的余弦值為 17在四棱錐 P ，底面 邊長為 1 的正方形，且 面 （ 1）求證： （ 2）過直線 垂直于直線 平面交 點 E，且三棱錐 E 體積取到最大值， 求此時 長度； 求此時二面角 A B 的余弦值的大小 第 13 頁（共 16 頁） 【考點】 二面角的平面角及求法；棱柱、棱錐、棱臺的體積 【分析】 （ 1）連接 導出 此能證明 （ 2） 設(shè) PA=h，推導出 E（ ， ， h E（ x， y， z），由 =0，得，由此能求出體積取到最大值時， 長度 以 A 為坐標原點， 在直線為軸建系，利用向量法能求出二面角 A B 的余弦值 【解答】 證明：（ 1）連接 在四棱錐 P ，底面 邊長為 1 的正方形，且 面 平面 （ 2） 設(shè) PA=h， E 在 ， 設(shè) ，代入，得 E（ ， ， h 面 設(shè) E（ x， y， z），則 =0， 代入，得 ， 所以體積取到最大值時， 以 A 為坐標原點， 在直線為軸建系， 則 A（ 0， 0， 0）， D（ 0， 1， 0）， B（ 1， 0，