第 1 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 2016 年上海市虹口區(qū)高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 一、填空題（本大題滿(mǎn)分 56 分）本大題共 14 題，只要求在答題紙相應(yīng)題號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得 4 分，否則一律得零分 . 1設(shè)集合 M=x| 0， N=x|2x 1，則 MN= 2在 ， ，則 3已知復(fù)數(shù) z= （ i 為虛數(shù) 單位）， 表示 z 的共軛復(fù)數(shù)，則 z = 4若等比數(shù)列 公比 q 滿(mǎn)足 |q| 1，且 ， a3+，則 （ a1+ 5若函數(shù) f（ x） =（ x a） |x|（ a R）存在反函數(shù) f 1（ x），則 f（ 1） +f 1（ 4） = 6在數(shù)學(xué)解題中，常會(huì)碰到形如 “ ”的結(jié)構(gòu)，這時(shí)可類(lèi)比正切的和角公式如：設(shè) a，b 是非零實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足 =則 = 7若一個(gè)球的半徑與它的內(nèi)接圓錐的底面半徑之比為 ，且內(nèi)接圓錐的軸截面為銳角三角形，則該球的體積與它的內(nèi)接圓錐的體積之比等于 8某小區(qū)有排成一排的 8 個(gè)車(chē)位，現(xiàn)有 5 輛不同型號(hào)的轎車(chē)需要停放，則這 5 輛轎車(chē)停入車(chē)位后，剩余 3 個(gè)車(chē)位連在一起的概率為 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示） 9若雙曲線(xiàn) =1 的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為 2 ，則該雙曲線(xiàn)的焦距等于 10若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 |z+3|=|z 4i|（ i 為虛數(shù)單位），則 |z|的最小值為 11在極坐標(biāo)系中，圓 =2直線(xiàn) + ） = 截得的弦長(zhǎng)為 12過(guò)拋物線(xiàn) y 的焦點(diǎn) F 的直線(xiàn)與其相交于 A， B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)若 |6，則 面積為 13若關(guān)于 x 的方程 2x|x| a|x|=1 有三個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 14在平面直角坐標(biāo)系中，定義 為點(diǎn) 點(diǎn) （ ， ）的一個(gè)變換，我們把它稱(chēng)為點(diǎn)變換已知 1， 0）， x3， 是經(jīng)過(guò)點(diǎn)變換得到的一組無(wú)窮點(diǎn)列，設(shè) ，則滿(mǎn)足不等式a1+2016 的最小正整數(shù) n 的值為 第 2 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 二、選擇題（本大題共 4 題，滿(mǎn)分 20 分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)題號(hào)上，將所選答案的代號(hào)涂黑，選對(duì)得 5 分，否則一律零分 . 15關(guān)于三個(gè)不同平面 ， ， 與直線(xiàn) l，下列命題中的假命題是（ ） A若 ，則 內(nèi)一定存在直線(xiàn)平行于 B若 與 不垂直 ，則 內(nèi)一定不存在直線(xiàn)垂直于 C若 ， ， =l，則 l D若 ，則 內(nèi)所有直線(xiàn)垂直于 16若函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù) y=3x+a 的圖象關(guān)于直線(xiàn) y= x 對(duì)稱(chēng)，且 f（ 1） +f（ 3）=3，則實(shí)數(shù) a 等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 17在銳角 ， B=60， | |=2，則 的取值范圍為（ ） A（ 0， 12） B ， 12） C（ 0， 4 D（ 0， 2 18在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn) P（ Q（ 間的 “直角距離 ”為： d（ P，Q） =|現(xiàn)給出下列 4 個(gè)命題： 已知 P（ 1， 2）， Q（ R），則 d（ P， Q）為定值； 已知 P， Q， R 三點(diǎn)不共線(xiàn)，則必有 d（ P， Q） +d（ Q， R） d（ P， R）； 用 |示 P， Q 兩點(diǎn)之間的距離，則 | d（ P， Q）； 若 P， Q 是橢圓 =1 上的任意兩點(diǎn)，則 d（ P， Q）的最大值為 6 則下列判斷正確的為（ ） A命題 ， 均為真命題 B命題 ， 均為假命題 C命題 ， 均為假命題 D命題 ， ， 均為真命題 三、解答題（本大題共 5 題，滿(mǎn)分 74 分）解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟 . 19已知函數(shù) f（ x） = 的圖象過(guò)點(diǎn) 和點(diǎn) （ 1）求函數(shù) f（ x）的最大值與最小值； （ 2）將函數(shù) y=f（ x）的圖象向左平移 （ 0 ）個(gè)單位后，得到函數(shù) y=g（ x）的圖象；已知點(diǎn) P（ 0， 5），若函數(shù) y=g（ x）的圖象上存在點(diǎn) Q，使得 |3，求函數(shù) y=g（ x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心 20已知函數(shù) f（ x） =2ax+b（ a 0）在區(qū)間 1， 3上的最大值為 5，最小值為 1 （ 1） 求 a， b 的值及 f（ x）的解析式； （ 2）設(shè) g（ x） = ，若不等式 g（ 3x） t3x 0 在 x 0， 2上有解，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 21如圖，在直四棱柱 ，底面 菱形， ， ，且側(cè)棱其中 交點(diǎn) （ 1）求點(diǎn) 平面 距離； （ 2）在線(xiàn)段 ，是否存在一個(gè)點(diǎn) P，使得直線(xiàn) 直？若存在，求出線(xiàn)段 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 第 3 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 22設(shè)橢圓 C： + =1（ a b 0），定義橢圓 C 的 “相關(guān)圓 ”E 為： x2+若拋物線(xiàn) x 的焦點(diǎn)與橢圓 C 的右焦點(diǎn)重合，且橢圓 C 的短軸長(zhǎng)與焦距相等 （ 1）求橢圓 C 及其 “相關(guān)圓 ”E 的方程； （ 2）過(guò) “相關(guān)圓 ”E 上任意一點(diǎn) P 作其切線(xiàn) l，若 l 與橢圓 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，求證： O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）； （ 3）在（ 2）的條件下，求 積的取值范圍 23若數(shù)列 ， n N*， n 2）滿(mǎn)足 ， | 1（ k=1， 2， ， n 1），則稱(chēng) L 數(shù)列記 S（ =a1+ （ 1）若 L 數(shù)列，且 ，試寫(xiě)出 S（ 所有可能值； （ 2）若 L 數(shù)列，且 ，求 S（ 最大值； （ 3）對(duì)任意給定的正整數(shù) n（ n 2），是否存在 L 數(shù)列 得 S（ =0？若存在，寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè) L 數(shù)列 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 第 4 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 2016 年上海市虹口區(qū)高考數(shù)學(xué)三模試卷（理科） 參考答案與試題解析 一、填空題（本大題滿(mǎn)分 56 分）本大題共 14 題，只要求在答題紙相應(yīng)題號(hào)的空格內(nèi)直接填寫(xiě)結(jié)果，每個(gè)空格填對(duì)得 4 分，否則一律得零分 . 1設(shè)集合 M=x| 0， N=x|2x 1，則 MN= 0， 3） 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 分別求出 M 與 N 中不等式的解集確定出 M 與 N，找出兩集合的交集即可 【解答】 解：由 M 中不等式變形得：（ x 3）（ x+1） 0，且 3 x 0， 解得： 1 x 3，即 M= 1， 3）， 由 N 中不等式變形得： 2x 1=20，即 x 0， N=0， +）， 則 MN=0， 3）， 故答案為： 0， 3） 2在 ， ，則 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 【分析】 由題意得 A 為鈍角，且 ， ，由此由二倍角公式得 【解答】 解： ， ， ， ， 3已知復(fù)數(shù) z= （ i 為虛數(shù)單位）， 表示 z 的共軛復(fù)數(shù)，則 z = 1 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算 【分析】 利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn) z，再由 求得 z 【解答】 解： z= = ， z = 故答案為： 1 4若等比數(shù)列 公比 q 滿(mǎn)足 |q| 1，且 ， a3+，則 （ a1+= 16 第 5 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式 【分析】 由等比數(shù)列通項(xiàng)公式列出方程組，求出首項(xiàng)和公比，由此能求出 （ a1+ 【解答】 解： 等比數(shù)列 公比 q 滿(mǎn)足 |q| 1，且 ， a3+， ， 由 |q| 1，解得 ， a1+， 則 （ a1+= =16 故答案為： 16 5若函數(shù) f（ x） =（ x a） |x|（ a R）存在反函數(shù) f 1（ x），則 f（ 1） +f 1（ 4） = 1 【考 點(diǎn)】 反函數(shù) 【分析】 根據(jù) f（ x）存在反函數(shù) f 1（ x），得出 f（ x）是定義域上的單調(diào)函數(shù)，求出 a 的值以及 f（ x）的解析式，即可求出 f（ 1） +f 1（ 4）的值 【解答】 解： 函數(shù) f（ x） =（ x a） |x|= ， 且 f（ x）存在反函數(shù) f 1（ x）， f（ x）是定義域 R 的單調(diào)增函數(shù)， a=0， f（ x） = ， f（ 1） +f 1（ 4） =1+（ 2） = 1 故答案為： 1 6在數(shù)學(xué)解題 中，常會(huì)碰到形如 “ ”的結(jié)構(gòu)，這時(shí)可類(lèi)比正切的和角公式如：設(shè) a，b 是非零實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足 =則 = 【考點(diǎn)】 兩角和與差的正切函數(shù) 第 6 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 【分析】 先把已知條件轉(zhuǎn)化為 =+）利用正切函數(shù)的周期性求出 ，即可求得結(jié)論 【解答】 解：因?yàn)?=+）且 += = ） = = 故答案為： 7若一個(gè)球的半徑與它的內(nèi)接圓錐的底面半徑之比為 ，且內(nèi)接圓錐的軸截面為銳角三角形，則該球的體積與它的內(nèi)接圓錐的體積之比等于 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)） 【分析】 設(shè)球的半徑為 5，圓錐底面半徑為 3，則圓錐的高為 9，代入體積公式計(jì)算即可得出比值 【解答】 解：設(shè)球的半徑為 5，則圓錐的底面半徑為 3， 球心到圓錐底面的距離為=4 內(nèi)接圓錐的軸截面為銳角三角形， 圓錐的高為 4+5=9 V 球 = ， V 圓錐 = =27 V 球 ： V 圓錐 = 27= 故答案為： 8某小區(qū)有排成一排的 8 個(gè)車(chē)位，現(xiàn)有 5 輛不同型號(hào)的轎車(chē)需要停放，則這 5 輛轎車(chē)停入車(chē)位后， 剩余 3 個(gè)車(chē)位連在一起的概率為 （結(jié)果用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示） 【考點(diǎn)】 古典概型及其概率計(jì)算公式 【分析】 先求出基本事件總數(shù)，再求出這 5 輛轎車(chē)停入車(chē)位后，剩余 3 個(gè)車(chē)位連在一起，包含的基本事件個(gè)數(shù)，由此能求出這 5 輛轎車(chē)停入車(chē)位后，剩余 3 個(gè)車(chē)位連在一起的概率 【解答】 解：某小區(qū)有排成一排的 8 個(gè)車(chē)位，現(xiàn)有 5 輛不同型號(hào)的轎車(chē)需要停放， 基本事件總數(shù) n= ， 第 7 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 這 5 輛轎車(chē)停入車(chē)位后，剩余 3 個(gè)車(chē)位連在一起，包含的基 本事件個(gè)數(shù) m= ， 這 5 輛轎車(chē)停入車(chē)位后，剩余 3 個(gè)車(chē)位連在一起的概率為： p= = = 故答案為： 9若雙曲線(xiàn) =1 的一個(gè)焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離為 2 ，則該雙曲線(xiàn)的焦距等于 6 【考點(diǎn)】 雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 根據(jù)焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離求出 b 的值即可得到結(jié)論 【解答】 解：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)為 y= 妨設(shè)為 y= bx+y=0， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為 F（ c， 0）， 則焦點(diǎn)到其漸近線(xiàn)的距離 d= = =b=2 ， 則 c= = = =3， 則雙曲線(xiàn)的焦距等于 2c=6， 故答案為： 6 10若復(fù)數(shù) z 滿(mǎn)足 |z+3|=|z 4i|（ i 為虛數(shù)單位），則 |z|的最小值為 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 【分析】 設(shè) z=a+ a， b R）由 |z+3|=|z 4i|（ i 為虛數(shù)單位），可得= ，化為： 6a+8b 7=0再利用原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得出 【解答】 解：設(shè) z=a+ a， b R） |z+3|=|z 4i|（ i 為虛數(shù)單位）， = ， 化為： 6a+8b 7=0 |z|= 的最小值為原點(diǎn)（ 0， 0）到直線(xiàn) l： 6a+8b 7=0 的距離，： = ， 故答案為： 11在極坐標(biāo)系中，圓 =2直線(xiàn) + ） = 截得的弦長(zhǎng)為 2 第 8 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單曲線(xiàn)的極坐標(biāo)方程 【分析】 利用 ， 2=x2+可把極坐標(biāo)方程化為直 角坐標(biāo)方程，進(jìn)而得出弦長(zhǎng) 【解答】 解：圓 =22=2為： x2+y，配方為： y 1） 2=1，可得圓心 C（ 0， 1），半徑 r=1 直線(xiàn) + ） = 展開(kāi)為： + ，可得直角坐標(biāo)方 程： 1=0 圓心 C 滿(mǎn)足直線(xiàn)方程： 0+1 1=0， 截得的弦長(zhǎng) =2r=2 故答案為： 2 12過(guò)拋物線(xiàn) y 的焦點(diǎn) F 的直線(xiàn)與其相交于 A， B 兩點(diǎn)， O 為坐標(biāo)原點(diǎn)若 |6，則 面積為 6 【考點(diǎn)】 拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)方程，運(yùn)用拋物線(xiàn)的定義可得 A 的坐標(biāo)（ 4 ， 4），再由三點(diǎn)共線(xiàn)的條件 ：斜率相等，可得 B 的坐標(biāo)，由 面積為 |計(jì)算即可得到所求值 【解答】 解：拋物線(xiàn) y 的焦點(diǎn) F（ 0， 2），準(zhǔn)線(xiàn)為 y= 2， 由拋物線(xiàn)的定義可得 |=6， 解得 ，可設(shè) A（ 4 ， 4）， 設(shè) B（ m， ），由 A， F， B 共線(xiàn)可得， = ， 解得 m=2 （ 4 舍去）， 即有 B（ 2 ， 1）， 則 面積為 | 2| 4 2 |=6 故答案為： 6 13若關(guān)于 x 的方程 2x|x| a|x|=1 有三個(gè)不同實(shí)根，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 （ ，2 ） 【考點(diǎn)】 根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷 【分析】 首先進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再對(duì) x 進(jìn)行分類(lèi)討論，由二次函數(shù)的圖象以及性質(zhì)得到 a 的范圍 【解答】 解： 方程 2x|x| a|x|=1 有三個(gè)不同實(shí)根， 函數(shù) y=2x|x| a|x| 1 有 3 個(gè)不同的零點(diǎn)， y= ， 第 9 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 對(duì)稱(chēng)軸為 x= ，與 y 軸交點(diǎn)為（ 0， 1） a 0 時(shí)，不符合條件， a 0， 且 0 a ， 故答案為：（ ， 2 ） 14在平面直角坐標(biāo)系中，定義 為點(diǎn) 點(diǎn) （ ， ）的一個(gè)變換，我們把它稱(chēng)為點(diǎn)變換已知 1， 0）， x3， 是經(jīng)過(guò)點(diǎn)變換得到的一組無(wú)窮點(diǎn)列，設(shè) ，則滿(mǎn)足不等式a1+2016 的最小正整數(shù) n 的值為 11 【考點(diǎn)】 進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理 【分析】 根據(jù)條件即可求得點(diǎn) 坐標(biāo)，從而可以求出向量 ， ， ，的坐標(biāo)，進(jìn)行向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算便可求出 ， ， ， ， 6，從而便可看出數(shù)列 以 1 為首項(xiàng)， 2 為公比的等比數(shù)列，從而可求出前 n 項(xiàng)和為 2n 1，從而可以得到 2n 2017，這樣便可判斷出最小正整數(shù) n 的值 【解答】 解：由條件得， 1， 0）， 1， 1）， 0， 2）， 2， 2）， 4， 0）， 4， 4）， 0， 8） ； =（ 0， 1） （ 1， 1） =1， =（ 1， 1） （ 2， 0） =2 =（ 2， 0） （ 2， 2） =4， =（ 2， 2） （ 0， 4）=8， =（ 0， 4） （ 4， 4） =16， 數(shù)列 首項(xiàng)為 1，公比為 2 的等比數(shù)列； a1+=2n 1， 由 a1+2016 得， 2n 1 2016； 2n 2017； 210=1024， 211=2048， 滿(mǎn)足 a1+2016 的最小正整數(shù) n=11， 故答案為： 11 二、選擇題（本大題共 4 題，滿(mǎn)分 20 分）每題有且只有一個(gè)正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)題號(hào)上，將所選答案的代號(hào)涂黑，選對(duì)得 5 分，否則一律零分 . 15關(guān)于三個(gè)不同平面 ， ， 與直線(xiàn) l，下列命題中的假命題是（ ） 第 10 頁(yè)（共 19 頁(yè)） A若 ，則 內(nèi)一定存在直線(xiàn)平行于 B若 與 不垂直，則 內(nèi)一定不存在直線(xiàn)垂直于 C若 ， ， =l，則 l D若 ，則 內(nèi)所有直線(xiàn)垂直于 【考點(diǎn)】 空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系 【分析】 根據(jù) 空間線(xiàn)面位置關(guān)系的判定和性質(zhì)判斷或距離說(shuō)明 【解答】 解：對(duì)于 A，假設(shè) =a，則 內(nèi)所有平行于 a 的直線(xiàn)都平行 ，故 A 正確； 對(duì)于 B，假設(shè) 內(nèi)存在直線(xiàn) a 垂直于 ，則 ，與題設(shè)矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤，故 B 正確； 對(duì)于 C，設(shè) =c， =d，在 內(nèi)任取一點(diǎn) P，作 c 于點(diǎn) M， d 于點(diǎn) N， 則 ， ，且 可能共線(xiàn) 又 l， l， l， l 又 N=P， ， ， l 故 C 正確 對(duì)于 D，假設(shè) =a，則 內(nèi)所有平行于 a 的直線(xiàn)都平行 ，故 D 錯(cuò)誤 故選： D 16若函數(shù) y=f（ x）的圖象與函數(shù) y=3x+a 的圖象關(guān)于直線(xiàn) y= x 對(duì)稱(chēng)，且 f（ 1） +f（ 3）=3，則實(shí)數(shù) a 等于（ ） A 1 B 1 C 2 D 4 【考點(diǎn)】 反函數(shù) 【分析】 設(shè)（ x， y）為函數(shù) y=f（ x）的圖象上的一點(diǎn)，則關(guān)于直線(xiàn) y= x 對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)為（ y， x）代入函數(shù) y=3x+a 可得： f（ x） =a x）即可得出 【解答】 解：設(shè)（ x， y）為函數(shù) y=f（ x）的圖象上的一點(diǎn)，則關(guān)于直線(xiàn) y= x 對(duì)稱(chēng) 的點(diǎn)為（ y， x） 代入函數(shù) y=3x+a 可得： x=3 y+a， y+a= x），即 f（ x） =a x） f（ 1） +f（ 3） =3， a 0+a ，解得 a=2 故選： C 17在銳角 ， B=60， | |=2，則 的取值范圍為 （ ） A（ 0， 12） B ， 12） C（ 0， 4 D（ 0， 2 【考點(diǎn)】 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 【分析】 以 B 為原點(diǎn)， 在直線(xiàn)為 x 軸建立坐標(biāo)系，得到 C 的坐標(biāo)，找出三角形為銳角三角形的 A 的位置，得到所求范圍 【解答】 解：以 B 為原點(diǎn)， 在直線(xiàn)為 x 軸建立坐標(biāo)系， B=60， | |=| |=2， C（ 1， ）， 第 11 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 設(shè) A（ x， 0） 銳角三角形， A+C=120， 30 A 90， 即 A 在如圖的線(xiàn)段 （不與 D， E 重合）， 1 x 4， 則 =x=（ x ） 2 ， 的范圍為（ 0， 12） 故選： A 18在平面直角坐標(biāo)系中，定義兩點(diǎn) P（ Q（ 間的 “直角距離 ”為： d（ P，Q） =|現(xiàn)給出下列 4 個(gè)命題： 已知 P（ 1， 2）， Q（ R），則 d（ P， Q）為定值； 已知 P， Q， R 三點(diǎn)不共線(xiàn)，則必有 d（ P， Q） +d（ Q， R） d（ P， R）； 用 |示 P， Q 兩點(diǎn)之間的距離，則 | d（ P， Q）； 若 P， Q 是橢圓 =1 上的任意兩點(diǎn)，則 d（ P， Q）的最大值為 6 則下列判斷正確的為（ ） A命題 ， 均為真命題 B命題 ， 均為假命題 C命題 ， 均為假命題 D命題 ， ， 均為真命題 【考點(diǎn)】 進(jìn)行簡(jiǎn)單的合情推理 【分析】 先根據(jù)直角距離的定義分別表示出所求的問(wèn)題的表達(dá)式，然后根據(jù)集合中絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行判定即可 【解答】 解： 已知 P（ 1， 2）， Q（ R），則 d（ P， Q） =|1 |2 為定值；故 正確， 已知 P， Q， R 三點(diǎn)不共線(xiàn)，設(shè) P（ 1， 0）， Q（ 0， 0）， R（ 0， 1）， 則 d（ P， Q） =|1， d（ Q， R） =|1 d（ P， R） =|1+1=2，此時(shí) d（ P， Q） +d（ Q， R） =d（ P， R）； d（ P， Q） +d（ Q， R） d（ P， R）不成立，故 錯(cuò)誤， 第 12 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 若 |示 P、 Q 兩點(diǎn)間的距離，那么 | ， d（ P， Q）=| 2（ a2+ （ a+b） 2， |即 | d（ P， Q）， 則 | d（ P， Q） = d（ P， Q），故 正確， 若 P， Q 是 =1 上的任 意兩點(diǎn)， d（ P， Q）的最大，設(shè) P（ 2 Q（ 2則 d（ P， Q） =|2（ =6+），則 d（ P， Q）的最大值為 6；故 正確， 故選： D 三、解答題（本大題共 5 題，滿(mǎn)分 74 分）解答下列各題必須在答題紙的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟 . 19已知函 數(shù) f（ x） = 的圖象過(guò)點(diǎn) 和點(diǎn) （ 1）求函數(shù) f（ x）的最大值與最小值； （ 2）將函數(shù) y=f（ x）的圖象向左平移 （ 0 ）個(gè)單位后，得到函數(shù) y=g（ x）的圖象；已知點(diǎn) P（ 0， 5），若函數(shù) y=g（ x）的圖象上存在點(diǎn) Q，使得 |3，求函數(shù) y=g（ x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心 【考點(diǎn)】 函數(shù) y=x+）的圖象變換；三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用 ；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 （ 1）利用條件求得 m、 n 的值，可得函數(shù)的解析式，從而求得它的最值 （ 2）根據(jù) g（ x）的解析式，點(diǎn) Q（ 0， 2）在 y=g（ x）的圖象上，求得 的值，再利用正弦函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)性，得出結(jié)論 【解答】 解：（ 1）易知 f（ x） =由它的圖象過(guò)點(diǎn) 和點(diǎn)， 可得 ，解得 故 故函數(shù) f（ x）的最大值為 2，最小值為 2 （ 2）由（ 1）可知： 于是，當(dāng)且僅當(dāng) Q（ 0， 2）在 y=g（ x）的圖象上時(shí)滿(mǎn)足條件， 由0 ，得 第 13 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 故 由 ，得 于是，函數(shù) y=g（ x）圖象的對(duì)稱(chēng)中心為： 20已知函數(shù) f（ x） =2ax+b（ a 0）在區(qū)間 1， 3上的最大值為 5，最小值為 1 （ 1）求 a， b 的值及 f（ x）的解析式； （ 2）設(shè) g（ x） = ，若不等式 g（ 3x） t3x 0 在 x 0， 2上有解，求實(shí)數(shù) t 的取值范圍 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì)；根的存在性及根 的個(gè)數(shù)判斷 【分析】 （ 1）解關(guān)于 a， b 的方程組，求出 a， b 的值從而求出函數(shù)的解析式即可； （ 2）問(wèn)題轉(zhuǎn)化為 t 2 2 +1=2 + 在 x 0， 2上有解，通過(guò)換元法求出 t 的范圍即可 【解答】 解：（ 1）由 f（ x） =a（ x 1） 2+b a（ a 0）及條件，可得 ， 解得 a=1， b=2故 f（ x） =2x+2 （ 2）由（ 1）可得 g（ x） = =x+ 2， 于是題設(shè)條件得 3x+ 2 t3x 0 在 x 0， 2上有解， 即 t 2 2 +1=2 + 在 x 0， 2上有解， 令 =u ， 1， x 0， 2， 則 t 2 + 在 u ， 1上有解 當(dāng) u ， 1時(shí)， 2 + ， 1，于是 t 1， 因此，實(shí)數(shù) t 的取值范圍為（ ， 1 21如圖，在直四棱柱 ，底面 菱形， ， ，且側(cè)棱其中 交點(diǎn) （ 1）求點(diǎn) 平面 距離； （ 2）在線(xiàn)段 ，是否存在一個(gè)點(diǎn) P，使得直線(xiàn) 直？若存在，求出線(xiàn)段 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 第 14 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 點(diǎn)、線(xiàn)、面間的距離計(jì)算；空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系 【分析】 （ 1）用向量法，找出平面上一點(diǎn) 此點(diǎn) 連的線(xiàn)段所對(duì)應(yīng)的向量，求出其在平面法向量上的投影的絕對(duì)值即可得到點(diǎn)到面的距離 （ 2）由題意設(shè) ，可求 ， 的坐標(biāo)，若 ，可得 =0，解得 的值，即可得解 【解答】 （本題滿(mǎn)分 14 分） 本題共 2 個(gè)小題，每小題 解：（ 1）由于菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直平分， 故以 交點(diǎn) O 為原點(diǎn)，以射線(xiàn) 別為 x、 y、 z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 由已知條件，相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)為 A（ 2， 0， 0）， B（ 0， 1， 0）， C（ 2， 0， 0）， 0， 0， 3） ，0， 1， 3）， 0， 1， 3） 設(shè)平面 法向量為 ， 由 ， ， 得 ， 令 z=1，則 因 ， 故點(diǎn) 平面 距離為 （ 2）設(shè) ， 則由 ， ， 得 又 ， 第 15 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 故當(dāng) 時(shí)， 于是，在線(xiàn)段 存在點(diǎn) P，使得 時(shí) 22設(shè)橢圓 C： + =1（ a b 0），定義橢圓 C 的 “相關(guān)圓 ”E 為： x2+若拋物線(xiàn) x 的焦點(diǎn)與橢圓 C 的右焦點(diǎn)重合，且橢圓 C 的短軸長(zhǎng)與焦距相等 （ 1）求橢圓 C 及其 “相關(guān)圓 ”E 的方程； （ 2）過(guò) “相關(guān)圓 ”E 上任意一點(diǎn) P 作其切線(xiàn) l，若 l 與橢圓 C 交于 A， B 兩點(diǎn)，求證： O 為坐標(biāo)原點(diǎn)）； （ 3）在（ 2）的條件下，求 積的取值范圍 【考點(diǎn)】 拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ 1）求得拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，可得 c=1，由 a， b， c 的關(guān)系可得 a，進(jìn)而得到橢圓方程和圓 E 的方程； （ 2）討論切線(xiàn) l 的斜率不存在，求出方程，可得交點(diǎn) A， B，求得向量 坐標(biāo)，可得 90； l 的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)方程，聯(lián)立橢圓方程，運(yùn)用韋達(dá)定理，結(jié)合直線(xiàn)和圓相切的條件： d=r，化簡(jiǎn)整理，計(jì)算向量 數(shù)量 積，即可得證； （ 3）求得 面積，討論直線(xiàn) l 的斜率，運(yùn)用弦長(zhǎng)公式和基本不等式，求得最值，由不等式的性質(zhì)，即可得到所求范圍 【解答】 解：（ 1）由拋物線(xiàn) x 的焦點(diǎn)（ 1， 0）與橢圓 C 的右焦點(diǎn)重合， 可得 c=1，又因?yàn)闄E圓 C 的短軸長(zhǎng)與焦距相等，則 b=c=1 a= ， 故橢圓 C 的方程為： +，其 “相關(guān)圓 ”E 的方程為： x2+； （ 2）證明：當(dāng)切線(xiàn) l 的斜率不存在時(shí)切線(xiàn)方程為 x= ， 與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)為（ ， ）或（ ， ） 此時(shí) = =0，即 0； 當(dāng)切線(xiàn) l 斜率存在時(shí)，可設(shè) l 的方程為 y=kx+m，與橢圓方程聯(lián)立，可得 （ 1+22=0 第 16 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 則 =164（ 1+2 22） 0，即為 1+2 設(shè) A（ B（ 則 x1+ ， ， 可得 m）（ m） =x1+m2=+ ）+， 由 l 與圓 x2+相切，可得 d= = ，化為 3， 則 =0，即 0 綜上所述 0為定值； （ 3）由于 ， 求 S 取值范圍，只需求出弦長(zhǎng) |取值范圍 當(dāng)直線(xiàn) l 的斜率不存在時(shí)，可得 | ， S ； 當(dāng)直線(xiàn) l 的斜率存在時(shí)， | = = = = ， 由 = = ， 故 ， 故 ，當(dāng)且僅當(dāng) 4，即 k= 時(shí)， 于是 |取值范圍為 因此 S 取值范圍為 第 17 頁(yè)（共 19 頁(yè)） 23若數(shù)列 ， n N*， n 2）滿(mǎn)足 ， | 1（ k=1， 2， ， n 1），則稱(chēng) L 數(shù)列記 S（ =a1+ （ 1）若 L 數(shù)列，且 ，試寫(xiě)出 S（ 所有可能值； （ 2）若 L 數(shù)列， 且 ，求 S（ 最大值； （ 3）對(duì)任意給定的正整數(shù) n（ n 2），是否存在 L 數(shù)列 得 S（ =0？若存在，寫(xiě)出滿(mǎn)足條件的一個(gè) L 數(shù)列 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 【考點(diǎn)】 數(shù)列的應(yīng)用 【分析】 （ ）根據(jù)題意， a1=， 1， 1，再根據(jù) | 1 求出 或 2，可以得出