浙江省溫州市 2016 年高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） （解析版） 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求 1已知集合 A=x|y= B=x|2x 3 0，則 AB=（ ） A（ 1， 0） B（ 0， 3） C（ ， 0） （ 3， +） D（ 1， 3） 2已知 l， m 是兩條不同的直線， 是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（ ） A若 l ， m ，則 l m B若 l m， m ，則 l C若 l ， m ，則 l m D若 l m， l ，則 m 3已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 x y 的最大值為（ ） A 1 B 3 C 1 D 3 4已知直線 l： y=kx+b，曲線 C： x2+，則 “b=1”是 “直線 l 與曲線 C 有公共點(diǎn) ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 5已知正方形 面積為 2，點(diǎn) P 在邊 ，則 的最大值為（ ） A B C 2 D 6如圖，在矩形 ， ， ，點(diǎn) E 為 中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿 折，使得點(diǎn) A， D 重合于 F，此時(shí)二面角 E F 的余弦值為（ ） A B C D 7如圖，已知 雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在第一象限，且滿足（ + ） =0， | |=a，線段 雙曲線 C 交于點(diǎn) Q，若=5 ，則雙曲線 C 的漸近線方程為（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 8已知集合 M=（ x， y） |x2+1，若實(shí)數(shù) ， 滿足：對(duì)任意的（ x， y） M，都有（ x，y） M，則稱（ ， ）是集合 M 的 “和諧實(shí)數(shù)對(duì) ”則以下集合中，存在 “和諧實(shí)數(shù)對(duì) ”的是（ ） A （ ， ） |+=4 B （ ， ） |2+2=4 C （ ， ） |2 4=4 D （ ， ）|2 2=4 二、填空題：本大題共 7 小題， 多空題每題 6 分，單空題每題 4 分，共 36 分 9已知直線 y+1=0， x+y+1=0， a 的值為 ，直線 10已知鈍角 面積為 ， ， ，則角 B= ， 11已知 f（ x） = ，則 f（ f（ 2） = ，函數(shù) f（ x）的零 點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 12某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 ，表面積為 13若數(shù)列 足 +n 1，則數(shù)列 前 8 項(xiàng)和為 14已知 f（ x） =x+ ），若對(duì)任意的 m R，方程 f（ x） =m 均為正實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 15已知橢圓 C： =1（ a ）的左右焦點(diǎn)分別為 心率為 e，直線 l：y=ex+a， P 為點(diǎn) 于直線 l 對(duì)稱的點(diǎn)，若 等腰三角形，則 a 的值為 三、解答題：本大題共 5 小題，共 74 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 16已知 2，且 0 （ I）求 的值； （ ）求函數(shù) f（ x） =4x ）在 0， 上的值域 17設(shè)等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 知 ，且 432等差數(shù)列 （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）設(shè) 2n 5|數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 18如圖，在三棱錐 D ， B=D 在底面 的射影為 E， F F （ ）求證：平面 平面 ）若 ， 0，求直線 平面 成的角的正弦值 19如圖，已知點(diǎn) F（ 1， 0），點(diǎn) A， B 分別在 x 軸、 y 軸上運(yùn)動(dòng)，且滿足 =2 ，設(shè)點(diǎn) D 的軌跡為 C （ I）求軌跡 C 的方程； （ ）若斜率為 的直線 l 與軌跡 C 交于不同兩點(diǎn) P， Q（位于 x 軸上方），記直線 Q 的斜率分別為 k1+取值范圍 20已知函數(shù) f（ x） =（ x t） |x|（ t R） （ ）討論函 數(shù) f（ x）的單調(diào)區(qū)間； （ ）若 t （ 0， 2），對(duì)于 x 1， 2，不等式 f（ x） x+a 都成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍 2016 年浙江省溫州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求 1已知集合 A=x|y= B=x|2x 3 0，則 AB=（ ） A（ 1， 0） B（ 0， 3） C（ ， 0） （ 3， +） D（ 1， 3） 【分析】 分別求出集合 A， B，從而求 出其交集即可 【解答】 解： 集合 A=x|y=x|x 0|， B=x|2x 3 0=x| 1 x 3， 則 AB=（ 0， 3）， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了集合的運(yùn)算，是一道基礎(chǔ)題 2已知 l， m 是兩條不同的直線， 是一個(gè)平面，則下列命題正確的是（ ） A若 l ， m ，則 l m B若 l m， m ，則 l C若 l ， m ，則 l m D若 l m， l ，則 m 【分析】 利用線面平行的性質(zhì)定理和判定定理對(duì)四個(gè)選項(xiàng)分別分析解答 【解答】 解：對(duì)于 A，若 l ， m ，則 l 與 m 的位置關(guān)系可能為平行、相交或者異面；故 A 錯(cuò)誤； 對(duì)于 B，若 l m， m ，則 l 與 平行或者相交；故 B 錯(cuò)誤； 對(duì)于 C，若 l ， m ，利用線面創(chuàng)造的性質(zhì)可得 l m；故 C 正確； 對(duì)于 D，若 l m， l ，則 m 或者 m ；故 D 錯(cuò)誤； 故選 C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了線面平行的性質(zhì)定理和判定定理的運(yùn)用；關(guān)鍵是熟練掌握定理，正確運(yùn)用 3已知實(shí)數(shù) x， y 滿足 ，則 x y 的最大值為（ ） A 1 B 3 C 1 D 3 【分析】 令 z=x y，從而化簡(jiǎn)為 y=x z，作平面區(qū)域，結(jié)合圖象求解即可 【解答】 解：令 z=x y，則 y=x z， 由題意作平面區(qū)域如下， ， 結(jié)合圖象可知， 當(dāng)過點(diǎn) A（ 3， 0）時(shí)， x y 取得最大值 3， 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了學(xué)生的作圖能力及線性規(guī)劃的應(yīng)用，同時(shí)考查了數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用 4已知直線 l： y=kx+b，曲線 C： x2+，則 “b=1”是 “直線 l 與曲線 C 有公共點(diǎn) ”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既 不充分也不必要條件 【分析】 先根據(jù)直線 l 與曲線 C 有公共點(diǎn)，根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系得到 1+根據(jù)充分，必要條件的定義判斷即可 【解答】 解：由題意可得直線直線 l： y=kx+b，曲線 C： x2+ 有公共點(diǎn)， 1， 1+ 當(dāng) b=1 時(shí)，滿足， 1+ “b=1”是 “直線 l 與曲線 C 有公共點(diǎn) ”充分條件， 當(dāng)直線 l 與曲線 C 有公共點(diǎn)，不一定可以得到 b=1， b=0 時(shí)也滿足， 故 “b=1”是 “直線 l 與曲線 C 有公共點(diǎn) ”的充分不必要條 件， 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查直線和圓的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，以及充分必要條件的判定，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題 5已知正方形 面積為 2，點(diǎn) P 在邊 ，則 的最大值為（ ） A B C 2 D 【分析】 建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè) P（ x， 0），使用坐標(biāo)法將 表示成 x 的函數(shù)，根據(jù) x 的范圍求出函數(shù)的最大值 【解答】 解：以 x 軸，以 y 軸建立平面直角坐標(biāo)系， 正方形 面積為 2， B（ ， 0）， C（ ）， D（ 0， ） 設(shè) P（ x， 0）（ 0 ），則 =（ ， ）， =（ x， ） = x（ ） +2=+2=（ x ） 2+ 當(dāng) x= 時(shí)， 取得最大值 故選 B 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，使用坐標(biāo)法求值是常用方法之一 6如圖， 在矩形 ， ， ，點(diǎn) E 為 中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿 折，使得點(diǎn) A， D 重合于 F，此時(shí)二面角 E F 的余弦值為（ ） A B C D 【分析】 根據(jù)折疊前和折疊后的邊長(zhǎng)關(guān)系，結(jié)合 二面角的平面角定義得到 二面角 E F 的平面角進(jìn)行求解即可 【解答】 解：取 中點(diǎn) O，連接 D， C，即三角形 等腰三角形， 則 F， 等腰三角形， 則 二面角 E F 的平面角， 平面 則直角三角形 ， B=2， E= ， 則 = = ， 則 = = ， 故選： B 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查二面角的求解，根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵注意疊前和折疊后 的線段邊長(zhǎng)的變化關(guān)系 7如圖，已知 雙曲線 C： =1（ a 0， b 0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn) P 在第一象限，且滿足（ + ） =0， | |=a，線段 雙曲線 C 交于點(diǎn) Q， 若=5 ，則雙曲線 C 的漸近線方程為（ ） A y= x B y= x C y= x D y= x 【分析】 連接 由向量共線定理可得 | ， | ，由雙曲線的定義可得| ，運(yùn)用向量的數(shù)量積的性質(zhì)可得 |2c，在 ，由 ，可得 ，運(yùn)用余弦定理，化簡(jiǎn)整理可得 b= a，運(yùn)用雙曲線的 漸近線方程即可得到 【解答】 解：連接 | |=a， =5 ， 可得 | ， | ， 由雙曲線的定義可得 | |2a， 即有 | ， 由（ + ） =0， 即為（ + ）（ ） =0， 即有 2 2=0， |2c， 在 ，由 ，可得 ， 由余弦定理可得， + =0，化簡(jiǎn)可得 c2= 由 c2=a2+得 b= a，可得雙曲線的漸近線方程 為 y= x，即為 y= x 故選： A 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查雙曲線的漸近線方程的求法，注意運(yùn)用三角形中的余弦定理，同時(shí)考查向量數(shù)量積的性質(zhì)和向量共線定理的運(yùn)用，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題 8已知集合 M=（ x， y） |x2+1，若實(shí)數(shù) ， 滿足：對(duì)任意的（ x， y） M，都有（ x，y） M，則稱（ ， ）是集合 M 的 “和諧 實(shí)數(shù)對(duì) ”則以下集合中，存在 “和諧實(shí)數(shù)對(duì) ”的是（ ） A （ ， ） |+=4 B （ ， ） |2+2=4 C （ ， ） |2 4=4 D （ ， ）|2 2=4 【分析】 由題意， 222+2 1，問題轉(zhuǎn)化為 2+2 1 與選項(xiàng)有交點(diǎn)，代入驗(yàn)證，可得結(jié)論 【解答】 解：由題意， 222+2 1， 問題轉(zhuǎn)化為 2+2 1 與選項(xiàng)有交點(diǎn)，代入驗(yàn)證，可得 C 符合 故選： C 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查曲線與方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，問題轉(zhuǎn)化為 2+2 1 與選項(xiàng)有交點(diǎn)是關(guān)鍵 二、填空題：本大題共 7 小題，多空題每題 6 分，單空題每題 4 分，共 36 分 9已知直線 y+1=0， x+y+1=0， a 的值為 1 ，直線 的距離為 【分析】 利用兩條直線相互平行的充要條件即可得出 【解答】 解：直線 y+1=0， x+y+1=0，分別化為： y=， y= x 1， a= 1， 1 1 兩條直線方程可得： x+y 1=0， x+y+1=0 直線 的距離 d= = 故答案分別為： 1； 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了兩條直線相互平行的充要條件，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 10已知鈍角 面積為 ， ， ，則角 B= ， 【分析】 利用已知及三角形面積公式可求 求 B= 或 ，分類討論：當(dāng) B= 時(shí)，由余弦定理可得 ，可得 直角三角形，舍去，從而利用余弦定理可得 值 【解答】 解： 鈍角 面積為 ， ， ， = 1 得： ， B= 或 ， 當(dāng) B= 時(shí)，由余弦定理可得 =1， 此時(shí)， 得 A= ，為直角三角形，矛盾，舍去 B= ，由余弦定理可得 = ， 故答案為： ； 【點(diǎn)評(píng)】 本題主要考查了三角形面積公式，余弦定理，勾股定理在解三角形中的應(yīng)用，考查了分類討論思想和轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中檔題 11已知 f（ x） = ，則 f（ f（ 2） = 14 ，函數(shù) f（ x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 1 【分析】 根據(jù) x 0 與 x 0 時(shí) f（ x）的解析式，確定出 f（ f（ 2）的值即可；令 f（ x）=0，確定出 x 的值，即可對(duì)函數(shù) f（ x）的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)作出判斷 【解答】 解：根據(jù)題意得： f（ 2） =（ 2） 2=4， 則 f（ f（ 2） =f（ 4） =24 2=16 2=14； 令 f（ x） =0，得到 2x 2=0， 解得： x=1， 則函數(shù) f（ x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 1， 故答案為： 14； 1 【點(diǎn)評(píng)】 此題考查了函數(shù)零點(diǎn)的判定定理，以及函數(shù)的值，弄清函數(shù)零點(diǎn)的判定定理是解本題的關(guān)鍵 12某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 12 ，表面積為 36 【分析】 根據(jù)三視圖作出棱錐的直觀圖，根據(jù)三視圖數(shù)據(jù)計(jì)算體積和表面積 【解答】 解：由三視圖可知幾何體為四棱錐，作出直觀圖如圖所示： 其中底面 邊長(zhǎng)為 3 正方形， 底面 棱錐的體積 V= 棱錐的四個(gè)側(cè)面均為直角三角形， D=5， 棱錐的表面積 S=32+ + =36 故答案為 12； 36 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了棱錐的三視圖和結(jié)構(gòu)特征，體積與表面積計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題 13若數(shù)列 足 +n 1，則數(shù)列 前 8 項(xiàng)和為 28 【分析】 數(shù)列 足 +n 1，對(duì) n 分別取 1， 3， 5， 7，求和即可得出 【解答】 解： 數(shù)列 足 +n 1， 數(shù)列 前 8 項(xiàng)和 =（ 2 1 1） +（ 2 3 1） +（ 2 5 1） +（ 2 7 1） =28 故 答案為： 28 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了遞推關(guān)系、分組求和方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題 14已知 f（ x） =x+ ），若對(duì)任意的 m R，方程 f（ x） =m 均為正實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 （ 4， +） 【分析】 根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合不等式的性質(zhì)得到關(guān)于 a 的不等式，解出即可 【解答】 解： f（ x） =x+ ） =m， 則 a=x+ 4 故答案為：（ 4， +） 【點(diǎn)評(píng)】 本題考察了對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，是一道基礎(chǔ)題 15已知橢圓 C： =1（ a ）的左右焦點(diǎn)分別為 心率為 e，直線 l：y=ex+a， P 為點(diǎn) 于直線 l 對(duì)稱的點(diǎn)，若 等腰三角形，則 a 的值為 【分析】 運(yùn)用橢圓的離心率公式和 a， b， c 的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)到直線的 距離公式，由題意可得|解方程即可求得 a 的值 【解答】 解：由題意可得 c= ， e= ， c， 0）到直線 l 的距離為 d= ， 由題意可得 | 即為 2d=2c，即有 =2， 化簡(jiǎn)可得 3， 解得 a= 故答案為： 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查離心率公式的運(yùn)用和點(diǎn)到直線的距離公式，以及運(yùn)算化簡(jiǎn)能力，屬于中檔題 三、解答題：本大題共 5 小題，共 74 分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 16已知 2，且 0 （ I）求 的值； （ ）求函數(shù) f（ x） =4x ）在 0， 上的值域 【分析】 （ ）由已知推導(dǎo)出 22=0，由此能求出 （ ） f（ x） =4x ） =22x+ ） +1，由 ，得 2x+ ，由此能求出函數(shù) f（ x） =4x ）在 0， 上的值域 【解答】 解：（ ） 2，且 0 2 2 2 22=0， 解得 或 2（舍）， 0 ， = （ ） = ， f（ x） =4x ） =4 =2 + =22x+ ） +1， ， 2x+ ， 2 22x+ ） +1 3， 函數(shù) f（ x） =4x ）在 0， 上的值域?yàn)?2， 3 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查角的求法，考查三角函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意同角三角函數(shù)關(guān)系式及余弦加法定理和正弦加法定理的合理運(yùn)用 17設(shè)等比數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 知 ，且 432等差數(shù)列 （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）設(shè) 2n 5|數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【分析】 （ ）根據(jù) 432等差數(shù)列根據(jù)等差中項(xiàng) 6簡(jiǎn)整理求得 q=2，寫出通項(xiàng)公式； （ ）討論當(dāng) n=1、 2 時(shí)，求得 ， 0，寫出前 n 項(xiàng)和，采用錯(cuò)位相減法求得 【解答】 解：（ ） 432等差數(shù)列， 6 即 6（ a1+=4（ a1+a2+ 則： q=2， ； （ ）當(dāng) n=1， 2 時(shí)， ， 0， 當(dāng) n 3， 0+1 23+3 24+（ 2n 5） 2n， 20+1 24+3 25+（ 2n 7） 2n+（ 2n 5） 2n+1， 兩式相減得： 10+8+2（ 24+25+2n）（ 2n 5） 2n+1， = 2+2 （ 2n 5） 2n+1， = 34+（ 7 2n） 2n+1， 4（ 7 2n） 2n+1 【點(diǎn)評(píng)】 本題求等比數(shù)列的通項(xiàng) 公式和采用錯(cuò)位相減法求前 n 項(xiàng)和，屬于中檔題 18如圖，在三棱錐 D ， B=D 在底面 的射影為 E， F F （ ）求證：平面 平面 ）若 ， 0，求直線 平面 成的角的正弦值 【分析】 （ I）由 平面得出 而 平面 而得出平面 平面 （ 出 和平面 則 | |即為所求 【解答】 證明：（ ） 平面 平面 平面 F=D， 平面 又 平面 平面 平面 （ ） C， ， E 為 中點(diǎn)， =2 ， 0， 以 E 為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系， 則 E（ 0， 0， 0）， A（ 0， 2， 0）， D（ 0， 0， 2）， B（ ， 1， 0） =（ 0， 2， 2）， =（ ， 1， 2）， =（ ， 1， 0） 設(shè)平面 法向量為 =（ x， y， z） 則 ， ，令 z=1，得 =（ ， 1， 1） =2， | |= ， | |=2， = = 平面 成的角的正弦值為 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了了面面垂直的判定，空間角的計(jì)算，空間向量的應(yīng)用，屬于中檔題 19如圖，已知點(diǎn) F（ 1， 0），點(diǎn) A， B 分別在 x 軸、 y 軸上運(yùn)動(dòng)，且滿足 =2 ，設(shè)點(diǎn) D 的軌跡為 C （ I）求軌跡 C 的方程； （ ）若斜率為 的直線 l 與軌跡 C 交于不 同兩點(diǎn) P， Q（位于 x 軸上方），記直線 Q 的斜率分別為 k1+取值范圍 【分析】 （ I）根據(jù) =2 得 B 為 中點(diǎn)，利用 得 =0，從而可得軌跡 C 的方程； （ ）斜率為 的直線 l 的方程為 y= x+b，代入 x，整理，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，即可求 k1+取值范圍 【解答】 解：（ I）設(shè) D（ x， y），則由 =2 得 B 為 中點(diǎn)， 所以 A（ x， 0）， B（ 0， ） =0， （ x， ）（ 1， ） =0 x（ x 0）； （ ）斜率為 的直線 l 的方程為