第 1頁(yè)（共 16頁(yè)） 2015年浙江省寧波市高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷 一、選擇題：本大題共 8小題，每小題 5分，共 40 分 有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的 . 1設(shè)集合 M=x|x 8 0， N=y|y=2x，則 MN=（ ） A（ 0， 4） B 0， 4） C（ 0， 2） D 0， 2） 2下列函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ） A y= y=x3+x C y=3x D y= 3已知 a， b 均為實(shí)數(shù)，則 “a b） 0”是 “a b 0”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 4函數(shù) （ 0 a 1）的圖象的大致形狀是（ ） A B CD 5在（ 1+x） 6（ 1+y） 4 的展開(kāi)式中，記 的系數(shù)為 f（ m， n），則 f（ 3， 0） +f（ 2， 1）+f（ 1， 2） +f（ 0， 3） =（ ） A 45 B 60 C 120 D 210 6 2 位男生和 3 位女生共 5 位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端， 3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ） A 60 B 48 C 42 D 36 7設(shè)實(shí)數(shù) a， b， t 滿足 |a+1|=|t則（ ） A若 t 確定，則 一確定 B若 t 確定，則 a 唯一確定 C若 t 確定，則 一確定 D若 t 確定，則 a2+a 唯一確定 8已知函數(shù) f（ x） = k+1） 2x+1，若存在 k， k+1， k+2， k+4，使得 f（ f（ 則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為（ ） A ， B ， 1 1， 3 C 2， 1 1， 2 D ， ， 第 2頁(yè)（共 16頁(yè)） 二、填空題：本大題共 7 小題，共 36 分 ： 12 題，每小題 6分；第 13： 15題，每小題 6 分 . 9已知集合 A=|m|， 0， B= 2， 0， 2， C= 2， 1， 0， 1， 2， 3，若 AB，則 m= ；若集合 P 滿足 BPC，則集合 P 的個(gè)數(shù)為 個(gè) 10已知 C =36，則 n= ；已知 6p=2， q，則 = 11若 f（ x） = ，則 f（ f（ 1） = ， f（ f（ x） 1 的解集為 12如圖所示：有三根針和套在一根針上的若干金屬片按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上 （ 1）每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片； （ 2）在每次移動(dòng)過(guò)程中，每根針上較大的 金屬片不能放在較小的金屬片上面將 n 個(gè)金屬片從 1 號(hào)針移到 3 號(hào)針最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為 f（ n）； f（ 3） = ； f（ n） = 13將 5 名志愿者分成 4 組，其中一組有 2 人，其余各組各 1 人，到 4 個(gè)路口協(xié)助交警執(zhí)勤，則不同的分配方法有 種（用數(shù)字作答） 14若存在 1， 1使得不等式 |4 a2 +1|2 成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 15已知 f（ x）的定義域?yàn)?R， f（ 1） = ，且滿足 4f（ x） f（ y） =f（ x+y） +f（ x y），則f 函數(shù) f（ x） = （ 1）求函數(shù) f（ x）的定義域 A； （ 2）設(shè) B=x| 1 x 2，當(dāng)實(shí)數(shù) a、 b（ B，證明： | 17 若不等式 對(duì)一切正整數(shù) n 都成立，求正整數(shù) a 的最大值，并證明結(jié)論 18已知函數(shù) f（ x） =3（ k 1） x+k+5 （ 1）求函數(shù) f（ x）在 0， 3上最大值； （ 2）若函數(shù) f（ x）在 0， 3上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍 19已知 橢圓 的左、右焦點(diǎn)， 圓心， 1 為半徑的圓 ，且 |2a （ ）求橢圓 方程； 第 3頁(yè)（共 16頁(yè)） （ ）過(guò)點(diǎn) P（ 0， 1）的直線 橢圓 A， P 與 直的直線 圓 ， D 兩點(diǎn)， M 為線段 點(diǎn)，求 20若函數(shù) x）的定義域?yàn)?A=a， b），且 x） =（ + 1） 2 +1，其中 a， a b （ 1）求函數(shù) x）的最小值和最大值； （ 2）若 k= k+1） 2）， k+1=（ k+1） 2，（ k+2） 2），其中 k 是正整數(shù)，對(duì)一切正整數(shù) k，不等式 f （ +f （ m 都有解，求 m 的取值范圍； （ 3）若對(duì)任意 ，都有 ， ， 為三邊長(zhǎng)構(gòu)成三角形，求 的取值范圍 第 4頁(yè)（共 16頁(yè)） 2015）期中數(shù)學(xué)試卷 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 8小題，每小題 5分，共 40 分 有一個(gè)選項(xiàng)是符合題目要求的 . 1設(shè)集合 M=x|x 8 0， N=y|y=2x，則 MN=（ ） A（ 0， 4） B 0， 4） C（ 0， 2） D 0， 2） 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 分 別求出集合 p， q 的范圍，取交集即可 【解答】 解： M=x|x 8 0=x| 4 x 2， N=y|y=2x=y|y 0， 則 MN=（ 0， 2）， 故選： C 2下列函數(shù)中，在其定義域上既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（ ） A y= y=x3+x C y=3x D y= 【考點(diǎn)】 函數(shù)奇偶性的判斷；函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明 【分析】 運(yùn)用奇偶性的定義和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用，結(jié)合常見(jiàn)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，即可得到既是奇函數(shù)又是 增函數(shù)的函數(shù) 【解答】 解：對(duì)于 A則為對(duì)數(shù)函數(shù)，定義域?yàn)椋?0， +），則函數(shù)沒(méi)有奇偶性，故 對(duì)于 B定義域?yàn)?R， f（ x） = x= f（ x），即有 f（ x）為奇函數(shù)， 又 f（ x） =3 0，則 f（ x）在 R 上遞增，故 對(duì)于 C則為指數(shù)函數(shù)， f（ x） f（ x），則不為奇函數(shù)，故 C 不滿足條件； 對(duì)于 D則為反比例函數(shù)，定義域?yàn)椋?， 0） （ 0， +）， f（ x） = f（ x），則 f（ x）為奇函數(shù)， 且在（ ， 0）和（ 0， +）均為增函數(shù)，故 D 不滿足條件 故選 B 3已知 a， b 均為實(shí)數(shù)，則 “a b） 0”是 “a b 0”的（ ） A充分不必要條件 B必要不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點(diǎn)】 必要條件、充分條件與充要條件的判斷 【分析】 根據(jù)不等式的關(guān)系，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷 【解答】 解：由 “a b 0”可得 a b 0， a b） 0，故由 “a b 0”a b） 0， 當(dāng) 0 a b 時(shí)，滿足 a b） 0，故由 “a b） 0”推不出 “a b 0”， 故 “a b） 0”是 “a b 0”的必 要不充分條件， 故選： B 4函數(shù) （ 0 a 1）的圖象的大致形狀是（ ） 第 5頁(yè)（共 16頁(yè)） A B CD 【考點(diǎn)】 函數(shù)的圖象 【分析】 分 x 0 與 x 0 兩種情況將函數(shù)解析式化簡(jiǎn)，利用指數(shù)函數(shù)圖象即可確定出大致形狀 【解答】 解：當(dāng) x 0 時(shí)， |x|=x，此時(shí) y=0 a 1）； 當(dāng) x 0 時(shí)， |x|= x，此時(shí) y= 0 a 1）， 則函數(shù) （ 0 a 1）的圖象的大致形狀是： ， 故選： D 5在（ 1+x） 6（ 1+y） 4 的展開(kāi)式中，記 的系數(shù)為 f（ m， n），則 f（ 3， 0） +f（ 2， 1）+f（ 1， 2） +f（ 0， 3） =（ ） A 45 B 60 C 120 D 210 【考點(diǎn)】 二項(xiàng)式定理的應(yīng)用 【分析】 由題意 依次求出 的系數(shù)，求和即可 【解答】 解：（ 1+x） 6（ 1+y） 4 的展開(kāi)式中，含 系數(shù)是： =20 f（ 3， 0） =20； 含 系數(shù)是 =60， f（ 2， 1） =60； 含 系數(shù)是 =36， f（ 1， 2） =36； 含 系數(shù)是 =4， f（ 0， 3） =4； f（ 3， 0） +f（ 2， 1） +f（ 1， 2） +f（ 0， 3） =120 第 6頁(yè)（共 16頁(yè)） 故選： C 6 2 位男生和 3 位女生共 5 位同學(xué)站成一排，若男生甲不站兩端， 3 位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)是（ ） A 60 B 48 C 42 D 36 【考點(diǎn)】 排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題 【分析】 從 3 名女生中任取 2 人 “捆 ”在一起，剩下一名女生記作 B，兩名男生分別記作甲、乙，則男生甲必須在 A、 后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙 【解答】 解：從 3 名女生中任取 2 人 “捆 ”在一起記作 A， （ 32 種不同排法）， 剩下一名女生記作 B，兩名男生分別記作甲、乙； 則男生甲必須在 A、 甲在 A、 為使 A、 有把男生乙排在A、 時(shí)就不能滿足男生甲不在兩端的要求） 此時(shí)共有 62=12 種排法（ 右和 左） 最后再在排好的三個(gè)元素中選出四個(gè)位置插入乙， 共有 124=48 種不同排法 故選 B 7設(shè)實(shí)數(shù) a， b， t 滿足 |a+1|=|t則（ ） A若 t 確定，則 一確定 B若 t 確定，則 a 唯一確定 C若 t 確定，則 一確定 D若 t 確定，則 a2+a 唯一確定 【考點(diǎn)】 四種命題 【分析】 根據(jù)代數(shù)式得出 a=1， 用條件，結(jié)合三角函數(shù)可判斷答案 【解答】 解： 實(shí)數(shù) a， b， t 滿足 |a+1|=t， （ a+1） 2= a=1， t 確定，則 1 為定值 A， C 不正確， 若 t 確定，則 a 唯一確定， 故選： B 8已知函數(shù) f（ x） = k+1） 2x+1，若存在 k， k+1， k+2， k+4，使得 f（ f（ 則實(shí)數(shù) k 的取值范圍為（ ） A ， B ， 1 1， 3 C 2， 1 1， 2 D ， ， 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì) 【分析】 由函數(shù)的表達(dá)式求出函數(shù)的對(duì)稱軸，由函數(shù)的對(duì)稱性得到不等式組，解不等式組求出即可 【解答】 解：由題意得：對(duì)稱軸 x= ， 又 f（ =f（ ， 第 7頁(yè)（共 16頁(yè)） 解得： 2k 1， 1k2， 故答案選； C 二、填空題：本大題共 7 小題，共 36 分 ： 12 題，每小題 6分；第 13： 15題，每小題 6 分 . 9已知集合 A=|m|， 0， B= 2， 0， 2， C= 2， 1， 0， 1， 2， 3，若 AB，則 m= 2 ；若集合 P 滿足 BPC，則集合 P 的個(gè)數(shù)為 8 個(gè) 【考點(diǎn)】 集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用 【分析】 利用集合 A=|m|， 0， B= 2， 0， 2， AB，可得 m 的值；利用 BPC，得 2， 0， 2，可能含有 1， 1， 3，即可得出結(jié)論 【解答】 解： 集合 A=|m|， 0， B= 2， 0， 2， AB， m=2 B= 2， 0， 2， C= 2， 1， 0， 1， 2， 3， BPC， P 中一定含有 2， 0， 2，可能含有 1， 1， 3， 集合 P 的個(gè)數(shù)為 23=8 故答案為： 2， 8 10已知 C =36，則 n= 8 ；已知 6p=2， q，則 = 5 【考點(diǎn)】 對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì) 【分析】 由已知得 = =36，由此能求出 n由 6p=2， q， 得 p=此利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則和換底公式能求出 【解答】 解： C =36， = =36， 由 n 0，解得 n=8 6p=2， q， p= = = =10 故答案為： 8， 5 11若 f（ x） = ，則 f（ f（ 1） = ， f（ f（ x） 1 的解集為 【考點(diǎn)】 函數(shù)的值 【分析】 （ 1）先求 f（ 1），再求 f（ f（ 1）即可； （ 2）由 f（ f（ x） 1 先解出 f（ x）的范圍，再由 f（ x）的范圍求 x 的范圍即 可 【解答】 解：（ 1） f（ 1） =（ 1） 2=1， 第 8頁(yè)（共 16頁(yè)） f（ f（ 1） =f（ 1） = ； （ 2）由 f（ f（ x） 1 得， f（ x） 2 或 f（ x） 1（舍去）； 由 f（ x） 2 得， 2 或 ； 解得， x4 或 x ； 故 f（ f（ x） 1 的解集為 ； 故答案為：（ 1） ，（ 2） 12如圖所示：有三根針和套在一根針上的若干金屬片按下列規(guī)則，把金屬片從一根針上全部移到另一根針上 （ 1）每次只能移動(dòng)一個(gè)金屬片； （ 2）在每次移動(dòng)過(guò)程中，每根針上較大的金屬片不能放在較小的金屬片上面將 n 個(gè)金屬片從 1 號(hào)針移到 3 號(hào)針最少需要移動(dòng)的次數(shù)記為 f（ n）； f（ 3） = 7 ； f（ n） = 2n 1 【考點(diǎn)】 歸納推理 【分析】 根據(jù)移動(dòng)方法與規(guī)律發(fā)現(xiàn)，隨著盤(pán)子數(shù)目的增多，都是分兩個(gè)階段移動(dòng)，用盤(pán)子數(shù)目減 1 的移動(dòng)次數(shù)都移動(dòng)到 2 柱，然后把最大的盤(pán)子移動(dòng)到 3 柱，再用同樣的次數(shù)從 2 柱移動(dòng)到 3 柱，從而完成，然后根據(jù)移動(dòng)次數(shù)的數(shù)據(jù)找出總的規(guī)律求解即可 【解答】 解：設(shè) h（ n）是把 n 個(gè)盤(pán)子從 1 柱移到 3 柱過(guò)程中移動(dòng)盤(pán)子之最少次數(shù) n=1 時(shí)， h（ 1） =1； n=2 時(shí)，小盤(pán) 2 柱，大盤(pán) 3 柱，小柱從 2 柱 3 柱，完成，即 h（ 2） =3=22 1； n=3 時(shí)，小盤(pán) 3 柱，中盤(pán) 2 柱，小柱從 3 柱 2 柱， 用 h（ 2）種方法把中、小兩盤(pán)移到2 柱，大盤(pán) 3 柱；再用 h（ 2）種方法把中、小兩盤(pán)從 2 柱 3 柱，完成 ， h（ 3） =h（ 2） h（ 2） +1=32+1=7=23 1， h（ 4） =h（ 3） h（ 3） +1=72+1=15=24 1， 以此類推， h（ n） =h（ n 1） h（ n 1） +1=2n 1， 故答案為： 7； 2n 1 13將 5 名志愿者分成 4 組，其中一組有 2 人，其余各組各 1 人，到 4 個(gè)路口協(xié)助交警執(zhí)勤，則不同的分配方法有 240 種（用數(shù)字作答） 【考點(diǎn)】 計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 【分析】 由題意，先分組，再到 4 個(gè)路口 協(xié)助交警執(zhí)勤，即可求得不同的分配方案 【解答】 解：由題意，先分組，再到 4 個(gè)路口協(xié)助交警執(zhí)勤， 則不同的分配方案有 40 種 第 9頁(yè)（共 16頁(yè)） 故答案為： 240 14若存在 1， 1使得不等式 |4 a2 +1|2 成立，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 0， 【考點(diǎn)】 函數(shù)恒成立問(wèn)題 ；特稱命題 【分析】 將不等式進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，利用換元法，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解，建立不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可得到結(jié)論 【解答】 解：不等式 |4 a2 +1|2 等價(jià)為 2， 即 |2 + a|2， 即 22 + a2， 即 a 22 + 2+a， 設(shè) t=2 ，當(dāng) 1， 1是 t ， 2， 設(shè) y=t+ ， 則函數(shù)在 ， 1上是減函數(shù)，在 1， 2上是增函數(shù)， 則當(dāng) t=1 時(shí)，函數(shù)取得最小值 y=1+1=2， 當(dāng) t=2 或 t= ，函數(shù)取得最大值 y= +2= ， 則 2y ， 即 a 2y2+a， 若 a 2， a+2與 2， 沒(méi)有公共點(diǎn)， 則 a+2 2 或 a 2 ， 即 a 0 或 a ， 則若 a 2， a+2與 2， 有公共點(diǎn)， 則 0a ， 第 10頁(yè)（共 16頁(yè)） 故答案為： 0， 15已知 f（ x）的定義域?yàn)?R， f（ 1） = ，且滿足 4f（ x） f（ y） =f（ x+y） +f（ x y），則f= ，即可求出 0） =f（ 1） +f（ 1）， f（ 1） = ， f（ 0） = 取 x=n， y=1，有 f（ n） =f（ n+1） +f（ n 1）， 同理 f（ n+1） =f（ n+2） +f（ n） 聯(lián)立得 f（ n+2） = f（ n 1） 所以 f（ n） = f（ n+3） =f（ n+6） 所以函數(shù)是周期函數(shù)，周期 T=6， 故 f= 故答案為： 三、解答題：本大題共 5 小題，共 74 分 明過(guò)程或演算步驟 . 16函數(shù) f（ x） = （ 1）求函數(shù) f（ x）的定義域 A； （ 2）設(shè) B=x| 1 x 2，當(dāng)實(shí)數(shù) a、 b（ B，證明： | 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算；函數(shù)的定義域及其求法 【分析】 （ 1）分類討論 x 的范圍，根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，利用絕對(duì)值的代數(shù)意義求出 x 的范圍，即可確定出 A； （ 2）求出 補(bǔ)集的交集，得到 a、 b 滿足的集合，把所證等式兩邊平方，利用作差法驗(yàn)證即可 【解答】 （ 1）解：由題意得： |x+1|+|x+2| 50， 當(dāng) x 2 時(shí)，得 x 4；當(dāng) 2 x 1 時(shí)，無(wú)解；當(dāng) x 1 時(shí)，得 x1， A=x|x 4 或 x1； （ 2）證： B=x| 1 x 2， x| 4 x 1， Bx| 1 x 1， a、 bx| 1 x 1， 要證 |1+ |，只需證 4（ a+b） 2（ 4+2， 4（ a+b） 2（ 4+2=416=（ 4）（ 4 a、 b x| 1 x 1， （ 4）（ 4 0， 4（ a+b） 2（ 4+2， |1+ |成立 第 11頁(yè)（共 16頁(yè)） 17若不等式 對(duì)一切正整數(shù) n 都成立，求正整數(shù) a 的最大值，并證明結(jié)論 【考點(diǎn)】 數(shù)學(xué)歸納法 【分析】 直接利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，通過(guò) n=1，假設(shè) n=k 時(shí)等式成立，證明 n=k+1時(shí)等式也成立，即可證明結(jié)果 【解答】 解：當(dāng) n=1 時(shí)， ，即 ，所以 a 26 而 a 是正整數(shù)， 所以取 a=25， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： （ 1）當(dāng) n=1 時(shí)，已證； （ 2）假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí)，不等式成立，即 則當(dāng) n=k+1 時(shí)，有 = 因?yàn)?， 所以 所以當(dāng) n=k+1 時(shí)不等式也成立 由（ 1）（ 2）知，對(duì)一切正整數(shù) n，都有 ； 18已知函數(shù) f（ x） =3（ k 1） x+k+5 （ 1）求函數(shù) f（ x）在 0， 3上最大值； （ 2）若函數(shù) f（ x）在 0， 3上有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) k 的取值范圍 【考點(diǎn)】 二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)零點(diǎn)的判定定理 【分析】 （ 1） 由已知，函數(shù) f（ x）的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為直線 ，分類討論，即可求出函數(shù) f（ x）在 0， 3上最大值； （ 2）分類討論函數(shù) f（ x）在區(qū)間 0， 3上有兩相同的零點(diǎn)、兩不同的零點(diǎn)、函數(shù) f（ x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)且在 0， 3上僅有一個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)性質(zhì)組成不等式組求解即可或利用分離參數(shù)求最值的方法求解 【解答】 解：（ 1）由已知，函數(shù) f（ x）的圖象是開(kāi)口向上的拋物線，對(duì)稱軸為直線 當(dāng) ，即 時(shí)， f（ x） f（ 3） =7k+26 第 12頁(yè)（共 16頁(yè)） 當(dāng) ，即 時(shí)， f（ x） f（ 0） =k+5 綜上： . （ 2） 1當(dāng)函數(shù) f（ x）在 0， 3上有兩相同的零點(diǎn)時(shí)： ， 解得 k= 2 2當(dāng)函數(shù) f（ x）在 0， 3上有兩不同的零點(diǎn)時(shí)： ， 解得 . 3當(dāng)函數(shù) f（ x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)且在 0， 3上僅有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)： 由零點(diǎn)存在定理得： f（ 0） f（ 3） 0，解得 而當(dāng) k= 5 時(shí)， f（ x） =312x，此時(shí)該函數(shù)的零點(diǎn)為 0 和 4，符合要求 綜上： 5k 2. 解法 2：函數(shù) f（ x）在 0， 3上有零點(diǎn)等價(jià)于 方程 3（ k 1） x+k+5=0 在 0， 3上有解 即 k（ 2x+1） =（ 32x+5） 所以 令 t=2x+11， 7，則 在 1， 3單調(diào)遞增，在 3， 7單調(diào)遞減 所以 k 5， 2 19已知 橢圓 的左、右焦點(diǎn)， 圓心， 1 為半徑的圓 ，且 |2a （ ）求橢圓 方程； （ ）過(guò)點(diǎn) P（ 0， 1）的直線 橢圓 A， P 與 直的直線 圓 ， D 兩點(diǎn)，