復 習 說明 ： 圓 這 部 分 內(nèi)容 在 陜西 省 中 考 試卷 中 是必考 內(nèi)容之一。每年中考試題圓的考點為填空題 3 分，解 答題 8 分，共 11 分。 2016 年考試說明中三套樣題中 選擇題部分增加了對圓知識的 3 分考查，但是填空題 均未出現(xiàn)與圓有關(guān)的題型，而是改為以四邊形為背景 來進行考查，第 23 題解答題 8 分依然存在。在這部 分的復習中，應重視學生邏輯思維能力的培養(yǎng)和書寫 的規(guī)范性。與圓有關(guān)的解答題多是以證明、解答題出 現(xiàn)，學 生 在 這 部分 最 容易 邏 輯 混 亂，次 序 顛 倒 ， 甚至 書寫隨意。在復習中要注意隨時糾正。 圓專題復習 一 1 (2015湖南株洲 ,第 6 題 3 分 )如圖，圓 O 是 外接圓， A 68，則 大 小是 ( ) A 22 B 26 C 32 D 68 【試題分析】 本 題 考點為 ： 通 過 圓心角 2 A 136， 再 利 用等腰 三 角形 出 度 數(shù) 答案為： A 2、（ 2015湖南 省 常德市 ， 第 6 題 3 分 ） 如 圖 ， 四邊形 O 的內(nèi) 接 四邊形 ， 已 知 100，則 度數(shù)為： A、 50 B、 80 C、 100 D、 130 【解答與分析】圓周角與圓心角的關(guān)系，及圓內(nèi)接四邊形的對角互補 ：答案為 D 3, （ 2015四川南充 ,第 8 題 3 分）如圖， O 的切線，點 A 和 B 是切點， O 的直徑，已知 P 40，則 大小是（ ） （ A） 60 （ B） 65 （ C） 70 （ D） 75 【答案】 C 考點：切線的性質(zhì)、三角形外角的性質(zhì)、圓的基本性質(zhì) . 4、 （ 2015四 川 自貢 ,第 9 題 4 分 ） 如圖， O 的 直 徑，弦 E 30 o， 2 3 ,則 陰影部分的面積為 （ ） A. 2 B. C. D. 23 3 考點：圓的基本性質(zhì)、垂徑定理，勾股定理、扇形的面積公式、軸對稱的性質(zhì)等 . 分析：本題抓住圓的相關(guān)性質(zhì)切入把陰影部分的面積轉(zhuǎn)化到一個扇形中來求 稱 圖 形和垂 徑 定理 ， 利 用 題中條 件 可知 E 是弦 中 點 , B 是弧 中 點 ； 此 時 解法有三： 解法一，在弓形 ，被 開的上面空白部分和下面的陰影部分的面積是相 等的， 所以 陰影部分 的 面積之和 轉(zhuǎn) 化到扇形 求 ； 解法 二 ， 連接 證 所以 陰影部分 的 面積之和 轉(zhuǎn) 化到扇形 求 ； 解法 三 ， 陰影 部 分的面 積 之和是扇形 面積的一半 . 略解： O 的直徑， E 是弦 中點 , B 是弧 中點（垂徑定理） 在弓形 ，被 開的上下兩部分的面積是相等的 (軸對稱的性質(zhì) ) 陰影部分的面積之和等于扇形 面積 . E 是弦 中點， 2 3 1 1 2 3 3 2 2 90o 5. （ 2015浙江濱州 ,第 11 題 3 分） 若等腰直角三角形的外接圓半徑的長為 2，則其內(nèi)切圓 半徑的長為 ( ) A. B. C. D. 1 【答案】 B 【解析】 試題 分 析 ： 如圖 ， 等腰 直 角三角形 ， D 為外 接 圓 ， 可知 D 為 中 點 ， 因此 ， ， 根 據(jù) 勾股定 理 可求得 ， 根 據(jù) 內(nèi)切圓 可 知四邊形 正 方形 ， D, 因此 C= 2. 故選 B 考點：三角形的外接圓與內(nèi)切圓 6、（ 2015 湖南 邵 陽第 7 題 3 分 ） 如圖 ， 四邊形 接 于 O， 已知 40， 則 大小是（ ） A 80 B 100 C 60 D 40 考點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；圓周角定理 . 分 析 ：根 據(jù) 圓內(nèi)接 四 邊形的 性 質(zhì)求得 0， 利 用 圓周角 定 理 ， 得 B=80 解答：解：四邊形 O 的內(nèi)接四邊形， 80， 80 140=40 0 故選 B 點評：此題主要考查了圓周角定理以及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，得出 B 的度數(shù)是解題關(guān) 鍵 7 , （ 2015 上海 ,第 6 題 4 分）如圖，已知在 O 中， 弦，半徑 足為點 D， 要使四邊形 菱形，還需要添加一個條件，這個條件可以是（ ） A、 B、 C、 D、 【答案】 B 【解析】因 垂徑定理，知 對角線互相垂直且平分， 所以， 菱形。 8 .（ 2015 湖北荊州第 5 題 3 分 ）如圖， A， B， C 是 O 上三點， 5，則 度數(shù)是（ ） A 55 B 60 C 65 D 70 考點： 圓周角定理 分析： 連接 求 度數(shù)，只要在等腰三角形 求得一個角的度數(shù)即可 得到 答 案 ， 利用 同 弧所對 的 圓周角是 圓 心角的 一 半可得 0， 然后 根 據(jù)等腰 三 角形兩 底角相等和三角形內(nèi)角和定理即可求得 解答： 解：連接 5， 25=50， 由 B， （ 180 50） =65 故選 C 點評： 本題考查了圓周角定理；作出輔助線，構(gòu)建等腰三角形是正確解答本題的關(guān)鍵 9 . （ 2015浙江杭州 ,第 5 題 3 分）圓內(nèi)接四邊形 ，已知 A=70，則 C=( ) A. 20 B. 30 C. 70 D. 110 【答案】 D 【考點】圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) . 【分析】圓內(nèi)接四邊形 ，已知 A=70， 根據(jù)圓內(nèi)接四邊形互補的性質(zhì)，得 C=110. 故選 D 10. （ 2015浙江湖州，第 8 題 3 分）如圖，以點 O 為圓心的兩個圓中，大圓的弦 小圓 于點 C， 小圓于點 D，若 ， ，則 長是 ( ) A. 4 B. 2 C. 8 D. 4 【答案】 C. 考點：切線的性質(zhì)定理；銳角三角函數(shù)；垂徑定理 . 11. （ 2015浙江寧波，第 8 題 4 分）如圖， O 為 外接圓， A=72，則 度數(shù)為【 】 A. 15 B. 18 C. 20 D. 28 【答案】 B. 【考點】圓周角定理；等腰三角形的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理 . 【分析】如答圖，連接 A 和 同 圓中同弧 BC 所 對 的圓周 角 和圓心 角 ， 2A . A=72， 44. C， 18014418. 2 故選 B. 12 . （ 2015山東威海 ， 第 9 題 3 分 ） 如圖 ， 已知 C= 4， 則 度數(shù)為（ ） A 68 B 88 C 90 D 112 考點： 圓周角定理 . 分析： 如圖，作輔助圓；首先運用圓周角定理證明 合已知條件 到 可解決問題 解答： 解：如圖， C= 點 B、 C、 D 在以點 A 為圓心， 以 長為半徑的圓上； 4， 8， 故選 B 點 評 ： 該 題 主要考 查 了圓周 角 定理及 其 推論等 幾 何知識 點 及其應 用 問題 ； 解 題 的方法 是 作 輔 助 圓 ， 將 分 散的條 件 集中 ； 解 題 的關(guān)鍵 是 靈活運 用 圓周角 定 理及其 推 論等幾 何 知識點 來 分 析、判斷、推理或解答 13 （ 2015甘肅 蘭 州 ,第 9 題 ， 4 分 ） 如 圖， 經(jīng)過 原 點 O 的 P 與 x 、 y 軸分 別 交于 A、 B 兩 點，點 C 是劣弧 上一點，則 A. 80 B. 90 C. 100 D. 無法確定 【 答 案 】 B 【考點解剖】本題考查了圓周角的相關(guān)知識點以及平面直角坐標系的概念 【知識準備】在同一個圓（或等圓）中，同弧（或等?。┧鶎Φ膱A周角相等；直徑所對的圓 周角是直角；當圓周角為直角時，其所對的弦是直徑。 【解答過程】 是 P 中同一條弧所對的圓周角，所以它們相等 【歸納拓展】在其它類似題目中，我們有可能需要區(qū)分優(yōu)弧和劣弧的不同；再換一種場合， 如果連結(jié) 有可能需要說明 直徑，或者點 P 在 。 【題目星級】 14（. 2015山東 臨 沂 ,第 8 題 3 分 ） 如圖 A， B， C 是 上的 三 個點 ， 若 ， 則 等于（ ） (A) 50. (B) 80. (C) 100. (D) 130. 【答案】 D 【解析】 試題分析：根據(jù)圓周的度數(shù)為 360，可知優(yōu)弧 度數(shù)為 360 100=260，然后根據(jù)同 弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半，可求得 B=130. 故選 D 考點：圓周 角定理 15 (2015深圳，第 9 題 分 )如圖， O 直徑，已知為 0o,則 （ ） A、 50o B、 20o C、 60o D、 70o 【答案】 D 【解析】 O 直徑 ， 所以 ， 0o， 70o 16 (2015南寧 ， 第 11 題 3 分 )如圖 6， O 的直徑 ， ， 點 M 在 O 上 ， 0,N 是弧 中點 ,P 是直徑 的一動點，若 ，則 長的 最小值為（ ） . （ A） 4 （ B） 5 （ C） 6 （ D） 7 圖 6 考點：軸對稱最短路線問題；圓周角定理 . 分析：作 N 關(guān)于 對稱點 N，連接 兩點之間線段最短可知 與 交 點 P 即 為 長 的 最 小 時 的 點 ， 根 據(jù) N 是 弧 中 點 可 知 A= 0，故可得出 60，故 等邊三角形，由此可得出結(jié) 論 解答：解：作 N 關(guān)于 對稱點 N，連接 N 關(guān)于 對稱點 N， 交點 P即為 長的最小時的點， N 是弧 中點， A= 0， 60， 等邊三角形， ， 長的最小值為 4+1=5 故選 B 點 評 ： 本題 考 查的是 軸 對稱 最 短路徑 問 題 ， 凡是 涉 及最短 距 離的問 題 ， 一般 要 考慮線 段 的 性質(zhì)定理，結(jié)合本節(jié)所學軸對稱變換來解決，多數(shù)情況要作點關(guān)于某直線的對稱點 17. （ 2015四川涼山州 ,第 10 題 4 分）如圖， 接于 O， 0，則 A 的度 數(shù)為（ ） A 80 B 100 C 110 D 130 【答案】 D 考點：圓周角定理 18、 （ 2015四川 瀘 州 ,第 8 題 3 分 ） 如圖 ， 別 與 O 相切于 A、 B 兩 點 ， 若 C=65， 則 P 的度數(shù)為 A. 65 B. 130 C. 50 D. 100 考點：切線的性質(zhì) . 分析：由 為圓 O 的切線，利用切線的性質(zhì)得到 直于 直于 可得 出 兩個角 為 直角 ， 再由 同 弧所對 的 圓心角 等 于所對 圓 周角的 2 倍 ， 由已 知 C 的度 數(shù) 求 出 度數(shù)，在四邊形 ，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求出 P 的度數(shù) 解答：解： O 的切線， 0， 又 C=130， 則 P=360（ 90+90+130） =50 故選 C 點評：本題主要考查了切線的性質(zhì)，四邊形的內(nèi)角與外角，以及圓周角定理，熟練運用性質(zhì) 及定理是解本題的關(guān)鍵 19. （ 2015四川眉山，第 11 題 3 分）如圖， O 是 外接圓， 5，則 B 的度數(shù)為（ ） A 30 B 35 C 40 D 45 考點： 圓周角定理 . 分析： 先根據(jù) C， 5可得出 5，故可得出 度數(shù)，再由圓 周角定理即可得出結(jié)論 解答： 解： C， 5， 5， 80 45 45=90， B= 5 故選 D 點評： 本題考查的是圓周角定理，熟知在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等， 都等于這條弧所對的圓心角的一半是解答此題的關(guān)鍵 20 （ 2015甘肅 武 威 ,第 8 題 3 分 ） O 的內(nèi) 接 三角形 ， 若 60，則 度數(shù)是（ ） A 80 B 160 C 100 D 80或 100 考點： 圓周角定理 分析： 首先根據(jù)題意畫出圖形，由圓周角定理即可求得答案 度數(shù)，又由 圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì) ，即可求得 度數(shù) 解答： 解：如圖， 60， 160=80， =180， =180 80 80=100 度數(shù)是： 80或 100 故選 D 點評： 此題考查了圓周角定理與圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)此題難度不大，注意數(shù) 形結(jié)合思想與分類討論思想的應用，注意別漏解 二 1.（ 2015福建泉州第 17 題 4 分）在以 O 為圓心 3半徑的圓周上，依 次有 A、 B、 C 三 個點，若四邊形 菱形，則該菱形的邊長等于 3 對的弧長等于 2 或 4 解：連接 于點 D， 四邊形 菱形， B=C， O 半徑為 3 C=3 B， 等邊三角形， 0， 20， = =2， 優(yōu)弧 = =4， 故答案為 3， 2或 4 2.（ 2015 湖北鄂州第 15 題 3 分） 已知點 P 是半 徑 為 1 的 O 外一點 ， O 于點 A， 且 ， O 的弦 ， 連接 【答案】 1 或 . 考點： 3, （ 2015 上海 ,第 17 題 4 分）在矩形 ， 5， 12，點 A 在 B 上如果 D 與 B 相交，且點 B 在 D 內(nèi)，那么 D 的半徑長可以等于 (只需寫出一個符 合要求的數(shù) ) 【答案】 15 【解析】 4 (2015江蘇南 昌 , 第 10 題 3 分 )如圖， 點 A, B, C 在 O 上， 延長 線交 點 D, A=50, B=30則 度數(shù)為 . 答 案 ： 解 析 ： A=50, 00, 0, B 0 80=110 5 (2015江蘇南京 ,第 15 題 3 分 )如圖，在 O 的內(nèi)接五邊形 ， 5，則 B+ E= 【答案 】 215 考點：圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì) 6、 （ 2015四 川 自 貢 ,第 13 題 4 分 ） 已知 ， O 的 一 條直 徑 ， 延 長 C 點 ， 使 3 O 相切于 D 點，若 3 ,則劣弧 長為 . 考點：圓的基本性質(zhì)、切線的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、勾股 定理、弧長公式等 . 分析：本題劣弧 長關(guān)鍵是求出圓的半徑和劣弧 對的 圓心角的度數(shù) ，根據(jù)切線的性質(zhì)易知 90o ,圓的半徑和圓心角 的度數(shù) o o 以 通過 得 解決 . 略解：連接半徑 O 相切于 D 點 90o 3B 2 1 又 1 在 1 60o 120o 在 據(jù) 勾股定 理 可知 ： 3 3 2 22 解得 ： 1 則劣弧 長為 120 120 1 2. 故應填 2180 3 3 7. （ 2015四川省宜賓市，第 14 題， 3 分）如圖， O 的直徑，延長 點 D，使 B， O 于點 C，點 B 是 的中點，弦 點 F 若 O 的半徑 為 2，則 . 8.（ 2015江蘇泰州 ,第 12 題 3 分）如圖， O 的內(nèi)接四邊形 ， A=115，則 于 . 【答案】 150. 考點： 9.（ 2015江蘇徐州 ,第 15 題 3 分）如圖， O 的直徑，弦 足為 E，連接 O 的半徑為 4 考點： 垂徑定理；等腰直角三角形；圓周角定理 . 專題： 計算題 分析： 連接 圖所示，由直徑 直于 用垂徑定理得到 E 為 中點， 即 E，由 C，利用等邊對等角得到一對角相等，確定出三角形 等腰直角 三角形，求出 長，即為圓的半徑 解答： 解：連接 圖所示： O 的直徑，弦 E= C， A= 外角 ， 5， 等腰直角三角形 ， 故答案為： 4 點 評 ： 此 題 考查了 垂 徑定理 ， 等 腰 直角三 角 形的性 質(zhì) ， 以 及 圓周角 定 理 ， 熟 練 掌握垂 徑 定 理是解本題的關(guān)鍵 10 （ 2015四川 甘 孜 、 阿壩 ， 第 23 題 4 分 ） 如圖 ， O 的直徑 ， 弦 直 平 分半徑 大小為 30 度 考點： 垂徑定理；含 30 度角的直角三角形；圓周角定理 . 分析： 根據(jù)線段的特殊關(guān)系求角的大小，再運用圓周角定理求解 解答： 解：連接 弦 直平分半徑 0， 0， 0 故答案為： 30 點 評 ： 本 題 主要是 利 用直角 三 角形中 特 殊角的 三 角函數(shù) 先 求出 0， 0 然 后再圓周角定理，從而求出 0 11 （ 2015四川 廣 安 ， 第 12 題 3 分 ） 如圖 ， A、 B、 C 三點在 O 上 ， 且 0， 則 C= 35 度 考點： 圓周角定理 . 分析： 由 A， B， C 三點在 O 上，且 0，根據(jù)在同圓或等圓中，同弧或等弧所 對的圓周角相等，都 等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得答案 解答： 解： 0， C= 5 故答案為： 35 點 評 ： 此 題 考查了 圓 周角定 理 此 題 比較簡 單 ， 注 意 掌握數(shù) 形 結(jié)合思 想 的應用 ， 解 題 的關(guān) 鍵 是 ： 熟 記 在同圓 或 等圓 中 ， 同 弧 或等弧 所 對的圓 周 角相 等 ， 都 等 于這條 弧 所對的 圓 心角的 一半 12 （ 2015甘肅 蘭 州 ,第 20 題， 4 分） 已 知 邊 O 是其 外 接圓， 且 半徑 也為 4 A 的度數(shù)是 【 答 案 】 30 【考點解剖】本題考查同（等）弧所對圓周角和 圓心角的關(guān)系，正三角形的性質(zhì) 【知識準備】在同圓或等圓中，圓周角等于同弧（等?。┧鶎A心角的 一半， 在同一個三角形中相等的邊所對的角也相等。 【思路點拔】 徑，那么 對應的兩條半徑所構(gòu)成的三角形就 是等邊三角形，這樣，自然就將構(gòu)造出的圓心角與目標中的圓周角建立 起了聯(lián)系。 【解答過程】分別連結(jié) 為 B=以 O=60， 1 則在 O 中， A= 2 【題目星級】 三 B=30. 1.（ 2015山東威海，第 22 題 9 分）如圖，在 ， C，以 直徑的 O 交 點 D，交 點 E （ 1）求證： E； （ 2）若 ， ，求 長 考點： 相似三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；圓周角定理 . 專題： 證明題 分析： （ 1）連結(jié) 圖，根據(jù)圓周角定理，由 O 的直徑得到 0，然 后利用等腰三角形的性質(zhì)即可得到 E； （ 2）連結(jié) 圖，證明 后利用相似比可計算出 長， 從而得到 長 解答： （ 1）證明：連結(jié) 圖， O 的直徑， 0， 而 C， E； （ 2）連結(jié) 圖， E=3， ， 而 = ，即 = ， ， A=9 點 評 ： 本 題 考查了 相 似三角 形 的判定 與 性質(zhì) ： 在 判 定兩個 三 角形相 似 時 ， 應 注 意利用 圖 形 中 已 有的公 共 角 、 公 共 邊等隱 含 條件 ， 以 充 分發(fā)揮 基 本圖形 的 作用 ， 尋 找 相似三 角 形 的一般 方法是通過作平行線構(gòu)造相似三角形也考查了角平分線的性質(zhì)和圓周角定理 2 （ 2015四川 資 陽 ,第 22 題 9 分 ） 如圖 11， 在 ， 以 直 徑 的 O 的切 線 ， 且 O 與 交于點 D， E 為 中點，連接 （ 1）求證： O 的切線； （ 2）連接 C=45，求 值 . 考點： 切線的判定；勾股定理；解直角三角形 . 分 析 ： （ 1） 連接 由圓周 角 定理就可以 得 出 0， 可以得出 0， 根 據(jù) E 為 中點可 以 得出 E， 就 有 B 可以得 出 由的等式的性質(zhì)就可以得出 0就可以得出結(jié)論 （ 2）作 F，設(shè) EF=x，由 C=45，得出 是等腰直角三角形， 根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求得 E= 就可求得 值 x， C=2 x， x， 進而 解 答 ：解 ： （ 1） 連 接 B 直徑， 0， 0 E 為 中點， E， 即 以 直徑的 O 的切線， 0， 0， O 的切線； （ 2）作 F，設(shè) EF=x C=45， 是等腰直角三角形， F=x， E= x， C=2 x， 在 中， = x， = 點 評 ： 本題 考 查了圓 周 角定理 的 運用 ， 直角 三 角形的 性 質(zhì)的運 用 ， 等腰 三 角形的 性 質(zhì)的運用， 切線的判定定理的運用，勾股定理的運用，解答時正確添加輔助線是關(guān)鍵 3, （ 2015浙江濱州 ,第 21 題 9 分） 如圖 , O 的直徑 長為 10，弦 長為 5， 平分線交 O 于點 D. （ 1）求弧 長； （ 2）求弦 長 . 【 答 案 】 （ 1） （ 2） （ 2）連接 分 D， 5 在 ， . 考點 :圓周角定理，解直角三角形，弧長公式 4. （ 2015浙江杭州 ,第 19 題 8 分） 如圖 1， O 的半徑為 r(r0)，若點 P在射線 ，滿足 OP=稱點 P是點 P 關(guān) 于 O 的 “反演 點 ”， 如圖 2， O 的半徑為 4， 點 B 在 O 上 ， 0， ， 若點 A、 B分別是點 A， B 關(guān)于 O 的反演點，求 AB的長 . 【答案】解： O 的半徑為 4，點 A、 B分別是點 A， B 關(guān)于 O 的反演點，點 B 在 O 上， ， 42 , 42 ，即 8 42 , 4 42 . 2, 4 .點 B 的反演點 B與點 B 重合 . 如答圖，設(shè) O 于點 M，連接 BM， B， 0， 是 等 邊三角形 . AM 2 ， BM 在 B M 中，由勾股定理得 AB 42 22 2 3 . 【考點】新定義；等邊三角形的判定和性質(zhì)；勾股定理 . 【分析】先根據(jù)定義求出 2, 4 ， 再作 輔 助線 ： 連接點 B與 O 的交點 M， 由 已知 0判定 是等邊三角形，從而在 B M 中，由勾股定理求得 AB 的長 . 5 （ 2015廣東省 ,第 24 題 ， 9 分） O 是 外接圓， 直徑，過 BC 的中點 P 作 O 的直徑 弦 點 D，連接 （ 1）如題圖 1；若 D 是線段 中點，求 度數(shù)； （ 2）如題圖 2，在 取一點 k，使 P，連接 證：四邊形 平行四 邊形； （ 3） 如 題 圖 3， 取 中 點 E， 連接 延 長 點 H， 連接 求 證 ： 【 答 案】解 ： （ 1） O 直 徑 ，點 P 是 BC 的 中 點， 0. D 為 中點， 1 1 2 2 1 . 0. O 直徑， 0. 0. （ 2）證明：由（ 1）知， D， P， . P， P. K. B， 又 G= 四邊形 平行四邊形 . （ 3）證明： E， D， G= G， G. H. 又 P， . 0. 【考點】圓的綜合題；圓周角定理；垂徑定理；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值； 平行的判定和性質(zhì)；全等三角形的判定和性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定 . 【分 析 】 （ 1） 一方面 ， 由銳 角 三角函 數(shù) 定義和特 殊 角的三 角 函數(shù)值求出 0； 另一方 面 ， 由 證 明 0 得 到 根 據(jù) 平 行 線 的 同 位 角 相 等 的 性 質(zhì) 得 到 0. （ 2） 一方 面 ， 證明 通 過證明 全 等并等腰 三 角形的 性 質(zhì)得到 K； 另一 方 面 ， 證明 從而根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定而得證 . （ 3）通過應用 明 得到 0，即 6. （ 2015綿陽第 22 題， 11 分）如圖， O 是 內(nèi)心， 延長線和 外接 圓相交于點 D，連接 邊形 平行四邊形 （ 1）求證： （ 2）若 ，求陰 影部分的面積 考點： 三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心；全等三角形的判定與性質(zhì)；扇形面積的計算 . 專題： 計算題 分析： （ 1）由于 O 是 內(nèi)心，也是 外心，則可判斷 等邊三角 形 ， 所 以 20 ， C ， 再 根 據(jù) 平 行 四 邊 形 的 性 質(zhì) 得 20， C， A=根據(jù) “明 （ 2） 作 H， 如 圖 ， 根 據(jù) 等腰三 角 形的性 質(zhì) 和三角 形 內(nèi)角和 定 理得到 0， 根據(jù)垂徑定理得到 H= ，再利用含 30 度的直角三角形三邊的關(guān)系得到 H= ， ， ，然后根據(jù)三角形面積公式和扇形面積 公式，利用 S 陰影部分 =S 扇形 S 行計算即可 解答： （ 1）證明： O 是 內(nèi)心，也是 外心， 等邊三角形， 20， C， 四邊形 平行四邊形， 20， C， A， B， 在 ， （ 2）作 H，如圖， 20， B， （ 180 120） =30， H= ， ， ， S 陰影部分 =S 扇形 S 2 = 點評： 本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心：與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓， 三 角 形的內(nèi) 切 圓的 圓 心 叫做三 角 形的內(nèi) 心 ， 這 個 三角形 叫 做圓的 外 切三角形 三 角 形的內(nèi)心 就是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)和扇形面積的計 算 7. （ 2015四川省內(nèi)江市，第 27 題， 12 分）如圖，在 ， E， 0， O 經(jīng)過點 C，且圓的直徑 線段 （ 1）試說明 O 的切線； （ 2）若 上的高為 h，試用含 h 的代數(shù)式表示 O 的直徑 （ 3）設(shè)點 D 是線段 任 意 一點（不 含 端點 ） ，連 接 D 的最 小 值為 6 時 ， 求 O 的直徑 長 考 點 ： 圓 的 綜合題 ； 線 段 的性質(zhì) ： 兩 點 之間線 段 最短 ； 等 腰 三角形 的 性質(zhì) ； 等 邊 三角形的 判定與性質(zhì)；菱形的判定與性質(zhì)；銳角三角函數(shù)的定義；特殊角的三角函數(shù)值 . 專題： 綜合題 分析： （ 1）連接 圖 1，要證 O 的切線，只需證到 0即可； （ 2）過點 C 作 H，連接 圖 2，在 運用三角函數(shù)即可解決問 題； （ 3）作 分 O 于 F，連接 圖 3，易證四邊形 菱形，根據(jù)對稱性可得 O過點 D 作 H，易得 而有 D=D根據(jù)兩點之間線段最短可得：當 F、 D、 H 三點共線時， D（即 D）最小，然后在 運用三角函數(shù)即可解決問題 解 答 ： 解 ： （ 1） 連 接 如 圖 1， E， 0， E= 0， A=60， 0， O 的切線 ； （ 2）過點 C 作 H，連接 圖 2， 由題可得 CH=h 在 ， C h=OC = h， h； （ 3）作 分 O 于 F，連接 圖 3， 則 （ 180 60） =60 F= 等邊三角形， O=C， 四邊形 菱形， 根據(jù)對稱性可得 O 過點 D 作 H， C， 0， CC D=D 根據(jù)兩點之間線段最短可得： 當 F、 D、 H 三點共線時， D（即 D）最小， 此時 F， 則 ， 當 D 的最小值為 6 時， O 的直徑 長為 8 點評： 本題主要考查了 圓周角定理、切線的判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)的定義、 特 殊 角的三 角 函數(shù)值 、 等 邊 三角形 的 判定與 性 質(zhì) 、 菱 形 的判定 與 性質(zhì) 、 兩 點 之間線 段 最短等 知識，把 D 轉(zhuǎn)化為 D 是解決第（ 3）小題的關(guān)鍵 8. （ 2015浙江 省 臺州 市 ， 第 22 題 ） 如 圖 ， 四邊形 接于 O， 點 E 在對 角 線 ， C= 1）若 9，求 度數(shù) （ 2）求證： 1= 2 . （ 2015 呼和浩特， 24， 9 分） (9 分 )如圖， O 是 外接圓， P 是 O 外的一點， O 的 直 徑， 1) 求證： O 的切線； (2) 連接 于點 D，與 O 交于點 E， F 為 的一點，若 M 為 的中點，且 P，求證： D = D = . 點分析：圓 垂徑定理、相切 相似三角形 邏輯推理 逆推 解析： 什么是逆推？就是在做幾何證明題時，從要證的結(jié)論出發(fā)進行推導，即假 定結(jié)論成立，將該結(jié)論作為已知條件進行推理 ，同時從題目中的已知條件 出發(fā)推理，向中間過程中的某關(guān)鍵步驟靠攏。 說過，在圓里證明直角有三種方法。方法一，假設(shè)該直角成立，且該直角 由兩個銳角組成，那么就去分別找與這兩個角相等或互余的角，看看他們 的關(guān)系；方法二，與一個直角是同位角或內(nèi)錯角的關(guān)系；方法三，用勾股逆定理算出來。 第一問 ， 首 先 你要在 草 稿紙上 精 確地把 圖 畫一 遍 ， 否 則 卷面的 圖 一會就 被 你的嘗 試 標花 了。做圓的題目，有相切或證相切，馬上先將切點或要證的切點連接到圓心；做圓的題目， 有過 直 徑的弦 ， 馬上 把 直角三 角 形畫出 來 ， 連接了 這 兩 步 在證相 切 時經(jīng)常 用 到， 因為 前 者需要 一個包括 兩 個銳角 的 直角 ， 而后 者 能提供 兩 個互余 關(guān) 系的銳 角