第 1 頁（共 23 頁） 2016 年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 一選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知集合 A=x| 1 x 1， B=x|2x 0，則 AB=（ ） A x| 1 x 2 B x| 1 x 0 C x|1 x 2 D x|0 x 1 2已知復(fù)數(shù) z 滿足 z= （ i 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 所對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知函數(shù) 則 f（ f（ 2）的值為（ ） A B C D 4設(shè) P 是 在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且 =2 ，則 面積之比是（ ） A B C D 5如果函數(shù) （ 0）的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為 ，則 的值為（ ） A 3 B 6 C 12 D 24 6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入 x=3，則輸出 k 的值為（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 7在平面區(qū)域 （ x， y） |0 x 1， 1 y 2內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn) P，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)（ x， y）滿足 y 2x 的概率為（ ） A B C D 8已知 f（ x） =x+ ），若 （ ），則 f（ + ） =（ ） A B C D 9如果 ， 拋物線 C： x 上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為 ， 是拋物線 C 的焦點(diǎn)，若 x1+0，則 |+|（ ） A n+10 B n+20 C 2n+10 D 2n+20 10一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為 1，頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（ ） A 20 B C 5 D 11已知下列四個(gè)命題： 第 2 頁（共 23 頁） 直線 l 和平面 內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則 l ； f（ x） =2x 2 x，則 x R， f（ x） = f（ x）； ，則 （ 0， +）， f（ =1； ，若 A B，則 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 12如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗線畫出的是某個(gè)四面體的 三視圖，則該四面體的表面積為（ ） A 8+8 +4 B 8+8 +2 C 2+2 + D + + 二填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13函數(shù) f（ x） =3x 的極小值為 14設(shè)實(shí)數(shù) x， y 滿足約束條件 ，則 z= 2x+3y 的取值范圍是 15已知雙曲線 C： （ a 0， b 0）的左頂點(diǎn)為 A，右焦點(diǎn)為 F，點(diǎn) B（ 0， b），且 ，則雙曲線 C 的離心率為 16在 ，點(diǎn) D 在邊 ， ， ， 長為 三解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17已知數(shù)列 等比數(shù)列， ， 是 等差中項(xiàng) （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）設(shè) 1，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 18從某企 業(yè)生產(chǎn)的某中產(chǎn)品中抽取 100 件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之比為 4： 2： 1 （ ）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)落在區(qū)間 75， 85內(nèi)的概率； （ ）用分層抽樣的方法在區(qū)間 45， 75）內(nèi)抽取一個(gè)容量為 6 的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任意抽取 2 件產(chǎn)品，求這 2 件產(chǎn)品都在區(qū)間 45， 65）內(nèi)的概率 第 3 頁（共 23 頁） 19如圖，四棱柱 底 面 菱形， D=O， 底面 B= （ ）證明： 平面 （ ）若 0，求點(diǎn) C 到平面 距離 20已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，左頂點(diǎn)為 A，左焦點(diǎn)為 2， 0），點(diǎn) B（ 2， ）在橢圓 C 上，直線 y=k 0）與橢圓 C 交于 E， F 兩點(diǎn)，直線 y 軸交于點(diǎn) M， N （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）在 x 軸上 是否存在點(diǎn) P，使得無論非零實(shí)數(shù) k 怎樣變化，總有 直角？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由 21已知函數(shù) f（ x） =1 （ ）當(dāng) m=1 時(shí)，求曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程； （ ）當(dāng) m 1 時(shí)，證明： f（ x） 1 請考生在第 22、 23、 24 題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分作答時(shí)請寫清題號【選修 4何證明選講】 22如圖所示， 接于 O，直線 O 相切于點(diǎn) A，交 延長線于點(diǎn) D，過點(diǎn) D 作 延長線 于點(diǎn) E （ I）求證： E （ ）若直線 O 相切于點(diǎn) F，且 ， ，求線段 長 第 4 頁（共 23 頁） 選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 23在平面直角坐標(biāo)系 ，以坐標(biāo)原點(diǎn) 0 為極點(diǎn)， x 軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線 C 的極坐標(biāo)方程為 =2 0， 2） （ 1）求曲線 C 的直角坐標(biāo)方程； （ 2）在曲線 C 上求一點(diǎn) D，使它到直線 l： ，（ t 為參數(shù)， t R）的距離最短，并 求出點(diǎn) D 的直角坐標(biāo) 選修 4等式選講 24設(shè)函數(shù) f（ x） =|x+ | |x | （ I）當(dāng) a=1 時(shí)，求不等式 f（ x） 的解集； （ ）若對任意 a 0， 1，不等式 f（ x） b 的解集為空集，求實(shí)數(shù) b 的取值范圍 第 5 頁（共 23 頁） 2016 年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分 ，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的 1已知集合 A=x| 1 x 1， B=x|2x 0，則 AB=（ ） A x| 1 x 2 B x| 1 x 0 C x|1 x 2 D x|0 x 1 【考點(diǎn)】 交集及其運(yùn)算 【分析】 求出集合的等價(jià)條件，根據(jù)集合的基本運(yùn)算進(jìn)行求解即可 【解答】 解： B=x|2x 0=x|0 x 2， 則 AB=x|0 x 1， 故選： D 2已知復(fù)數(shù) z 滿足 z= （ i 為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù) z 所對應(yīng)的點(diǎn)所在象限為（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 【考點(diǎn)】 復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，即可得到結(jié)論 【解答】 解： z= = = ，對應(yīng)的坐標(biāo)為（ 2， 1）， 位于第四象限， 故選： D 3已知函數(shù) 則 f（ f（ 2）的值為（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 函數(shù)的值 【分析】 利用分段函數(shù)的性質(zhì)求解 【解答】 解： 函數(shù) ， f（ 2） =（ 2） 2（ 2） =6， f（ f（ 2） =f（ 6） = = 故選： C 4設(shè) P 是 在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且 =2 ，則 面積之比是（ ） 第 6 頁（共 23 頁） A B C D 【考點(diǎn)】 向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義 【分析】 由 =2 可知 P 為 靠近 A 點(diǎn)的三等分點(diǎn) 【解答】 解： =2 ， P 為邊 近 A 點(diǎn)的三等分點(diǎn)， 面積比為 1： 2 故選： B 5如果函數(shù) （ 0）的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為 ，則 的值為（ ） A 3 B 6 C 12 D 24 【考點(diǎn)】 y=x+）中參數(shù)的物理意義 【分析】 根據(jù)余弦函數(shù)的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離恰好等于半個(gè)周期，即可求得 的值 【解答】 解：函數(shù) （ 0）的相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的距離為 ， T=2 = ， 又 = ， 解得 =6 故選： B 6執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入 x=3，則輸出 k 的值為（ ） A 6 B 8 C 10 D 12 【考點(diǎn)】 程序框圖 【分析】 根據(jù)框圖的流程依次計(jì)算程序運(yùn)行的結(jié)果，直到滿足條件 x 100，跳出循環(huán)體，確定輸出 k 的值 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序，可得 x=3， k=0 x=9， k=2 不滿足條件 x 100， x=21， k=4 不滿足條件 x 100， x=45， k=6 不滿足條件 x 100， x=93， k=8 不滿足條件 x 100， x=189， k=10 滿足條件 x 100，退出循環(huán)，輸出 k 的值為 10 故選： C 7在平面區(qū)域 （ x， y） |0 x 1， 1 y 2內(nèi)隨機(jī)投入一點(diǎn) P，則點(diǎn) P 的坐標(biāo)（ x， y）滿足 y 2x 的概率為（ ） 第 7 頁（共 23 頁） A B C D 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃；幾何概型 【分析】 作出不等式組對應(yīng)的區(qū)域，利用幾何概型的概率公式，即可得到結(jié)論 【解答】 解：不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)?D 的面積為 1， 不等式 y 2x 對應(yīng)的區(qū)域?yàn)槿切?則三角形 面積 S= = ， 則在區(qū)域 D 內(nèi)任取一點(diǎn) P（ x， y），則點(diǎn) P 滿足 y 2x 的概率為 ， 故選： A 8已知 f（ x） =x+ ），若 （ ），則 f（ + ） =（ ） A B C D 【考點(diǎn)】 兩角和與差的正弦函數(shù) 【分析】 根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系，以及兩角和的正弦公式，即可求出 【解答】 解： ， ， f（ x） =x+ ）， f（ + ） =+ + ） =+ ） = （ ） = ， 故選： C 9如果 ， 拋物線 C： x 上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為 ， 是拋物線 C 的焦點(diǎn)，若 x1+0，則 |+|（ ） 第 8 頁（共 23 頁） A n+10 B n+20 C 2n+10 D 2n+20 【考點(diǎn)】 拋物線的簡單性質(zhì) 【分析】 由拋物線性質(zhì)得 | =，由此能求出結(jié)果 【解答】 解： ， 拋物線 C： x 上的點(diǎn)， 它們的橫坐標(biāo)依次為 ， F 是拋物線 C 的焦點(diǎn)， x1+0， |+|=（ ） +（ ） +（ ） =x1+xn+n =n+10 故選： A 10一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面，所有棱的長都為 1，頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的體積為（ ） A 20 B C 5 D 【考點(diǎn)】 球的體積和表面積 【分析】 作出六棱柱的最大對角面與外截球的截面，設(shè)正六棱柱的上下底面中心分別為 2，球心為 O，一個(gè)頂點(diǎn)為 A，如右圖可根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定理算出球的半徑 用球的體積公式即可得到外接球 的體積 【解答】 解：作出六棱柱的最大對角面與外截球的截面，如右圖，則該截面矩形分別以底面外接圓直徑和六棱柱高為兩邊， 設(shè)球心為 O，正六棱柱的上下底面中心分別為 球心 O 是 中點(diǎn) 正六棱柱底面邊長為 1，側(cè)棱長為 1， ， ， ，可得 = ， 因此，該球的體積為 V= （ ） 3= 故選： D 11已知下列四個(gè)命題： 直線 l 和平面 內(nèi)的無數(shù)條直線垂直，則 l ； f（ x） =2x 2 x，則 x R， f（ x） = f（ x）； ，則 （ 0， +）， f（ =1； ， 若 A B，則 第 9 頁（共 23 頁） 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A 1 B 2 C 3 D 4 【考點(diǎn)】 命題的真假判斷與應(yīng)用 【分析】 據(jù)線面垂直的判斷定理判定即可； 據(jù)奇函數(shù)的定義判定即可； 表達(dá)式變形可得 =x+1+ 1，利用均值定理判定即可； 據(jù)三角形角邊關(guān)系和正弦定理判定結(jié)論成立 【解答】 解： 據(jù)判斷定理可知，若直線 l 和平面 內(nèi)兩條相交的直線垂直，則 l ，若沒有相交，無數(shù)的平行直線也不能判斷垂直，故錯(cuò)誤； 據(jù)奇函數(shù)的定義可知， f（ x） =2 x 2x= f（ x），故 x R， f（ x） = f（ x），故正確； =x+1+ 1 1，且當(dāng) x=0 時(shí)，等號成立，故不存在 （ 0， +），f（ =1，故錯(cuò)誤； ，根據(jù)大邊對大角可知，若 A B，則 a b，由正弦定理可知， 正確 故選： B 12如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為 1，粗線畫出的是某個(gè)四面體的三視圖，則該四面體的表面積為（ ） A 8+8 +4 B 8+8 +2 C 2+2 + D + + 【考點(diǎn)】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知幾何體為從邊長為 4 的正方體切出來的三棱錐作出直觀圖，計(jì)算各棱長求面積 【解答】 解：由三視圖可知幾何體為從邊長為 4 的正方體切出來的三棱錐 A 出直觀圖如圖所示： 其中 A， C， D 為正方體的頂點(diǎn)， B 為正方體棱的中點(diǎn) S =4， S =4 ， S =8 ， 由勾股定理得 D= =2 ， 第 10 頁（共 23 頁） = ， S =4 幾何體的表面積為 8+8 +4 故選 A 二填空題：本大題共 4 小題，每小題 5 分 13函數(shù) f（ x） =3x 的極小值為 2 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 首先求導(dǎo)可得 f（ x） =33，解 33=0 可得其根，再判斷導(dǎo)函數(shù)的符號分析函數(shù)的單調(diào)性，即可得到極小值 【解答】 解析：令 f（ x） =33=0，得 x= 1，可求得 f（ x）的極小值為 f（ 1） = 2 故答案： 2 14設(shè)實(shí)數(shù) x， y 滿足約束條件 ，則 z= 2x+3y 的取值范圍是 6， 15 【考點(diǎn)】 簡單線性規(guī)劃 【分析】 由題意作平面區(qū)域，化簡 z= 2x+3y 為 y= x+ ，從而結(jié)合圖象求解 【解答】 解：由題意作平面區(qū)域如下， 第 11 頁（共 23 頁） 化簡 z= 2x+3y 為 y= x+ ， 故結(jié)合圖象可知， 在點(diǎn) B（ 3， 0）處有最小值，在點(diǎn) C（ 3， 3）處有最大值， 故 2 3+3 0 z 2 （ 3） +3 3， 即 z 6， 15， 故答案為： 6， 15 15已知雙曲線 C： （ a 0， b 0）的左頂點(diǎn)為 A，右焦點(diǎn)為 F，點(diǎn) B（ 0， b），且 ，則雙曲線 C 的離心率為 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡單性 質(zhì) 【分析】 設(shè)出 A， F 的坐標(biāo)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合 a， 關(guān)系和離心率公式，計(jì)算即可得到所求值 【解答】 解：由題意可得 A（ a， 0）， F（ c， 0）， B（ 0， b）， 可得 =（ a， b）， =（ c， b）， 由 ，可得 ac+， 即有 b2=a2= 由 e= ，可得 e 1=0， 解得 e= （負(fù)的舍去） 故答案為： 第 12 頁（共 23 頁） 16在 ，點(diǎn) D 在邊 ， ， ， 長為 5 【考點(diǎn)】 三角形中的幾何計(jì)算 【分析】 根據(jù)題意畫出圖象，延長 A 做 足為 E，根據(jù)平行線的性質(zhì)和勾股定理依次求出 條件求出 長 【解答 】 解：如圖所示：延長 A 做 足為 E， ， ，解得 ， 在 = = ， 由 得 ， 在 ， = =10， 則 ， 故答案為： 5 三解答題：解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17已知數(shù)列 等比數(shù)列， ， 是 等差中項(xiàng) （ ）求數(shù)列 通項(xiàng)公式； （ ）設(shè) 1，求數(shù)列 前 n 項(xiàng)和 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式；等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合 【分析】 （ ）等比數(shù)列 ， ， 是 等差中項(xiàng)，有等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比分別表示出已知條件，解方程組即可求得首項(xiàng)和公比，代入等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得結(jié)果； （ ）把（ 1）中求得的結(jié)果代入 1，求出 用錯(cuò)位相減法求出 【解答】 解：（ ）設(shè)數(shù)列 公比為 q， 因?yàn)?，所以 q， ） 因?yàn)?是 等差中項(xiàng)，所以 2（ ） =a2+ 即 2（ 4q+2） =4+4簡得 2q=0 因?yàn)楣?q 0，所以 q=2 所以 （ n N*） 第 13 頁（共 23 頁） （ ）因?yàn)?，所以 1=2n 1 所以 則 ， ， ， ， 得， = ， 所以 18從某企業(yè)生產(chǎn)的某中產(chǎn)品中抽取 100 件，測量這些產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值由測量結(jié)果得到如圖所示的頻率分布直方圖，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之比為 4： 2： 1 （ ）求這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)落在區(qū)間 75， 85內(nèi)的概率； （ ）用分層抽樣的方法在區(qū)間 45， 75）內(nèi)抽取一個(gè) 容量為 6 的樣本，將該樣本看成一個(gè)總體，從中任意抽取 2 件產(chǎn)品，求這 2 件產(chǎn)品都在區(qū)間 45， 65）內(nèi)的概率 【考點(diǎn)】 列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頻率分布直方圖 【分析】 （ I）由題意，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之和，利用之比為 4： 2： 1，即可求出這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 75， 85內(nèi)的頻率； （ 2）由頻率分布直方圖得從 45， 65）的產(chǎn)品數(shù)中抽取 5 件，記為 A， B， C， D， E，從 65，75）的 產(chǎn)品數(shù)中抽取 1 件，記為 a，由此利用列舉法求出概率 【解答】 解：（ I）由題意，質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之和為 1 質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）， 65， 75）， 75， 85內(nèi)的頻率之比為 4： 2： 1， 這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 75， 85內(nèi)的頻率為 = 第 14 頁（共 23 頁） （ ）由頻率分布直方圖得：這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 55， 65）內(nèi)的頻率為 這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 65， 75）內(nèi)的頻率為 = 這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 45， 55）內(nèi)的頻率為 10= 所以這些產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間 45， 65）內(nèi)的頻率為 = 從 45， 65）的產(chǎn)品數(shù)中抽 取 6 =5 件，記為 A， B， C， D， E，從 65， 75）的產(chǎn)品數(shù)中抽取 6 =1 件，記為 a， 從中任取兩件，所有可能的取法有：（ A， B），（ A， C），（ A， D），（ A， E），（ A， a），（ B，C），（ B， D），（ B， E），（ B， a），（ C， D），（ D（ C， E），（ C， a），（ D， E），（ D， a），（ E，a），共 15 種， 這 2 件產(chǎn)品都在區(qū)間 45， 65）內(nèi)的取法有 10 種， 從中任意抽取 2 件產(chǎn)品，求這 2 件產(chǎn)品都在區(qū)間 45， 65）內(nèi)的概率 = 19如圖，四棱柱 底面 菱形， D=O， 底面 B= （ ）證明： 平面 （ ）若 0，求點(diǎn) C 到平面 距離 【考點(diǎn)】 點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ ）證明 可證明 平面 （ ）解法一：說明點(diǎn) 平面 距離等于點(diǎn) 平面 距離 點(diǎn)C 到平面 距離為 d， 通過 ，求解點(diǎn) C 到平面 距離 解法二：連接 于點(diǎn) 接 出 平行四邊形證明 平面 后求解點(diǎn) C 到平面 距離 【解答】 （ ）證明：因?yàn)?平面 平面 所以 第 15 頁（共 23 頁） 因?yàn)?菱形，所以 因?yàn)?O=O， 平面 所以 平面 （ ）解法一：因?yàn)榈酌?菱形， D=O， ， 0， 所以 D=1， 所以 面積為 因?yàn)?平面 面 所以 因?yàn)?平 面 所以點(diǎn) 平面 距離等于點(diǎn) 平面 距離 由（ ）得， 平面 因?yàn)?平面 以 因?yàn)?以 所以 面積為 設(shè)點(diǎn) C 到平面 距離為 d， 因?yàn)?， 所以 所以 所以點(diǎn) C 到平面 距離為 解法二：由（ ）知 平面 因?yàn)?面 所以平面 平面 連接 于點(diǎn) 連接 因?yàn)?以 平行四邊形 又 O， 別是 中點(diǎn)，所以 平行四邊形 所以 因?yàn)槠矫?平面 線為 過點(diǎn) C 作 H，則 平面 因?yàn)?平面 以 平面 因?yàn)?面 以 O1C 直角三角形 所以 第 16 頁（共 23 頁） 所以點(diǎn) C 到平面 距離為 20已知橢圓 C 的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在 x 軸上，左頂點(diǎn)為 A，左焦點(diǎn)為 2， 0），點(diǎn) B（ 2， ）在橢圓 C 上，直線 y=k 0）與橢圓 C 交于 E， F 兩點(diǎn)，直線 y 軸交于點(diǎn) M， N （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）在 x 軸上是否存在點(diǎn) P，使得無論非零實(shí)數(shù) k 怎樣變化，總有 直角？若存在，求出點(diǎn) P 的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由 【考點(diǎn)】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ ）由題意可設(shè)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為 + =1（ a b 0），結(jié)合已知及隱含條件列關(guān)于 a， b， c 的方程組，求解方程組得到 值，則橢圓方程可求； （ ）設(shè) F（ E（ 寫出 在直線方程，求出 M、 N 的坐標(biāo)，得到以 直徑的圓的方程，由圓的方程可知以 直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（ 2， 0），即可判斷存在點(diǎn) P 【解答】 解：（ ）由題意可設(shè)橢圓方程為 + =1（ a b 0）， 則 c=2， b2= + =1，解得： ， 可得橢圓 C 的方程為 + =1； （ ）如圖，設(shè) F（ E（ 則 + =1， A（ 2 ， 0）， 在直線方程 y= （ x+2 ）， 取 x=0，得 y= ， 第 17 頁（共 23 頁） N（ 0， ）， 在直線方程為 y= （ x+2 ）， 取 x=0，得 y= 則以 直徑的圓的圓心 坐標(biāo)為（ 0， ）， 半徑 r= ， 圓的方程為 y ） 2= = ，即 y+ ） 2= 取 y=0，得 x= 2 可得以 直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)（ 2， 0） 可得在 x 軸上存在點(diǎn) P（ 2， 0）， 使得無論非零實(shí)數(shù) k 怎樣變化，總有 直角 21已知函數(shù) f（ x） =1 （ ）當(dāng) m=1 時(shí)，求曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程； （ ）當(dāng) m 1 時(shí)，證明： f（ x） 1 【考點(diǎn)】 導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程 【分析】 （ ）求得 m=1 時(shí)， f（ x）的導(dǎo)數(shù)，可得切點(diǎn)坐標(biāo)和切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得所求切線的 方程； （ ）證法一：運(yùn)用分析法證明，當(dāng) m 1 時(shí)， f（ x） =1 1要證明 f（ x） 1，只需證明 2 0，思路 1：設(shè) g（ x） =2，求得導(dǎo)數(shù)，求得單調(diào)區(qū)間，可得最小值，證明大于 0 即可； 思路 2：先證明 x+1（ x R），設(shè) h（ x） =x 1，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值大于 0；證明 x 1 0設(shè) p（ x） =x 1，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值大于0，即可得證； 第 18 頁（共 23 頁） 思路 3：先證明 2：因?yàn)榍€ y=曲線 y= 圖象關(guān)于直線 y=x 對稱，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，求得兩曲線上的點(diǎn)的距離 2，即可得證； 證法二：因?yàn)?f（ x） =1，要證明 f（ x） 1，只需證明 2 0 思路 1：設(shè) g（ x） =2，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，求得最小值，證明大于 0，即可得證； 思路 2：先證明 x+1（ x R），且 x+1（ x 0）設(shè) F（ x） =x 1，求得導(dǎo)數(shù)和單調(diào)區(qū)間，可得最小值大于 0，再證明 2 0，運(yùn)用不等式的性質(zhì)，即可得證 【解答】 （ ）解：當(dāng) m=1 時(shí)， f（ x） =1， 所以 所以 f（ 1） =e 1， f（ 1） =e 1 所以曲線 y=f（ x）在點(diǎn)（ 1， f（ 1）處的切線方程為 y（ e 1） =（ e 1）（ x 1） 即 y=（ e 1） x （ ）證法一：當(dāng) m 1 時(shí)， f（ x） =1 1 要證明 f（ x） 1，只需證明 2 0 以下給出三種思路證明 2 0 思路 1：設(shè) g（ x） =2，則 設(shè) ，則 ， 所以函數(shù) h（ x） = 在（ 0， +）上單調(diào)遞增 因?yàn)?， g（ 1） =e 1 0， 所以函數(shù) 在（ 0， +）上有唯一零點(diǎn) 因?yàn)?g（ =0 時(shí)， 所以 ，即 當(dāng) x （ 0， ， g（ x） 0；當(dāng) x （ +）時(shí)， g（ x） 0 所以當(dāng) x=， g（ x）取得最小值 g（ 故 綜上可知，當(dāng) m 1 時(shí)， f（ x） 1 思路 2：先證明 x+1（ x R） 設(shè) h（ x） =x 1，則 h（ x） =1 因?yàn)楫?dāng) x 0 時(shí)， h（ x） 0，當(dāng) x 0 時(shí)， h（ x） 0， 所以當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù) h（ x）單調(diào)遞減 ，當(dāng) x 0 時(shí)，函數(shù) h（ x）單調(diào)遞增 所以 h（ x） h（ 0） =0 所以 x+1（當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)取等號） 所以要證明 2 0， 只需證明（ x+1） 2 0 下面證明 x 1 0 第 19 頁（共 23 頁） 設(shè) p（ x） =x 1，則 當(dāng) 0 x 1 時(shí)， p（ x） 0，當(dāng) x 1 時(shí)， p（ x） 0， 所以當(dāng) 0 x 1 時(shí)，函數(shù) p（ x）單調(diào)遞減，當(dāng) x 1 時(shí)，函數(shù) p（ x）單調(diào)遞增 所以 p（ x） p（ 1） =0 所以 x 1 0（當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時(shí)取等號） 由于取等號的條件不同， 所以 2 0 綜上可知，當(dāng) m 1 時(shí)， f（ x） 1 （若考生先放縮 時(shí)放縮，請參考此思路給分?。?思路 3：先證明 2 因?yàn)榍€ y=曲線 y=圖象關(guān)于直線 y=x 對稱， 設(shè)直線 x=t（ t 0）與曲線 y=y=別交于點(diǎn) A， B， 點(diǎn) A， B 到直線 y=x 的距離分別為 則 其中 ， （ t 0） 設(shè) h（ t） =t（ t 0），則 h（ t） =1 因?yàn)?t 0，所以 h（ t） =1 0 所以 h（ t）在（ 0， +）上單調(diào)遞增，則 h（ t） h（ 0） =1 所以 設(shè) g（ t） =t t 0），則 因?yàn)楫?dāng) 0 t 1 時(shí)， g（ t） 0；當(dāng) t 1 時(shí)， g（ t） 0， 所以當(dāng) 0 t 1 時(shí)， g（ t） =t 調(diào)遞減；當(dāng) t 1 時(shí)， g（ t） =t 調(diào)遞增 所以 g（ t） g（ 1） =1 所以 所以 綜上可知，當(dāng) m 1 時(shí)， f（ x） 1 證法二：因?yàn)?f（ x） =1， 要證明 f（ x） 1，只需證明 2 0 以下給出兩種思路證明 2 0 思路 1：設(shè) g（ x） =2，則 設(shè) ，則 所以函數(shù) h（ x） = 在（ 0， +）上單調(diào)遞增 第 20 頁（共 23 頁） 因?yàn)?， g（ 1） =1 0， 所以函數(shù) 在（ 0， +）上有唯一零點(diǎn) 因?yàn)?g（ =0，所以 ，即 當(dāng) x （ 0， ， g（ x） 0；當(dāng) x （ +）時(shí)， g（ x） 0 所以當(dāng) x=， g（ x）取得最小值 g（ 故 綜上可知，當(dāng) m 1 時(shí)， f（ x） 1 思路 2：先證明 x+1（ x R），且 x+1（ x 0） 設(shè) F（ x） =x 1，則 F（ x） =1 因?yàn)楫?dāng) x 0 時(shí)， F（ x） 0；當(dāng) x 0 時(shí)， F（ x） 0， 所以 F（ x）在（ ， 0）上 單調(diào)遞減，在（ 0， +）上單調(diào)遞增 所以當(dāng) x=0 時(shí)， F（ x）取得最小值 F（ 0） =0 所以 F（ x） F（ 0） =0，即 x+1（當(dāng)且僅當(dāng) x=0 時(shí)取等號） 由 x+1（ x R），得 1 x（當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時(shí)取等號） 所以 x 1（ x 0）（當(dāng)且僅當(dāng) x=1 時(shí)取等號） 再證明 2 0 因?yàn)?x 0， m 1，且 x+1 與 x 1 不同時(shí)取等號， 所以 2 m（ x+1）（ x 1） 2=（ m 1）（ x+1） 0 綜上可知，當(dāng) m 1 時(shí)， f（ x） 1 請考生在第