第 1 頁（共 14 頁） 2015年廣西來賓市高二（下）期末數學試卷（文科） 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1復數 1 i 的實部和虛部分別為（ ） A 1， 1 B 0， 1 C 1， 0 D 1， 1 2 “所有金屬都能導電，鐵是金屬，所以鐵能導電， ”此推理類型屬于（ ） A演繹推理 B類比推理 C合情推理 D歸納推理 3已知 0 a 3，復數 z=a+i（ i 是虛數單位），則 |z|的取值范圍是（ ） A（ 1， ） B（ 1， ） C（ 1， 3） D（ 1， 10） 4若 ，則 3x+3 x 的值為（ ） A 2 B 6 C D 5不等式 25x 3 0 的一個必要不充分條件是（ ） A 3 x B 1 x 6 C x 0 D x 3 6函數 f（ x） = 4）的單調遞減區(qū)間是（ ） A（ 0， +） B（ ， 2） C（ 2， +） D（ ， 0） 7用反證證明： “自然數 a， b， c 中恰有一個偶數 ”時正確的假設為（ ） A a， b， c 都是偶數 B a， b， c 都是奇數 C a， b， c 中至少有兩個偶數 D a， b， c 中都是奇數或至少兩個偶數 8函數 f（ x） =，若 f（ 1） =a，則 f（ 1） =（ ） A a B 0 C a 2 D 2 a 9某程序框如圖所示，該程序運行后輸出的 k 的值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 10下列函數中為相同函數的是（ ） A f（ x） = f（ x） =1 B f（ x） = 與 f（ x） =x C f（ x） = 與 f（ x） =|x| D f（ x） =x 2 與 f（ x） = 2 頁（共 14 頁） 11將正整數排成下表： 則數表中的數字 2016 出現的行數和列數是（ ） A第 44 行 81 列 B第 45 行 80 列 C第 44 行 80 列 D第 45 行 81 列 12已知函數 f（ x）定義域為 R，對任意的 x R 都有 f（ x） =f（ x+2），且當 1 x 0 時，f（ x） =（ ） x 1，當 0 x 1 時， f（ x） =x，則函數 g（ x） =f（ x） 零點個數為（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 二、填空題 :本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 13已知冪函數 y=f（ x）的圖象過點 ，則 的值為 14（如圖所示）程序框圖能判斷任意輸入的正整數 x 是奇數或是偶數其中判斷框內的條件是 15函數 f（ x） =1 x） + 的定義域為 16給出下列類比推理： 已知 a， b R，若 a b=0，則 a=b，類比得已知 C，若 ，則 z1= 已知 a， b R，若 a b 0，則 a b，類比得已知 C，若 0，則 由實數絕對值的性質 |x|2=比得復數 z 的性質 |z|2= 其中推理結論正確的是 三、解答題：本大題共 6 小題。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17已知數列 前 n 項和 足 （ 1）（ n N*） 第 3 頁（共 14 頁） （ 1）求 （ 2）由 值猜想這個數列的通項公式（不用證明） 18已知復數 z 滿足（ 1+2i） =4+3i （ 1）求復數 z； （ 2）若復數（ z+2 在復平面上對應的點在第一象限，求實數 a 的取值范圍 19第 12 屆全國人大四次會議于 2016 年 3 月 5 日至 3 月 16 日在北京召開為了搞好對外宣傳工作，會務組選聘了 16 名男記者和 14 名女記者擔任對外翻譯工作 ，調查發(fā)現，男、女記者中分別有 10 人和 6 人會俄語 （ 1）根據以上數據完成以下 2 2 列聯表： 會俄語 不會俄語 總計 男 女 總計 30 （ 2）能否在犯錯的概率不超過 前提下認為性別與會俄語有關？ 下面的臨界值表供參考： P（ k） k 參考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 20若二次函數滿足 f（ x+1） f（ x） =2x 且 f（ 0） =1 （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）若在區(qū)間 1， 1上不等式 f（ x） 2x+m 恒成立，求實數 m 的取值范圍 21某城市理論預測 2010 年到 2014 年人口總數與年份的關系如下表所示 年 201X（年） 0 1 2 3 4 人口數 Y（十萬） 5 7 8 11 19 （ 1）請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出 y 關于 x 的線性回歸方程 y=bx+a； （ 2）據此估計 2015 年，該城市人口總數 （參考數值： 0 5+1 7+2 8+3 11+4 19=132） 22已知函數 f（ x） = 是奇函數 （ 1）求實數 m 的值； （ 2）若函數 f（ x）在區(qū)間 a， a+ 上單調，求實數 a 的取值范圍 第 4 頁（共 14 頁） 2015年廣西來賓市高二（下）期末數學試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：本大題共 12 小題，每小題 5 分，共 60 分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。 1復數 1 i 的實 部和虛部分別為（ ） A 1， 1 B 0， 1 C 1， 0 D 1， 1 【考點】 復數的基本概念 【分析】 直接由已知復數結合實部和虛部的概念得答案 【解答】 解： 復數 z=1 i， 該復數的實部和虛部分別為 1， 1， 故選： D 2 “所有金屬都能導電，鐵是金屬，所以鐵能導電， ”此推理類型屬于（ ） A演繹推理 B類比推理 C合情推理 D歸納推理 【考點】 演繹推理的基本方法 【分析】 本題考查的是演繹推理的定義，判斷一個推理過程是否是演繹推理關鍵是看他是否符合演繹推理的定義，能否從推理過程 中找出 “三段論 ”的三個組成部分 【解答】 解：在推理過程 “所有金屬都能導電，鐵是金屬，所以鐵能導電 ”中 所有金屬都能導電，是大前提 鐵是金屬，是小前提 所以鐵能導電，是結論 故此推理為演繹推理 故選 A 3已知 0 a 3，復數 z=a+i（ i 是虛數單位），則 |z|的取值范圍是（ ） A（ 1， ） B（ 1， ） C（ 1， 3） D（ 1， 10） 【考點】 復數的代數表示法及其幾何意義 【分析】 利 用復數的模列出關系式，然后利用二次函數的最值求解即可 【解答】 解： 0 a 3，復數 z=a+i（ i 是虛數單位），則 |z|= （ 1， ） 故選： A 4若 ，則 3x+3 x 的值為（ ） A 2 B 6 C D 【考點】 對數的運算性質 【分析】 直接利用對數的運算法 則化簡求解即可 【解答】 解： ，可得： x= 第 5 頁（共 14 頁） 則 3x+3 x= + =2 = 故選： C 5不等式 25x 3 0 的一個必要不充分條件是（ ） A 3 x B 1 x 6 C x 0 D x 3 【考點】 充要條件；一元二次不等式的解法 【分析】 先通過解二次不等式化簡條件 25x 3 0，再利用充要條件的定義判斷出 A 是既不充分也不必要條件； B 是必要不充分條件 【解答】 解： 25x 3 0 的解集為 對于 A，是 25x 3 0 既不充分也不必要條件 對于 B， x| x| 1 x 6 1 x 6 是 25x 3 0 的必要不充分條件 對于 C，是 25x 3 0 充分條件 對于 D，是 25x 3 0 充要條件 故選 B 6函數 f（ x） = 4）的單調遞減區(qū)間是（ ） A（ 0， +） B（ ， 2） C（ 2， +） D（ ， 0） 【考點】 復合函數的單調性 【分析】 先求函數的定義域，根據復合函數單調性之間的關系進行求解即可 【解答】 解：由 4 0 得 x 2 或 x 2， 設 t=4，則 y=t 是減函數， 根據復合函數單調性的關系，要求函數 f（ x）的單調遞減區(qū)間，即求函數 t=4，在 x 2或 x 2 上的增區(qū)間， 當 x 2 時，函數 t=4 為增函數， f（ x） = 4）的單調遞減區(qū)間是（ 2， +）， 故選： C 7用反證證明： “自然數 a， b， c 中恰有一個偶數 ”時正確的假設為（ ） A a， b， c 都是偶數 B a， b， c 都是奇數 C a， b， c 中至少有兩個偶數 D a， b， c 中都是奇數或至少兩個偶數 【考點】 反證法 【分析】 用反證法法證明數學命題時，假設命題的反面成立，寫出要證的命題的否定形式，即為所求 【解答】 解： 結論： “自然數 a， b， c 中恰有一個偶數 ” 第 6 頁（共 14 頁） 可得題設為： a， b， c 中恰有一個偶數 反設的內容是假設 a， b， c 都是奇數或至少有兩個偶數 故選： D 8函數 f（ x） =，若 f（ 1） =a，則 f（ 1） =（ ） A a B 0 C a 2 D 2 a 【考點】 正弦函數的奇偶性 【分析】 由條件利用 誘導公式求得 a 2，可得 f（ 1） = 值 【解答】 解：由題意可得， f（ 1） =a，可得 a 2， 故 f（ 1） = a， 故選： D 9某程序框如圖所示，該程序運行后輸出的 k 的值是（ ） A 4 B 5 C 6 D 7 【考點】 程序框圖 【分析】 由已知中的程序框圖可知：該程序的功能是利用循環(huán)結構計算并輸出變量 S 的值，模擬程序的運行過程，分析循環(huán)中各變量值的變化情況，可得答案 【解答】 解：模擬程序的運行，可得 當 S=0 時，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，故 k=1， S=1； 當 S=1 時，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，故 k=2， S=3； 當 S=3 時，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，故 k=3， S=11； 當 S=11 時，滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，故 k=4， S=2059； 當 S=2059 時，不滿足繼續(xù)循環(huán)的條件，退出循環(huán)， 故輸出的 k 值為 4， 故選： A 10下列函數中為相同函數的是（ ） A f（ x） = f（ x） =1 B f（ x） = 與 f（ x） =x C f（ x） = 與 f（ x） =|x| D f（ x） =x 2 與 f（ x） =考點】 判斷兩個函數是否為同一函數 【分析】 根據兩個函數的定義域相同，對應關系也相同，即可判斷它們是相同函數 第 7 頁（共 14 頁） 【解答】 解：對于 A， f（ x） =（ x 0），與 f（ x） =1（ x R）的定義域不同，所以不是相同函數； 對于 B， f（ x） = =x（ x 0），與 f（ x） =x（ x R）的定義域不同，所以不是相同函數； 對于 C， f（ x） = =|x|（ x R），與 f（ x） =x（ x R）的定義域相同，對應關系也相同，所以是相同函數； 對于 D， f（ x） =x 2= （ x 0），與 f（ x） =x R）的定義域不同，對應關系也不同，所以不是相同函數 故選： C 11將正整數排成下表： 則數表中的數字 2016 出現的行數和列數是（ ） A第 44 行 81 列 B第 45 行 80 列 C第 44 行 80 列 D第 45 行 81 列 【考點】 歸納推理 【分析】 根據圖象可知第 n 行有 2n 1 個數字，前 n 行的數字個數為 1+3+5+（ 2n 1） =而根據 442， 452與 2016 大小關系進而判斷出 2016 所在的行數，進而根據 2025 2016=9和第 45 行的數字個數，進而求得 2016 所在的列 【解答】 解：依題意可知第 n 行有 2n 1 個數字，前 n 行的數字個數為 1+3+5+（ 2n 1）=， 442=1836， 452=2025，且 1836 2016， 2025 2016， 2016 在第 45 行， 又 2025 2016=9，且第 45 行有 2 45 1=89 個數字， 2016 在第 89 9=80 列 故選： B 12已知函數 f（ x）定義域為 R，對任意的 x R 都有 f（ x） =f（ x+2），且當 1 x 0 時，f（ x） =（ ） x 1，當 0 x 1 時， f（ x） =x，則函數 g（ x） =f（ x） 零點個數為（ ） A 3 B 4 C 5 D 6 【考點】 根的存在性及根的個數判斷 【分析】 函數 g（ x） =f（ x） 零點個數可化為函數 f（ x）與函數 y=交點的個數；作出圖象求解即可 【解答】 解：函數 g（ x） =f（ x） 零點個數可化為 函數 f（ x）與函數 y=交點的個數； 作函數 f（ x）與函數 y=圖象如下， 第 8 頁（共 14 頁） 結合圖象可知， 函數 f（ x）與函數 y=四個不同的交點， 故函數 g（ x） =f（ x） 零點個數為 4； 故選： B 二、填空題 :本大題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分 13已知冪函數 y=f（ x）的圖象過點 ，則 的值為 1 【考點】 冪函數的概念、解析式、定義域、值域 【分析】 利用待定系數法求出 f（ x）的表達式即可 【解答】 解：設 f（ x） = 則 f（ 3） =3= ，解得 = 1， 則 f（ x） =x 1， f（ 2） = ， 則 f（ 2） =1， 故答案為： 1； 14（如圖所示）程序框圖能判斷任意輸入的正整數 x 是奇數或是偶數其中判斷框內的條件是 m=0？ 第 9 頁（共 14 頁） 【考點】 程序框圖 【分析】 根據偶數的定義 “整數中，能夠被 2 整除的數，叫做偶數偶數 ”即除以 2 后的余數為0 的數，從而得到判斷框中所填 【解答】 解：根據判斷框正確的一支是 輸出偶數 以及偶數的定義可知，一個數除以 2 整除的余數為 0 是偶數 則判定框中應填 m=0？ 故答案為： m=0？ 15函數 f（ x） =1 x） + 的定義域為 （ 3， 1） 【考點】 函數的定義域及其求法 【分析】 根據對數函數以及二次根式的性質得到關于 x 的不等式組，解出即可 【解答】 解：由題意得： ，解得： 3 x 1， 函數 f（ x）的定義域是（ 3， 1）， 故答案為：（ 3， 1） 16給出下列類比推理： 已知 a， b R，若 a b=0，則 a=b，類比得已知 C，若 ，則 z1= 已知 a， b R，若 a b 0，則 a b，類比得已知 C，若 0，則 由實數絕對值的性質 |x|2=比得復數 z 的性質 |z|2= 其中推理結論正確的是 【考點】 類比推理 【分析】 在數集的擴展過程中，有些性質是可以傳遞的，但有些性質不能傳遞，因此，要判斷類比的結果是否正確，關鍵是要在新的數集里進行論證，當然要想證明一個結論是錯 誤的，也可直接舉一個反例，要想得到本題的正確答案，可對 4 個結論逐一進行分析，不難解答 【解答】 解： 在復數集 C 中， C，若 ，則它們的實部和虛部均相等，則 等故 正確； 若 C，當 +i， z2=i 時， 0，但 兩個虛數，不能比較大小故錯誤； 由實數絕對值的性質 |x|2=比得到復數 z 的性質 |z|2=兩個長度的求法不是通過類比得到的，故 不正確， 故結論中， 是正確的 故答案為： 三、解答題：本大題共 6 小題。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 17已知數列 前 n 項和 足 （ 1）（ n N*） （ 1）求 （ 2）由 值猜想這個數列的通項公式（不用證明） 【考點】 數列的概念及簡單表示法 【分析】 （ 1）根據數列的遞推公式即可求出， 第 10 頁（共 14 頁） （ 2）由（ 1）的結果猜想即可 【解答】 解：（ 1） S1=（ 1）， （ 1）， ， （ 1） =a1+ ， 同理可得： ， ， （ 2）由 值猜想這個數列的通項公式 ： ） n 18已知復數 z 滿足（ 1+2i） =4+3i （ 1）求復數 z； （ 2）若復數（ z+2 在復平面上對應的點在第一象限，求實數 a 的取值范圍 【考點】 復數的代數表示法及其幾何意義；復數代數形式的混合運算 【分析】 （ 1）由（ 1+2i） =4+3i，得 ，然后利用復數代數形式的乘除 運算化簡 ，則復數 z 可求； （ 2）把復數 z 代入（ z+2，然后利用復數代數形式的乘法運算化簡，又已知復數（ z+ 在復平面上對應的點在第一象限，列出不等式組求解即可得答案 【解答】 解： （ 1+2i） =4+3i， = z=2+i； （ 2）（ z+2=（ 2+i+2=2+（ a+1） i2=4（ a+1） 2+4（ a+1） i， 復數（ z+2 在復平面上對應的點在第一象限， ， 解得 1 a 1 即實數 a 的取值范圍為：（ 1， 1） 19第 12 屆全國人大四次會議于 2016 年 3 月 5 日至 3 月 16 日在北京召開為了搞好對外宣傳工作，會務組選聘了 16 名男記者和 14 名女記者擔任對外翻譯工作，調查發(fā)現，男、女記者中分別有 10 人和 6 人會俄語 （ 1）根據以上數據完成以下 2 2 列聯表： 會俄語 不會俄語 總計 男 第 11 頁（共 14 頁） 女 總計 30 （ 2）能否在犯錯的概率不超過 前提下認為性別與會俄語有關？ 下面的臨界值表供參考： P（ k） k 參考公式： ，其中 n=a+b+c+d） 【考點】 獨立性檢驗的應用 【分析】 （ 1）根據數據即可完成以下 2 2 列聯表： （ 2）計算 出 值，結合獨立性檢驗的結論進行判斷 【解答】 解：（ 1）對應的 2 2 列聯表為： 會俄語 不會俄語 總計 男 10 6 16 女 6 8 14 總計 16 14 30 （ 2）假設：是否會俄語與性別無關， 由已知數據得 = = 在犯錯的概率不超過 前提下不能認為性別與會俄語有關 20若二次函數滿足 f（ x+1） f（ x） =2x 且 f（ 0） =1 （ 1）求 f（ x）的解析式； （ 2）若在區(qū)間 1， 1上不等式 f（ x） 2x+m 恒成立，求實數 m 的取值范圍 【考點】 二次函數的性質 【分析】 （ 1）利用待定系數法求解由二次函數可設 f（ x） =bx+c，由 f（ 0） =1 得 c 值，由 f（ x+1） f（ x） =2x 可得 a， b 的值，從而問題解決； （ 2）欲使在區(qū)間 1， 1上不等式 f（ x） 2x+m 恒成立，只須 3x+1 m 0，也就是要 3x+1 m 的最小值大于 0 即可，最后求出 3x+1 m 的最小值后大于 0 解之即得 【解答】 解：（ 1）設 f（ x） =bx+c（ a 0），由 f（ 0） =1， c=1， f（ x） = f（ x+1） f（ x） =2x， 2ax+a+b=2x， f（ x） =x+1 （ 2）由題意： x+1 2x+m 在 1， 1上恒成立， 即 3x+1 m 0 在 1， 1上恒成立 其對稱軸為 ， g（ x）在區(qū)間 1， 1上