第 1 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 2016 年江蘇省高考數(shù)學(xué)模擬試卷 一、填空題：本大題共 14 個(gè)小題，每小題 5 分，共計(jì) 70 分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)的位置上 1已知 U=R，集合 A=x| 1 x 1， B=x|2x 0，則 A（ = 2已知復(fù)數(shù) ，則 z 的共軛復(fù)數(shù)的模為 3分別從集合 A=1， 2， 3， 4和集合 B=5， 6， 7， 8中各取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之積為偶數(shù)的概率是 4運(yùn)行如圖所示的偽代碼，其結(jié)果為 5在平面直角坐標(biāo)系 ，與雙曲線 有相同漸近線，且一條準(zhǔn)線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 6已知存在實(shí)數(shù) a，使得關(guān)于 x 的不等式 恒成立，則 a 的最大值為 7若函數(shù) 是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的值為 8已知正五棱錐底面邊長(zhǎng)為 2，底面正五邊形中心到側(cè)面斜高距離為 3，斜高長(zhǎng)為 4，則此正五棱錐體積為 9已知函數(shù) ，則不等式 f（ 2x） f（ 3x 4）的解集是 10在 ， ， ， N 是 中點(diǎn)，邊 端點(diǎn)）上存在點(diǎn) M，使得 取值范圍為 11設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)?D，若指數(shù)函數(shù) y=a 0， a 1）的圖象上存在區(qū)域 D 上的點(diǎn)，則 a 的取值范圍是 12已知函數(shù) f（ x） =x+區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，則 a 的取值范圍是 13若函數(shù) 同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件： 第 2 頁(yè)（共 25 頁(yè)） x R， f（ x） 0 或 g（ x） 0； x （ 1， 1）， f（ x） g（ x） 0 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 14若 數(shù)列 2n中不超過(guò) m N*）的項(xiàng)數(shù)， 2b2=b1+ 0，則正整數(shù) A 的值為 二、解答題：本大題共 6 小題，計(jì) 90 分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi) 15已知角 終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 與單位圓交于點(diǎn) ，且 （ 1）求 的值， （ 2）求 的值 16在四棱錐 P ，平 面四邊形 二面角 B （ 1）若四邊形 菱形，求證： 平面 （ 2）若四邊形 梯形，且平面 面 l，問(wèn)：直線 l 能否與平面 行？請(qǐng)說(shuō)明理由 17在平面直角坐標(biāo)系 ，已知 P 點(diǎn)到兩定點(diǎn) D（ 2， 0）， E（ 2， 0）連線斜率之積為 （ 1）求證：動(dòng)點(diǎn) P 恒在一個(gè)定橢圓 C 上運(yùn)動(dòng)； （ 2）過(guò) 的直線交橢圓 C 于 A， B 兩點(diǎn)，過(guò) O 的直線交橢圓 C 于 M， N 兩點(diǎn)，若直線 直線 率之和為零，求證：直線 直線 率之和為定值 18將一個(gè)半徑為 3 分米，圓心角為 （ （ 0， 2）的扇形鐵皮焊接成一個(gè)容積為 V 立方分米的圓錐形無(wú)蓋容器（忽略損耗） （ 1）求 V 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）當(dāng) 為何值時(shí)， V 取得最大值； （ 3）容積最大的圓錐形容器能否完全蓋住桌面上一個(gè)半徑為 米的球？請(qǐng)說(shuō)明理由 19設(shè)首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 3 （ 1）求證：數(shù)列 等比數(shù)列； （ 2）數(shù)列 否存在一項(xiàng) 得 好可以表示為該數(shù)列中連續(xù) r（ r N*， r 2）項(xiàng)的和？請(qǐng)說(shuō)明理由； 第 3 頁(yè)（共 25 頁(yè)） （ 3）設(shè) ，試問(wèn)是否存在正整數(shù) p， q（ 1 p q）使 等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（ p， q）；若不存在，說(shuō)明理由 20（ 1）若 成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 2）證明： a 0， R，使得當(dāng) x ， 成立 三 附加題部分【理科】 選做題 （本題包括 A、 B、 C、 D 四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） A選修 4何證明選講 （本小題滿分 10 分） 21如圖， 圓 O 的直徑， D 為圓 O 上一點(diǎn)，過(guò) D 作圓 O 的切線交 延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若 C，求證： O B選修 4陣與變換 （本小題滿分 10 分） 22已知矩陣 A= ， B= ，求矩陣 A 1B C選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 （本小題滿分 0 分） 23在極坐標(biāo)系中，設(shè)直線 l 過(guò)點(diǎn) ，且直線 l 與曲線 C： =a 0）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的值 D選修 4等式選講 （本小題滿分 0 分） 24求函數(shù) 的最大值 四 .必做題 （第 25 題、第 26 題，每題 10 分，共 20 分 明過(guò)程或演算步驟） 25在四棱錐 P ，直線 兩相互垂直，且 B= （ 1）求異面直線 成角的余弦值； （ 2）求鈍二面角 B D 的大小 第 4 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 26設(shè)數(shù)列 三角形進(jìn)行排列，如圖，第一層一個(gè)數(shù) 二層兩個(gè)數(shù) 三層三個(gè)數(shù) 此類推，且每個(gè)數(shù)字等于下一層的左右兩個(gè)數(shù)字之和，如 a1=a2+a3，a2=a4+a3=a5+ （ 1）若第四層四個(gè)數(shù)為 0 或 1， 奇數(shù)，則第四層四個(gè)數(shù)共有多少種不同取法？ （ 2）若第十一層十一個(gè)數(shù)為 0 或 1， 5 的倍數(shù)，則第十一層十一個(gè)數(shù)共有多少種不同取法？ 第 5 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 2016 年江蘇省高考數(shù)學(xué)模擬試卷 參考答案與試題解析 一、填空題：本大題共 14 個(gè)小題，每小題 5 分，共計(jì) 70 分，請(qǐng)把答案直接填寫在答題卡相應(yīng)的位置上 1已知 U=R，集合 A=x| 1 x 1， B=x|2x 0，則 A（ = （ 1， 0 【考點(diǎn)】 交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算 【分析】 求出集合 B 中的一元二次不等式的解集，確定出集合 B，由全集 R，求出集合 出集合 A 與集合 B 的補(bǔ)集的交集即可 【解答】 解：由 A=x| 1 x 1=（ 1， 1）， B=x|2x 0=（ 0， 2）， ， 0 2， +）， A 1， 0， 故答案為：（ 1， 0 2已知復(fù)數(shù) ，則 z 的共軛復(fù)數(shù)的模為 【考點(diǎn) 】 復(fù)數(shù)求模 【分析】 根據(jù)復(fù)數(shù)與它的共軛復(fù)數(shù)的模相等，即可求出結(jié)果 【解答】 解：復(fù)數(shù) ，則 z 的共軛復(fù)數(shù)的模為 | |=|z|= = = = 故答案為： 3分別從集合 A=1， 2， 3， 4和集合 B=5， 6， 7， 8中各取一個(gè)數(shù)，則這兩數(shù)之積為偶數(shù)的概率是 【考點(diǎn)】 等可能事件的概率 【分析】 求出所有基本事件，兩數(shù)之積為偶數(shù)的基本事件，即可求兩數(shù)之積為偶數(shù)的概率 【解答】 解：從集合 A=1， 2， 3， 4和集合 B=5， 6， 7， 8中各取一個(gè)數(shù)，基本事件共有4 4=16 個(gè)， 兩數(shù)之積為偶數(shù)， 兩數(shù)中至少有一個(gè)是偶數(shù)， A 中取偶數(shù)， B 中有 4 種取法； A 中取奇數(shù)， B 中 必須取偶數(shù)，故基本事件共有 2 4+2 2=12個(gè)， 兩數(shù)之積為偶數(shù)的概率是 = 故答案為： 第 6 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 4運(yùn)行如圖所示的偽代碼，其結(jié)果為 【考點(diǎn)】 偽代碼 【分析】 根據(jù)偽代碼所示的順序，逐框分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用可知： 該程序的作用是累加并輸出 S= + + 的值，用裂項(xiàng)法即可求值得解 【解答】 解：根據(jù)偽代碼所示的順序， 逐框分析程序中各變量、各語(yǔ)句的作用可知： 該程序的作用是 累加并輸出 S= + + 的值， 所以 S=S= + + = （ 1 + + ） = （ 1 ） = 故答案為： 5在平面直角坐標(biāo)系 ，與雙曲線 有相同漸近線，且一條準(zhǔn)線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 =1 【考點(diǎn)】 雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 求得已知雙曲線的漸近線方程，設(shè)出所求雙曲線的方程為 =1（ a， b 0），求出漸近線方程和準(zhǔn)線方程，由題意可得 = ， = ，結(jié)合 a， b， c 的關(guān)系，解方程可得 a， b，進(jìn)而得到雙曲線的方程 【解答】 解：雙曲線 的漸近線為 y= x， 設(shè)所求雙曲線的方程為 =1（ a， b 0）， 第 7 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 漸近線方程為 y= x，準(zhǔn)線方程為 y= ， 由題意可得 = ， = ， 又 a2+b2=得 a=2 ， b= ， 即有所求雙曲線的方程為 =1 故答案為： =1 6已知存在實(shí)數(shù) a，使得關(guān)于 x 的不等式 恒成立，則 a 的最大值為 2 【考點(diǎn)】 函數(shù)恒成立問(wèn)題 【分析】 由題意可得 a f（ x）的最小值，運(yùn)用單調(diào)性，可得 f（ 0）取得最小值，即可得到a 的范圍，進(jìn)而得到 a 的最大值 【解答】 解：由 ，可得 0 x 4， 由 f（ x） = ，其中 y= 在 0， 4遞增， y= 在 0， 4遞增， 可得 f（ x）在 0， 4遞增，可得 f（ 0）取得最小值 2， 可得 a 2，即 a 的最大值為 2 故答案為： 2 7若函數(shù) 是偶函數(shù)，則實(shí)數(shù) a 的值為 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；正弦函數(shù)的圖象 【分析】 由題意可得， f（ ） =f（ ），從而可求得實(shí)數(shù) a 的值 【解答】 解： f（ x） =x+ ） + x ）為偶函數(shù)， f（ x） =f（ x）， f（ ） =f（ ）， 即 =a， a= 故答案為： 8已知正五棱錐底面邊長(zhǎng)為 2，底面正五邊形中心到側(cè)面斜高距離為 3，斜高長(zhǎng)為 4，則此正五棱錐體積為 20 【考點(diǎn)】 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積 第 8 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 【分析】 求出底面中心到邊的距離，棱錐的高，然后求解棱錐的體積 【解答】 解：設(shè)正五棱錐高為 h，底面正五邊形的角為 108， 底面正五邊形中心到邊距離為： h= ， 則此正五棱錐體積為： =20 故答案為： 20 9已知函數(shù) ，則不等式 f（ 2x） f（ 3x 4）的解集是 （ 1，3） 【考點(diǎn)】 分段函數(shù)的應(yīng)用 【分析】 判斷 f（ x）在 R 上遞增，由 f（ 2x） f（ 3x 4），可得 或，解不等式即可得到所求解集 【解答】 解：當(dāng) x 3 時(shí)， f（ x） = x=（ x 3） 2+9， 即有 f（ x）遞增； 故 f（ x）在 R 上單調(diào)遞增 由 f（ 2x） f（ 3x 4），可得 或 ， 解得 或 ， 即為 1 x 或 x 3， 即 1 x 3即有解集為（ 1， 3） 故答案為：（ 1， 3） 第 9 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 10在 ， ， ， N 是 中點(diǎn)，邊 端點(diǎn)）上存在點(diǎn) M，使得 取值范圍為 ， 1） 【考點(diǎn)】 余弦定理 【分析】 設(shè) =t （ 0 t 1）， = =t ， = = 由于 ，可得 =0化為： 16t+12（ +1） =0，整理可得： = （ 32 ） =f（ t），（ 0 t 1）利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出 【解答】 解：設(shè) =t （ 0 t 1）， = =t ， = = =（ t ） （ ） = t 2+（ +1） 2 ， = t 2+（ +1） 2=0 化為： 16t+12（ +1） =0， 整理可得： = （ 32 ） =f（ t），（ 0 t 1） 由于 f（ t）是 0， 1是的單調(diào)遞增函數(shù)， f（ 0） f（ t） f（ 1），即： f（ t） ，即： ， A （ 0， ）， 1， 取值范圍是： ， 1） 故答案為： ， 1） 11設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)?D，若指數(shù)函數(shù) y=a 0， a 1）的圖象上存在區(qū)域 D 上的點(diǎn)，則 a 的取值范圍是 （ 0， 1） 3， +） 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的應(yīng)用 【分析】 由題意作平面區(qū)域，從而結(jié)合圖象可知 y=圖象過(guò)點(diǎn)（ 3， 1）時(shí)為臨界值 a=3，從而解得 【解答】 解：由題意作平面區(qū)域如下， 第 10 頁(yè)（共 25 頁(yè)） ， 結(jié)合圖象可知， y=圖象過(guò)點(diǎn)（ 3， 1）時(shí)為臨界值 a=3， 且當(dāng) 0 a 1 時(shí)，一定成立； 故答案為：（ 0， 1） 3， +） 12已知函數(shù) f（ x） =x+區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)無(wú)極值點(diǎn)，則 a 的取值范圍是 a|a 4 或 a 0 【考點(diǎn)】 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【分析】 函數(shù) f（ x） =x+區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)無(wú)極值點(diǎn) 函數(shù) f（ x）在（ 0， 1）內(nèi)單調(diào) 函數(shù) f（ x） 0 或 f（ x） 0a R）在（ 01，）內(nèi)恒成立再利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則、分離參數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性即可得出 【解答】 解：函數(shù) f（ x） =x+區(qū)間（ 0， 1）內(nèi)無(wú)極值 函數(shù) f（ x） =x+0， 1）內(nèi)單調(diào) 函數(shù) f（ x） 0 或 f（ x） 0a R）在（ 0， 1）內(nèi)恒成立 由 f（ x） =2x+2 0 在（ 0， 1）內(nèi)恒成立 a （ 2x 2x （ 0， 1）即 a 0， 由 f（ x） =2x+2 0 在（ 0， 1）內(nèi)恒成立 a （ 2x 2x （ 0， 1）即 a 4， 故答案為： a 4 或 a 0 故答案為： a|a 4 或 a 0 13若函數(shù) 同時(shí)滿足以下兩個(gè)條件： 第 11 頁(yè)（共 25 頁(yè)） x R， f（ x） 0 或 g（ x） 0； x （ 1， 1）， f（ x） g（ x） 0 則實(shí)數(shù) a 的取值范圍為 （ 2， 4） 【考點(diǎn)】 全稱命題；特稱命題 【分析】 由 可得當(dāng) x 1 時(shí)， g（ x） 0， 根據(jù) 可得 g（ 1） =a（ 1 a+3） 0，由此解得實(shí)數(shù) a 的取值范圍 【解答】 解： 已知函數(shù) ， 根據(jù) x R， f（ x） 0，或 g（ x） 0， 即函數(shù) f（ x）和函數(shù) g（ x）不能同時(shí)取非負(fù)值 由 f（ x） 0，求得 x 1， 即當(dāng) x 1 時(shí)， g（ x） 0 恒成立， 故 ，解得： a 2； 根據(jù) x （ 1， 1），使 f（ x） g（ x） 0 成立， g（ 1） =a（ 1 a+3） 0， 解得： 0 a 4， 綜上 可得： a （ 2， 4）， 故答案為：（ 2， 4） 14若 數(shù)列 2n中不超過(guò) m N*）的項(xiàng)數(shù)， 2b2=b1+ 0，則正整數(shù) A 的值為 64 或 65 【考點(diǎn)】 數(shù)列遞推式 【分析】 由題意可得： ， f（ 1） =A， f（ 2） =8A， f（ 5） =125A，設(shè) b1=t，即數(shù)列 ，不超過(guò) A 的項(xiàng)恰有 t 項(xiàng)，則 2t A 2t+1，同理： 2t+d 8A 2t+d+1， 2t+2d 125A 2t+2d+1，可得 d 4， d 為正整數(shù)，得出 d=1， 2， 3，分類討論后求得滿足條件的正整數(shù) A 的值 【解答】 解：依題意： ， f（ 1） =A， f（ 2） =8A， f（ 5） =125A， 設(shè) b1=t，即數(shù)列 ，不超過(guò) A 的項(xiàng)恰有 t 項(xiàng)， 2t A 2t+1， 同理： 2t+d 8A 2t+d+1， 2t+2d 125A 2t+2d+1， 可得： 2t A 2t+1， 2t+d 3 A 2t+d 2， ， 故 A ， 由以下關(guān)系： 2t+d 3 2t+1， ，得 d 4， d 為正整數(shù)， d=1， 2， 3 當(dāng) d=1 時(shí)， =2t， 第 12 頁(yè)（共 25 頁(yè)） = 2t，不合題意，舍去； 當(dāng) d=2 時(shí)， =2t， = 2t，不合題意，舍去； 當(dāng) d=3 時(shí)， =2t， = 2t，適合題意 此時(shí) 2t A ， b1=t， b2=t+3， b5=t+6， t+3 t+6 0， 4 t 7， t 為整數(shù)， t=4， t=5， t=6 或 t=7 f（ 3） =27A， 0， 210 27A 211， A 當(dāng) t=4 時(shí)， 24 A ， 無(wú)解 當(dāng) t=5 時(shí)， 25 A ， 無(wú)解 當(dāng) t=6 時(shí)， 26 A ， 64 A 當(dāng) t=7 時(shí)， 27 A ， 無(wú)解 則 26 A A N*， A=64 或 A=65 綜上： A=64 或 65 故答案為： 64 或 65 二、解答題：本大題共 6 小題，計(jì) 90 分解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi) 15已知角 終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 與單位圓交于點(diǎn) ，且 （ 1）求 的值， （ 2）求 的值 【考點(diǎn)】 三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值；任意角的三角函數(shù)的定義 第 13 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 【分析】 （ 1）利用已知條件求出 ）與 ），然后利用二倍角公式以及兩角和的正弦函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可 （ 2）求出正切函數(shù)的二倍角的值，利用兩角和的正切函數(shù)化簡(jiǎn)求解即可 【解答】 解：（ 1）角 終邊逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 與單位圓交于點(diǎn) ， 可得 ） = ， ） = ， 2 ） =2） ） = = ， 2 ） =2 = =2 ） =2 ） 2 ）= = （ 2） ， 2+2） = = = 2 ） = ， 2 ） = 2 ） = 2+2） = ） +（ 2 ） = = ， 解得 = 16在四棱錐 P ，平面四邊形 二面角 B （ 1）若四邊形 菱形，求證： 平面 （ 2）若四邊形 梯形，且平面 面 l，問(wèn)：直線 l 能否與平面 行？請(qǐng)說(shuō)明理由 第 14 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 【考點(diǎn)】 直線與平面平行的判定；直線與平面垂直的判定 【分析】 （ 1）由已知得 而 四邊形 菱形，得 此能證明 平面 （ 2）由四邊形 梯形，且平面 面 l，得 交點(diǎn) P，從而直線 l平面 ，由此得到直線 l 不能與平面 行 【解答】 證明：（ 1） 在四棱錐 P ，平面四邊形 二面角 B D 一個(gè)平面角， 又 D=A， 平面 四邊形 菱形， A=A， 平面 解：（ 2）直線 l 不能與平面 行 理由如下： 四邊形 梯形，且平面 面 l， 交點(diǎn) P， P l， 直線 l平面 ， 直線 l 不能與平面 行 17在平面直角坐標(biāo)系 ，已知 P 點(diǎn)到兩定點(diǎn) D（ 2， 0）， E（ 2， 0）連線斜率之積為 （ 1）求證：動(dòng)點(diǎn) P 恒在一個(gè)定橢圓 C 上運(yùn)動(dòng)； 第 15 頁(yè)（共 25 頁(yè)） （ 2）過(guò) 的直線交橢圓 C 于 A， B 兩點(diǎn)，過(guò) O 的直線交橢圓 C 于 M， N 兩點(diǎn)，若直線 直線 率之和為零，求證：直線 直線 率之和為定值 【考點(diǎn)】 橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì) 【分析】 （ 1）設(shè) P（ x， y），由題意可得 ，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)即可得到所求軌跡方程； （ 2）設(shè)過(guò) F 的直線為 x=，代入橢圓方程 ，設(shè) A（ B（ 運(yùn)用韋達(dá)定理， 點(diǎn)滿足直線方程，再由過(guò) O 的直線 x= 橢圓 C 于 M， N 兩點(diǎn)，求得M， N 的坐標(biāo)，運(yùn)用直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，即可得到直線 直線 率之和為定值 0 【解答】 解：（ 1）設(shè) P（ x， y），由題意可得 ， 即有 = ， 化為 + =1； （ 2）設(shè)過(guò) F 的直線為 x=， 代入橢圓方程 ， 可得（ 2+ 2=0， 設(shè) A（ B（ 即有 y1+ ， ， x1=， x2=， 由題意可得，過(guò) O 的直線 x= 橢圓 C 于 M， N 兩點(diǎn)， 解得 M（ ， ）， N（ ， ）， 可得 + ， 通分后的分子 =y1+ =2（ y1+ （ + （ + = + （ + （ + =0 即有直線 直 線 率之和為定值 0 第 16 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 18將一個(gè)半徑為 3 分米，圓心角為 （ （ 0， 2）的扇形鐵皮焊接成一個(gè)容積為 V 立方分米的圓錐形無(wú)蓋容器（忽略損耗） （ 1）求 V 關(guān)于 的函數(shù)關(guān)系式； （ 2）當(dāng) 為何值時(shí)， V 取得最大值； （ 3）容積最大的圓錐形容器能否完全蓋住桌面上一個(gè)半徑為 米的球？請(qǐng)說(shuō)明理由 【考點(diǎn)】 旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺(tái)）；基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用 【分析】 （ 1）根據(jù)面積得出圓錐的底面半徑，利用勾股定理求出圓錐的高，代入體積公式即可； （ 2）利用基本不等式得出體積的最值及取得最值得條件 ； （ 3）求出圓錐內(nèi)切球的半徑，與 較大小 【解答】 解：（ 1）由題意知圓錐的母線 l=3，設(shè)圓錐的底面半徑為 r，則 2r=3， r= ， 圓錐的高 h= = = V= = （ 2） V= = =2 當(dāng)且僅當(dāng) 42 2= 即 = 時(shí)，取等號(hào) 當(dāng) = 時(shí)，體積 V 取得最大值 （ 3）當(dāng)圓錐體積最大時(shí)，圓錐的底面半徑 r= 設(shè)圓錐軸截面 內(nèi)切圓 O 半徑為 R，如圖所示， 則 ， E= ， ， ， 由 ， ，解得 R=3 容積最大的圓錐形容器能完全蓋住桌面上一個(gè)半徑為 米的球 第 17 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 19設(shè)首項(xiàng)為 1 的正項(xiàng)數(shù)列 前 n 項(xiàng)和為 3 （ 1）求證：數(shù)列 等比數(shù)列； （ 2）數(shù)列 否存在一項(xiàng) 得 好可以表示為該數(shù)列中 連續(xù) r（ r N*， r 2）項(xiàng)的和？請(qǐng)說(shuō)明理由； （ 3）設(shè) ，試問(wèn)是否存在正整數(shù) p， q（ 1 p q）使 等差數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的數(shù)組（ p， q）；若不存在，說(shuō)明理由 【考點(diǎn)】 數(shù)列的求和；等比關(guān)系的確定 【分析】 （ 1）通過(guò) 3 與 31=1 作差可知 =3n 2），進(jìn)而可知數(shù)列 首項(xiàng)為 1、公比為 3 的等比數(shù)列； （ 2）通過(guò)（ 1）可知 n 1、 （ 3n 1），假設(shè)存在滿足題意的項(xiàng) 3k 1=Sr+t 而化簡(jiǎn)可知不存在 r 滿足 3r x =2，進(jìn)而可得結(jié)論； （ 3）通過(guò)（ 1）可知 ，假設(shè)存在正整數(shù) p， q（ 1 p q）使 等差數(shù)列，通過(guò)化簡(jiǎn)可知 q=3q p（ 2p 3p 1），利用當(dāng) p 3 時(shí) 2p 3p 1 0 可知當(dāng) p 3 時(shí)不滿足題意，進(jìn)而驗(yàn)證當(dāng) p=2 時(shí)是否滿足題意即可 【解答】 （ 1）證明： 3， 當(dāng) n 2 時(shí)， 31=1， 兩式相減得： =3 又 3， ， 2 =3 滿足上式， 數(shù)列 首項(xiàng)為 1、公比為 3 的等比數(shù)列； （ 2）解：結(jié)論：不存在滿足題意的項(xiàng) 理由如下： 由（ 1）可知 n 1， = （ 3n 1）， 假設(shè)數(shù)列 存在一項(xiàng) 得 好可以表示為該數(shù)列中連續(xù) r（ r N*， r 2）項(xiàng)的和， 則 3k 1=Sr+t （ 3r+t 1） （ 3t 1） = （ 3r+t 3t） = 3t（ 3r 1）， 于是 （ 3r 1） =3x（其中 x 為大于 1 的自然數(shù)）， 整理得： 3r x =2， 顯然 r 無(wú)解，故假設(shè)不成立， 于是不存在滿足題意的項(xiàng) （ 3）解：結(jié)論：存在唯一的數(shù)組（ p， q） =（ 2， 3）滿足題意； 理由如下： 由（ 1）可知 ， 假設(shè)存在正整數(shù) p， q（ 1 p q）使 等差數(shù)列， 第 18 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 則 2bp=b1+ 2 = + ， 整理得： 2p3q p=3q 1+q， q=2p3q p 3q 1=3q p（ 2p 3p 1）， 當(dāng) p 3 時(shí) 2p 3p 1 0， 當(dāng) p 3 時(shí)不滿足題意， 當(dāng) p=2 時(shí)， 2 = + 即為： = + ， 整理得： = ，解得： q=3， 綜上所述，存在唯一的數(shù)組（ p， q） =（ 2， 3）滿足題意 20（ 1）若 成立，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍； （ 2）證明： a 0， R，使得當(dāng) x ， 成立 【考點(diǎn)】 函數(shù)恒成立問(wèn)題 【分析】 （ 1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)區(qū)間的關(guān)系確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間， （ 2）先求出當(dāng)直線和 y=切時(shí) a 的取值，然 后進(jìn)行討論求解即可 【解答】 解：（ 1）若 成立， 則 a ，在 x 0 時(shí)恒成立， 設(shè) h（ x） = ， 則 h（ x） = = ， 由 h（ x） 0 得 1 0，即 1，得 0 x e， 由 h（ x） 0 得 1 0，即 1，得 x e， 即當(dāng) x=e 時(shí)，函數(shù) h（ x）取得極大值 同時(shí)也是最大值 h（ e） = = 即 a （ 2）設(shè) f（ x） =g（ x） = x 0）， 則 f（ x） = ，當(dāng) g（ x）與 f（ x）相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為（ m， 則切線斜率 k= ， 則過(guò)原點(diǎn)且與 f（ x）相切的切線方程為 y （ x m） = x 1， 即 y= x 1+ g（ x） = 第 19 頁(yè)（共 25 頁(yè)） ，得 m=e， a= 即當(dāng) a 時(shí)， 成立 當(dāng) a= 時(shí)，當(dāng) 時(shí)， 要使 成立得當(dāng) x ， 成立 當(dāng) 0 a 時(shí)， f（ x）與 g（ x）有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，不妨設(shè)較大的根為 ， 當(dāng) x ， 成立 a 0， R，使得當(dāng) x ， 成立 三 附加題部分【理科】 選做題 （本題包括 A、 B、 C、 D 四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答若多做，則按作答的前兩題評(píng)分解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟） A選修 4何證明選講 （本小題滿分 10 分） 21如圖， 圓 O 的直徑， D 為圓 O 上一點(diǎn)，過(guò) D 作圓 O 的切線交 延長(zhǎng)線于點(diǎn)C，若 C，求證： O 【考點(diǎn)】 與圓有關(guān)的比例線段 【分析】 連結(jié) 出 到 O，從而證出結(jié)論 【解答】 證明：如圖示： ， 連結(jié) 第 20 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 圓 O 的直徑， 0， O 的切線， 0， C， B= C， O， 即 2A+ O B選修 4陣與變換 （本小題滿分 10 分） 22已知矩陣 A= ， B= ，求矩陣 A 1B 【考點(diǎn)】 幾種特殊的矩陣變換 【分析】 設(shè)矩陣 A 1= ，通過(guò) 1 為單位矩陣可得 A 1，進(jìn)而可得結(jié)論 【解答】 解：設(shè)矩陣 A 的逆矩陣為 ， 則 = ，即 = ， 故 a= 1， b=0， c=0， d= ， 從而 A 1= ， A 1B= = C選修 4標(biāo)系與參數(shù)方程 （本小題滿分 0 分） 23在極坐標(biāo)系中，設(shè)直線 l 過(guò)點(diǎn) ，且直線 l 與曲線 C： =a 0）有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的值 【考點(diǎn)】 簡(jiǎn)單曲線的極坐標(biāo)方程 【分析】 求出點(diǎn) A， B 的直角坐標(biāo)，利用點(diǎn)斜式方程得出直線 l 的直角坐標(biāo)方程，再求出曲線 C 的普通方程，求出圓心和半徑，利用 d=r 構(gòu)建出 a 的方程，解出 a 的值 【解答】 解：由直線 l 過(guò)點(diǎn) ， 可得 A， B 的直角坐標(biāo)為 A（ ， ）， B（ 0， 3）， 第 21 頁(yè)（共 25 頁(yè)） 直線 斜率 k= = ， 即有直線 l 的方程為： y 3= x，即 y= x+3， 由曲線 C： =a 0）， 可得曲線 C 的普通方程為 x2+， 即有圓心 C（ 0， ）， r= = ， 直線 l 與曲線 C： =a 0）有且只有一個(gè)公共點(diǎn) 即直線和圓相切，可得 ， 解得 a=2 或 6， 由 a 0，可得 a=2 D選修 4等式選講 （本小題滿分 0 分） 24求函數(shù) 的最大值 【考點(diǎn)】 函數(shù)的最值及其幾何意義 【分析】 根據(jù)條件利用平方關(guān)系結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可 【解答】 解：由 得 ，即 5 x 7， 由 平方得 y2=x 5+7 x+2 =2+2 ， 5 x 7， 當(dāng) x=6 時(shí)，函數(shù) +2 取得最大值為 +2=4， 當(dāng) x=5 或 7 時(shí)，函數(shù) +2 取得最小值為 ， 即 2 4，則 y 2， 即函數(shù)的最大值為 2 四 .必做題 （第 25 題、第 26 題，每