第二章矩陣,第一節(jié)矩陣的定義,第二節(jié)矩陣的運(yùn)算,第三節(jié)矩陣的逆,第四節(jié)矩陣的分塊,第五節(jié)矩陣的初等變換與初等矩陣,第六節(jié)用初等變換求逆矩陣,第七節(jié)矩陣的秩,1矩陣的定義,記為,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),如果矩陣A的元素aij全為實(shí)(復(fù))數(shù),就稱A為實(shí)(復(fù))數(shù)矩陣。,只有一行的矩陣A=(a1a2.an)叫做行矩陣,行矩陣也記作A=(a1,a2,.,an)。,兩個(gè)矩陣的行數(shù)相等,列數(shù)也相等,就稱它們是同型矩陣。,元素都是零的矩陣稱為零矩陣,記作O。,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,1.三角矩陣,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,如果n階方陣中元素滿足條件即A的主對(duì)角線以下的元素全為零，則稱A為n階上三角矩陣.即,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,如果n階方陣中元素滿足條件即的主對(duì)角以上的元素全為零，則稱為n階下三角矩陣.即,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,2.對(duì)角矩陣,如果n階方陣中元素滿足條件即的主對(duì)角線以外的元素全為零，則稱為n階對(duì)角矩陣.即,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,3.數(shù)量矩陣,如果n階對(duì)角矩陣中元素滿足則稱為數(shù)量矩陣.即,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,4.單位矩陣,如果n階對(duì)角矩陣中元素滿足則稱為n階單位矩陣，記為.即,2矩陣的運(yùn)算,一、矩陣的加法,定義2設(shè)有兩個(gè)mn矩陣A=(aij),B=(bij),那么A與B的和記為A+B,規(guī)定為,注意:只有當(dāng)兩個(gè)矩陣同型時(shí),才能進(jìn)行加法運(yùn)算。,加法滿足運(yùn)算規(guī)律:,(1)A+B=B+A;(交換律)(2)(A+B)+C=A+(B+C).(結(jié)合律),下一頁(yè),上一頁(yè),返回,二、數(shù)與矩陣相乘,定義3數(shù)與矩陣A的乘積記做A,規(guī)定為,數(shù)乘矩陣滿足運(yùn)算規(guī)律:,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,設(shè)矩陣A=(aij),記-A=(-1)A=(-1aij)=(-aij),-A稱為A的負(fù)矩陣,顯然有A+(-A)=O.其中O為各元素均為0的同型矩陣,由此規(guī)定A-B=A+(-B).,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,三、矩陣與矩陣相乘,行矩陣與列矩陣相乘,注意：只有當(dāng)?shù)谝痪仃嚕ㄗ缶仃嚕┑牧袛?shù)與第二矩陣（右矩陣）的行數(shù)相等時(shí)，兩個(gè)矩陣才能相乘。,下一頁(yè),返回,上一頁(yè),解：,注：表明矩陣乘法不滿足交換律。AB0推不出A0或B0ACBC且C不為0,推不出A=B(不滿足消去律),下一頁(yè),上一頁(yè),返回,矩陣的乘法滿足運(yùn)算律：,對(duì)于單位矩陣，有,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,解,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,例8已知矩陣求,四、矩陣的轉(zhuǎn)置,定義5把矩陣A的行換成同序數(shù)的列,得到的新矩陣稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣,記作A。,滿足運(yùn)算律：,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,有,所以,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,設(shè)A為n階方陣,若A=A,即aij=aji(i,j=1,2,n),那么,A稱為對(duì)稱矩陣;若A=-A,即aij=-aji(i,j=1,2,n),那么,A稱為反對(duì)稱矩陣。,對(duì)稱矩陣的特點(diǎn)是:它的元素以主對(duì)角線為對(duì)稱軸對(duì)應(yīng)相等。,反對(duì)稱矩陣的特點(diǎn)是:以主對(duì)角線為對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)元素絕對(duì)值相等,符號(hào)相反,且主對(duì)角線上各元素均為0。,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,例9設(shè),那么,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,五、方陣的行列式,定義6由n階方陣A的元素構(gòu)成的行列式(各元素位置不變),稱為方陣A的行列式,記作|A|或detA。,設(shè)A,B為n階方陣,為實(shí)數(shù),則有下列等式成立,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,例11,3矩陣的逆,定義7對(duì)于n階方陣A,如果有一個(gè)n階方陣B,滿足AB=BA=E,則稱方陣A可逆,且把方陣B稱為A的逆矩陣,記作B=A-1。,如果A是可逆的,則A的逆矩陣唯一。,設(shè)B,C都是A的逆矩陣,則一定有B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,說(shuō)明A是可逆的。,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,定理1設(shè)A是n階方陣,則A可逆的充分必要條件是,證先證必要性。由于A是可逆的，則有,下證充分性.設(shè)由伴隨矩陣,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,推論對(duì)于n階方陣，若存在n階方陣，使則一定可逆，且,A11=3,A12=-3,A13=1,A21=-6,A22=10,A23=-4,A31=2,A32=-4,A33=2,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,例13,解若均存在，則用左乘上式，右乘上式，有,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,由于，故存在，且,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,其中,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,4矩陣的分塊,定義將矩陣A用若干條縱線和橫線分成許多個(gè)小矩陣,每個(gè)小矩陣稱為A的子塊,以子塊為元素的矩陣稱為分塊矩陣。,列舉三種分塊形式：,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,分塊矩陣的運(yùn)算法則:,(1)矩陣A與B為同型矩陣,采用同樣的分塊法,有,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,(2)A為ml矩陣,B為ln矩陣,將A,B分成,其中Ai1,Ai2,Ait的列數(shù)分別等于B1j,B2j,Bij的行數(shù),則有,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,解A,B分塊成,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,(3)設(shè),則,(4)設(shè)方陣A的分塊矩陣為,除主對(duì)角線上的子塊不為零子塊外,其余子塊都為零矩陣,且Ai(i=1,2,m)為方陣,則A稱為分塊對(duì)角矩陣(或準(zhǔn)對(duì)角矩陣).,i)準(zhǔn)對(duì)角矩陣的行列式為,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,ii)若有與A同階的準(zhǔn)對(duì)角矩陣,其中Ai與Bi(i=1,2,m)亦為同階矩陣,則有,iii)若A可逆,則有,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,解,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,下一頁(yè),上一頁(yè),返回,矩陣的初等行變換都是可逆的,且其逆變換也是同類的初等行變換。,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),5矩陣的初等變換與初等矩陣,定義11如果矩陣A經(jīng)有限次初等變換化成B，就稱矩陣A與B等價(jià)。,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),矩陣的等價(jià)關(guān)系具有下列性質(zhì)：,(1)反身性：A與A等價(jià)。,(2)對(duì)稱性：如果A與B等價(jià)，那么B與A等價(jià)。,(3)傳遞性：如果A與B等價(jià)，B與C等價(jià)，那么A與C等價(jià)。,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),例19已知，對(duì)其做如下初等行變換：,我們稱矩陣B為一個(gè)行階梯形矩陣，它具有下列特征：,（1）元素全為零的行（簡(jiǎn)稱為零行）位于非零行的下方；,（2）各非零行的首非零元（即從左至右的第一個(gè)不為零的元素）的列標(biāo)隨著行的增大而嚴(yán)格增大（即首非零元的列標(biāo)一定不小于行標(biāo)）.,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),對(duì)矩陣B再作初等行變換：,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),我們稱矩陣C為行最簡(jiǎn)形矩陣，它具有下列特征：,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),（1）是行階梯形矩陣（2）各非零行的首非零元都是1；（3）每個(gè)首非零元所在列的其余元素都是零.,定理2任何一個(gè)矩陣A總可以經(jīng)過(guò)有限次初等行變換化為行階梯形矩陣，并進(jìn)一步化為行最簡(jiǎn)形矩陣。,定理3任何一個(gè)矩陣都有等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形，矩陣A與B等價(jià)，當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的等價(jià)標(biāo)準(zhǔn)形.,定義12由單位矩陣E經(jīng)過(guò)一次初等變換得到的矩陣稱為初等矩陣。,初等矩陣都是方陣，交換E的第i行與第j行（或者交換E的第i列與第j列）的位置，得,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),用常數(shù)k乘E的第i行（或i列），得,把E的第j行的k倍加到第i行（或第i列的k倍加到第j列）得,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),這三類矩陣就是全部的初等矩陣，有,E(i,j)-1E(i,j)E(i(k)-1=E(i(1/k),E(i+j(k)-1=E(i+j(-k),定理4對(duì)一個(gè)mn矩陣A作一初等行變換就相當(dāng)于在A的左邊乘上相應(yīng)的mm初等矩陣；對(duì)A作一初等列變換就相當(dāng)于在A的右邊乘上相應(yīng)的nn初等矩陣。,detE(i,j)-1detE(i(k)=idetE(i+j(k)=1,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),推論1矩陣A與B等價(jià)的充分必要條件是有初等方陣P1，P2，Ps，Q1，Qt使AP1P2PsBQ1Qt,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),定理5設(shè)A是n階方陣，則下面的命題的等價(jià)的：,（4）A可經(jīng)過(guò)一系列初等行（列）變換化為E.,6用初等變換求逆矩陣,（1）A是可逆的；,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),（2）是n階單位矩陣；,（3）存在n階初等矩陣，使,設(shè)A為可逆矩陣，由推論必存在有限個(gè)初等方陣P1,P2Pm，使得P1P2PmAE（）,所以P1P2PmEA-1（2）,（）表明E經(jīng)過(guò)同樣有限次初等行變換變成A,（）表明A經(jīng)過(guò)有限次初等行變換變成E,故可用初等行變換求逆陣：,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),解對(duì)(AE)作初等行變換,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),補(bǔ)充：也可用初等列變換求逆陣：,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),返回,上一頁(yè),下一頁(yè),7矩陣的秩,定義13在一個(gè)矩陣A中任意選定k行和k列，位于這些選定的行和列的交叉位置的個(gè)元素按原來(lái)的次序所組成的k階行列式，稱為A的一個(gè)k階子式.,定義14設(shè)A為矩陣，如果至少存在A的一個(gè)r階子式不為0，而A的所有階子式（如果存在的話）都為零，則稱數(shù)r為矩陣A的秩，記為.并規(guī)定零矩陣的秩等于0.,返回,上一頁(yè),下一頁(yè),例22求矩陣的秩.,解在A中，存在一個(gè)2階子式