第 1 頁（ 共 20 頁） 2016 年天津市河北區(qū)高考數(shù)學一模試卷（文科） 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4，集合 A=1， 2， 3， B=2， 4，則（ B=（ ） A 2 B 2， 4 C 0， 4 D 4 2 i 是虛數(shù)單位，復數(shù) =（ ） A 1+2i B 1 2i C 1+2i D 1 2i 3執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出 S 的值為（ ） A 2016 B 2 C D 1 4若 a=（ ） ， b= 2， c=，則 a， b， c 三者的大小關(guān)系是（ ） A b c a B c a b C a b c D a c b 5設(shè) x， y R，則 “x 1 且 y 2”是 “x+y 3”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 6已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： x+2y+5=0，雙曲線的一個焦點在直線 l 上，則雙曲線的方程為（ ） A =1 B =1 C =1 D =1 7已知函數(shù) f（ x） =圖象關(guān)于直線 x=a 對稱，則最小正實數(shù) a 的值為（ ） A B C D 第 2 頁（ 共 20 頁） 8已知函數(shù) f（ x） = ，若關(guān)于 x 的方程 x） x） +c=0（ b， cR）有 8 個不同的實數(shù)根，則 b+c 的取值范圍為（ ） A（ ， 3） B（ 0， 3 C 0， 3 D（ 0， 3） 二、填空題：本大 題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 9一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 _ 10如圖，已知切線 圓于點 A，割線 別交圓于點 B， C，點 D 在線段 ，且 ， ，則線段 長為 _ 11已知正數(shù) x， y 滿足 x+y= x+y 的 最小值是 _ 12在區(qū)間 4， 4上隨機地取一個實數(shù) x，則事件 “2x 3 0”發(fā)生的概率是 _ 13函數(shù) f（ x） =點（ 1， f（ 1）處的切線方程為 _ 14已知三角形 ， C， ， 0， =3 ，若 P 是 上的動點，則 的取值范圍是 _ 三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 15在銳角 ，角 A， B， C 的對邊分別是 a， b， c，若 a= ， b=3， （ ）求角 A 的大??； （ ）求 2B+ ）的 值 16某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品，已知生產(chǎn) 1 桶甲產(chǎn)品需耗 A 原料 3 千克， B 原料 1千克，生產(chǎn) 1 桶乙產(chǎn)品需耗 A 原料 1 千克， B 原料 3 千克每生產(chǎn)一桶甲產(chǎn)品的利潤為 400元，每生產(chǎn)一桶乙產(chǎn)品的利潤為 300 元，公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中， 每天消耗 A、 B 原料都不超過 12 千克設(shè)公司計劃每天生產(chǎn) x 桶甲產(chǎn)品和 y 桶乙產(chǎn)品 （ ）用 x， y 列出滿足條件的數(shù)學關(guān)系式，并在下面的坐標系中用陰影表示相應的平面區(qū)域； （ ）該公司每天需生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少桶時才使所得利潤最大，最大利潤是多少？ 第 3 頁（ 共 20 頁） 17如圖，在四棱錐 P ， D= （ ）若 M 是棱 一點，且 證： 平面 （ ） 若平面 平面 面 平面 證： 平面 （ ）在（ ）的條件下，求 平面 成角的正切值 18已知數(shù)列 等差數(shù)列， 前 n 項和，且 8， 2；數(shù)列 任意 n N*，總有 b1b2b31n+1 成立 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）記 ，求數(shù)列 前 n 項和 19已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的短軸長為 2，離心率 e= （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）若直線 l： y=kx+m 與橢圓交于不同的 兩點 A， B，與圓 x2+相切于點 M （ i）證明： O 為坐標原點）； （ = ，求實數(shù) 的取值范圍 20已知函數(shù) f（ x） =中 a R 且 a 0 （ ）當 a=1 時，求函數(shù) f（ x）的極值； 第 4 頁（ 共 20 頁） （ ）求函數(shù) g（ x） = 單調(diào)區(qū)間； （ ）若存在 a （ ， 1，使函數(shù) h（ x） =f（ x） +f（ x）， x 1， b（ b 1）在x= 1 處取得最小值，試求 b 的最大值 第 5 頁（ 共 20 頁） 2016 年天津市河北區(qū)高考數(shù)學一模試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題：在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1已知全集 U=0， 1， 2， 3， 4，集合 A=1， 2， 3， B=2， 4，則（ B=（ ） A 2 B 2， 4 C 0， 4 D 4 【考點】 交、并、補集的混合運算 【分析】 根據(jù)集合的基本運算進行求解即可 【解答】 解： U=0， 1， 2， 3， 4，集合 A=1， 2， 3， B=2， 4， 0， 4， 則（ B=4， 故選： D 2 i 是虛數(shù)單位，復數(shù) =（ ） A 1+2i B 1 2i C 1+2i D 1 2i 【考點】 復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算 【分析】 利用復數(shù)的運算法則即可得出 【解答】 解：復數(shù) = = = 1+2i 故選： C 3執(zhí)行如圖的程序框圖，則輸出 S 的值為（ ） A 2016 B 2 C D 1 【考點】 程序框圖 【分析】 模擬執(zhí)行程序框圖，依次寫出前幾次循環(huán)得到的 s， k 的值，觀察規(guī)律可知， s 的取值以 3 為周期，由 k 等于 2015=3*671+2 時，滿足條件 k 2016， s=2， k=2016 時不滿足條件 k 2016，退出循環(huán)，輸出 s 的值為 2 【解答】 解：模擬執(zhí)行程序框圖，可得 s=2， k=0 滿足條件 k 2016， s= 1， k=1 第 6 頁（ 共 20 頁） 滿足條件 k 2016， s= ， k=2 滿足條件 k 2016， s=2 k=3 滿足條件 k 2016， s= 1， k=4 滿足條件 k 2016， s= ， k=5 觀察規(guī)律可知， s 的取值以 3 為周期，由 2015=3*671+2，有 滿足條件 k 2016， s=2， k=2016 不滿足條件 k 2016，退出循環(huán)，輸出 s 的值為 2 故選： B 4若 a=（ ） ， b= 2， c=，則 a， b， c 三者的大小關(guān)系是（ ） A b c a B c a b C a b c D a c b 【考點】 對數(shù)值大小的比較 【分析】 利用指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將 a 與 1 進行比較，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將 b、c 與 1 進行比較即可 【解答】 解： a=（ ） ， b= 2= c= 0 a 1， 1 b 0， c 1， a b c 故選： C 5設(shè) x， y R，則 “x 1 且 y 2”是 “x+y 3”的（ ） A充分而不必要條件 B必要而不充分條件 C充要條件 D既不充分也不必要條件 【考點】 必要條件、充分條件與 充要條件的判斷 【分析】 根據(jù)不等式的可加性，可由前推后；但反之不成立，可舉 x=0， y=4，當然滿足 x+y 3，顯然不滿足 x 1 且 y 2，由充要條件的定義可得答案 【解答】 解：當 x 1 且 y 2 時，由不等式的可加性可得 x+y 1+2=3， 而當 x+y 3 時，不能推出 x 1 且 y 2， 比如去 x=0， y=4，當然滿足 x+y 3，顯然不滿足 x 1 且 y 2， 由充要條件的定義可得 “x 1 且 y 2”是 “x+y 3”的充分而不必要條件， 故選 A 6已知雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： x+2y+5=0，雙曲線的一個焦點在直線 l 上，則雙曲線的方程為（ ） A =1 B =1 第 7 頁（ 共 20 頁） C =1 D =1 【考點】 雙曲線的標準方程 【分析】 由已知得 ，由此能求出雙曲線方程 【解答】 解： 雙曲線 =1（ a 0， b 0）的一條漸近線平行于直線 l： x+2y+5=0， 雙曲線的一個焦點在直線 l 上， ， 解得 a=2 ， b= ， 雙曲線方程為 =1 故選： A 7已知函數(shù) f（ x） =圖象關(guān)于直線 x=a 對稱，則最小正實數(shù) a 的值為（ ） A B C D 【考點】 兩角和與差的正弦函數(shù) 【分析】 利用三角恒等變換可得 f（ x） =2x+ ），利用正弦函數(shù)的對稱性即可求得答案 【解答】 解： f（ x） =（ =2x+ ）， 其對稱軸方程由 x+ =， k Z 得： x=， k Z又函數(shù) f（ x） =圖象關(guān)于直線 x=a 對稱， a=， k Z 當 k=0 時，最小正實數(shù) a 的值為 故選： A 第 8 頁（ 共 20 頁） 8已知函數(shù) f（ x） = ，若關(guān)于 x 的方程 x） x） +c=0（ b， cR）有 8 個不同的實數(shù)根，則 b+c 的取值范圍為（ ） A（ ， 3） B（ 0， 3 C 0， 3 D（ 0， 3） 【考點】 分 段函數(shù)的應用 【分析】 題中原方程 x） x） +c=0 有 8 個不同實數(shù)解，即要求對應于 f（ x） =某個常數(shù) K，有 2 個不同的 K，再根據(jù)函數(shù)對應法則，每一個常數(shù)可以找到 4 個 x 與之對應，就出現(xiàn)了 8 個不同實數(shù)解，故先根據(jù)題意作出 f（ x）的簡圖，由圖可知，只有滿足條件的 0， 1）時符合題意再根據(jù)一元二次方程根的分布理論可以得出答案 【解答】 解：根據(jù)題意作出 f（ x）的簡圖： 由圖象可得當 f（ x） （ 0， 1時，有四個不同的 x 與 f（ x）對應再 結(jié)合題中 “方程 x） x） +c=0 有 8 個不同實數(shù)解 ”， 可以分解為形如關(guān)于 k 的方程 bk+c=0 有兩個不同的實數(shù)根 為大于 0 且小于等于 1 的實數(shù) 列式如下： ，化簡得 ， 此不等式組表示的區(qū)域如圖： 令 z=b+c，則 z=b+c 在（ 2， 1）處 z=3，在（ 0， 0）處 z=0， 所以 b+c 的取值范圍為（ 0， 3）， 故選： D 第 9 頁（ 共 20 頁） 二、填空題：本大題共 6 小題，每小題 5 分，共 30 分 9一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為 16+ 【考點】 由三視圖求面積、體積 【分析】 由三視圖可知：該幾何體為上下兩部分組成，上面是一個圓柱，下面是一個長方體利用體積計算公式即可得出 【解答】 解：由三視圖可知：該幾何體為上下兩部分組成，上面是一個圓柱，下面是一個長方體 該幾何體的體積 = 12 1+2 2 4=16+ 故答案為： 16+ 10如圖，已知切線 圓于點 A，割線 別交圓于點 B， C，點 D 在線段 ，且 ， ，則線段 長為 2 【考點】 與圓有關(guān)的比例線段 【分析】 利用切割線定理求出 得 用 得 ， ，證明 可求出 【解答】 解：因為 切線 圓于點 A，割線 別交圓于點 B， C， ， ， 所以 40=4 所以 0， 所以 ， 因為 所以 ， ， 因為 所以 所以 ， 所以 故答案為： 2 11已 知正數(shù) x， y 滿足 x+y= x+y 的最小值是 4 【考點】 基本不等式 第 10 頁（ 共 20 頁） 【分析】 依題意由基本不等式得 x+y=，從而可求得 x+y 的最小值 【解答】 解： x 0， y 0， ，又 x+y= x+y ， （ x+y） 2 4（ x+y）， x+y 4 故答案為： 4 12在區(qū)間 4， 4上隨機地取一個實數(shù) x，則事件 “2x 3 0”發(fā)生的概率是 【考點】 幾何概型 【分析】 求出不等式的解，結(jié)合幾何概型的概率公式進行求解即可 【解答】 解：由 2x 3 0 得 1 x 3， 則在區(qū)間 4， 4上隨機地取一個實數(shù) x，則事件 “2x 3 0”發(fā)生的概率P= = ， 故答案為： 13 函數(shù) f（ x） =點（ 1， f（ 1）處的切線方程為 y= 【考點】 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程 【分析】 求出 f（ x）的導數(shù)，運用導數(shù)的幾何意義，可得切線的斜率和切點，由點斜式方程可得切線的方程 【解答】 解： f（ x） =導數(shù)為 f（ x） =（ x+1） 可得在點（ 1， f（ 1）處的切線斜率為 k=0， 切點為（ 1， ）， 即有在點（ 1， f（ 1）處的切線方程為 y= 故答案為： y= 14已知三角形 ， C， ， 0， =3 ，若 P 是 上的動點，則 的取值范圍是 2， 6 【考點】 平面向量數(shù)量積的運算 第 11 頁（ 共 20 頁） 【分析】 如圖所示，由 C， ， 0，可得 C=2 由 =3 ，可得 設(shè) P（ x， y），則 x+y=2 ， 則 = ，即可得出 【解答】 解：如圖所示， C， ， 0， C=2 ， =3 ， ， = 設(shè) P（ x， y），則 x+y=2 ， 則 = = = = 2， 6 故答案為： 2， 6 三、解答題：本大題共 6 小題，共 80 分解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟 15在銳角 ，角 A， B， C 的對邊分別是 a， b， c，若 a= ， b=3， （ ）求角 A 的大?。?（ ）求 2B+ ）的值 【考點】 正弦定理 【分析】 （ I）利用正弦定理得出 關(guān)系，代入條件式解出 據(jù) A 的范圍得出 A 的值； （ 據(jù) 算 利用倍角公式計算 后使用兩角和的正弦公式計算 【解答】 解：（ ）在銳角 ，由正弦定理得 ， ， 4 第 12 頁（ 共 20 頁） 又 0 ， A= （ ）由（ ）知 = 又 0 B ， = = ， = 2B+ ） = = 16某公司生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝產(chǎn)品，已知生產(chǎn) 1 桶甲產(chǎn)品需耗 A 原料 3 千克， B 原料 1千克，生產(chǎn) 1 桶乙產(chǎn)品需耗 A 原料 1 千克， B 原料 3 千克每生產(chǎn)一桶甲產(chǎn)品的利潤為 400元，每生產(chǎn)一桶乙產(chǎn)品的利潤為 300 元，公司在生產(chǎn)這兩種產(chǎn)品的計劃中， 每天消耗 A、 B 原料都不超過 12 千克設(shè)公司計劃每天生產(chǎn) x 桶甲產(chǎn)品和 y 桶乙產(chǎn)品 （ ）用 x， y 列出滿足條件的數(shù)學關(guān)系式，并在下面的坐標系中用陰影表示相應的平面區(qū)域； （ ）該公司每天需生產(chǎn)甲產(chǎn)品和乙產(chǎn)品各多少桶時才使所得利潤最大，最大利潤是多 少？ 【考點】 簡單線性規(guī)劃的應用 【分析】 （ ）根據(jù)題設(shè)中的條件可設(shè)每天生產(chǎn)甲種產(chǎn)品 x 桶，乙種產(chǎn)品 y 桶，根據(jù)題設(shè)條件得出線性約束條件； （ ）利用線性規(guī)劃的知識進行求解即可得到目標函數(shù)利潤的最大值 【解答】 解：（ ）設(shè)每天生產(chǎn)甲產(chǎn)品 x 桶，乙產(chǎn)品 y 桶， 則 x， y 滿足條件的數(shù)學關(guān)系式為 該二元一次不等式組表示的平面區(qū)域（可行域）如圖 第 13 頁（ 共 20 頁） （ ）設(shè)利潤總額為 z 元，則目標函數(shù)為： z=400x+300y 如圖，作直線 l： 400x+300y=0，即 4x+3y=0 當直線 y= x+ 經(jīng)過可行域上的點 A 時，截距 最大，即 z 最大 解方程組 得 ，即 A（ 3， 3）， 代入目標函數(shù)得 100 答：該公司每天需生產(chǎn)甲產(chǎn)品 3 桶，乙產(chǎn)品 3 桶才使所得利潤最大，最大利潤為 2100 元 17如圖，在四棱錐 P ， D= （ ）若 M 是棱 一點，且 證： 平面 （ ） 若平面 平面 面 平面 證： 平面 （ ）在（ ）的條件下，求 平面 成角的正切值 【考點】 直線與平面所成 的角；直線與平面平行的判定 【分析】 （ I）連結(jié) 點 N，連結(jié) 用 得 =2，于是 而 平面 （ 用面面垂直的性質(zhì)得出 而 平面 （ （ 2）可知 所求線面角，利用勾股定理得出 而計算出 【解答】 證明：（ ）連結(jié) 點 N，連結(jié) 14 頁（ 共 20 頁） =2 又 面 面 平面 （ ） 平面 平面 面 面 B， 面 平面 面 同理可證 又 面 面 D=A， 平面 （ ）解： 由（ ）知， 平面 平面 成的角 D=2， ， = ， 平面 成角的正切值為 18已知數(shù)列 等差數(shù)列， 前 n 項和，且 8， 2；數(shù)列 任意 n N*，總有 b1b2b31n+1 成立 （ ）求數(shù)列 通項公式； （ ）記 ，求數(shù)列 前 n 項和 【考點】 數(shù)列的求和 第 15 頁（ 共 20 頁） 【分析】 （ ）設(shè)出 首項和公差，由已知列方程組求得首項和公差，代入等差數(shù)列的通項公式求通項；再由 b1b2b31n+1，得 b1b2b31=3n 2（ n 2），兩式相除可得數(shù)列 通項公式； （ ）把 通項公式代入 ，化簡后利用錯位相減法求得數(shù)列 前n 項和 【解答】 解：（ ）設(shè) 首項為 差為 d，由 8， 2， 得 d=28， ， 解得 ， d=3， +3（ n 1） =3n 2； 又 b1b2b31n+1， b1b2b31=3n 2（ n 2）， 兩式 相除得 ， 當 n=1 時 適合上式， ； （ ）把 通項公式代入 ，得 ， 則 ， ， 兩式作差得： ， ， 即 19已知橢圓 C： + =1（ a b 0）的短軸長為 2，離心率 e= （ ）求橢圓 C 的方程； （ ）若直線 l： y=kx+m 與橢圓交于不同的兩點 A， B，與圓 x2+相切于點 M （ i）證明： O 為坐標原點）； （ = ，求實數(shù) 的取值范圍 第 16 頁（ 共 20 頁） 【考點】 橢圓的簡單性質(zhì) 【分析】 （ ）由已知得到 b=1，結(jié)合 e= ，即 a2=b2+得 ，則橢圓方程可求； （ ）（ i）由直線 l： y=kx+m 與圓 x2+相切，可得 ，即 聯(lián)立直線方程好橢圓方程，得到 A， B 橫坐標的和與積，代入可得 ，得到 （ 線 l： y=kx+m 與橢圓交于不同的兩點 A， B，把 A， B 的坐標代入橢圓方程，可得， 在圓中由垂徑定理可得= = 結(jié)合 ，得到 由 范圍求得 的取值范圍 【解答】 解：（ ） 2b=2， b=1 又 e= = ， a2=b2+ 橢圓 C 的方程為 ； （ ）（ i） 直線 l： y=kx+m 與圓 x2+相切， ，即 由 ，消去 y 并整理得，（ 1+22=0 設(shè) A（ B（ 則 = = 第 17 頁（ 共 20 頁） = ， （ 直線 l： y=kx+m 與橢圓交于不同的兩點 A， B， ， = = 由（ ）（ i）知 ， ，即 ， 的取值范圍是 20已知函數(shù) f（ x） =中 a R 且 a 0 （ ）當 a=1 時，求 函數(shù) f（ x）的極值； （ ）求函數(shù) g（ x） = 單調(diào)區(qū)間； （ ）若存在 a （ ， 1，使函數(shù) h（ x） =f（ x） +f（ x）， x 1， b（ b 1）在x= 1 處取得最小值，試求 b 的最大值 【考點】 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性 【分析】 （ ）求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可； （ ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論 a 的范圍，解關(guān)于導函數(shù)的不等式，