一階倒立擺系統(tǒng)模型分析、狀態(tài)反饋與觀測器設計,1.建立一級倒立擺數(shù)學模型,圖1.一級倒立擺模型注意：后面建立倒立擺數(shù)學模型過程中忽略了空氣阻力和彈性形變等。,首先對擺桿進行受力分析，如圖2所示。其中H表示擺桿受到的水平方向力，N表示擺桿所受的豎直方向的力，擺桿所受的旋轉(zhuǎn)摩擦力矩用表示，則得到擺桿平面運動微分方程。圖2.擺桿受力分析圖,（1）水平方向：擺桿質(zhì)心的水平位移擺桿受到的水平方向力（2）豎直方向擺桿質(zhì)心的豎直位移：擺桿受到的豎直方向力（3）繞質(zhì)心的轉(zhuǎn)動,根據(jù)以上方程可得消去H和N可得由則得,根據(jù)系統(tǒng)最終的控制方式，給系統(tǒng)施加的控制量是車體的加速度，因此選擇加速度為系統(tǒng)的輸入，從而可得倒立擺系統(tǒng)的運動學方程：根據(jù)以上系統(tǒng)方程可以看出倒立擺模型是非線性的。為了應用線性系統(tǒng)理論，可在倒立擺平衡位置附近對系統(tǒng)進行線性化，取，令并忽略高次項，可得如下方程：,可以用線性系統(tǒng)理論對倒立擺系統(tǒng)進行控制，選擇狀態(tài)變量x。則狀態(tài)空間表達式可表示為：,倒立擺系統(tǒng)參數(shù)如下,代入數(shù)據(jù)計算得狀態(tài)空間表達式：,2.倒立擺數(shù)學模型分析,（1）穩(wěn)定性分析根據(jù)特征方程的根來判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性，由計算得特征根為知系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。,（2）可控性分析由知系統(tǒng)是完全能控的，滿足特征值可任意配置的極點配置定理。,（3）可觀測性分析由可知系統(tǒng)完全能觀，滿足全維觀測器極點配置條件。,3.狀態(tài)反饋,對于系統(tǒng)的狀態(tài)方程狀態(tài)反饋的基本結(jié)構為：K為狀態(tài)反饋增益陣。,狀態(tài)反饋閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式為：狀態(tài)反饋實際上是通過狀態(tài)反饋增益陣K的選擇來改變閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，從而獲得系統(tǒng)所要求的性能。反之，可以根據(jù)系統(tǒng)所要求的性能來確定閉環(huán)系統(tǒng)的特征值，進而確定K的值（對應于極點配置的內(nèi)容）。,4.極點配置,假設系統(tǒng)要求超調(diào)量不超過10%，調(diào)整時間為2s，根據(jù)公式經(jīng)計算取，可得系統(tǒng)特征方程為主導極點為,對于倒立擺系統(tǒng)，選取其余n-2=2個期望的閉環(huán)極點（選取的閉環(huán)極點應遠離主導極點）。則取為因此得期望的閉環(huán)特征多項式為：,對于原被控系統(tǒng)，引入反饋后閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式為比較可求得,解得則反饋增益陣為狀態(tài)反饋通過調(diào)整K能任意配置閉環(huán)系統(tǒng)的極點，有效地改善系統(tǒng)的性能。同時，系統(tǒng)解耦、鎮(zhèn)定、漸近跟蹤以及最優(yōu)控制等都離不開狀態(tài)反饋。但狀態(tài)反饋的前提條件是必須得到系統(tǒng)內(nèi)部的各個狀態(tài)變量，而系統(tǒng)的狀態(tài)變量往往比較難獲取，甚至是無法測量，因此需要設計狀態(tài)觀測器來重構系統(tǒng)的狀態(tài)。,4.狀態(tài)觀測器設計,狀態(tài)觀測器的定義：設系統(tǒng)的狀態(tài)x不能直接檢測，構造一個動態(tài)系統(tǒng)，以的輸入u和輸出y為輸入量，能產(chǎn)生一組輸出量漸進與x，使則稱為的狀態(tài)觀測器。,狀態(tài)觀測器的方程為：虛線框為狀態(tài)觀測器，狀態(tài)逼近的速度取決于G的選擇和A-GC的配置。,倒立擺系統(tǒng)狀態(tài)觀測器的設計：根據(jù)觀測器綜合原則，可取期望的觀測器特征值為-20，-20，采用極點配置算法可計算得觀測器增益矩陣G為計算,帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)為,5.仿真分析,基于全維狀態(tài)觀測器下的倒立擺控制系統(tǒng)仿真：,仿真結(jié)果,狀態(tài)估計值與系統(tǒng)狀態(tài)比較從仿真結(jié)果看，控制性能滿足系統(tǒng)要求的性能指標。,全維觀測器狀態(tài)跟蹤誤差仿真結(jié)果：,降維觀測器設計,在實際工程實踐中，系統(tǒng)的輸出是能夠測量的，因此可以考慮用輸出量直接產(chǎn)生響應的部分狀態(tài)變量，其余狀態(tài)變量則通過構造觀測器來實現(xiàn)，所構造的觀測器為降維觀測器。本實驗的倒立擺系統(tǒng)采用P變換方法設計降維觀測器。,（1）由rank(C)=2,對于C取如下非奇異陣P則（2）取期望的特征值為，則特征多項式為，解方程得,進一步計算綜合得到降維狀態(tài)觀測器為,基于降維觀測器的倒立擺控制系統(tǒng)仿真：,基于降維狀態(tài)觀測器的倒立擺控制系統(tǒng)仿真從仿真結(jié)果看，控制性能也滿足系統(tǒng)要求。,降維觀測器狀態(tài)跟蹤誤差仿真結(jié)果：,不管是系統(tǒng)的極點配置、鎮(zhèn)定、解耦控制、無靜差跟蹤還是線性二次型的最優(yōu)控制,都可以用狀態(tài)反饋去加以實現(xiàn)。但是狀態(tài)不易直接量測,或者是由于量測的設備在經(jīng)濟上和使用上的限制,使得不可能來實際獲得系統(tǒng)的全部狀態(tài)變量,從而使狀態(tài)反饋的物理實現(xiàn)成為不可能。狀態(tài)反饋在性能上的不可替代性和在物理上的不能實現(xiàn)性形成了一個尖銳的矛盾。解決這個矛盾的途徑之一,就是通過重構系統(tǒng)的狀態(tài),并用這個重構的狀態(tài)來代替系統(tǒng)的真實狀態(tài),以實現(xiàn)所要求的狀態(tài)反饋。狀態(tài)觀測器正是在這樣的背景下提出的一個同時具有理論意義和應用價值的研究課題。,對線性系統(tǒng)而言,著名的Kalman濾波器和Luenberger觀測器為該領域的觀測器設計問題提供了較為完美的答案（對非線性系統(tǒng)而言,觀測器問題沒有系統(tǒng)的方法可采用,非線性系統(tǒng)觀測器設計問題要比線性系統(tǒng)復雜得多）。對于觀測器而言，有降維觀測器，也有擴張觀測器。目前對于