GCT學(xué)習(xí)指導(dǎo),廣西大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系,主講教師林桂蓮,第二講,高等數(shù)學(xué),第一章函數(shù)極限與連續(xù),考試內(nèi)容及要求,一、掌握函數(shù)的概念及表示法,1、函數(shù)的定義，會(huì)求函數(shù)的定義域及函數(shù)值。,2、會(huì)判別函數(shù)的特征：有界性、單調(diào)性、周期性、奇偶性。,3、掌握函數(shù)的分類：,第一類、基本初等函數(shù)（六類含16個(gè)式子）,熟悉掌握：-名稱、表達(dá)式、定義域、值域、特征、圖形。,含四項(xiàng)，有加、減、乘運(yùn)算,含三項(xiàng)，有加、減、乘、除、復(fù)合運(yùn)算,含一項(xiàng)，有復(fù)合、加法運(yùn)算,均為初等函數(shù),如：,由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次的四則運(yùn)算及復(fù)合運(yùn)算，并用一個(gè)式子表示的函數(shù)，統(tǒng)稱為初等函數(shù)。,第二類、初等函數(shù),(3)、非初等函數(shù),不是初等函數(shù)的一切函數(shù)，統(tǒng)稱為非初等函數(shù)。,如：（1）分段函數(shù)不能用一個(gè)式子表示的函數(shù),（2）無(wú)窮項(xiàng)相加-由級(jí)數(shù)表示的函數(shù),(3)由積分表示的函數(shù),（4）由極限表示的函數(shù),本講內(nèi)容在歷屆考題中，,函數(shù)、極限、連續(xù)的概念及其性質(zhì)與運(yùn)算，是學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的的基礎(chǔ)，亦是由初等數(shù)學(xué)過(guò)渡到高等數(shù)學(xué)的橋梁，有關(guān)它的內(nèi)容幾乎滲透在每一道試題中，考生不能忽視。,約占48分,二、理解極限的概念，并會(huì)求各種形式的極限,1、數(shù)列極限：,2、函數(shù)極限：（1）按自變量的變化趨勢(shì)分為六種：,的說(shuō)法,的說(shuō)法,（2）按因變量的變化趨勢(shì)分為七種：,4、理解無(wú)窮?。ù螅┑母拍?，掌握無(wú)窮小的性質(zhì)及比較。,3、掌握極限的運(yùn)算法則、性質(zhì)、兩個(gè)重要極限及兩個(gè)極限存在準(zhǔn)則。,三、理解函數(shù)連續(xù)與間斷的概念，及閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),的連續(xù)性：極限值=函數(shù)值,1、在點(diǎn),2、單側(cè)連續(xù),形式一,形式二,左連續(xù),右連續(xù),3、會(huì)求函數(shù)間斷點(diǎn)及判別的類型:,可去型,第一類間斷點(diǎn),跳躍型,無(wú)窮型,振蕩型,第二類間斷點(diǎn),GCT歷年真題分析,，則有,故選取B,故選取C,典型例子分析,一.函數(shù)（歸結(jié)為三個(gè)方面）,1.求函數(shù)的定義域,2.討論函數(shù)的特征,3.函數(shù)符號(hào)的運(yùn)用,例1：設(shè)函數(shù),則,是,(A)偶函數(shù)(B)無(wú)界函數(shù)(C)周期函數(shù)(D)單調(diào)函數(shù),B,二、求極限的方法與技巧,關(guān)鍵：判別類型，然后選擇相應(yīng)方法,消除不定因素。,1.定式的極限(1)代值法(2)運(yùn)算法則(3)無(wú)窮小的性質(zhì),例1:,例2:,2、,（1）因式分解或有理化去零因子,型的求解方法,例3：,-分子或分母中含有根式時(shí)用,（2）、等價(jià)無(wú)窮小代換法,I、常用式子,當(dāng),時(shí)，,II、推廣：,若,當(dāng),時(shí)，,如：當(dāng),時(shí)，,時(shí)，,時(shí)，,例4.（1）求,解:,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,又如：,（2）,（3）,共軛因子法,拆項(xiàng),（4）變量替換法,（5）洛必塔法則,（3）重要公式I,例5：,二、,型未定式,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,(1)化為無(wú)窮小討論,（2）洛必達(dá)法則,解:,時(shí),分子,分子分母同除以,則,分母,“抓大頭”,原式,機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,型,如：求,（處理型）,（3）看階法,推廣I：,為非負(fù)常數(shù)),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,推廣二：若在某一過(guò)程中為“,分母同除以絕對(duì)值最大的項(xiàng)。,”型，則分子，,4、“,”型及“,這種類型不能直接求極限，應(yīng)先化為“,”或“,然后再求極限，常用方法：,”型不定式,”型，,（1）通分；（2）有理化；,（3）變量替換法；（4）下放。,例6：,三、求極限的其它方法舉例,1、利用導(dǎo)數(shù)定義,例7：（1）設(shè),存在，則,（2）設(shè),可微，,四、函數(shù)的連續(xù)與間斷,1.函數(shù)連續(xù)的等價(jià)形式,有,2.函數(shù)間斷點(diǎn),第一類間斷點(diǎn),第二類間斷點(diǎn),可去間斷點(diǎn),跳躍間斷點(diǎn),無(wú)窮間斷點(diǎn),振蕩間斷點(diǎn),機(jī)動(dòng)目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束,3.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)